对任何可逆矩阵ATB,证明矩阵ATBA^T与A^TA都是正定矩阵

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-06-14 08:33 标签： TⅠANDY 矩阵 
 

 
 
 

 精确解与解析解的二范数约为3.3221e-06說明此方法可靠
  • 设AB都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P使
    P?1AP=B,则称B是A的相似矩阵，或说矩阵ATB与B相似对A进行运算 P?1AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵
  • 推论：若n阶矩阵ATB與对角阵 Λ=?????λ1??λ2????λn???????相似，则λ1λ2，…λn即是A的n个特征值。
    证明：因为λ1λ2，…λn是Λ的n個特征值，由上述定理知λ1λ2，…λn也是A的n个特征值。
  • 设A为n阶矩阵则必有可逆阵P，使P-1AP = B其中B是上三角矩阵。
  • 对n阶矩阵ATB寻求相似变換矩阵P，使P-1AP = Λ为对角阵，这就称为把矩阵ATB对角化
  • 假设已经找到可逆矩阵P，使P-1AP = Λ为对角阵，P应满足以下关系：
    Api?=λi?pi?可见λi是A的特征值而P的列向量pi就是A的对应于特征值λi的特征向量。
  • 定理1：n阶矩阵ATB与对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量
  • 推论：如果n阶矩阵ATB的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似
  • 定理1：对称阵的特征值为实数
  • 定理2：设λ1，λ2是对称阵A的两个特征值p1，p2是對应的特征向量若λ1≠λ2，则p1p2正交。
    0
  • 定理3：设A为n阶对称阵则必有正交阵P，使P-1AP = PTAP = Λ，其中Λ是以A的n个特征值为对角元的对角阵
  • 推论：設A为n阶对称阵，λ是A的特征方程的k重根则矩阵ATB-λE的秩R(A-λE) = n-k，从而对应特征值λ恰有k个线性无关的特征向量
  1. 求出A的全部互不相等的特征值λ1，λ2…，λs它们的重数依次为k1，k2…，ks(k1+k2+…+ks=n)
  2. 对每个ki重特征值λi，求方程(A-λiE)x=0的基础解系得ki个线性无关的特征向量。再把它们正交化、单位化得ki个两两正交的单位特征向量。因k1+k2+…+ks=n故总共可得n个两两正交的单位特征向量。
  3. 把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P便有P-1AP = PTAP = Λ。注意Λ中对角元的排列次序应与P中列向量的排列次序相对应。

0 0 0 A=???0?11??101?110????求一个正交阵P，使P-1AP

    0 0 0 ∣A?λE∣=∣∣∣∣∣∣??λ?11??1?λ1?11?λ?∣∣∣∣∣∣?r1??r2? ∣∣∣∣∣∣?1?λ?11?λ?1?λ1?01?λ?∣∣∣∣∣∣?c2?+c1? ∣∣∣∣∣∣?1?λ?11?0?1?λ2?01?λ?∣∣∣∣∣∣?=(1?λ)(λ2+λ?2)=?(λ?1)2(λ+2),求得A的特征值为λ10 0 0 0 0 ξ1?=????1?11????将ξ1单位化，得 ?1?????1?11???? 0 0 0 0 0 0 A?E=????1?11??1?11?11?1?????r???100?100??100????,令x2=1，x3=0得基础解系 0 ξ2?=????110????

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