动量表象中的波函数用动量本征函数展开的统计解释

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-07-05 08:12 标签： 波函数用动量本征函数展开

该楼层疑似违规已被系统折叠 

一個力学量对应一个力学量算符一个力学量算符对应一组完备的本征态和本征值，在不同的表象下力学量算符有不同的表示形式。
定态薛定谔方程实际上是哈密顿算符的本征方程也就是能量本征方程。
通常我们说的波函数用动量本征函数展开（薛定谔方程的解）是该系統取个个能量本征态的概率随时间的变化情况这个波函数用动量本征函数展开包含了该系统的一切力学量信息。要提取对应的力学量信息只需对应的力学量算符作用在这个波函数用动量本征函数展开上。从数学的角度来说算符的作用是将一个函数变换成另一函数，那麼你就可以这样理解薛定谔方程的解是系统取个个能量本征态的概率随时间的变化情况，如果我想求动量那么将动量算符作用在这个波函数用动量本征函数展开上使得他变成了“另一个”波函数用动量本征函数展开，这个波函数用动量本征函数展开的意义表示系统取个個动量本征态的概率随时间的变化情况之所以把“另一个”打引号只是从数学的角度来说，从物理上来说他仍然是同一个系统。
一般薛定谔方程是坐标表象下的方程而坐标表象下的动量算符对应一组完备的本征态和本征值，只需将“变换”过来的表示“系统取个个动量本征态的概率随时间的变化情况”的波函数用动量本征函数展开按照动量的本征态展开就能直观并且显然得提取出系统的动量信息。


69 在p表象中p算符在坐标表象中的夲征函数 3、量子力学公式的矩阵表示 1、归一化条件 波函数用动量本征函数展开的归一化条件 用矩阵表示： 将ψ(x,t)按任一力学量Q表象中的基矢un(x)展开： 2、平均值公式 简单记为： 在 表象中： 矩阵形式： 即 即 3、本征值方程 方程： 在Q表象中，其矩阵形式为： 亦即 （1） （m = 12，3……） 移项得： （2） 此式即为线性齐次方程组： 非零解的条件是系数行列式等于0即久期方程 将每个 值分别代入矩阵方程（1）或（2），求出 即得本征函數 求出本征值 这样变解微分方程为解代数方程 例题 设已知在 和 的共同表象中，算符 和 的矩阵分别为 求它们的本征值和归一化的本征函数最后将 和 对角化。 解： （1）求 的本征值和本征函数 设在 和 的共同表象中， 的本征函数为 为所对应的本征值。 本征方程为 即 齐次方程囿非零解的条件是系数行列式等于零即 展开后整理得 即 即 的本征值为 利用归一化条件，确定常数a1. 因此对应于m=0 的本征函数是 利用归一化條件求a3. 即 因此，对应于m=0 的本征函数为 利用归一化条件求a2, 即 因此对应于m=-1的本征函数为 （2）求 的本征值和本征函数 设 的本征函数为 对应于 。即 令 并将 的矩阵形式代入本征方程，即有 b1,b2,b3有非零解的条件是 由此得m=0, ±1.对应于 所以 同样步骤得 (3)将 、 对角化 所谓对角化即将 、 变换到自身嘚表象中去， 这里s为幺正变换矩阵 , 即将 在 和 的共同表象中 的本征函数按列排成矩阵而得： 于是 对于 幺正变换为 于是 * 根据量子力学的基本原理，微观粒子的量子态波函数用动量本征函数展开 描述力学量用线性厄密算符 描述。前面所使用的波函数用动量本征函数展开及力学量算符均以坐标 （以一维为例实际是坐标这个力学量算符的本征值谱）为变量而写出其具体表达形式的。是否有其它描述方法（即以其它力学量的本征值谱为变量） 回答是：不仅有，而且非常必要！因为恰当选择描述体系的具体形式（自变量）可给运算带来很多方便 §4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换 量子力学的两种表述 第一种表述：Heisenberg, M.Born, P.Jordan 的矩阵力学。这种理论是赋予每一个态和物理量一个矩阵它们的代數运算规则与经典物理不同，遵从乘法不可易的代数运算 第二种表述：Schr?dinger的波动力学。源于de. Broglie 的物质波思想找到了量子体系的物质波动方程：Schr?dinger方程，是波动力学的核心思想同时，Schr?dinger还证明了矩阵力学和波动力学是完全等价的是对同一种物理规律的两种不同表述。 事实上量子力学理论还可以更为普遍的表示出来，这个工作是由Dirac完成的还有一种表述就是R.P.Feynman发展起来的“路径积分表述方法”，1931年由Dirac提出R.P.Feynman于1948年建立。 本节讨论： 1. 态的表象 2. 力学量表象， 3. 量子力学中公式在各表象中的形式 4. 讨论表象间的关系。 表象:量子力学中状态和力学量的具体表示方式 常用表象：坐标表象动量表象，能量表象角动量表象等。 一个定义：表象的定义 二个表示：态（波函数用动量本征函数展开）在任意表象中的表示 力学量（算符）在任意表象中的表示 三个公式：平均值公式；本征值方程；薛定谔方程 在任意表象中的表示 幺正变換:作为综合性内容重点掌握其性质 表象理论中采用的数学工具主要是矩阵及其运算：矩阵力学（海森堡Heisenberg） 在前述各章节的讨论中，描述微观粒子运动状态的波函数用动量本征函数展开一般取坐标 的函数 ，而力学量则以作用于变量为 的波函数用动量本征函数展开 上的算符來表示这给出了波函数用动量本征函数展开和力学量的一种具体表示形式，在量子力学中这种表述态和力学量的方式并非唯一实事上，波函数用动量本征函数展开可以选用其它力学量作为变量的函数力学量相应地表示为作用于该波函数用动量本征函数展开的算符形式，从而构成波函数用动量本征函数展开及力学量的不同表述形式 每一种具体表述形式称为态与力学量的一个表象 1、态和力学量的表象 （

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