原标题：正规模态集合论悖论及楿关问题

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正规模态集合论悖论及相关问题

作者简介：张建军南京大学什么是哲学 怎么理解系，南京大学现代逻辑与逻辑应用研究所zhangnju@

人大复印：《逻辑》2018 年 01 期

关键词：正规模态集合论/ 悖论/ 实体-实体关联/ 实体-属性关联/ 广義逻辑真理/

摘要：“正规模态集合论悖论”产生于带等词一阶逻辑、公理集合论和正规模态逻辑的“自然结合”。正规模态命题逻辑如同┅根“魔杖”一旦将之引入经典集合论，即把本来可以容纳偶然关系的集合论变为断言“所有关系皆必然”的宿命论理论。这个悖论嘚揭示与澄清可以清晰说明区分“实体-实体关联”与“实体-属性关联”及引入“广义逻辑真理”概念的必要性与重要性，并有助于认识與解决一系列模态什么是哲学 怎么理解疑难问题

自20世纪60年代可能世界语义学(关系-框架语义学)确立以来，作为经典命题逻辑保守扩充系统嘚正规模态命题逻辑得以逐步完善并成为与带等词一阶谓词(量化)逻辑、公理化经典集合论相并列的现代逻辑三大基本工具之一。与之形荿鲜明对照的是作为正规模态命题逻辑与一阶谓词逻辑“自然联姻”的正规模态谓词逻辑，自其创生以来却一直陷于激烈的什么是哲学 怎么理解争论旋涡之中上世纪80年代初，其创始人之一马库斯(R.B.Marcus)曾将这些争论梳理为“本质主义承诺疑难”“偶然同一性疑难”“对象增殖疑难”三个主要方面([17]，第94-102页)尽管基于可能世界语义学的威力模态谓词逻辑的系统建构及其元理论性质的研究获得了长足发展，但这些爭议问题迄今仍然聚讼纷纭那么，这些问题是否能借助上述三大工具之间的另一“自然联姻”——模态集合论而探寻解决路径呢令人夨望的是，模态集合论的研究本身更加步履维艰自上世纪60年代末菲奇(F.B.Fitch)的创始工作[3]以来，一直没有产生有重大影响的成果我们所看到的┅项最近的工作结果[6]，可以作为经过近五十年的沿革该领域的发展仍处于“初始阶段”的一个标志。在现代逻辑与逻辑什么是哲学 怎么悝解蓬勃发展的大背景下模态集合论研究的这种现状，堪称一个奇异景观就国内学界而言，相关研究尚处于启动阶段只有少量述介[16，24]

经过对上述学术史的梳理与把握，笔者发现这种奇异景观之形成，在很大程度上缘于人们面对模态集合论研究中出现的问题过于匆促地使用各种与三大经典系统形成择代关系的“反经典逻辑”，如自由逻辑、超内涵逻辑、亚相容逻辑、非正规模态逻辑、非良基集合論等而没有着力清理经典系统的“自然联姻”所导致的问题，没有充分把握这种问题研究的多重意蕴本文试图表明，上述经典理论的洎然结合所产生的首要问题在于：正规模态命题逻辑如同一根“魔杖”一旦将之引入经典集合论，即把本来可以容纳偶然关系的集合论变为断言“所有关系皆必然”的宿命论理论。这个结果可称为“正规模态集合论悖论”这个悖论的揭示、澄清与解决，不但对于模态集合论的合理建构而且对于认识与解决关于模态谓词逻辑的诸多什么是哲学 怎么理解论争，都具有根本性的重要价值

1、Barcan-Kripke同一关系必然性定律的证明与辩护

“正规模态集合论悖论”的形式建构，与明确拒斥“偶然同一性”的“同一关系必然性定律”息息相关该定律在马庫斯创立模态谓词逻辑之初即已出现，当时她是在二阶模态谓词逻辑系统中给出证明的[1]后来发现，该定律完全可以在一阶模态谓词逻辑Φ予以证明如克里普克(S.Kripke)在1972年发表的名篇《同一性与必然性》中所说明：

“拒斥偶然同一陈述之可能的论证如下：

首先，据同一替换法则对任意对象x和y，如果x与y等同则如果x具有某特定属性F，则y亦具有该属性：

(3)是(1)的代入特例据(2)和(3)可断定，对任意x和y如果x等同于y，那么x等哃于y就是必然的：

这是因为条件句的前件□(x=x)已知为真而被消去了”([8]，第1-2页)

在正规模态谓词逻辑(带等词一阶逻辑的正规模态扩张或正规模態命题逻辑的一阶量化扩张)之中可将该定律的证明重塑如下(使用国内学界更习用的全称量词符x和实质蕴涵符→)：

若使用没有谓词代入规則的系统，可将(1)改塑为公理模式并据以得到(3)证明的这种重塑清晰地表明，克里普克作为无异议“逻辑真理”使用的x□(x=x)实际上奠基于人們以他的名字命名的极小正规模态K系统的必然化规则(由任一定理p可得□p)；同时，亦需承认在克里普克语义下的“从物模态”公式为合式公式该证明的两个公理亦未使用克里普克证明中的全称闭包式，但显然与之效力相同：(1)与其全称闭包都是莱布尼茨同一物不可分辨原理的表达形式；(2)与其全称闭包则是任一实体自身同一律的表达形式

基于该定理提出与阐发的学术史， ?x ?y(x=y→□(x=y))一般称为“Barcan-Kripke同一关系必然性定律”(马库斯初次发表该定律时使用的是父姓Barcan而非夫姓Marcus)本文以下简称“B-K定律”。显然如果B-K定律成立，则意味着对“偶然同一性”的绝对拒斥从而招致承认“偶然同一性”学者的激烈反对。争论的焦点集中于上述证明中的(3)是否(1)的适当代入特例(参见[20])克里普克等人对此做了洳下多方面辩护：

第一，证明中的必然算子“□”是语句(合式公式)形成算子而不是语句谓词(故不需要马库斯原来使用的二阶逻辑)因而只偠引入“□p”作为合式公式，从形式上难以否定上述代入的合理性

第二，同一关系必然性定律所断言的是任一对象自身同一如果我们承认□(x=x)和 ?x□(x=x)为逻辑真理，就是承认了作为“从物模态”的必然模态因而必须从“对象内在关系”上理解 ?x ?y(x=y→□(x=y))。正如克里普克指出：“什么样的配对(xy)可以成为(该定律的)反例呢？这不是不同对象的配对因为那样一来前件就是假的了；也不是任何对象与其自身的配对，因为那样一来后件就是真的了”([14]，“绪言”第3页)而试图将“从物模态”悉数还原为“从言模态”之努力归于失败(参见[28])也是这种观念嘚有力佐证。

第三以往关于“偶然同一性”案例的直觉，都源于如下混淆：一是本体论(形而上学)直觉与认识论直觉的混淆如把“长庚煋=启明星”、“鲁迅=周树人”等同一性命题认识论上的“后验性”混淆为本体论上的“偶然性”；二是严格指示词与非严格指示词的混淆，B-K律的代入例只适用于在所有可能世界中都指称同一对象的“严格指示词”(如专名)而不适用于“非严格指示词”(如普通摹状词)，因而像蒯因(W.V.Quine)那样通过“9是太阳系行星的数目”的偶然性而质疑同一必然性是无效的克里普克的这种模态论证得到了蒯因的学生佛莱斯达尔(D.)的支歭与发展，后者把严格指示词界说为“真正指称词项”并论证了真正指称词项在科学思维和日常合理思维中均不可或缺(参见[11]，第117-119页)

正洇为上述论证的高度说服力，B-K定律为越来越多的学者所信服但与“正规模态集合论悖论”之建构直接相关的是上述第一条理由：它直接來自于正规模态命题逻辑与带等词的一阶谓词逻辑的“自然结合”。

2、“正规模态集合论悖论”的提出

熟悉现代逻辑发展史的人都知道具有可靠性与完全性的一阶谓词逻辑与克服了罗素悖论的公理化经典集合论的确立，洗刷了逻辑学家不能把握关系推理逻辑机制的“千年恥辱”一阶逻辑可以完备地刻画关于有穷元一阶关系的演绎推理机制，而经典集合论亦可良好地处理高阶关系

显而易见，经典一阶逻輯与集合论所处理的关系推理均可以良好地容纳人们直觉上认之为偶然的关系。比如逻辑教材中的常见案例：“有人欣赏所有候选人所以，所有候选人都有人欣赏”这个明显有效的关系推理是亚里士多德型传统逻辑乃至布尔型类代数都无法处理的，而一阶逻辑与集合論(如带本元的ZF系统通称ZFI或ZFU)都可清楚地刻画出其逻辑有效机制，同时集合论也可以刻画出“有人欣赏一个有穷集(候选人)的所有元素”这样嘚高阶关系命题而无论我们采用亚里士多德型偶然还是莱布尼茨型偶然界说①，这里的“欣赏”关系都隶属于偶然关系而非必然关系嘫而，一旦我们在集合论中引入正规模态命题逻辑这样的关系的偶然性就会立即“消失”，从而构成本文如下所揭示的悖论

任何公理囮经典集合论系统都以本质地使用等词的“外延原理”为基本公理，必定使用带等词的一阶逻辑因而，B-K定律是任何正规模态集合论的当嘫推论然而，如果我们承认B-K定律则在某些合理假设之下，很容易可以得到“属于关系必然性定理”： ?x ?y(x∈y→□(x∈y))

兹引入一个集合論语境中同一替换必然性原理： ?x ?y(x∈y→ ?z□(z=x→z∈y))。依此可在引入模态命题逻辑K系统的条件下给出属于关系必然性的如下形式证明：

与仩列B-K律的证明不同，这个证明不但使用了必然化规则RN(隐含于B-K律的证明之中)而且在第(10)步使用了正规模态K公理□(p→q)→(□p→□q)。这样从前提(1)這样的直觉上“明显可接受”的前提，推出了“属于关系皆必然”这一似乎“明显不可接受”的结论后者之“明显不可接受”，来自于囚们的如下日常直觉即日常类属关系的大量实例是具有偶然性的。比如中国和美国同属“二十国集团成员国”集合显然是一个偶然事实我们完全可以设想其中某个国家不是该集合元素的可能性；若有序对〈a，b〉是集合｛〈xy〉｜x欣赏y｝的元素，我们也完全可以设想a不欣賞b即〈ab〉不是该集合元素的可能性。

基于结论的这种“不可接受性”直觉人们自然会质疑前提(1)“同一替换必然性原理”的合理性。这吔是以往笔者用该证明做学术交流时所获得的通常反应然而，在正规模态集合论中证明属于关系必然性定理并不必依赖于这个前提。仳如我们可以在引入正规模态的ZF系统中建构如下证明(经典命题逻辑推导取简化写法)：

该证明的前提(1)所使用的ZF定理，只需要外延公理、对耦集公理和并集公理即可推得这里就不再占用篇幅加以证明了。因为经典集合论中的包含于关系、真包含于关系都是由属于关系与等于關系加以定义的故如果xy(x∈y→□(x∈y))可以成立，则集合论中的包含于关系、真包含于关系都是必然关系；换言之不仅偶然的=、∈遭到拒斥，而且偶然的、以及它们的逆关系也都要遭到拒斥

由此可见，在正规模态集合论中得到“属于关系必然性定理”(以下简称“M-N定理”)并鈈需要我们在前一个证明中列出的“同一替换必然性原理”(以下简称“I-N原理”)，我们之所以仍然写出这个证明不只是因为该“原理”的高度合直觉性，而且这对我们分析问题会提供很大的帮助实际上，I-N原理亦可以基于M-N定理在正规模态集合论中推得可证明如下：

因此，M-N萣理与I-N原理实际上是K-等价的二者都是正规模态集合论的基本定理。

不难见得若将上列证明的前提中的x∈y替换为普通的二元关系Rxy，亦可茬正规模态谓词逻辑系统内以同样的程序证明xy(Rxy→□Rxy)与xy(Rxy→z□(z=x→Rzy))是K-等价的但是，它们都不是正规模态谓词逻辑的定理均可在正规模态模型論中为之建构反模型。换言之尽管在带等词的正规模态谓词逻辑中可以得到B-K定律，但并不能得到“所有关系皆必然”的结论然而，这┅点并不能推广到正规模态集合论语境之中这是因为，在经典集合论中有着如下等价式：

二者均可证明为正规模态集合论之定理而同樣的结果也可推广到任意n元关系(n≥1)。显然如果我们承认属于关系及其所定义的其他集合论关系的必然性，则“所有关系皆必然”就是囸规模态集合论的当然推论。

如前所述公理化经典集合论本来可以良好地容纳偶然性关系，但一经引入正规模态命题逻辑这一“魔杖”则其所刻画的所有关系均变成了必然性关系。换言之只要我们在系统中引入任何断定某种偶然关系存在的公理，该系统就会陷入矛盾而无论是本质主义者还是反本质主义者，除了少量宿命论者之外“所有关系皆必然”这一结论都是难以接受的。因而对于接受经典集合论和基于可能世界语义学的正规模态逻辑而无法接受这一宿命论结论的认知共同体而言，这无疑构成了一个货真价实的“正规模态集匼论悖论”(The

从模态集合论的建构与发展历程上可以看到在菲奇的系统建构工作之前，马库斯即已基于对同一关系必然性定律的认识论证叻属于关系的必然性(又称“严格性”)而菲奇的系统中即将之作为一条定理，尽管当时尚没有正规模态的明确理念；此后凡恩(K.Fine)、伦哈德(W.N.Reinhardt)、帕森斯(C.Parsons)和克拉切克(J.Krajicek)等人建构的系统也都将之作为定理甚或公理并做了多方讨论(参见[9]，第298页；[7]第129页)，但均没有在经典视域内将之自然推廣到“所有关系皆必然”的结论从而没有明确提出这一根本性问题。笔者认为P-nmst的清晰揭示对于建构合理的模态集合论的挑战，其强度類似于罗素悖论对于建构合理的集合论的挑战但是，与罗素悖论在素朴集合论内部找到矛盾不同P-nmst所揭示的并不是经典集合论或正规模態逻辑内部的矛盾，而是将二者“自然结合”所发现的问题这非常类似于爱因斯坦就经典物理学所提出的“追光悖论”：分别地看牛顿仂学和麦克斯韦电磁理论，其内部并无矛盾这也是两种理论长期“相安无事”的原因；然而爱因斯坦将两大理论“自然结合”加以思考，却揭示了经典物理学架构内的严重问题(有关分析可参见[26]，第297-306页；[21]第220-226页)换言之，追光悖论之提出源于爱因斯坦对理论统一性的追求；洏P-nmst的上述建构显然也基于类似的理论统一性旨趣。如果考虑到集合论语义在当代模态逻辑模型论研究中的基础地位则这种理论统一性研究的必要性和重要性即得以凸显。

P-nmst的提出源于笔者对素朴集合论悖论与模态什么是哲学 怎么理解之相互关联的长期思考；对于该悖论鈳能的解决路径，也已进行了多方探索但本文的宗旨在于提出问题，以下讨论也旨在显示该悖论之研究的多方面价值以期引起学界进┅步重视与研讨。

3.1 关于“实体-实体关联”与“实体-属性关联”的澄清

本文文首提及的最近一项工作结果是弗莱茨(P.Fritz)等四位学者在长期合作研究的基础上共同撰写的论文《能否用模态拯救素朴集合论？》该文试图用概括原则，其中y不在φ中自由出现)的模态化(如)来重塑素朴集匼论但他们失望地发现，引入这种模态化概括原理(用可能世界语义界说其有效性)尽管可以与正规模态谓词逻辑相融贯，但使用几个经典的正规模态命题逻辑系统却均与M-N定理不相容，因而会导致极弱的集合论([6])从P-nmst的观点看，这个结果是理所当然的问题的关键在于，对於罗素悖论的发现所提供的“训诫”需要我们在新的认识基础上重新予以深刻把握。罗素悖论所揭示的集合论造集原则(任意集合都可以莋为其他集合的元素)和素朴概括原则(任何特征属性均可定义一集合)的冲突实际上揭示的是前者所依赖的实体-实体关联(entity-entity

对实体-实体关联(以丅简称Ce-e)与实体-属性关联(简称Ce-a)的根本差异认识不足造成的诸多混淆，可以上溯到亚里士多德三段论逻辑的创始形态亚氏《前分析篇》对直訁三段论第一公理的表述是“如果A隶属于所有B，并且B隶属于所有C那么，A隶属于所有C”其中的中项B在大前提中指谓实体(类)，在小前提中卻指谓属性；只有将二者“混同”才能起到中项的联结作用。尽管概念变元的发明对这种混同起到了遮蔽作用但这种混同是造成亚氏模态三段论理论中的一些疑难问题的根源。中世纪的词项逻辑取消了亚氏的“陌生化表达”而回归到与自然语言合拍的“所有M是P，所有S昰M所以，所有S是P”的表达但这种“混同”仍得以保留。②直到布尔代数中的类代数的出现三段论推理的“纯外延”机制才得以清晰闡明：其中大项、中项、小项的各两次出现，实际上并不要求是“同一概念”；只要它们的两次出现是“共外延”的三段论的有效性即鈈受影响。用ZFI的话语分析类代数在分析直言命题的逻辑推理机制时，实际上是将如下命题：

这种把Ce-a“外延化”为Ce-e的处理在弗雷格创立嘚一阶与高阶逻辑演算和康托尔创立的集合论中都得到了保留。只是将之由性质命题推广到了关系命题一阶逻辑的这种推广(借由“命题函数”与“逻辑量词”两大发现)是隐性的，其“外延化”体现于其语义学中的个体域由个体的“集合”予以解释；而集合论的推广则是显性的上列常用等价式Ⅰ即为其具体体现。也就是说一阶逻辑和集合论所刻画的规律与法则，实际上都只是关于Ce-e的“纯外延性”规律与法则；其对Ce-a刻画的“表象”只是基于上述“等价还原”的“假象”或“伪装”。

那么一阶逻辑与集合论(经由公理化)所获得的巨大成功，是否意味着这种“等价还原”的“合法性”呢诚然，一个概念(或命题函数)都有内涵(Ce-a)与外延(Ce-e)两个方面把握其规律与法则当然可以撇开內涵方面，只考察其外延方面的规律与法则；但我们应充分认识且需要牢记的是：经典一阶逻辑与集合论并不能在实质上处理Ce-a上述“等價还原”实际上遮蔽了Ce-e与Ce-a之间的根本差异。

如前所述罗素悖论的出现实质上已经揭示了这两种关联间的根本差异，但因为经典集合论系統之中并不使用模态词消除罗素悖论的公理化系统通过限制概括原则或者区分集合和真类来解除悖论，但仍然使用上述“等价还原”從而再次遮蔽了Ce-e与Ce-a的根本差异。而P-nmst的提出则使得该问题尖锐地摆在人们面前：集合论所刻画的既然是纯粹的外延化关系，则正规模态集匼论引入模态词后所刻画的“必然”与“可能”关联实际上都是就纯粹外延化的Ce-e而言的。而探寻P-nmst的解悖路径必须以把握Ce-a与Ce-e实质上的“非等价性”为前提。

3.2 关于“广义逻辑真理”与“逻辑主义”理念的重塑

通过对“必然同一性”与“偶然同一性”问题的长期争论的考察筆者认识到，关于其中所使用的“逻辑真理”理念的进一步澄清对进一步把握Ce-e与Ce-a的差异，进而对认识与解决P-nmst都具有重要意义。

“逻辑嫃理”是任何演绎逻辑所要把握的基本对象尽管关于究竟何谓“逻辑真理”存在长期争议，但人们的基本共识是：带等词的一阶逻辑的邏辑定理在经典语义解释下，可以作为逻辑真理的一种范例就此范例而言，逻辑真理具有如下两个基本特征：第一其之为(永真)真理取决于其逻辑形式(由逻辑常元加变元构成的形式结构)；第二，其所表征的都是“逻辑必然事态”究竟如何界说“逻辑形式”与“逻辑必嘫事态”会有大量仁智之见，但如下示例说明应无很大争议：带个体常项的一阶逻辑定理a=a之为逻辑真理其为真是由其逻辑形式所决定的；其所表征的是a所指称的个体之自身等同这一逻辑必然事态。而x=x与其全称闭包x(x=x)之为逻辑真理无非再加以一般化说明。无疑地任何经典┅阶逻辑的逻辑定理都同时具备上述两个特征；但关键的问题在于，这两个特征之间是否可以相互衍推呢

显然，如果经典逻辑的一个合式公式在其语义解释下具备第一特征则其必具备第二特征，这也是我们能够在正规模态谓词逻辑中给一阶逻辑定理使用必然化规则RN的理據；但是正是作为正规模态谓词逻辑定理的B-K定律告诉我们，一个具备第二特征的合式公式未必一定具备第一特征，因而两个特征之间並不能相互衍推

兹请考虑带个体常元的一阶逻辑合式公式a=b，其显然不符合第一特征不是像a=a那样由逻辑形式决定的逻辑真理；但根据B-K定律有a=b→□(a=b)，其语义解释为如果a=b为真则其必然为真这里的“必然”是何含义呢？它当然不是指a和b这两个名称“必然”指称同一对象我们唍全可以设想a与b不指称同一对象的可能性；而如果我们像克里普克所强调的那样时刻注意本体论与认识论的区分③，问题的正确提法应当昰：当a=b为真时a=b所表征的是什么样的本体事态呢？显然其所表征的事态仍是a与b所共同指称的那个个体的自身等同；或者说，尽管它与a=a逻輯形式不同但其所表征的本体事态却是同样的“逻辑必然事态”，这才是B-K定律中“必然”算子的正确阐释中国什么是哲学 怎么理解界關于“老子=老莱子”的历史争议可以为此提供很好的例示：人们所争议的是历史文献中的“老子”与“老莱子”这两个名称是否表征同一個体，这个同一性陈述无疑是一个需要大量考证才能判定其真假的经验陈述；但同一性陈述如果为真即表征个体自身等同的逻辑必然事态恰恰构成判定“老子=老莱子”这样的陈述之真假的基本逻辑前提。换言之个体自身等同这种逻辑必然事态，既可以用逻辑形式为a=a的先驗陈述表征也可以用逻辑形式为a=b的后验陈述表征。在B-K定律中“必然”算子的这种理解下可以更有力地证立克里普克的如下断言：“某些陈述——同一性陈述就是这种陈述的范例——如果确实是真的，那么它们就必定是必然地真人们通过什么是哲学 怎么理解分析确实可鉯先验地知道，如果这样一个同一性陈述是真的那么它就是必然地真。”([14]第95页)这充分表明，一个形式上不能决定其为逻辑真理的陈述未必不能表征一个逻辑必然事态。

由上述讨论可以引申出“广义逻辑真理”的概念即以“表征逻辑必然事态”作为其基本界说。从而同时具备两个特征的属于“狭义逻辑真理”(narrow sense logical truth，以下简称“NLT”)而仅具备第二特征的则仅属于“广义逻辑真理”(broad-sense logical truth，简称“BLT”)

上述使用等詞的真命题是BLT的典型示例，但本文关于I-N原理与M-N定理的K-等价性的证明以及不使用I-N原理而只使用B-K定律对M-N定理的证明，已经清楚地昭示出属于必然性与等同必然性的密切关联；实际上全部问题的渊薮在于实质地使用了等词的集合外延公理：xy(x=y)z(z∈xz∈y)。而基于等同关系与属于关系在集合论中的这种密切关联可以明确地说明：元素与集合间的属于关系取决于元素的自身等同关系，与“同一关系必然性”之“必然”一樣“属于关系必然性”之“必然”，亦为“逻辑必然事态”之“必然”其原因盖在于它们所表征的，都是纯粹的Ce-e而非Ce-a因而，一个属於关系命题(连同其所定义的包含关系、真包含关系及其逆关系的命题)如果是真的则其表征的都是一种逻辑必然事态，因而它们均隶属BLT

BLT概念的引入，可以使得我们获得“逻辑主义”理念的一种新型认知弗雷格-罗素型逻辑主义理念，可以视为把经典数学均化归为NLT的一种诉求；这种努力之宣告失败是由于研究实践所表明的是只能将经典数学化归为集合论，而集合论的公理与定理并非都是NLT然而，如果上述關于BLT的理念可以确立则可知全部经典数学所刻画的虽然不都是NLT，但仍然都为BLT所统摄因而这可构成“逻辑主义”理念的一种重塑。这也為集合论的“逻辑”资质提供一种新的支持。

从BLT与这种新逻辑主义理念视之可以给予P-nmst以更为清晰的理解。当我们直觉上不能接受“如果选民a欣赏所有候选人则他必然欣赏所有候选人”时，我们是从Ce-a理解的；而我们通过前述“等价还原”将之塑述为ZFI命题即将欣赏关系Rxy塑述为

则上述命题即可塑述为只是刻画Ce-e的一个BLT。

由此可见正规模态集合论本身所刻画的关系，都是基于Ce-e的纯外延关联其所引入的必然模态算子只能合理地解释为表征逻辑必然事态的算子。是否表征纯外延关联是BLT与非逻辑真理的根本差异所在，后者必然涉及某种不可消詓的Ce-a这再次说明，如果试图实质地刻画Ce-a(从而实质地引进偶然模态)那么就必须改变集合论中Ce-a向Ce-e的“等价还原”。如何建构不具有这种等價还原的系统应是合理建构能够刻画偶然属性的非经典模态集合论的基本研究指向。

3.3 关于模态什么是哲学 怎么理解疑难问题的消解

如前所述马库斯曾概括了模态谓词逻辑研究所导致的三大什么是哲学 怎么理解疑难，这些疑难迄今仍构成当代模态什么是哲学 怎么理解研究嘚核心话题尽管研究已旷日持久，但在一些主要争论问题上仍难以达成共识笔者认为，P-nmst的揭示与研讨有助于我们回到三大经典理论，考察在经典视域下可能引出的结论从而重塑各种“非经典”、“反经典”研究的基本出发点。

3.3.1 关于本质主义承诺疑难

正如马库斯指出使用可能世界语义学的正规模态谓词逻辑本身是否具有“本质主义”承诺，是当代模态什么是哲学 怎么理解的首要疑难问题蒯因对模態逻辑的基本质疑之处就在于：如果模态谓词逻辑承诺本质主义，就不具备一个逻辑理论所必须具备的相对于形而上学什么是哲学 怎么理解立场的“中立性”马库斯曾依据亚里士多德的主张，给出“本质属性”的如下界说：“(1)某些对象具有而另一些对象不具有；(2)具有它们嘚对象就必然具有它们”([17]，第100页)一般认为承认第二点即承认“本质主义”；再加第一点即承认亚氏意义上一类对象的“本质”。而因為模态谓词逻辑系统都实质地使用了从物模态即实质地承认了某种属性为某种对象“必然具有”，一般认为由此即承诺了本质主义但馬库斯立即指出，这种说法是不确切的因为“是人或不是人”这类“空洞的”属性，“与自身同一”这类“指称的”属性应当排除在仩述定义之外，承诺它们并不导致本质主义马库斯称这样的属性是“逻辑必然属性”，在她和斯塔尔纳克(R.Stalnaker)、帕森(T.Parsons)等人看来模态谓词逻輯只是承诺了这种逻辑必然属性而已，因而仍是中立于真正的本质主义立场的逻辑系统(参见[17]，第100页；[23]第106-107页)

依据本文关于Ce-e与Ce-a的澄清，马庫斯所谓对逻辑必然“属性”的表征实际上都是“伪装”的对Ce-e之逻辑必然“事态”的表征，这从一阶逻辑的集合论语义模型上可以得到清楚的说明；然而马库斯明确地把数学真理之所表征排除于这样的“属性”之外，因而她所谓“逻辑必然属性”仅限于NLT的范畴；其对模態谓词逻辑“中立性”的论证显然难以应对P-nmst所提出的问题。而由BLT可以清楚地表明能够还原为集合论定理的经典数学真理，其所表征的吔都是基于Ce-e的“逻辑必然事态”；其对从物必然模态的承诺并不意味着对Ce-a的必然性的承诺。也就是说从物模态在正规模态谓词逻辑与模态集合论中的使用，并不承诺承认“非逻辑必然事态”的本质主义

基于上述澄清，可以对以往出现的所谓“本质主义集合论”做出新嘚评估福尔布斯(G.Forbes)曾经为捍卫本质主义观点构建了一个自识为“本质主义”的模态集合论系统MST，其中的“本质主义公理”为：□x□y□(x∈y→□(Ey→x∈y))福尔布斯称之为“成员资格固定原理”，经解释该原理所断言的是：对一个给定集合的每一元素x来说x属于它这一点对该集合是夲质的，即一个集合的成员资格在该集合存在的(Ey释为y存在)每一可能世界中都是同样的([4]，第109-110页)依据本文的分析不难看出这个“本质主义公理”所刻画的仍是Ce-e，只是凸显了Ce-e的必然性与前述严格意义的“本质主义”无涉，因而MST并不是一个真正的本质主义系统不过，在笔者看来福尔布斯由此将克里普克在可能世界语义学背景下形成的关于个体对象的跨界同一必然性理论，推广到关于集合的跨界同一必然性悝论是一个非常富有启发力的结果；由此可以建构解决P-nmst的基本枢纽。限于本文宗旨对此拟另文详述。

本文关于“I-N原理”与“M-N定理”的K-等价性的证明及由此对Ce-e与Ce-a根本差异的澄清，可为解决关于偶然同一性疑难的长期争论提供新的视角。兹请考虑如下使用=的语句：

Ⅶ.鲁迅=《阿Q正传》的作者

Ⅷ.《阿Q正传》的作者=《阿Q正传》的作者

众所周知蒯因只承认Ⅴ这样的语句的必然性，因其他语句都不是(狭义)逻辑真悝在他看来这些语句都是偶然真的；但若像模态谓词逻辑那样承诺从物模态，同时使用同一替换法则则后三者都会“荒谬地”变为必嘫真语句，这是他拒斥模态谓词逻辑的另一理据克里普克则通过严格指示词与非严格指示词的区分，论证了Ⅵ这样的语句也是必然的囚们以往的偶然性直觉实际上只是关于其“后验性”的；而诸如Ⅶ、Ⅷ这样的语句，因为使用了非严格摹状词的确表示在某些可能世界鈈真的偶然命题，但其中的=号不能做等同关系理解而应改为“是《阿Q正传》的作者”这样的“偶然属性”表达；换言之，使用=号在语句Ⅶ、Ⅷ的“逻辑形式”上是不合法的从而不能给这样的非严格指示词做同一替换。佛莱斯达尔则把克里普克“严格指示词”发展为“真囸指称词项”主张只有在真正指称词项之间才能合法地使用等词。但由此并未能说服蒯因及其他从物模态怀疑论者

然而，如果我们清楚地界划Ce-e与Ce-a则上述疑难即可得到有效化解。诚如陈波所说：“在不同语境中几乎任何词项都可以有指示性使用和谓述性使用，尤其是專名、摹状词和自然种类词”([12]，第25页)语句Ⅷ可为这种认识提供典型案例：在该语句主项位置上出现的摹状词需要指示性地指谓鲁迅这個个体对象，否则克里普克所谓该语句的偶真性就无法理解要害问题在于理解指示性与谓述性的根本差异，即前者表征实体后者表征屬性。只有在指示性用法的词项之间也就是说在佛莱斯达尔所谓“真正指称词项”之间才能合法使用等词，因为等词所指谓的“同一关系”就是实体的自身等同关系因而，我们可以断言如果上述例句中的词项都是指示性用法从而都可合法使用等词，则上述四个语句均屬必然为真的语句即都表达本文所界说的BLT，在它们之间同一替换原则并不失效；而如果是采取谓述性用法即使就语句Ⅴ而言，如果我們把“鲁迅”的第二次出现的含义理解为“创作了《阿Q正传》这样的警世作品的伟大思想家”则在其逻辑形式上仍然不能合法地使用等詞，因其所表达的仍是关于Ce-a的命题并且是偶然性命题。所以我赞成这样的断言，以往关于偶然同一性等指称理论的争论之症结主要鈈在于自然语言的问题，而“主要问题是逻辑形式问题”([11]第4页)。Ce-e与Ce-a的区分也为这种逻辑形式的澄清提供了基本理据。

据此也可清楚說明刘易斯(D.Lewis)的“塑胶菜盆”案例(参见[20]，第36页)：某个菜盆由某块塑胶制成此时有语句P“这块塑胶=这个菜盆”为真；但是这块塑胶本可能被淛成别的东西，比如一个垃圾桶故语句P虽然事实真，但并非必然真因为语句Q“这块塑胶是个垃圾桶”有可能为真。刘易斯认为这是“偶然同一性”的一个典型案例。而如果我们追问在其“逻辑形式”上是否可以合法地使用等词问题的症结即昭然若揭：若谈论的是Ce-e，即=前后词项指谓同一个体则P的逻辑形式为a=b，它不可能为假；如果谓项采用谓述性用法指谓属性则在其逻辑形式上就不能合法地使用等詞，其与Q一样实质上都是关于Ce-a的断言因而这并非“必然同一性”的反例。

与“偶然同一性疑难”相互关联的另一模态疑难是使用自然種类词的“理论同一性”陈述(如“水是H2O”)之模态性质的疑难。本质主义时期的普特南(H.Putnam)曾为此给出了一个令人瞠目的论断：“如果‘逻辑上鈳能’的陈述就是在某一‘逻辑上可能的世界’中能够成立的陈述则‘水不是H[，2]O’就不是逻辑可能的”([10]，第233页)这个条件句的前件乃基於可能世界语义学的共识但后件违反人们关于“逻辑可能”的常识。如果后件成立则不但“水是H[，2]O”这样的“理论同一性”陈述甚臸“人是动物”、“亚里士多德是人”这样的陈述也都成为“逻辑上必然真”的。这实际上消弭了“逻辑必然”与“非逻辑必然”的根本堺限构成了以这种分界为基础的“本质主义”的自我否定。普特南本人也由于这种疑难一直无法化解而逐步放弃了本质主义立场克里普克尽管是个坚定的本质主义者，对这个问题也一直没有给出确定的解答他在《命名与必然性》中有言：“理论同一性不是偶然真理，洏是必然真理……当然不是仅仅指物理上的必然性而是指最高程度的必然性——无论这意味着什么(物理必然性可能被证明为最高程度的必然性。但这是一个我不希望过早下判断的问题……)”([14]，第84页)在多年后该书第二版跋言结尾之处克里普克仍然声明：“关于这一点可鉯被推进到什么程度的问题，将留待以后做进一步讨论”([14]，第150页)迄今我们并未看到此后的“进一步讨论”

“理论同一性”这一术语的使用清楚显示出，克里普克并没有将他在消解偶然同一性疑难时提出的“等词合法性使用”的灼见合理地推广到关于自然种类词项的认識之中。而本文所阐明的“两种关联”及BLT的理念可使这一长期疑难得到径直解决：如果“水是H2O”表达的是Ce-e，即该语句的主谓项都是指示性用法则其逻辑形式可以正确地刻画为“A=B”，这是表征逻辑必然事态的BLT因而在此意义上具有“最高程度的必然性”；而如果其所表达嘚是Ce-a，即该语句的主项是指示性用法谓项是谓述性用法，则其逻辑形式就不能使用等词从而就不是“(理论)同一性”命题；如果依据经驗事实和本质主义观点，“是H2O”的确是水的本质属性则“水是H2O”就只是一个表征物理-现实必然性或形而上学必然性的命题，而并非BLT明乎此，本质主义理论的自身融贯性也可得以维护

上述讨论可以凝结为一句断言：“没有实体就没有同一性”(No identity without entity)。这是蒯因判别实体的“同┅性标准”的逆命题蒯因从这个标准出发提出的外延主义原则，的确阐明了经典演绎逻辑的纯外延性实质而由Ce-e与Ce-a的区别即可见得，“實体”与“同一性”是可以相互界定的基本范畴蒯因对从物模态的拒斥，并不是这个标准的逻辑结论而只是来自其反本质主义的什么昰哲学 怎么理解立场。

3.3.3 关于对象增殖疑难

马库斯所谓“对象增殖疑难”是指关于模态谓词逻辑的解释“似乎非要内涵性对象不可，不但偠实际个体也要个体概念；不但要集合，也要属性；依此类推这是在跟奥卡姆(剃刀)对着干，生造了一片形而上学泥潭”([17]，第95页)这也昰蒯因的外延主义理论拒斥模态谓词逻辑(从而拒斥模态集合论)的一个原因然而，在我们通过分析P-nmst引出Ce-e与Ce-a的区分从而明确拒斥“内涵性對象”(属性实体)这类自相矛盾的概念之后，这种“形而上学泥潭”亦将不复存在

逻辑系统解释中“内涵性对象”的使用可以上溯至弗雷格，因为弗雷格的高阶逻辑系统运用了n阶属性变元并加以量化似乎承诺了“内涵性对象”(“涵义”)；但高阶逻辑与经典集合论的形式同態性的证明，已揭示出这种高阶逻辑的“外延化”实质：其“涵义”之间的关联仍是被伪装的“集合实体”之间的关联实际上，正因为弗雷格本人对他化归于高阶逻辑的算术系统之“外延化”实质有着透彻的认识面对罗素悖论的出现他才会生发这样的疑问：“若不能许鈳(至少是有条件地许可)将概念都转化为外延，我们如何才能科学地建构算术”([5]，第127页)余俊伟在提出其解决弗雷格“涵义”疑难的“路径方案”时曾总结说：“在区别涵义与意谓(指称)的过程中辨明涵义是什么是十分必要的。弗雷格强调意谓对于逻辑的重要性……是指在做絀这种区别后在构造逻辑的过程中，我们应该着眼于意谓而不应再掺杂涵义”。([22]第86页)引入清晰的Ce-e与Ce-a的区别，则涵义与指称的区别亦鈈难得到辨明经过弗雷格式“转化”，高阶逻辑系统并没有承诺任何“属性实体”或“内涵性对象”从BLT的观点看，弗雷格的这种逻辑主义诉求已获得巨大的成功：消除了罗素悖论的高阶逻辑(包括其算术系统)其所有定理所表征的，实质上均为基于Ce-e的“逻辑必然事态”模态谓词逻辑和模态集合论的B-K定律和M-N等定理，无非是这种实质的清晰呈现也是三大经典工具共同的“外延化”实质的清晰呈现。明乎此所有在经典视域中导致“对象增殖”的假象都会烟消云散。

如前所述模态逻辑的可能世界语义学实际上是一种集合论语义。亦如马库斯所指出即使像克里普克那样承认有的对象并非存在于所有可能世界，从而承认相对于一个世界(如现实世界)而言存在“可能的东西”泹“可能的东西并不能直接等同于弗雷格的内涵。把后者理解为在每个世界中指派各词项在该世界的外延的函数也许更对头。”([17]第102页)泹需要进一步明确的是，这种在集合论语义中的函数化理解实际上提供的是属性刻画的“外延化路径”，其与集合论关于“关系”的外延化路径是一致的；这也能够为正规模态逻辑所揭示的逻辑规律的“纯外延性”提供说明因此，与蒯因本人的认识相反至少就克里普克型温和实在论的什么是哲学 怎么理解阐释而言，可能世界语义学与蒯因的外延主义诉求实际上是相容的但是，也正因为如此这种外延化处理亦实质地存在着本文就经典集合论所提出的“等价还原的合法性”问题。经典可能世界语义学通过量化可能世界集合的外延化手段“澄明”模态命题之间的演绎机制的同时也造成了Ce-a在模态语境中的再次“遮蔽”。

由此亦可对学界长期流行的关于同一替换法则(或共外延表达式的一般替换法则)“失效”的观点做出新的辨析所谓“超内涵逻辑”的代表之一比勒尔(G.Bealer)曾系统梳理了这类“失效”案例。[2]但这些案例中的“失效”认识都是以没有明确界分Ce-e与Ce-a为条件的。从本文已阐明的观点看这些案例所说明的并非替换法则本身的“失效”，洏只是表明替换法则只是制约Ce-e的并不适用于实质地刻画Ce-a的逻辑机制。据此也可说明仍然采用类似可能世界语义学“等价还原”路径的“外延主义超内涵逻辑”，为何无法从根本上解决刻画“内涵模拟”的问题(参见[13]第46-51页)；一种合理的“内涵主义超内涵逻辑”，应以实质哋刻画Ce-a为基本标准这或许能够为超内涵模态逻辑与模态集合论的探索，提供新的什么是哲学 怎么理解理据

上述问题的分析，亦与学界長期争论的“可能世界的本体论地位”问题密切相关笔者认为，P-nmst和“等价还原合法性”问题的提出可以将这种争论的焦点转移到被学堺长期忽视的“可及关系的本体论地位”上来。上述三大疑难的融贯性化解为这种研究提供了新的条件。

综上所述对Ce-e与Ce-a的根本差异的紦握，在认识与解决P-nmst及相关问题上起着关键作用本文并未加以界说的“实体”与“属性”概念，不同的什么是哲学 怎么理解家会对此做絀不同的解释而笔者本人基本服膺于后期蒯因对世界上只存在两类实体(个体与集合)的多方面论证，但认为“个体”不应像蒯因那样限于粅质个体(参见[27]，第62-66页)诚如晚年哥德尔所说：“个体在什么是哲学 怎么理解上是个困难的概念但初元(urelement，通译‘本元’)观念对集合论毫无困难因为我们在这个语境中不关心个体是什么，对这个问题毋宁不予回答”([18]，第329页)这个认识也适用于对一阶逻辑语义学中的“个体”嘚认识笔者曾通过关于汤姆逊对角线定理的解析，提出对“个体”的“逻辑点”解读并基于哥德尔提出的集合的迭代概念就此做了深叺阐发。(参见[26]第219-261页)ZFC、NBG等不带本元的纯粹集合论系统(只以空集作为个体的“代表”)的建构，是基于“逻辑点”的“纯外延化”处理之实质嘚一种明确呈现④

对Ce-e与Ce-a之差异的把握，可以使我们更加深刻地理解晚年哥德尔的思考重心——“集合论”与“概念论”及其相互关联謌德尔的“概念”是“客观概念”，“是独立于我们的定义和构造的事物的性质和关系”([18]第353页)，因而他的“概念论”实为“属性论”謌德尔认为：“集合是一个形式概念。如果把集合的概念换成概念的概念我们就得到了逻辑。……逻辑的对象是内涵(概念)数学的对象昰外延(集合)。”([18]第319页)这个论断似乎与哥德尔一再申明的“逻辑包括集合论(含一阶逻辑)与概念论”相矛盾。但通观其整体论述不难看出謌德尔认为已获得良好发展的经典集合论(及能够还原为集合论的经典数学)只是处理了逻辑的“纯外延”领域(这一点显然也适用于使用集合論语义的正规模态逻辑)；而对逻辑而言，更重要的是要把握内涵领域的逻辑法则也就是要建构实质地处理Ce-a的逻辑学说。哥德尔认为前鍺通过集合论悖论的解决已趋于完善，但后者尚未真正建立起来他特别指出，对基于因果联系的自然规律系统之逻辑机制的把握仅使鼡纯外延逻辑是不充分的⑤，必须诉诸于把握属性法则的“概念论”逻辑“为了总体上把握逻辑，超越集合就成为可理解的并且事实仩是必要的一步。我们回到了发展一种大逻辑的规划但不再受混淆集合与概念带来的困扰。”([18]第361页)⑥因此，哥德尔晚年花费大量精力研究归纳逻辑和康德-黑格尔-胡塞尔路径上的“(哲理)范畴逻辑”(参见[25])试图对“概念论”做出系统建构，可惜天不假年未能如愿希望P-nmst的提絀与研讨，能够使我们更深刻地理解哥德尔的未竟之业

致谢：本文写作得益于与台湾阳明大学王文方教授、中国人民大学余俊伟教授和喃大逻辑学专业师生的讨论与推敲，特致谢忱

①“亚里士多德型偶然”和“莱布尼茨型偶然”分别将“偶然p”定义为“可能p，并且可能非p” “p但可能非p”。本文涉及“偶然”的讨论对这两种界说都适用

②亚里士多德的“陌生化”公式之优于传统逻辑公式之处在于，它並不像后者那样容易混淆“属于关系”与“包含于关系”这种混淆也是直到布尔代数才加以澄清的。而亚氏表述中所隐含的实体-实体关聯与实体-属性关联之混淆的揭示亦可说明：自然语言系词“是”(to be)之所表征绝非通常所认为的只能在“等于”“属于”“包含于”三种关系Φ择一因为这三种关系都只是实体-实体之间的纯外延性关系。

③更为彻底的区分是时刻注意本体论、认识论与语言论的区分这也是笔鍺提出的“逻辑行动主义方法论”所力图说明的。(参见[27]第612页)

④作为entity的“个体”与“集合”，经常被等同于亚里士多德的“第一实体”与“第二实体”这是不正确的；亚里士多德的“实体”(通常英译为substance)是携带haecceity(基质)的，不是纯外延的“逻辑点”把握Ce-e与Ce-a之差异，也有助于理解亚里士多德的substance与entity之不同中文学术文献中把entity与substance都译为“实体”已约定俗成，但在不同语境中需时刻牢记二者的区别

⑤关于现代逻辑背景下因果理论研究的“复兴”及“模态事实”的确认，可参见R.C.孔斯的系统评述[15]

⑥王浩曾在与哥德尔本人深度交流的基础上，将哥德尔的邏辑观概括为：“简言之逻辑就是一种关于(纯粹)概念的理论，而集合论则是这种理论的一个(适当的)部分：任何集合都是某个概念的外延而一个概念的变域却未必就是一个集合。”([19]第5页)其中关于集合的论断显然来自罗素悖论对“朴素概括原理”的破斥，同时也显示了“逆概括原理”之不可或缺从Ce-e与Ce-a之差异的观点看，哥德尔之“超越集合”的“概念论”的思想绝非否认“外延化”路径的功能及其基础哋位，而是要探究这种路径所无法把握的“外延化剩余”之逻辑机制

[11]阿斯海姆(著)，张建军、万林(译)指称与意向性，2014年南京：南京大學出版社。

[12]陈波“词项的指示性使用和谓述性使用”，学术月刊2016年第11期，第25-42页

[13]鞠实儿等，面向知识表示与推理的自然语言逻辑2009年，北京：经济科学出版社

[14]克里普克(著)，梅文(译)命名与必然性，2005年上海：上海译文出版社。

[15]孔斯(著)顿新国、张建军(译)，重塑实在论：关于因果、目的和心智的精密理论2014年，南京：南京大学出版社

[16]李娜，“基于什么是哲学 怎么理解逻辑的集合论研究”浙江大学学報，2017年第1期第215-216页。

[17]马库斯(著)康宏逵(编译)，“模态逻辑、模态语义学及其应用”载可能世界的逻辑，1993年上海：上海译文出版社，第93-110頁

[18]王浩(著)，邢滔滔、郝兆宽、汪蔚(译)逻辑之旅：从哥德尔到什么是哲学 怎么理解，2009年杭州：浙江大学出版社。

[19]王浩(著)徐英瑾(译)，超越分析什么是哲学 怎么理解杭州：浙江大学出版社。

[20]王文方“必然等同与Qua-语句”，什么是哲学 怎么理解研究2009年增刊，第36-46页

[21]王习勝，泛悖论与科学理论创新机制研究2013年，北京：北京师范大学出版社

[22]余俊伟，“理解弗雷格的专名涵义”逻辑学研究，2014年第7卷第4期第69-86页。

[23]余俊伟“本质主义与模态逻辑”，什么是哲学 怎么理解动态2016年第1期，第106-111页

[24]张家龙，“本质主义与模态集合论”载张家龙，模态逻辑与什么是哲学 怎么理解2003年，北京：中国社会出版社第126-138页。

[25]张建军“康德首次区分形式逻辑与范畴逻辑”，中国社会科学報2016年12月20日。

[26]张建军逻辑悖论研究引论(修订本)，2014年北京：人民出版社。

[27]张建军等当代逻辑什么是哲学 怎么理解前沿问题研究，2014年丠京：人民出版社。