在等差数列中,如果a1+a2+a3+a4=124,an + an-1 + an-2 + an-3 =156,sn=210,则n?
在等差数列中,如果a1+a2+a3+a4=124,an + an-1 + an-2 + an-3 =156,sn=210,则n? 5
前四项和为124，后四项和为156&&&& 即为&&&&& 156+124＝280&&&&& 280-210＝70 中间项之和为70 （中间项为2项， 如是1项，那么后四项之和大于156 如是3项，则后四项之和小于156） 124-70＝54 156-70＝86 70-54＝86-70＝16 16/4＝4 所以 25 29 33 37 41 45n为6，
其他回答 (2)
因为是等差数列，所以&&&&& a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3&&& 即 a1+a2+a3+a4+an+an-1+an-2+an-3=280=4(a1+an)&,&& a1+an=70
2sn=(a1+a2+…+an) +(an+an-1+…+a1)=n(a1+an)&,&& 即& sn=n/2(a1+an)=210&=35n&& 所以& n=6
a1+a2+a3+a4+an+an-1+an-2+an-3=124+156=280
因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=70
sn=(a1+an)乘以n除以2=210
所以n=6
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已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明数列{an-2}为等比数列；（Ⅲ）判断是否存在λ（λ∈Z），使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立，若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）∵数列{an+Sn}是公差为2的等差数列，∴（an+1+Sn+1）-（an+Sn）=2，即an+1=an+22，（2分）∵a1=1，∴a2=32，&a3=74；（4分）（Ⅱ）证明：由题意，得a1-2=-1，∵an+1-2an-2=an+22-2an-2=12，∴{an-2}是首项为-1，公比为12的等比数列；（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）得an-2=-(12)n-1，∴an=2-(12)n-1，∵{an+Sn}是首项为a1+S1=2，公差为2的等差数列，∴an+Sn=2+（n-1）×2=2n，∴Sn=2n-2+(12)n-1，（9分）设存在整数λ，使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立，即存在整数λ，使不等式n-1+(12)n-1≥λ[2-(12)n-1]对任意的n∈N*成立，∴当n=1时，不等式成立，解得λ≤1，（10分）以下证明存在最大的整数λ=1，使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立．当n=2时，不等式化简为32≥32，成立；当n≥3时，∵(Sn-n+1)-an=n-3+(12)n-2＞0，∴（Sn-n+1）＞an成立．综上，知存在整数λ，使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立，且λ的最大值为1．（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数..”主要考查你对&&等差数列的定义及性质，等比数列的定义及性质，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等差数列的定义及性质等比数列的定义及性质数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。 数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
发现相似题
与“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数..”考查相似的试题有：
805699752468327175890642763422333612当前位置：
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数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项的和为Tn，{bn}为等差数列且各项均为正数，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N+），b1+b2+b3=15．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）当n≥2时，an+1-an=（2Sn+1）-（2Sn-1+1）=2an．∴an+1=3an，即an+1an=3&…4分又&a2=2S1+1=3=3a1&&…2分∴{an}是公比为3的等比数列&&&&…8分（2）由（1）得：an=3n-1&&&…9分设{bn}的公差为d（d＞0），∵T3=15，∴b2=5&&…11分依题意a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，有（a2+b2）2=（a1+b1）（a3+b3），∴64=（5-d+1）（5+d+9）d2+8d-20=0，得d=2，或d=-10（舍去）&…14分故Tn=3n+n(n-1)2×2=n2+2n&&&&&&&&&…16分．
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据魔方格专家权威分析，试题“数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项的和为Tn，{bn}为等差数..”主要考查你对&&等比数列的定义及性质，等差数列的前n项和&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等比数列的定义及性质等差数列的前n项和
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。 等差数列的前n项和的公式：
（1），（2），（3），（4）当d≠0时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0，｛an｝为等差数列，反之不能。 等差数列的前n项和的有关性质：
（1），…成等差数列； （2）｛an｝有2k项时，＝kd； （3）｛an｝有2k+1项时，S奇=（k+1）ak+1=（k+1）a平， S偶=kak+1=ka平，S奇：S偶=（k+1）：k，S奇－S偶＝ak+1=a平； 解决等差数列问题常用技巧：
1、等差数列中，已知5个元素：a1，an，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…2、等差数列｛an｝中，（1）若ap=q，aq=p，则列方程组可得：d=-1，a1=p+q-1，ap+q=0，S=-（p+q）； (2)当Sp＝Sq时（p≠q），数形结合分析可得Sn中最大，Sp+q＝0，此时公差d＜0。&&
发现相似题
与“数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项的和为Tn，{bn}为等差数..”考查相似的试题有：
4371348683362499598110998073528198842012新课标同步导学数学人教A必修5课时作业：2-3第2课时 等差数列前n项和的性质
2012新课标同步导学数学人教A必修5课时作业：2-3第2课时 等差数
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第章 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　)A.　　　　　　　　　　　　B.C. D.解析：　设S3＝m，＝，S6＝3m，S6－S3＝2m，由等差数列依次每k项之和仍为等差数列，得S3＝m，S6－S3＝2m，S9－S6＝3m，S12－S9＝4m，S6＝3m，S12＝10m，＝，故选A.答案：　A2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝－2 010，－＝2，则S2 010的值为(　　)A．2 010 B．－2 010C．0 D．1解析：　在等差数列{an}中，＝a1＋＝n＋，即是以a1为首项，为公差的等差数列．又－＝2，即2×＝2，所以＝1.又a1＝－2 010，从而＝－2 010＋(2 010－1)×1＝－1，所以S2 010＝－2 010，故选B.答案：　B3．已知某等差数列共20项，其所有项和为75，偶数项和为25，则公差为(　　)A．5 B．－5C．－2.5 D．2.5解析：　由题意知S奇＋S偶＝75，又S偶＝25，S奇＝50，由等差数列奇数项与偶数项的性质得S偶－S奇＝10d，即25－50＝10d，d＝－2.5.答案：　C4．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是(　　)A．2 B．3C．4 D．5解析：　因为＝.又因为＝＝＝，所以＝＝7＋，要使为整数，则必为整数，于是n可取0,1,2,3,5,11，因为n为正整数，因此n取1,2,3,5,11，共5个数．故应选D.答案：　D二、填空题(每小题5分，共10分)5．在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为________．解析：　S4＝1，S8－S4＝3，而S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16成等差数列．即1,3,5,7,9成等差数列．a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝9.答案：　96．若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋5，则a5＋a6＋a7＝___________.解析：　a5＋a6＋a7＝S7－S4＝39.答案：　39三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知数列{bn}的前n项和Sn＝9－6n2.若bn＝2n－1an，求数列{an}的通项公式．解析：　当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝9－6n2－9＋6(n－1)2＝－12n＋6当n＝1时，b1＝S1＝3不满足式，bn＝，又bn＝2n－1an，an＝.8．已知数列{an}是等差数列．(1)Sn＝20，S2n＝38，求S3n.(2)项数为奇数，奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．解析：　(1)因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，所以S3n＝3(S2n－Sn)＝54.(2)??尖子生题库?9．(10分)用Sm→n表示数列{an}从第m项到第n项(共n－m＋1项)之和．(1)在递增数列{an}中，an与an＋1是关于x的方程x2－4nx＋4n2－1＝0(n为正整数)的两个根，求{an}的通项公式并证明{an}是等差数列；(2)对(1)中的数列{an}，判断数列S1→3，S4→6，S7→9，…，S3k－2→3k是否为等差数列．解析：　(1)解方程x2－4nx＋4n2－1＝0，得x1＝2n－1，x2＝2n＋1.{an}是递增数列，an＝2n－1，an＋1＝2n＋1，an＋1－an＝2，数列{an}是等差数列，其通项公式为an＝2n－1.(2)当k为正整数时，S3k－2→3k＝a3k－2＋a3k－1＋a3k＝18k－9，S3(k＋1)－2→3(k＋1)＝18(k＋1)－9＝18k＋9，S3(k＋1)－2→3(k＋1)－S3k－2→3k＝18(常数)，数列S1→3，S4→6，S7→9，…，S3k－2→3k是等差数列．高-考P试γ题R库
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第章 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　)A.　　　　　　　　　　　　B.C. D.解析：　设S3＝m，＝，S6＝3m，S6－S3＝2m，由等差数列依次每k项之和仍为等差数列，得S3＝m，S6－S3＝2m，S9－S6＝3m，S12－S9＝4m，S6＝3m，S12＝10m，＝，故选A.答案：　A2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝－2 010，－＝2，则S2 010的值为(　　)A．2 010 B．－2 010C．0 D．1解析：　在等差数列{an}中，＝a1＋＝n＋，即是以a1为首项，为公差的等差数列．又－＝2，即2×＝2，所以＝1.又a1＝－2 010，从而＝－2 010＋(2 010－1)×1＝－1，所以S2 010＝－2 010，故选B.答案：　B3．已知某等差数列共20项，其所有项和为75，偶数项和为25，则公差为(　　)A．5 B．－5C．－2.5 D．2.5解析：　由题意知S奇＋S偶＝75，又S偶＝25，S奇＝50，由等差数列奇数项与偶数项的性质得S偶－S奇＝10d，即25－50＝10d，d＝－2.5.答案：　C4．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是(　　)A．2 B．3C．4 D．5解析：　因为＝.又因为＝＝＝，所以＝＝7＋，要使为整数，则必为整数，于是n可取0,1,2,3,5,11，因为n为正整数，因此n取1,2,3,5,11，共5个数．故应选D.答案：　D二、填空题(每小题5分，共10分)5．在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为________．解析：　S4＝1，S8－S4＝3，而S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16成等差数列．即1,3,5,7,9成等差数列．a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝9.答案：　96．若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋5，则a5＋a6＋a7＝___________.解析：　a5＋a6＋a7＝S7－S4＝39.答案：　39三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知数列{bn}的前n项和Sn＝9－6n2.若bn＝2n－1an，求数列{an}的通项公式．解析：　当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝9－6n2－9＋6(n－1)2＝－12n＋6当n＝1时，b1＝S1＝3不满足式，bn＝，又bn＝2n－1an，an＝.8．已知数列{an}是等差数列．(1)Sn＝20，S2n＝38，求S3n.(2)项数为奇数，奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．解析：　(1)因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，所以S3n＝3(S2n－Sn)＝54.(2)??尖子生题库?9．(10分)用Sm→n表示数列{an}从第m项到第n项(共n－m＋1项)之和．(1)在递增数列{an}中，an与an＋1是关于x的方程x2－4nx＋4n2－1＝0(n为正整数)的两个根，求{an}的通项公式并证明{an}是等差数列；(2)对(1)中的数列{an}，判断数列S1→3，S4→6，S7→9，…，S3k－2→3k是否为等差数列．解析：　(1)解方程x2－4nx＋4n2－1＝0，得x1＝2n－1，x2＝2n＋1.{an}是递增数列，an＝2n－1，an＋1＝2n＋1，an＋1－an＝2，数列{an}是等差数列，其通项公式为an＝2n－1.(2)当k为正整数时，S3k－2→3k＝a3k－2＋a3k－1＋a3k＝18k－9，S3(k＋1)－2→3(k＋1)＝18(k＋1)－9＝18k＋9，S3(k＋1)－2→3(k＋1)－S3k－2→3k＝18(常数)，数列S1→3，S4→6，S7→9，…，S3k－2→3k是等差数列．高-考P试γ题R库
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已知各项均为正数的数学an中,a1=1,sn为数列an的前n项和 (1)若数列an,an都是等差数
列，求数列an的通项公式
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