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从两个方面谈这个问题。&br&&br&金融理论的基石就是费雪利息不耐理论，给古典的效用曲线加上了时间的概念。简单说，古典的均衡是一个苹果和一个梨之间的权衡，而现代金融是现在的一个苹果和未来的一个苹果之间的权衡。现在与未来的折算比率，就是利息。&br&&br&从转移支付的角度来看，利息描述的是借钱的代价。没有利息，一切都无从谈起。
从两个方面谈这个问题。金融理论的基石就是费雪利息不耐理论，给古典的效用曲线加上了时间的概念。简单说，古典的均衡是一个苹果和一个梨之间的权衡，而现代金融是现在的一个苹果和未来的一个苹果之间的权衡。现在与未来的折算比率，就是利息。从转移支付的…
唯一的均衡是所有人都选1：&br&1. 1－100中没有人会选100，以为不论其他人选什么100都不可能是第二大的数。&br&2. 给定所有人都不选100，只在1-99中选，同理，没有人会选99&br&3. 依此类推，最终唯一的均衡是所有人都选1&br&&br&当然均衡结果不一定是实际发生的结果，因为均衡的前提是“所有人都是理性的”是“公共知识”（common knowledge）。换言之，不仅需要所有人是理性的，而且需要所有人知道所有人是理性的，所有人知道所有人知道所有人是理性的，等等等等。所有人是理性的保证了上面证明中的第一点（没有人会选100），之后的每一次递推都需要更高一阶关于理性的信念。这里一共有100个数，所以需要“（所有人都知道）^99 所有人是理性的”。这在现实中是不可能的。&br&&br&update:&br&之前说实验的结果第二大的数字在20-40之间，是我疏忽了。我指的是另外一个相似的博弈：&br&每一个人选 0 - 100 中的一个整数，选择最接近所有数的平均数的三分之二的人获胜。这个博弈跟题中的道理是一样的，唯一的均衡是所有人选0，但实际的结果则与均衡不同。&br&&br&&b&值得再次强调的是，有些朋友说实际选择与均衡不同，是因为实验中人不是理性的，或是因为你不相信别人都是理性的，这是不准确的。这个问题有意思的地方就在于，所有人都是理性的并不能保证均衡结果是实际的结果，达到均衡需要强得多的条件，即，所有人是理性的是“公共知识”（common knowledge）。即使大家都充分了解了这个博弈，并明白如何推理，在现实中我可能还是不愿意选择0，因为我有一丝丝的担心，害怕对手可能“不知道我知道对手知道我知道”该如何推理。&/b&这就是高阶信念和公共知识的有趣之处。&br&&br&这是一个中级微观经济学博弈论部分课上常做的一个实验，最后的结果最大不会超过40 (~=100*.66*.66)，在我的课上我记得结果一般在20-35之间。同时，如果参与实验者对大家的理性越有信心，这个数字会越小。比如如果给一批学生讲解完后重复同样的实验，获胜数字会变小。如果在一批经济学家中做这个实验，获胜的数字可以小到5-10之间，但还是不会是0。在这个博弈中（选平均数的三分之二），参加的人数对实验的结果的影响不显然；但在原题目中，因为是选第二大的数字，很明显同样条件下参与人数越多，获胜数字会更大。&br&&br&对高阶信念和公共知识有兴趣的朋友可以移步看另外一个更复杂一点的例子&br&&br&&a href=&/question/& class=&internal&&一个关于数学归纳法的悖论问题：到底是第 N 天有 N 个红眼睛自杀，还是什么都不会发生？&/a&
唯一的均衡是所有人都选1：1. 1－100中没有人会选100，以为不论其他人选什么100都不可能是第二大的数。2. 给定所有人都不选100，只在1-99中选，同理，没有人会选993. 依此类推，最终唯一的均衡是所有人都选1当然均衡结果不一定是实际发生的结果，因为均衡的…
分析上，一个分水岭就是对极限的研究，中学数学要建立函数，对应的概念，可能会讲导数，那都算高考难题了；而高等数学中求极限是基础，在这个基础上再进一步研究&br&&br&代数上，初等数学建立了方程，未知数的概念，研究的颠峰是二次方程求根公式；在大学数学里，这个是域扩张的最最源头&br&&br&几何上，well，初等数学的几何也不能叫几何了，平面几何主要是建立公理化数学的概念，方便以后研究各种公理化数学不觉得困难&br&&br&而向量那一堆东西，在高等数学中研究的是它的代数抽象而不是几何抽象，因为欧氏空间在高等数学眼中实在是太好了，它的几何就显得有点平凡&br&&br&总结一下，初等数学讲述的大多是高等数学中特例的特例（的特例……）它的主要目的是在学习者脑海中建立数学的抽象概念，为以后打下基础。&br&&br&初等数学也很有意思，比如平面几何，比如初等数论，但是执拗于此而不能看到更广袤的天空，那就不好玩了&br&&br&不知道题主的数学水平，问出这样的问题目测微积分应该还没学过，所以例子就不举了&br&&br&（打完问题才发现高等数学中很多东西在初等数学里都学不到它的源头，实在是吾辈数学教育的悲哀）
分析上，一个分水岭就是对极限的研究，中学数学要建立函数，对应的概念，可能会讲导数，那都算高考难题了；而高等数学中求极限是基础，在这个基础上再进一步研究代数上，初等数学建立了方程，未知数的概念，研究的颠峰是二次方程求根公式；在大学数学里，这…
不去深入探讨数学理论，在实用领域，特征函数的妙处如下。&br&&br&傅立叶变换有这样的性质：两个函数卷积的变换等于变换的乘积。在概率论中，它的厉害之处体现在：&br&&ol&&li&任意分布跟他的特征函数一一对应。&br&&/li&&li&两个独立随机变量之和的特征函数就是他们俩特征函数的积。&/li&&li&特征函数在0点附近收敛 &==& 分布函数弱收敛 (Levi continuous theroem)&/li&&/ol&换言之，要处理两个，乃至多个独立随机变量之和的分布，我们可以采取这样的路径：&br&&img src=&/equation?tex=X_1+%5Csim+F_1%2C+%5Ccdots%2C+X_n+%5Csim++F_n+%5C%5C%0A%5CDownarrow+%5C%5C%0Af_1%28t%29+%3D+Ee%5E%7BitX_1%7D%2C+%5Ccdots%2C+f_n%28t%29+%3D+Ee%5E%7BitX_n%7D%5C%5C%0A%5CDownarrow+%5C%5C%0Af%28t%29+%3D+Ee%5E%7Bit%28X_1%2B%5Ccdots%2BX_n%29%7D%3Df_1%28t%29%5Ccdots+f_n%28t%29%5C%5C%0A%5CDownarrow+%5C%5C%0A%5Ctext%7Bdistribution+of+%7D++X_1+%2B+%5Ccdots+%2B+X_n& alt=&X_1 \sim F_1, \cdots, X_n \sim
\Downarrow \\
f_1(t) = Ee^{itX_1}, \cdots, f_n(t) = Ee^{itX_n}\\
\Downarrow \\
f(t) = Ee^{it(X_1+\cdots+X_n)}=f_1(t)\cdots f_n(t)\\
\Downarrow \\
\text{distribution of }
X_1 + \cdots + X_n& eeimg=&1&&&br&这个步骤在“独立同分布随机变量的中心极限定理”的证明中起了关键作用。&br&&br&另外，如果随机变量各阶矩存在，从特征函数0处求k阶导数可得到&img src=&/equation?tex=%28%5Csqrt%7B-1%7D%29%5EkEX%5Ek& alt=&(\sqrt{-1})^kEX^k& eeimg=&1&&。和矩母函数相比，它的厉害之处在于即使不假设&img src=&/equation?tex=E%7CX%7C%5E3%3C%5Cinfty& alt=&E|X|^3&\infty& eeimg=&1&&,&img src=&/equation?tex=t%5Cto+0& alt=&t\to 0& eeimg=&1&&时仍有&br&&img src=&/equation?tex=f%28t%29%3D1%2BitEX-t%5E2E%28X%5E2%29%2F2%2Bo%28t%5E2%29& alt=&f(t)=1+itEX-t^2E(X^2)/2+o(t^2)& eeimg=&1&&&br&可参阅Durret Probability Theory and Example 3ed (Thomson 页定理3.8。用特征函数求矩是个实际用处。比如Numerical Analysis for Statisticians by Kenneth Lange (Springer 1999) 在第29-30页给出了已知X_1各阶矩，利用特征函数求X_1 + ... X_n各阶矩的方法。不详述了。不过我太不清楚这个性质的深入原理是什么。&br&&br&&br&对了，还有，就是它另一个厉害之处在于求hierarchical model的分布。具体来说，比如&img src=&/equation?tex=X%7C%5Ctheta+%5Csim+F_%5Ctheta+%28x%29& alt=&X|\theta \sim F_\theta (x)& eeimg=&1&&, &img src=&/equation?tex=F_%5Ctheta%28x%29& alt=&F_\theta(x)& eeimg=&1&&是某个参数族，&img src=&/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&又服从分布&img src=&/equation?tex=G%28%5Ctheta%29& alt=&G(\theta)& eeimg=&1&&。假设&img src=&/equation?tex=F_%5Ctheta& alt=&F_\theta& eeimg=&1&&的特征函数是&img src=&/equation?tex=f_%5Ctheta%28t%29& alt=&f_\theta(t)& eeimg=&1&&，那么&br&&img src=&/equation?tex=Ee%5E%7BitX%7D%3DEE%28e%5E%7BitX%7D%7C%5Ctheta%29%3DEf_%5Ctheta%28t%29%3D%5Cint+f_%5Ctheta%28t%29dG%28%5Ctheta%29& alt=&Ee^{itX}=EE(e^{itX}|\theta)=Ef_\theta(t)=\int f_\theta(t)dG(\theta)& eeimg=&1&&&br&从而可以方便算出X的特征函数，进而算出X的分布。&br&&br&最后一个厉害之处在于它可以计算随机个独立同分布随机变量之和的分布。不细写了，看看Compound Poission distribution的维基页面。&br&&br&这是我第一回知乎作答。有不当之处各位多多指教。
不去深入探讨数学理论，在实用领域，特征函数的妙处如下。傅立叶变换有这样的性质：两个函数卷积的变换等于变换的乘积。在概率论中，它的厉害之处体现在：任意分布跟他的特征函数一一对应。两个独立随机变量之和的特征函数就是他们俩特征函数的积。特征函数…
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最近做的东西刚好和这个沾点边……要公式和文献这里倒是都有嗯……&br&&br&问题描述基本是一个正确的方向。实际上，对于这样的热力学系统，我们极小化液体界面的&b&自由能&/b&，来计算液体界面的形状。而需要的约束通常是体积不变。自由能可以经过力学的分析，计算可逆过程的能量变化来得到。比如对于最简单的闭合液面，我们知道表面张力是施加在液面上任意一条线上的，单位长度上受到的力称为表面张力系数。那么当液体表面增加一点点后，能量的增加正比与表面张力系数乘以面积增加（力乘以长度=单位长度的力乘以长度乘以长度），所以表面自由能可以写作：&br&&img src=&/equation?tex=F%3D%5Coint%5Csigma+dA+& alt=&F=\oint\sigma dA & eeimg=&1&&&br&其中&img src=&/equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&是表面张力系数，&img src=&/equation?tex=dA& alt=&dA& eeimg=&1&&是每一小块的面积。如果表面张力系数是常数，那么这个问题实际上就是同样体积的液体怎样形状表面积最小，于是得到的显然就是球。&br&&br&当然这个唯像的例子太简单……一个复杂的例子，比如红细胞的细胞膜，我们一般认为是一种弹性膜（或者更确切、液晶），它的表面自由能是：&br&&img src=&/equation?tex=F%3D%5Cfrac%7B%5Ckappa_b%7D%7B2%7D%5Coint%282H%2BC_0%29%5E2dA%2B%5Ckappa_s%5Coint+KdA%2B%5Coint%5Csigma+dA%2B%5CDelta+p%5Cint+dV& alt=&F=\frac{\kappa_b}{2}\oint(2H+C_0)^2dA+\kappa_s\oint KdA+\oint\sigma dA+\Delta p\int dV& eeimg=&1&&&br&其中，&img src=&/equation?tex=H& alt=&H& eeimg=&1&&是曲面上每一点的平均曲率，&img src=&/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&是曲面上每一点的高斯曲率，&img src=&/equation?tex=%5Ckappa& alt=&\kappa& eeimg=&1&&是两个系数，&img src=&/equation?tex=C_0& alt=&C_0& eeimg=&1&&是自曲率常数（液晶的效应就在此）。实际上，自由能第一项是弹性膜弯曲导致的自由能，第二项是弹性膜拉伸导致的自由能，最后一项还是体积功。弹性膜的弹性自由能的推导比较麻烦……详见朗道的弹性力学，是用了不同于弹性体的自由能的推导方式。其实，对于闭合曲面，第二项是拓扑不变量，所以只要球没有变成面包圈，那项的积分是常数，不用考虑。&br&&br&接下来要做的还是把约束条件乘以拉格朗日乘子加进去，然后做变分法解欧拉-拉格朗日方程。得到的形状方程是：&br&&img src=&/equation?tex=2%5Ckappa_b%5Cnabla%5E2H%2B%5Ckappa_b%282H%2BC_0%29%282H%5E2-2K-C_0H%29-2%5Csigma+H%2B%5CDelta+p%3D0& alt=&2\kappa_b\nabla^2H+\kappa_b(2H+C_0)(2H^2-2K-C_0H)-2\sigma H+\Delta p=0& eeimg=&1&&&br&嗯，鉴于平均曲率的表达式极其复杂，这方程我也不会解……但这个方程轴对称的解成功模拟了红细胞的双面凹的形状，还预测出了另一种形状的磷脂泡，被实验confirm了。&br&&br&但因为变分法不涉及初始状态，所以不会发生在正方形中找不到正确解的情况哦，那是约束条件的问题。&br&&br&这些工作可参考刘寄星、欧阳钟灿等人的工作。一些相关的书比如（我也在准备深入看一些）：&br&&a href=&/Statistical-Thermodynamics-Interfaces-Membranes-Frontiers/dp//ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=&sr=8-1&keywords=Statistical+Thermodynamics+of+Surfaces%2C+Interfaces%2C+and+Membranes& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Statistical Thermodynamics Of Surfaces, Interfaces, And Membranes (Frontiers in Physics): Samuel Safran: 1: : Books&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/Intermolecular-Surface-Forces-Third-Edition/dp//ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=&sr=8-1&keywords=Intermolecular+and+Surface+Forces& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Intermolecular and Surface Forces, Third Edition: Revised Third Edition: Jacob N. Israelachvili: 4: : Books&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&弹性膜的问题看Landau的弹性力学就可以……然后液晶的问题可以考虑Helfrich的工作……&br&&br&如果应&a data-hash=&cb2f03145ddb645ccdddcd& href=&/people/cb2f03145ddb645ccdddcd& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@金晨羽& data-tip=&p$b$cb2f03145ddb645ccdddcd&&@金晨羽&/a&的问题，来尝试用变分法在体积不变的约束下算&img src=&/equation?tex=F%3D%5Coint+dA+& alt=&F=\oint dA & eeimg=&1&&的极小，其实得到的是曲线平均曲率&img src=&/equation?tex=H%3D& alt=&H=& eeimg=&1&&常数，但如果选定坐标系求解会非常复杂。比如取球坐标系，那么一般的曲面方程大体可以用&img src=&/equation?tex=r%3Dr%28%5Ctheta%2C%5Cphi%29& alt=&r=r(\theta,\phi)& eeimg=&1&&来表示（&img src=&/equation?tex=%5Ctheta%5Cin%5B0%2C%5Cpi%5D& alt=&\theta\in[0,\pi]& eeimg=&1&&,&img src=&/equation?tex=%5Cphi%5Cin%5B0%2C2%5Cpi%29& alt=&\phi\in[0,2\pi)& eeimg=&1&&），那么曲面的表面积是积分：&br&&img src=&/equation?tex=A%5Br%5D%3D%5Cint+%5Csqrt%7B%5Cleft%28r%5E2%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+r%7D%7B%5Cpartial+%5Ctheta%7D%5Cright%29%5E2%5Cright%29%5Csin%5E2%5Ctheta%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+r%7D%7B%5Cpartial%5Cphi%7D%5Cright%29%5E2%7Drd%5Ctheta+d%5Cphi& alt=&A[r]=\int \sqrt{\left(r^2+\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)^2\right)\sin^2\theta+\left(\frac{\partial r}{\partial\phi}\right)^2}rd\theta d\phi& eeimg=&1&&&br&而约束条件是体积一定，即&br&&img src=&/equation?tex=V%3D%5Cint%5Cint_0%5E%7Br%28%5Ctheta%2C%5Cphi%29%7Dr%5E2%5Csin%5Ctheta+drd%5Ctheta+d%5Cphi%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cint+r%5E3%28%5Ctheta%2C%5Cphi%29%5Csin%5Ctheta+d%5Ctheta+d%5Cphi& alt=&V=\int\int_0^{r(\theta,\phi)}r^2\sin\theta drd\theta d\phi=\frac{1}{3}\int r^3(\theta,\phi)\sin\theta d\theta d\phi& eeimg=&1&&&br&引入拉格朗日乘子&img src=&/equation?tex=%5Clambda& alt=&\lambda& eeimg=&1&&，我们改极小化泛函：&br&&img src=&/equation?tex=A%5Br%3B%5Clambda%5D%3D%5Cint+%5Csqrt%7B%5Cleft%28r%5E2%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+r%7D%7B%5Cpartial+%5Ctheta%7D%5Cright%29%5E2%5Cright%29%5Csin%5E2%5Ctheta%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+r%7D%7B%5Cpartial%5Cphi%7D%5Cright%29%5E2%7Drd%5Ctheta+d%5Cphi%2B%5Clambda%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cint+r%5E3%5Csin%5Ctheta+d%5Ctheta+d%5Cphi-V%29& alt=&A[r;\lambda]=\int \sqrt{\left(r^2+\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)^2\right)\sin^2\theta+\left(\frac{\partial r}{\partial\phi}\right)^2}rd\theta d\phi+\lambda(\frac{1}{3}\int r^3\sin\theta d\theta d\phi-V)& eeimg=&1&&&br&可以用欧拉-拉格朗日方程来解：对于泛函&br&&img src=&/equation?tex=A%5Bf%28x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_n%29%5D%3D%5Cint+L%28f%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_i%7D%2Cx_i%29d%5Enx& alt=&A[f(x_1,x_2,\cdots,x_n)]=\int L(f,\frac{\partial f}{\partial x_i},x_i)d^nx& eeimg=&1&&&br&它的极大/极小由欧拉-拉格朗日方程：&br&&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+L%7D%7B%5Cpartial+f%7D-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+x_i%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+L%7D%7B%5Cpartial%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_i%7D%29%7D%3D0& alt=&\frac{\partial L}{\partial f}-\sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial L}{\partial(\frac{\partial f}{\partial x_i})}=0& eeimg=&1&&&br&给出。但这个方程太复杂了，我还是不继续写了。下面引用一点别人的结果：&br&&br&泛函&br&&img src=&/equation?tex=A%3D%5Coint+dA%2B%5Clambda%5Cint+dV& alt=&A=\oint dA+\lambda\int dV& eeimg=&1&&&br&参考前面引用的液晶膜的方程，令&img src=&/equation?tex=%5Csigma%3D1& alt=&\sigma=1& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=%5CDelta+p%3D%5Clambda& alt=&\Delta p=\lambda& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=%5Ckappa_b%3D%5Ckappa_s%3D0& alt=&\kappa_b=\kappa_s=0& eeimg=&1&&，变分后应该给出&img src=&/equation?tex=H%3D%5Cfrac%7B%5Clambda%7D%7B2%7D& alt=&H=\frac{\lambda}{2}& eeimg=&1&&，而这个条件如果解出具体曲面方程，代入约束可以确定出拉格朗日乘子&img src=&/equation?tex=%5Clambda& alt=&\lambda& eeimg=&1&&的具体值，所以实际上泛函的极小对应于平均曲率为常数的曲面。而三维欧式空间的常正（平均）曲率曲面只有球面（有定理，见&a data-hash=&828da5d68a& href=&/people/828da5d68a& class=&member_mention& data-tip=&p$b$828da5d68a&&@陳浩&/a& 的答案）。&br&&br&对于一般弹性膜，就更复杂了我就不去尝试解了……（我曾在球坐标系中把平均曲率具体表达式写出来，单是分子，就在16开纸上横着写了2行，然后分母1行= =幸亏有Mathematica……）
最近做的东西刚好和这个沾点边……要公式和文献这里倒是都有嗯……问题描述基本是一个正确的方向。实际上，对于这样的热力学系统，我们极小化液体界面的自由能，来计算液体界面的形状。而需要的约束通常是体积不变。自由能可以经过力学的分析，计算可逆过程…
(本答案使用Einstein求和约定)&br&关键是利用联系两个isotropic tensor的这个恒等式&img src=&/equation?tex=%5Cepsilon_%7Bijk%7D%5Cepsilon_%7Bklm%7D%3D%5Cdelta_%7Bil%7D%5Cdelta_%7Bjm%7D-%5Cdelta_%7Bim%7D%5Cdelta_%7Bjl%7D& alt=&\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}& eeimg=&1&&. 这个恒等式的证明是简单的. 不失一般性设&img src=&/equation?tex=i%3D1& alt=&i=1& eeimg=&1&&, 再分别考虑&img src=&/equation?tex=j%3D1%2C2%2C3& alt=&j=1,2,3& eeimg=&1&&的情况即可. &br&这样&br&&img src=&/equation?tex=%28%5Cbm%7Ba%7D%5Ctimes%28%5Cbm%7Bb%7D%5Ctimes%5Cbm%7Bc%7D%29%29_i%3D%26%5Cepsilon_%7Bijk%7Da_j%28%5Cbm%7Bb%7D%5Ctimes%5Cbm%7Bc%7D%29_k%5C%5C%0A%3D%26%5Cepsilon_%7Bijk%7Da_j%5Cepsilon_%7Bklm%7Db_lc_m%5C%5C%0A%3D%26%28%5Cdelta_%7Bil%7D%5Cdelta_%7Bjm%7D-%5Cdelta_%7Bim%7D%5Cdelta_%7Bjl%7D%29a_jb_lc_m%5C%5C%0A%3D%26a_mb_ic_m-a_jb_jc_i%5C%5C%0A%3D%26%28%5Cbm%7Ba%7D%5Ccdot%5Cbm%7Bc%7D%29b_i-%28%5Cbm%7Ba%7D%5Ccdot%5Cbm%7Bb%7D%29c_i%5C%5C& alt=&(\bm{a}\times(\bm{b}\times\bm{c}))_i=&\epsilon_{ijk}a_j(\bm{b}\times\bm{c})_k\\
=&\epsilon_{ijk}a_j\epsilon_{klm}b_lc_m\\
=&(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})a_jb_lc_m\\
=&a_mb_ic_m-a_jb_jc_i\\
=&(\bm{a}\cdot\bm{c})b_i-(\bm{a}\cdot\bm{b})c_i\\& eeimg=&1&&&br&&br&有关向量微积分, 我推荐Matthews的&i&Vector Calculus&/i&一书. 这本书很薄, 但又十分清楚明白地介绍了物理学中最基本的向量微积分知识, 包括散度, 旋度, Gauss定理, Stokes定理, Einstein求和约定, Cartesian张量等. 读好这本书在学习电动力学时则不会遇到任何数学上的困难.
(本答案使用Einstein求和约定)关键是利用联系两个isotropic tensor的这个恒等式\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}. 这个恒等式的证明是简单的. 不失一般性设i=1, 再分别考虑j=1,2,3的情况即可. 这样(\bm{a}\time…
假设你设计一个多人竞技游戏，你要计算玩家各自的得分矩阵(线性代数).&br&假设你要做一个股票投资理财的软件,你需要插值啊人工智能预测啊数据挖掘神马的(高等数学、线性代数)&br&你在实际编程中，处处都用到离散数学：C++是C的超集，这就是离散数学中的概念；你几年程序员生涯你没用到过类也是不可能的；你要用程序做一个系统也要用到离散数学里的概念。&br&这些你可能无意中都用了，但是不知道。就好像一个没读本科的人，炒股依然可能比经济学专家还要给力。&br&我个人希望做事情还是要有意识地，这样的人才不会迷茫，不会被欲望、偶像、权威所左右。做真正正确的事情。如果你无意识去做一件事，宏观上这类人不会比有意识的那类人做的好。 &br&&br&顺带一提，工作快一年了，从开始到现在一直都用各种高数、数值分析、算法等。高数解决不了的数学模型用数值分析搞。各种算法也写了一些，只是因为工程使代码复杂性提高，但是算法面没有以前用的多而已。楼主不会是骗去写XML配置了吧
假设你设计一个多人竞技游戏，你要计算玩家各自的得分矩阵(线性代数).假设你要做一个股票投资理财的软件,你需要插值啊人工智能预测啊数据挖掘神马的(高等数学、线性代数)你在实际编程中，处处都用到离散数学：C++是C的超集，这就是离散数学中的概念；你几年…
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详见果壳网：用迷宫困住死理性派？没门！&br&摘要：&blockquote&对于事先我们并不知晓全貌的迷宫，或者即使我们能了解到它的全貌（比如一些旅游景点中的迷宫），但置身其中时仍会有“旁观者清，当局者迷”的感觉。这样的迷宫该如何破解呢？&br&当然，你可以选择神话中忒修斯拉线绳的方法——如果你有足够长的绳子的话，这无疑是最保守和安全的方法。但这里要介绍的几种比它巧妙的多的方法。&br&首先就是“左/右手法则”方法。顾名思义，就是进入迷宫后，选择一个方向，之后贴着墙壁一直走下去。这是最常见的走迷宫方法，其原理其实在上面“克 里特式迷宫”中也已提到，就在于考察迷宫的拓扑结构，无论围墙是多么的蜿蜒曲折，把它抻直了也就是一根线段而已，迷宫的出入口分别对应着这条线段的两个端 点。我们从入口进（或者选择该条线段上任意一点开始），沿着这条线笔直走下去，当然会走到出口。但这个法则也时常有失灵的时候。因为它的前提是“入口和出 口都在一条线段上”，也就是说这堵墙必须是连通的才行，而如果遇到“回字形”迷宫，出口和入口并不连通，则会出现绕了一圈返回原地的情况。&br&&br&“左/右手法则”
图像来源：Algorithmus der Woche&br&但我们可以稍微调整下策略来应对：从出发点出发，碰到墙后向右沿墙走，直到方向和出发时的方向相同，这时直走直到触壁。反复使用此策略即可走出上述 的“回”字形迷宫了。但问题随之又来了，比如在走 G 形迷宫时，采用这个策略就会陷入困境，相反这时“左/右手法则”却是个更好的方法。&br&实际上，最大的问题是，当你身处迷宫中时，你很难判断出这是一个什么类型的迷宫，因此也就无法采取针对策略走出去。那有没有一种万能的走迷宫策略呢？英国埃克塞特一个叫 Jon Pledge 的 12 岁小男孩就想到了一种现在被称为 Pledge 算法的解决方案。&br&&br&“回”字形迷宫解决方法与字母G形迷宫困境
图像来源：Algorithmus der Woche&br&这个算法的策略是这样的：先选择一个“偏好方向”（favored
direction），比如东、南、西或北，然后总是尽可能朝这个方向走。当遇到墙时，向右转身沿左侧墙壁继续前进，直到面向偏好方向且转身数的总和为零 （ 初始值为 0，顺时针转身时减 1，逆时针转身时加 1 ）为止。此时，继续沿偏好方向向前走。这个算法在“回”字形迷宫中可避开障碍，在字母 G
形迷宫中实际上就变为了“左/右手法则”。虽然 Pledge
算法也不是万能的，但用它已足以应对大多数迷宫了——对于方向感不太好的朋友在野外使用时，可能还需要一块指南针。 此外还可以通过标记每个分岔路口或走过的轨迹来判断哪些是旧路、哪些是新路，从而达到尽量避免走重复路径、尽快找到正确路径的目的。这类的方法在这里就不 赘述了。&/blockquote&引用自：&a href=&/article/71536/& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&/article/71536&/span&&span class=&invisible&&/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
详见果壳网：用迷宫困住死理性派？没门！摘要：对于事先我们并不知晓全貌的迷宫，或者即使我们能了解到它的全貌（比如一些旅游景点中的迷宫），但置身其中时仍会有“旁观者清，当局者迷”的感觉。这样的迷宫该如何破解呢？当然，你可以选择神话中忒修斯拉线…
&弯&的程度
"弯"的程度
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说实话，我很反感这类所谓通俗解释，它们有时更难理解。
说实话，我很反感这类所谓通俗解释，它们有时更难理解。
有幸受邀，诚惶诚恐。&br&停机问题描述起来还是很简单的：正如@陳浩 所引，问题是对于某程序P，给出某输入I，求解此程序P是否会到达终止状态。&br&停机问题无解的证明也是很简单的，稍受过训练的人就该想到，这里面存在“自指”问题。证明就是构造反例即可：如果存在一个判断停机问题的程序H（H需要的输入是一个程序），我们再构造一个新的程序K，这个程序调用H但是与H的输出正好相反：如果K的输入经H判断为停机，则K不停机；如果K的输入经H判断为不停机，则K停机。现在矛盾出现了：如果我们把K输入K（即用H判断对于程序K，给出输入为K），那么K停机么？如果按逻辑推演，答案应该是：如果K不停机则K停机；如果K停机则K不停机。矛盾出现了。唯一解决矛盾的解释是：不存在这样万能的H。&br&停机问题和说谎者悖论/理发师悖论是一脉相承的，说谎者/理发师悖论归根结底是定义了一个集合S={a|a is not in a}。补上这个漏洞的唯一方法是拒绝集合的自指。同样停机问题也说明了，不存在一个判定一切程序的程序，因为这个程序本身也是程序。&br&可能会有人联想到哥德尔不完备性定理，哥德尔不完备性定理是很复杂的问题，我不敢说太多。但是我个人认为停机问题和哥德尔不完备定理是本质类似的。哥德尔不完备定理的核心是：包含“可数无穷”概念的公理系统里面存在不能证真也不能证伪的命题，证明也是非常类似地构造了一个“声称不可自证”的命题，然后问这个命题本身是否可自证。&br&停机问题的“现实”意义是说明了程序不是无所不能的，说实话这不算多大的意义，因为正常人都不会觉得编程万能（画外音：死程拯救世界！）。如果说它在数学上的理论意义，个人认为停机问题不存在超越集合论内容的意义。如果真有人想较真停机问题（画外音：死宅拯救世界！！！），请先从集合论学起。&br&近日睡眠不足，临键盘乱按，不知所言:-)
有幸受邀，诚惶诚恐。停机问题描述起来还是很简单的：正如@陳浩 所引，问题是对于某程序P，给出某输入I，求解此程序P是否会到达终止状态。停机问题无解的证明也是很简单的，稍受过训练的人就该想到，这里面存在“自指”问题。证明就是构造反例即可：如果存…
&b&能不自学就别自学。&/b&&br&（优秀老师&讨论班&纯自己学，不得不自学比如：老师实在太差以及类似不可抗力）&br&&br&（这一条的解释：&br&1.我第一年基本自学，第二年开始上研究生课后大部分是老师带着学。效率不可同日而语，因此原因首先是经验。&br&2.进度：老师带着能够比较科学地把握进度，并且随着学生掌握程度具体微调。几个同学一起学的话平均下来进度也不会快或慢的太离谱。并且如果是学习类的讨论班标准规格是有个不一定要管太多事的指导老师的。&br&相反自学一门学科课本也不会把所有重点都标出来，不太好掌握在哪些内容上花多少时间。&br&此外更重要的一点是，一个好的老师和好的大纲可能能把进度正好卡在能力上限上逼着人拼命，我就上过这样的课，反之自己学容易有懈怠之心，低估自己的潜力最终造成时间的浪费。&br&3.卡在一个东西上很有可能是因为某个前置概念掌握不牢靠，老师能在合理偏题(digress)以及补充必要内容，自学能吗？&br&4.书上必要的练习，同学做完了能互相对，老师能留作作业，自己做完对错都不知。很多是网上查不到的——lang的algebra作为标准课本被用了三十年很多章末练习的答案网上都没有，更别提那些不那么著名的课本。&br&5.很多老师讲课不一定是根据一本书，他会从各个地方挑出想讲的内容甚至完全自编讲义，你自己学做不到。写书的人不会把所有解释性的话语都写上而有水平的人能读出字里行间的东西，你自己学读不出来。&br&6.网络：谁也不是你妈有义务24小时在线回答所有弱智或不弱智的问题，i.e., 即时性和有效性甚至正确性都值得斟酌。se之类的论坛当然有帮助但也没那么大，何况屠版是很没道德的。&br&7.借地儿喷点别的：网上总有按照某个物理/数学的书单好像顺着读下去就一定能到达怎样怎样的水平，我们管这种东西叫流水线式的培养方案。基本是扯淡，每个人的具体素质完全不同，对知识的接收速度，学习习惯，可能对某些分支的偏爱都不同，没有哪个方案能把每个人都培养成合格的物理/数学工作者。何况人不是机器，哪能输入指令就完全照做。学习计划要及时调整，对很多东西不要想当然。绝知此事要躬行。&br&8.原本没想解释这么多，评论区被刷了一堆+暑假闲得蛋疼。&br&9.不管是怎么学，唯一不变的是自己付出的努力是不能被任何其他形式所代替的。&br&&br&&a data-hash=&776ceefe075ce& href=&/people/776ceefe075ce& class=&member_mention& data-tip=&p$b$776ceefe075ce&&@龙洋&/a& 自学跟自习是两码事。我提都没提民科。稍微读过一本本科数学书的人都应该知道我在说什么。以及我一向反人类谢谢。）&br&&br&如果你一定要自学，先学本科的再说，别好高骛远。书后的bibliography会告诉你之后该读什么。&br&在水平不高时，大部分情况下，找一本不错的书读下去比找一堆同类的书一起读要效率高。&br&以及题主想看英文书是好事，要坚持。
能不自学就别自学。（优秀老师&讨论班&纯自己学，不得不自学比如：老师实在太差以及类似不可抗力）（这一条的解释：1.我第一年基本自学，第二年开始上研究生课后大部分是老师带着学。效率不可同日而语，因此原因首先是经验。2.进度：老师带着能够比较科学地…
Wittgenstein 批评过不完全性定理，这违反了他自己的原则：数学家不应该干预哲学，哲学家也不应该干预数学。&br&&br&当然，他本人这样做的时候并没有意识到这属于哲学家干预数学的情况，他是这样说的：不完全性定理说明了真不能还原为可证明性，这是一个哲学论断，不应该由数学家作出。&br&&br&但是我觉得这个地方的事情倒是没有这么复杂，因为这里的真和证明都是翻译过来的性质，换而言之，都是数学性质，而不是原始的真概念。（相对地，哲学中根本就没有数学式的形式证明概念吧。）因此 Wittgenstein 的批评是错误的：不完全性定理本身，以及对它的数学解读，都不会影响哲学，因为这里的真和可证都是形式意义上的。这是不是表示，哥德尔不完全性定理实际上没什么哲学影响呢……？不过这对于数学哲学来说，算是堵死了将真概念还原为形式系统内证明这样的一种还原论手法吧……&br&&br&不完全性定理的一个简单表述是这样的：在能够表达自然数运算（包括数学归纳法）的系统中，我们可以构造一个特定的开公式&img src=&/equation?tex=%5Cphi%7B%28x%29%7D& alt=&\phi{(x)}& eeimg=&1&&，其中 x 是自由变元，在系统内有如下结论：对于任意的自然数 n，&img src=&/equation?tex=%5Cphi%28n%29& alt=&\phi(n)& eeimg=&1&&都&b&可证&/b&并且&b&为真&/b&，但是&img src=&/equation?tex=%5Cforall+x%5C%2C+%5Cphi%28x%29& alt=&\forall x\, \phi(x)& eeimg=&1&&是系统内&b&不可证明&/b&的，同时&img src=&/equation?tex=%5Cneg+%5Cforall+x%5C%2C%5Cphi%28x%29& alt=&\neg \forall x\,\phi(x)& eeimg=&1&&也是不可证明的。然而根据一般的语义，&img src=&/equation?tex=%5Cforall+x%5C%2C+%5Cphi%28x%29& alt=&\forall x\, \phi(x)& eeimg=&1&&应该为&b&真&/b&（当然这里的赋值并不是强制的，因为没有形式系统作为后盾，因此即便是相反的赋值也是可以接受的，尽管不自然）。同时，无论是将&img src=&/equation?tex=%5Cforall+x%5C%2C+%5Cphi%28x%29& alt=&\forall x\, \phi(x)& eeimg=&1&&还是&img src=&/equation?tex=%5Cneg+%5Cforall+x%5C%2C%5Cphi%28x%29& alt=&\neg \forall x\,\phi(x)& eeimg=&1&&添加入系统中都会导致系统变成&b&不一致&/b&的。也即，使得系统能够证明一切命题（由矛盾推出一切&img src=&/equation?tex=%5Cbot%5Crightarrow+p& alt=&\bot\rightarrow p& eeimg=&1&&），因而得到了一个废系统，能够证明一切的逻辑系统是没有价值的。这也就是不完全定理的逻辑解读。不完全性定理在计算复杂性理论中的等价表述貌似是「存在非递归的递归可枚举集。」&br&&br&哥德尔句在句法推理上有这样的效果：
&img src=&/equation?tex=%5Cforall+x%5C%2C+%5Cphi%28x%29%5Crightarrow%5Cneg+%5Cforall+x%5C%2C+%5Cphi%28x%29& alt=&\forall x\, \phi(x)\rightarrow\neg \forall x\, \phi(x)& eeimg=&1&&。而哥德尔的贡献就是给出了这样的&img src=&/equation?tex=%5Cphi%7B%28x%29%7D& alt=&\phi{(x)}& eeimg=&1&&的构造方法。&br&&br&虽然数学的各个领域（只要是能够表达自然数的系统）都可以写出哥德尔句，但是由于这些语句都非常长并且非常不直观，无法给出有直观数学意义的解读，因此数学家们很少会关心哥德尔不完全性定理。至于哲学家，我不太记得哥德尔不完全性定理对于真理论有什么样的影响了，毕竟如果是真理的收缩论而不是扩张论的话，……？
Wittgenstein 批评过不完全性定理，这违反了他自己的原则：数学家不应该干预哲学，哲学家也不应该干预数学。当然，他本人这样做的时候并没有意识到这属于哲学家干预数学的情况，他是这样说的：不完全性定理说明了真不能还原为可证明性，这是一个哲学论断，…
傅同学已经回答的很好了，只不过细节之处，略有不同意见。&br&&br&首先去了解 物理以及物理化学 是重中之重，我接触过的一些完全数学背景的人去研究生物学问题的，或者迷失在堆积的生物细节上，或者完全没有理解生物系统。所以我很同意傅同学说的，要先学习物理和物理化学，至少要搞清楚几部分的知识&b&热力学和统计力学&/b&，&b&物质结构基础&/b&，&b&化学反应理论&/b&，然后再开始了解生物，即便是生物系的学生也不是上来就开始看生物化学的。原因是，生物化学中得原理基本来源于前面说的那几部分理论知识，如果直接去看生物化学，会变成大部分学生物的人一样只知道knowledge的积累，而不想用原理和理论来归纳和整理知识，然后迷失在无关紧要的细节中。&br&&br&了解了 上面所说的那几方面知识，可以开始看生物化学了。推荐的书籍是 &b&Lehninger&/b&&b&生物化学原理（有中文版，网上有英文电子版，不确定能不能找到中文电子版）&/b&，这个基本包括了傅同学所说的基本的 生物大分子及其结构，代谢，分子生物学。但是这本书很厚，在看的时候不要抠细节，不要当做是在研究一样去阅读，当做是了解信息一样，就像读报纸一样，但是对自己不明白的地方要保留你的疑问。&br&&br&读完生物化学，下一步就是读一下 细胞生物学，好的教材也有很多，不具体列举，你可以参考一下 &a href=&/Cell-Biology-STUDENT-CONSULT-Pollard/dp//ref=pd_sim_sbs_b_1& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Cell Biology: With STUDENT CONSULT Online Access, 2e (Pollard, Cell Biology, with Student Consult Online Access): Thomas D. Pollard MD, William C. Earnshaw PhD FRSE, Jennifer Lippincott-Schwartz PhD: 8: : Books&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。&br&&br&这三部分，基本可以满足你 了解和学习 生物系统 是如何的。&br&&br&接下来，假如你真的对生物学感兴趣了（在你排除了未来可能的现实对你造成的压力，和其他高薪行业对你的诱惑以及周围人-比如上面那些回答问题的人-对你的误导），这时候，可能你想从事研究工作，可以把你保留的那些问题整理出来，带着这些问题，参考更多的文献，这其中可能需要理解和阅读一些 生物学研究中常用的技术手段的知识，但是如果你了解了物理和化学那部分，这些不会很难。渐渐的你回发现你想回答的很多问题可能目前还没有你满意的答案，那恭喜你，你可以开始研究并回答这些问题了。&br&&br&可能你发现了，我并没有告诉你该如何跟生物学联系。因为目前在生物学领域/前沿，数学的应用还不算多。最好的方法就是，你学习了生物学，也学习了数学，你自己来决定如何将你学习的数学来结合你所了解的生物系统，如何用你的数学语言描述，抽象和解答生物系统的问题。&br&&br&这里我多说两句（你将来或许自己能了解到，也有可能你现在或将来并不同意），即数学在生物学之中可以大概分成两个approaches，简单来说对于一个系统，比如生物系统（你也可以类比到其他物理系统，社会系统），一方面我们可以用数学语言去描述系统的运转机制，根据其内部的不同尺度下得各个部分是如何相互作用来研究整体原作的原理和相关的理论（如果你愿意可以叫它dynamical systems approach, or bottom-up approach），另一方面，你可以通过收集足够多得数据来不断的去猜测/统计推断其内部可能的结构和运作的细节（如果你愿意可以叫它Data assimilation and statistical approach, or top-down approach），具体你想做哪方面，取决于你从什么样的角度去看待你的问题。同样如果你读一些社会学，经济学的文章，你可能会得出类似的结论，也就是说，这两个approaches可以generalise到其他领域里。&br&&br&注意：或许你不同意，我认为在你真正了解和掌握了基础知识之前一味的跟随所谓的前沿/hot topic 只会让你无所适从，有人推荐你去学习 bioinformatics 和 systems biology，实则大缪。君不见，这两个领域里，有多少数学背景的人写了多少数学方程却没有完全理解生物系统的原理，有多少工程和计算机背景的人写了多少代码建了多少模型画了多少网络却不知道在生物系统中的适用性，有多少化学和生物背景的人测了多少序列砸了多少芯片收集了多少数据却并没有办法更进一步理解生物系统derive出更多的原理，于是这些人开始自己称自己生物狗，生信狗来自嘲。我的建议是，离这群人远一些。去了解你想了解的，然后去选择你想选择的。&br&&br&后面这段完全是废话，本来为了照顾我周围那些跟我一样生物学背景的同学的玻璃心，我很想匿名，但是我一直很想说这些话，权当是我又在ranting了吧。
傅同学已经回答的很好了，只不过细节之处，略有不同意见。首先去了解 物理以及物理化学 是重中之重，我接触过的一些完全数学背景的人去研究生物学问题的，或者迷失在堆积的生物细节上，或者完全没有理解生物系统。所以我很同意傅同学说的，要先学习物理和物…
我假设提问者对编译这行有兴趣。&br&&br&如今的编译理论，特别是前端部分的词法和语法分析，和数学关系不大。入门者对乔姆斯基的形式语言理论有一些初步的了解，能够理解三型到二型文法的区别的特征，即可开始后续的词法和语法分析工作。后端部分的代码生成和优化，更多地需要了解计算机特别是 CPU 的系统结构，与此同时，考虑到并行编译实践的需要，建议对图论和集合论的基础知识有所涉猎，会比较有利。&br&&br&顺便说一句，时至今日，把编译理论称为研究是不合适的。在我眼里，前端领域自上世纪七十年代之后，已经没有真正悬而未决的问题；而下一个最可能产生突破的大方向，是并行编译和优化，而那更多的是后端领域，而且对计算机组成结构的依赖颇大，带有很重的工程味道。所以，如果不是致力于代码生成相关的工作，那么最好不要自称在做「编译理论研究」。对我们这个专业的人来说，这个用词听起来，其实颇为滑稽。
我假设提问者对编译这行有兴趣。如今的编译理论，特别是前端部分的词法和语法分析，和数学关系不大。入门者对乔姆斯基的形式语言理论有一些初步的了解，能够理解三型到二型文法的区别的特征，即可开始后续的词法和语法分析工作。后端部分的代码生成和优化，…
p→q的真值表如下表所示&br&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-text&& p
&/code&&/pre&&/div&&br&其中前二行沒有什麼爭議，關於後二行可以攷慮下面的命題。&br&對所有的實數x，若x&2, 則x?&4。&br&這個命題若用符號寫出來是&br&?x(x&2→x?&4)
（＊）&br&論域是所有實數，?x表示對每一個實數，必須對每一個實數x，都有x&2→x?&4，那麼&br&?x(x&2→x?&4)才是真命題。&br&這個命題（*）在數學我們認為是真命題，但若我們定義&br&p→q的真值表如下表所示&br&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-text&& p
&/code&&/pre&&/div&這時可以取x=-3，那x&2是假命題，x?&4是真命題，x&2→x?&4按上表是假命題，&br&?x(x&2→x?&4)也成了假命題（因為存在一個值使得x&2→x?&4不成立）。&br&類似可以定義&br&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-text&& p
&/code&&/pre&&/div&這時可以取x=-1，那x&2是假命題，x?&4是假命題，x&2→x?&4是按上表是假命題，&br&?x(x&2→x?&4)也成了假命題。&br&也就是說將第三行或第四行賦0，會使公認的真命題（＊）成假命題。&br&這個時候只剩下一種選擇&br&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-text&& p
&/code&&/pre&&/div&也就是我們所熟知的蘊含的真值表。&br&當然這種真值表會有一個問題，就是會導致所謂的蘊含怪論。&br&例如，若1＋1＝3，則太陽從西方昇起。這樣看起有些怪的命題也成為真命題。&br&但若不這麼賦值，將會使（＊）成為假命題，這一點我們更無法接受。
p→q的真值表如下表所示 p q p→q
0 0 ?其中前二行沒有什麼爭議，關於後二行可以攷慮下面的命題。對所有的實數x，若x&2, 則x?&4。這個命題若用符號寫出來是?x(x&2→x?&4)
（＊）論域是所有實數，?x表示對每一個實數…
（声明：本答案考虑普及，因此并不试图严格，请专业人士见谅。讲解若有硬伤，仍欢迎指教。）&br&&br&数学及理论计算机学中，研究「问题的难度」，是&a href=&http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%88%E7%AE%97%E8%A4%87%E9%9B%9C%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&計算複雜性理論&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的范畴。&br&比较两个问题难度的方法是&a href=&http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%B8%E7%B4%84& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&歸約&i class=&icon-external&&&/i&&/a&：如果问题 A，可以转化成另一个问题 B，那么解决问题 B 的方法就可以用来解决问题 A，也就是说 A 至少不会比 B 更难。&br&&br&问题中提到的两个问题分别是「找到答案」和「验证答案」，而验证答案的方法可以是先找到答案，再与要验证的答案比较（假设这步很简单）。&br&因此「验证答案」不会比「找到答案」更困难：会「找到答案」就一定会「验证答案」，而会「验证答案」不一定就会「找到答案」。&br&&br&& 数学上把能在多项式时间内&b&解决&/b&的&b&是非题&/b&叫做 P 问题。&br&比如给定两个整数 n&1 和 N，问：&u&n 是否整除 N？&/u&&br&这个问题很简单，属于 P 问题。&br&& 数学上把能在多项式时间内&b&验证&/b&的&b&是非题&/b&叫做 NP 问题。&br&比如给定两个整数 N 和 M，问：&u&是否存在比 M 小的一个数 n&1，使 n 整除 N？&/u&&br&这等价于一个&b&简答题&/b&：&u&找出一个可以整除 N 的数，或判定 N 是素数。&/u&（找到答案）&br&这问题很难，目前没有多项式算法（相对于位数）。但是如果给定一个整数 n，我们可以很快的验证 n 整除 N，从而给出「是」的解答（验证答案）。因此这个问题属于 NP 问题。&br&&br&著名的 P＝NP 猜想：容易验证的是否一定容易解决？&br&目前没有答案。
（声明：本答案考虑普及，因此并不试图严格，请专业人士见谅。讲解若有硬伤，仍欢迎指教。）数学及理论计算机学中，研究「问题的难度」，是的范畴。比较两个问题难度的方法是：如果问题 A，可以转化成另一个问题 B，那么解决问题 B 的方…
王坤给出的结论是对的，重新拼接后的大块巧克力长度变短了。&br&&br&假设第一刀切出来的线段，两个端点分别在一个小巧克力边（以下称巧边）的中点上。&br&因本题没有给出长度单位/面积单位，设一小块巧克力的俯视占地面积为1巧。&br&（二维几何问题不计算巧克力高度，没有意义）&br&&br&图一=5x5=25巧&br&&br&图二/第一刀=（1.5+3.5）*5/2*2=25巧&br&&br&图三/第二刀=（1.5+3.5）*5/2+（1.5+2.3）*2/2+ (2.3+3.5)*3/2 =25巧&br&&br&图四/第三刀= （1.5+3.5）*5/2 + （1.5+2.3）*2/2 + （1.3+2.5）*3/2 +1*3 =25巧&br&&br&拼合后：（3.5+1.3）*5 +1=25 巧&br&&br&拼合后的长方形是5个小巧边乘4.8个巧边形成的24巧长方形，而第一图中的长方形为25巧。&br&因此图十中的巧克力总数还是25巧，没有变化，更不存在悖论（详见悖论的定义）。&br&&br&那么同样是25巧，为什么会有26个小巧克力块呢？&br&&br&简单地说，假设图二中第一刀切出来的线段，两个端点分别在一个巧边的中点上：&br&那么图三左上角的巧克力梯形的两条平行边分别为3.5和2.3巧边，切掉三块后是2.5和1.3巧边&br&因此拼接后长方形的宽是1.3+3.5=4.8巧边&br&&br&错误之处在于，图三中左上角相对大的梯形的钝角顶点并非在所处巧边的中点处，&br&而是处在其3/10的位置。（0.3巧边和0.7巧边）&br&&br&因此，重新拼接后的大巧克力块的第三排小巧克力块的每个巧克力大小为（0.3+0.5）x1=0.8巧，而并非常规小巧克力块的1巧。&br&第三排巧克力的长度和其他四排不一样。&br&&br&多出来的面积为1巧的小巧克力块是从第三排的每个小巧克力块借走了0.2巧。&br&&br&&br&类似的几何问题还有小直角三角形拼成大直角三角形：&br&&img src=&/ba8be89bd_b.jpg& data-rawwidth=&533& data-rawheight=&498& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&533& data-original=&/ba8be89bd_r.jpg&&&br&这道题想要证明图二总面积没有凭空减少1很简单。&br&红色三角形的两条直角边比是8:3&br&蓝色三角形的两条直角边比是5:2&br&两个三角形斜边角度不同。&br&因此，图一和图二中组成的图形并非直角三角形，而是四边形。&br&&br&**几何题中配图的所有比例、形状都不要求正确。
王坤给出的结论是对的，重新拼接后的大块巧克力长度变短了。假设第一刀切出来的线段，两个端点分别在一个小巧克力边（以下称巧边）的中点上。因本题没有给出长度单位/面积单位，设一小块巧克力的俯视占地面积为1巧。（二维几何问题不计算巧克力高度，没有意…
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数学很宅的，不要把他拖进这种无聊的名词之争。&br&体育的定义本来就不统一，这种根本没有 well defined 的问题，数学不喜欢的。&br&&br&&a href=&https://wcd.coe.int/ViewDoc.jsp?id=206451& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&欧洲体育运动宪章&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的定义只承认 physical activity：&br&&blockquote&&b&Article 2&/b&&br&&b&Definition and Scope of the Charter&/b&&br&1. For the purpose of this Charter:&br&
&Sport& means all forms of physical activity which, through casual or organised participation, aim at expressing or improving physical fitness and mental well-being, forming social relationships or obtaining results in competition at all levels.&/blockquote&&br&&a href=&/en/members/definition-of-sport/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&国际单项体育联合会的定义&i class=&icon-external&&&/i&&/a&：&br&&blockquote&&ul&&li&The sport proposed should include an element of competition.&br&&/li&&li&The sport should not rely on any element of “luck” specifically integrated into the sport.&br&&/li&&li&The sport should not be judged to pose an undue risk to the health and safety of its athletes or participants.&br&&/li&&li&The sport proposed should in no way be harmful to any living creature.&br&&/li&&li&The sport should not rely on equipment that is provided by a single supplier.&br&&/li&&/ul&&/blockquote&为此该会将体育分为体力运动（如田径），脑力运动（如围棋），摩托化运动（如赛车），定位(?)运动（如台球），动物支持的运动（如骑术）。&br&其中的&a href=&http://en.wikipedia.org/wiki/Mind_sport& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&脑力运动&i class=&icon-external&&&/i&&/a&中，目前已经包括博弈、心算、记忆、速读等。&br&&br&&a href=&http://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_sports& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&电子运动&i class=&icon-external&&&/i&&/a&不符合上面两个定义（设备由单一厂家提供），但是说成体育运动我没意见，何况这已成趋势。&br&&br&数学竞赛考察知识储备和创新能力，竞技对象（试题）不固定，我认为不是体育。&br&但是你要构造一个定义将数学包涵进「体育」范畴，只要构造得好，我无所谓……&br&争个定义不明的东西，浪费时间。
数学很宅的，不要把他拖进这种无聊的名词之争。体育的定义本来就不统一，这种根本没有 well defined 的问题，数学不喜欢的。的定义只承认 physical activity：Article 2Definition and Scope of the Charter1. For the purpose of this Cha…
数学的抽象性，拓扑是个好例子。也因此，我可能不会使用什么多媒体。&br&&br&抽象，浅显的理解，就是找出同一类事物的共同性质。比如由于某些共同特征，我们把苹果和香蕉都叫水果，虽然他们长得非常不一样。拓扑学研究的，就是同一类空间有什么共同的性质。这里空间的类别，数学上是指同胚，同伦等。&br&科普的说法是用「剪不断也不能粘连的橡皮泥」，对这块橡皮泥的各种玩，能从一个形状捏成另一个形状，两个形状就是拓扑等价的，他们共同的性质就是拓扑不变的性质。&a href=&http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_invariant& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&en.wikipedia.org/wiki/T&/span&&span class=&invisible&&opological_invariant&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&有哪些性质是拓扑不变的呢？&br&最简单的是 &b&连通性&/b&，不管怎么捏，连着的还是连着，不连的也不会连起来。&br&还有个比较容易理解的是 &b&亏格 &/b&(genus, cc &a class=&member_mention& data-hash=&cb99751dbfefe5c0e0c37bd84ca49cf5& href=&/people/cb99751dbfefe5c0e0c37bd84ca49cf5& data-tip=&p$b$cb99751dbfefe5c0e0c37bd84ca49cf5&&@经雷&/a&)，浅显的说就是有几个洞。&a href=&http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8F%E6%A0%BC& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&zh.wikipedia.org/wiki/%&/span&&span class=&invisible&&E4%BA%8F%E6%A0%BC&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&一个笑话是：&blockquote&我无法理解那些打耳洞的，为了漂亮，至于把身体的拓扑结构变掉吗？&/blockquote&另一个很多人知道，但可能没有意识到的拓扑不变量，是 &b&欧拉示性数 &/b&&a href=&http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E7%A4%BA%E6%80%A7%E6%95%B0& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&zh.wikipedia.org/wiki/%&/span&&span class=&invisible&&E6%AC%A7%E6%8B%89%E7%A4%BA%E6%80%A7%E6%95%B0&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&对于一个三维多面体，顶点数－边数＋面数＝2，几乎不用管这个多面体具体长什么样。&br&这个定义可以推广到其他东西上，这里有一张欧拉示性数的表 &a href=&http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_characteristic#Examples& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&en.wikipedia.org/wiki/E&/span&&span class=&invisible&&uler_characteristic#Examples&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 可以看到：&ul&&li&圆盘是 1，线段是 1。对拓扑学来说，他们是「一样」的。&br&&/li&&li&圆是 0，有个洞是 0（轮胎面），莫比乌斯带是 0。对拓扑学来说，他们是「一样」的&br&&/li&&li&另外，球面是 2，两个洞是 -2，三个洞是 -4，克莱因瓶是 0。&br&&/li&&/ul&虽然拓扑不变，但是光靠一两个拓扑性质，不能倒推出到底是什么空间。不过，由这些拓扑不变性质，已经可以获得很多信息了。而拓扑的动力，就是用尽量简洁的形式，尽量全面地去描述拓扑空间。&br&&br&拓扑学和很多其他数学分支紧密联系。&br&比如上面提到的多面体，就是组合学和几何学的分支，经常会使用拓扑方法。这是我现在的专业。&br&Morse 理论是用微分方程来研究拓扑性质 &a href=&http://en.wikipedia.org/wiki/Morse_theory& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&en.wikipedia.org/wiki/M&/span&&span class=&invisible&&orse_theory&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。&br&另外非常重要的同调论，用的是代数方法 &a href=&http://en.wikipedia.org/wiki/Homology_theory& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&en.wikipedia.org/wiki/H&/span&&span class=&invisible&&omology_theory&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。&br&&br&拓扑的一大优势是，民科几乎从不出现。
数学的抽象性，拓扑是个好例子。也因此，我可能不会使用什么多媒体。抽象，浅显的理解，就是找出同一类事物的共同性质。比如由于某些共同特征，我们把苹果和香蕉都叫水果，虽然他们长得非常不一样。拓扑学研究的，就是同一类空间有什么共同的性质。这里空间…