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大一高等数学第二章第一节导数的概念
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2导数的基本概念06
Chap2导数；产生:①光滑曲线y?f(x)在点P(x,y)处的；应用：几何,力学,光学中的最优化问题；极大和极小；割线的极限位置.曲线上的两点间连线的极限,和其它；1切线是割线的导数----因变量增量与自变量增量；?1是割线PP1同正x轴构成的夹角，?是切线同正；p1?p；Y=f(x)；图2-1导数的定义可得：；tan?1?lim；y1?yf(x1)?f(
导数产生:①光滑曲线y?f(x)在点P(x,y)处的切线.根据正切角?,从通过P点的所有直线中选择一条,知道该点的邻域性质即可; ②非匀速速度。应用：几何,力学,光学中的最优化问题；极大和极小值问题.割线的极限位置.曲线上的两点间连线的极限,和其它直线的不同：这个方向是唯一的。 什么方向呢?与?x引起的?y有关,而其余的方向与?y无关.隅点和尖点没有唯一的方向:该点是不同曲线的交点,所以在不同方向有不同的?y. 一导数概念的三个理解1切线是割线的导数----因变量增量与自变量增量的关系?1是割线PP1同正x轴构成的夹角，?是切线同正x轴构成的夹角，则lim?1??。p1?pY=f(x) 图2-1
导数的定义 可得：tan?1?
limy1?yf(x1)?f(x)?，则极限过程的表达式 x1?xx1?xx1?xf(x1)?f(x)?limtan?1?tan? x1?xx1?xdef2.1.1(函数的差商)表达式f(x1)?f(x)y1?y?y??，称为函数y?f(x)的差商，其中?y和?x分别表x1?xx1?x?x示函数y?f(x)和自变量x之差分。?的正切，即曲线的“斜率”，等于函数y?f(x)的差商当x1?x时所趋向的极限。 Def2.1 （函数在某一点的导数）将这个差商的极限称为函数y?f(x)在点x处的导数，y'?f'(x)是导数的拉格朗日（Lagrange）表示法，dydf(x)?d?,,??f(x)是莱布尼茨表示法。 dxdx?dx?说明：y'?f'(x)称为导函数，表示导数本身是x的函数，因为所考虑的区间上的每一个x值都对应一个f'(x)的值。用导函数，导曲线强调这个事实，并不表示导数是一种特殊类型的函数，在初等函数之外的新型函数，而是表示与y?f(x)的关系是导数与函数的关系。lim?1)f'(x)?x?x1f(x1)?f(x)f(x?h)?f(x)?lim，用x?h代替x； h?0x1?xh2)莱布尼兹表示法：f(x1)?f(x)dydf(x)?y??f'(x)?lim?limx?x1?x?0?xdxdxx1?x说明：h与?y不同，f(x?h)??y?f(x)。 导数的极限定义形式：?h?0足够小，则f'(x)?的极限，就是要求g(h)?f(x?h)?f(x)要求x1?x，这是差商?f'(x)对于一切充分小的h来说为任意小。h的形式限制的。1计算意义:导数定义使用了第二个无限量?x?0.因此求极限,必须使用分式的方法. 2动态意义：导数是瞬时变化率?y,?x是变量y和x的“相应改变量”，将比值?y称为区间(x,x??x)上y对x的“平均?x变化率”，极限f'(x)?可以推出：f'(x)?dyf(x?h)?f(x)dy表示y 对x的“瞬时变化率”。?lim?，则f'(x)?h?0dxhdxdyf(x?h)?f(x)?lim? h?0dxh?速度的定义----微商的直接定义----瞬时变化率时刻t的速度（不需要把印象集中在坐标原点---有记忆。运动中的物体每一刻都可以看成坐标原点），距离对时间的瞬时变化率，就是导数f'(t1)?limt?t1 f(t)?f(t1)t?t1f(t??t)?f(t)g(t,?t)?f'(t)?lim?t?0?t 要求：函数是可导的。在极限式子中与其说变量是t,不如说是?t，但是导函数总不出现?t。 ?t与1都是0极限数。 n3从积分推出导数的定义，两者互逆（原函数与导函数的关系）limh?0?(x?h)??(x)h?limf(?)?f(x)h?0分析：小矩形的面积除以底边长，得到高的中间值f(?)，在x的邻域内，f(?)的极限是f(x)。所以令连续的原函数?'(x)?f(x)作为不定积分（？），在x的某邻域内，?y??(x?h)??(x)可认为是小矩形的面积，这里小矩形的序列不是?xi?h(xi)的底乘高的形式，而是?(x?h)??(x)的序列形式，决定不同小矩形面积不同(底边相同,面积由高决定)，因此高函数的极限就是导函数?'(x)。导数的应用----判断函数的单调性函数单调增加,则切线都向上倾斜,所以导函数为正.Th2.1 函数f(x)当f'(x)?0时是单调增加的,当f'(x)?0时是单调减少的. 二.几类常见函数的微分法1线性函数?y?kh?k?x.若为常数函数则?y?0.线性函数?y?kh?k?x,所以线性函数的导数是常数.2．x的幂函数?1?y?(x1??x?)??xx(??x?1?2x?.?.x.??1?)1?ym??x?。 x1?x?x11?x1?x?x??x1?1?y若???????????lim???x???1?f'(x)??x??1.x1?x?xx1?xx?x1xx1有时用增量h表示法,有时用f(x1)?f(x).倒数幂函数用通分的方法,使计算可以进行下去,?x是?y的公因子. 可以推广到指数是有理数的情形. 3．三角函数收敛数的形式:lim复合形式.sin(x?h)?sinxsinxcosh?cosxsinh?sinxcosh?1sinh??sinx?cosxhhhh?f'(sinx)?cosx.or.f'(cosx)?sinxsinhcosh?1?1.or.lim?0.将三角函数的复合形式,化成三角收敛数的h?0h?0hh说明：用增量的方法,化成固定收敛数的复合运算形式,即差商为k?lim0?h?lim1的形式.x1?xx1?x导曲线比原函数的曲线左移.从上述过程可见，?y是?x的复合收敛数与f(x)及其同阶伴随函数的复合形式。 三．导数运算的线性性与四则运算性质1导数运算的线性性 1） 若?(x)?f(x)?g(x)??'(x)?f'(x)?g'(x) 即?(x?h)??(x)h?f(x?h)?f(x)g(x?h)?g(x)，再取极限。叠加性质不影响运算. ?hh2）若?(x)?cf(x)??'(x)?cf'(x) 即?(x?h)??(x)h?cf(x?h)?cf(x)，再取极限,倍数与叠加性质相同.h?y?a0xn?a1xn?1?...?an,可得多项式的导数:y'?na0xn?1?(n?1)a1xn?2?...?2an?2x?an?12.复合函数的导数四.函数的可微性和连续性函数可导?连续.详细见函数的积分定义方法与可积,可微与连续性间的关系多数值的计算：一是同阶使用运算符；二是金字塔形的使用方法。?五.高阶导数及其意义计算的连续重用,计算的高阶,一般对某一个集合的元素进行计算,都有一个界限,使计算不能无限进行下去. Def 二阶导数f'(x?h)?f'(x)令?(x)?f(x),则二阶导数为:?(x)?lim?f''(x).h?0h''? 三阶导数f'''(x),n阶导数f(n)(x).有时将f(x)称为0阶导数.说明：初等函数求n阶导数一般有规律,n不会为无穷大.物理意义二阶导数:1)加速度.单调性: 函数f'(x)当f''(x)?0时是单调增加的,当f''(x)?0时是单调减少的. 几何意义2)拐点应用:用高阶导数定义函数d2用微分方程定义函数.例如:2cosx??cosx.令u?cosx,可得关系式:dxu''?u用于振动和波动等物理现象,认识到函数能够通过三角函数的复合形式表示 微分方程:函数的各阶导数之间的关系.各阶导数是函数的伴随集合,能够用来化简,也可以用来表示微分方程.研究各阶导数之间的关系是有意义的.二阶差商的莱布尼兹表示法令x1?x?h&x2?x?2h&y?f(x)&y1?f(x1)&y2?f(x2),二阶差商: (y2?y1)(y1?y)??y1??y1??2(y2?2y1?y)hhh?2y2?y2?2y1?y??y1??y??(?y)??y?(?x)2?2y表示复合运算:连续用两次.(?x)2表示相乘.§2微分的概念和应用----函数的近似计算 def (微分)从导数的极限定义中可得:
?(h)?f(x?h)?f(x)?f'(x),其中x,h为固定量.则hh?0f'(x)?lim?(h)?0.函数增量?y的表达式:?y?f'(x)?x??(h)?xlim?(h)?0,称非0线性项f'(x)?x为y的微分,并记作:h?0??dy?df(x)?f'(x)dx.分析:这不是小矩形面积的一个表达式,而是函数增量的一个表达式,即???/为什么可以省dy,?y的差别，怎样反应到积分上？切线与曲线的表示上的区别，可以用在模糊数学。(???) ??y?dy??dx.?函数的增量和微分之间的关系:?y?dy??dx?f(x?h)?f(x)?dy??dx?f(x)?f'(x)dx??dx?f(x)?[f'(x)??]h函数的增量:可用导数与自变量的线性函数形式决定.所以增量和微分的偏差?h. 几何意义:用曲线的切线近似代替曲线.y图增量?y与微分dy???f(x?h)?f(x)?f'(x)?f'(?)?f'(x)hx 可推出二次中值定理:f'(?)?f'(x)?(??x)f''(?),其中?在x和?之间.把两个数相减用因式乘的形式表现出来.???f'(?)?f'(x)?(??x)f''(?)?(??x)f''(?)?hM,其中M是二阶导数的绝对值在区间[x,x+h]上的任一上界.可得?h的最大值Mh2.在一个小区间上用一阶导数,二阶导数的线性函数来近似所使用的函数,是高等数学的典型方法.中值定理就是将函数的增量用导数的线性函数代替. 微分法?插值法 中值定理线性函数是割线给出的,用割线的函数?(x)表达式:?(x)?f(a)?(x?a)f(b)?f(a)(用直线的趋势代替曲线的趋势,切线与割线的斜b?a率不同)再次使用中值定理,可以估计出这种近似方法的误差:在[a,b]上函数值与割线值之间的差,首先得到(1)f(x)??(x)?(x?a)[f(x)?f(a)f(b)?f(a)?]?(x?a)[f'(?1)?f'(?2)]b?ab?a(2)应用中值定理,得f(x)??(x)?(x?a)[f'(?1)?f'(?2)]?(x?a)(?1??2)f''(?),其中?在?1,?2之间.用M包含各类专业文献、各类资格考试、应用写作文书、幼儿教育、小学教育、行业资料、2导数的基本概念06等内容。　
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第二章导数与微分
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