无限个同阶无穷小小相乘是同阶无穷小小吗？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-10-23 00:43 标签： 无限个无穷小的乘积
极限定理3推论2:有限个无穷小的乘积仍然是无穷小。老师说如果是“无限个”就不对了，无限个为什么不对？_百度知道
极限定理3推论2:有限个无穷小的乘积仍然是无穷小。老师说如果是“无限个”就不对了，无限个为什么不对？
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n个1/n，当n→无穷大，极限是1
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出门在外也不愁来源： 作者：龚冬保
高阶无穷小与低阶无穷小——无穷小比较的一个问题
一般的微积分教材 ,是这样定义高阶与低阶无穷小的 :设在同一变化过程中 ,α,β是无穷小量 ,若1°　lim βα=0 ,就说 β是比 α高阶的无穷小 ;2°　lim βα=∞ ,就说 β是比 α低阶的无穷小 .对此 ,不少人认为 2°是多余的 ,以为β是比α高阶的无穷小 ,就意味着α是比β低阶的无穷小 ,将 1°、 2°合并为一条 .果真 ,近年来有些高等数学教材 ,就是用 1°一条来定义 β是比 α高阶的无穷小 (或说 α是比 β低阶的无穷小 ) .笔者认为这是值得商榷的 ,因为无穷小的比较 ,首先是指无穷小的比 ,这样 ,β是比α高阶的无穷小未必有α是比β的低阶无穷小 .例 1　设α=x,β=x2 sin 1x,则当 x→ 0时 ,有 limx→ 0x2 sin 1xx =0 ,故β是比α的高阶无穷小 ,但反之 ,不能说α是比β低阶的无穷小 .因为 limx→ 0xx2 sin 1x≠∞ .在 0点任何邻域内都有β=x2 sin1x的无限个零点 ,当 x→ 0时 ,xx2 sin 1x是无界变量并非无穷大量 !顺便提及与此相关的等价无穷小 ,也有一样......(本文共计1页)
　　　　　　　
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无限多个无穷小的乘积为什么不一定是无穷小，举例说明，谢谢
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无穷小量有下列性质：　　1、有限个无穷小量代数和仍是无穷小量。 　　2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。 　　3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。 　　4、常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。 　　5、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。 举一个例子无穷多个数列1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6...1 2
1/3 1/4 1/5 1/6...1 1
1/4 1/5 1/6...1 1
4^3 1/5 1/6...第n个数列前n-1项为1 第n项为n^(n-1) 第n项以后为1/(n+1) 1/(n+2)...这样n个数列的极限都为0 也就是都为无穷小 但是你把他们乘起来会发现 它们乘积每一项都是1 所以乘积的极限是1 不是无穷小
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