函数方程F(n+2)=aF(n+1)+bF(n)的一个解法--《吉林师范大学学报(自然科学版)》1984年03期
函数方程F(n+2)=aF(n+1)+bF(n)的一个解法
【摘要】：正 这里所说的函数指的是数论函数(自变量是正整数),其中a,b是常数。在这篇论文中,是分别情况论证了函数方程 F(n+2)=aF(n+1)+bF(b)的求解问题。并由此而联系到它的应用。 定理1.若方程x~2=ax+b有两个不同的根x_1与x_2,则函数方程F(n+2)=aF(n+1)+bF(n)的通解是F(n)=px_1+qx_2~n,其中p,q是任意常数。
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这里所说的函数指的是数论函数(自变量是正整数),其中a,b是常数。在这篇论文中,是分别情况论证了函数方程F(11+2):aF(n+1)+bF(n)的求解问题。并由此而联系到它的应用。 定理1.若方程x。:ax+b有两个不同的根xl与x 2,则函数方程F(n+2):aF(n+1)+bF(n)的通解是F(n)=px。“+qx 2:n
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39matlab微分方程解法-4
%第二种，采用显示方法；%y（n＋1）=y(n)+h*y’（n）；%假定y（n＋1）=y(n)+h*C*y(n)，；Delta2=(eye(2)+h*C);；Ye(1:2,1)=；fori=1:10000,Ye(1:2,i+1)；end；%给出直接方法解；%接着，获得其解析解；t=linspace(0,10,1000)；；u=2*exp(-t)Ce
% 第二种，采用显示方法% y（n＋1）= y(n)+ h* y’（n）% 假定 y（n＋1）= y(n)+h*C*y(n)，或者y（n＋1）= （1＋h*C）*y(n)Delta2 = (eye(2)+h*C);Ye(1:2,1) =for i = 1:10000, Ye(1:2, i+1) = Delta2 *Ye(1:2, i);end % 给出直接方法解% 接着，获得其解析解t = linspace ( 0, 10,1000)；u = 2*exp(-t) Cexp(-1000*t);v = -exp(-t) + exp(-1000*t);Ya = [u;v]; %比较subplot(2,1,1);plot(Ya(1,:),'-b');hold onplot(Y(1,:),'-r');legend('analytical', 'implicit mehtod');subplot(2,1,2);plot(Ya(1,:),'-b');hold onplot(Ye(1,:),'-r');legend('analytical','explicit method'); 你可以看出，相对于间接方法而言，直接方法要求更小的步长来保证数值稳定性。事实上，直接方法的前5个值为：1,10.98,-79.6与6..如果你编辑上面的代码时，假设步长h为0.001(将h减小10倍)，那么直接与间接方法都将与解析解一致。这只是一个简单的例子，但是阐明了刚性求解器的基本思想：应用内在的数值稳定方法。再看看解析结果，在保持数值稳定的情况下对有效积分采用大步长。相比而言，一个非刚性求解器主要考虑的是精度。考虑当遇到刚性问题的时候，非刚性求解器将相应地减小步长（使得它的效率将非常低）。记住，刚性系统都是稳定的（它将收敛到一个解），调整数值稳定性使得最高的优先级而不只是数值精度。在数值积分过程中，鉴别一个系统是否是刚性的是关键性的一步。如上面的说明，一个非刚性求解器在解决刚性问题时是低效的。尽管没有规律可寻，但是下面的小技巧或许有助于你鉴别一个刚性系统。1. 如果已经有了系统的特征值，可以通过计算来度量系统的刚性。刚性度是指最大特征值与最小特征值的比率。在上面的刚性系统中，特征值C1 与 -1000,使得其刚度为1000。2. 如果系统的积分域中不具有瞬态（？transient），那么这个系方程非刚性的。一个刚性的方程必然具有一个瞬态。上面的系统中，瞬态接近原点。这个瞬态很快消失，给出两个时标在时间上的积分（giving two time scale over the timeof integration.）。在选择求解器的时候，理解你说建模的对象是非常有好处的，特别是在这里。如果你希望以不同的标度执行，你考虑不希望选择刚性求解器。最后，也是最不幸的是，你或许在试着选择了几次非刚性求解器、发现其效率非常低很耗时的时候，你可能需要选择刚性求解器了。 3. 4. 第12节 实例下面是一个例子，用来展示非刚性求解器与刚性求解器在效率方面的不同。上面的系统采用的是ODE45与ODE23S求解的。这个系统可以定义为如下的函数：function dy = stiffode(t,y)dy = zeros(2,1);dy(1) = 998*y(1) + 1998*y(2);dy(2) = -999*y(1) C 1999*y(2);同上采用如下时间间隔与初识条件，ynot = [1 0];tspan = [0 20];[T,Y] = ode45(@stiffode,tspan,ynot);length(Y) % 求出执行的步数ans =24149[T,Y] = ode15s(@stiffode,tspan,ynot);length(Y)% 展示与采用刚性求解器的步数比较ans =91下面的例子展示了用非刚性求解器和刚性求解器求解刚性问题的不同之处。要解的方程相当简单： 因此，其MATLAB odefun为：function dydt = f(t,y)dydt = y.^2.*(1-y);首先，采用非刚性求解器ODE45来解这个系统，tspan = [0 20000];y0 = 1e-4;options = [];[t,y] = ode45(@f,tspan,y0,options);plot(t,y);title('Solution of dydt=y.^2.*(1-y) with ode45');xlabel('Time');ylabel('Y'); 如果你放大时间为1结果为1的地方，你可以看到如下的图像： 注意：ODE45用了很多步解决这个简单的方程（你可以通过获取y或者t的长度来检查这一点）。如果你再采用ODE15S，象下面这样：[t,y] = ode15s(@f,tspan,y0,options);% 采用相同的f,tspan,y0和options结构plot(t,y);title('Solution of dydt=y.^2*(1-y) with ode15s');xlabel('Time');ylabel('Y');你可以得到如下的窗口：如果你放大刚才看到的用ODE45求解的不稳定区域，你可以得到如下的图片：注意： ODE15S用了较少的步数，这体现了针对特殊的问题采用恰当的求解器的好处。下面这个方程是化学反应中的扩散模型。这里又一个潜在的大刚度问题的例子：通过在时间段[0 ,10]内，a等于0.02求解，并且有：利用Jacobian模式建立初始条件和设置options：tspan = [0; 10];y0 = [1+sin((2*pi/(N+1))*(1:N));repmat(3,1,N)];options = odeset('Vectorized','on','Jpattern',jpattern(N)); 接下来，建立微分方程的定义函数并提供Jacobian模式：function dydt = ff(t,y,N)c = 0.02*(N+1)^2;dydt = zeros(2*N,size(y,2)); % 预分配dy/dt% 在网格的一个边界计算函数的两个部分（边界条件）i = 1;dydt(i,:) = 1 + y(i+1,:).*y(i,:).^2 C4*y(i,:) + …c*(1-2*y(i,:)+y(i+2,:));dydt(i+1,:) =3*y(i,:)-y(i+1,:).*y(i,:).^2+…c*(3-2*y(i+1,:)+y(i+3,:));% 在所有的网格点计算函数的两部分i = 3:2:2*N-3;dydt(i,:) = 1 + y(i+1,:).*y(i,:).^2 C4*y(i,:) + …c*(y(i-2,:)-2*y(i,:)+y(i+2,:));dydt(i+1,:) =3*y(i,:)-y(i+1,:).*y(i,:).^2+…c*(y(i-1,:)-2*y(i+1,:)+y(i+3,:));% 在其他边界计算函数的两部分（根据边界条件）i = 2*N-1;dydt(i,:) = 1 + y(i+1,:).*y(i,:).^2 C4*y(i,:) + …c*(y(i-2,:)-2*y(i,:)+1);dydt(i+1,:) =3*y(i,:)-y(i+1,:).*y(i,:).^2+…c*(y(i-1,:)-2*y(i+1,:)+3);根据Jacobian模式，定义如下函数：function S = jpattern(N)B = ones(2*N,5);B(2:2:2*N,2) = zeros(N,1);B(1:2:2*N-1,4) = zeros(N,1);S = spdiags(B,-2:2,2*N,2*N);下面是plot展示了N等于30时候的Jacobian模式，采用函数SPY：SPY: SPY Visualize sparsity pattern.SPY(S) plots the sparsity pattern of the matrix S.包含各类专业文献、外语学习资料、生活休闲娱乐、高等教育、行业资料、中学教育、39matlab微分方程解法等内容。　
　 MATLAB微分方程几种求解方法及程序_计算机软件及应用_IT/计算机_专业资料。MATLAB微分方程几种求解方法及程序 ~第五章 控制系统仿真 §5.2 微分方程求解方法 以... 　例 5:求解常微分方程 ,,的 MATLAB 程序如下: fun=inline('-2*y+2*x*x+2*x');[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1) 结果为: x = 0,0.0... 　4、求解微分方程: y ' ? y ? %建立微分方程函数; function yd=f(x,y) if nargin==2 yd=y-2*x/y; end end %欧拉方法程序; 2x , y ? 0 ? ? ... 　偏微分方程的MATLAB解法_数学_自然科学_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 偏微分方程的MATLAB解法_数学_自然科学_专业资料。偏微分方程的解法... 　实验六 用 matlab 求解常微分方程 1.微分方程的概念 . 未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为 微分方程。如果未知函数是... 　页码,1/11 Matlab关于微分方程的解法 关于微分方程的解法 MATLAB使用龙格 库塔 芬尔格(Runge-Kutta-Fehlberg)方法来解ODE问题.在有限点内计算求解.而 龙格-库塔... 　 用matlab求解常微分方程_计算机软件及应用_IT/计算机_专业资料。基础性的matlab了解资料,初步熟悉matlab解微分方程的方法实验六 用 matlab 求解常微分方程 1.微分... 　 Matlab解微分方程_理学_高等教育_教育专区。MATLAB解微分方程,很详细,对于解偏微分方程很有用第十六 第十六章 偏微分方程的数值解法 科学研究和工程技术中的许多... 　微分方程 , (组) 的数值解法(近似解) . 对微分方程(组)的解析解法(精确解),Matlab 有专门的函数可以用,本实 验将作一定的介绍. 本实验将主要研究微分方程(...扫扫二维码，随身浏览文档
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常微分方程数值解法
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高考数列题最后一小题很多都是解个不定方程。两个未知量的基本都能解出来。这种三个未知量有点没思路，求详解
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　不要乱出题。。既然知道是不定方程这个词了，应该知道指数级困难度吧。3,1,1 3,2,3 5,1,2 9,1,3 17,1,4 33,1,5 65,1,6...
先设p为奇素数，则因t为奇，2^n=t^p-1=(t-1)(t^(p-1)+…+t+1)，故t-1=2^k，又t^(p-1)+…+t+1三p(t-1)，这时无解，当p=2时，易讨论得t=3，n=3，当p是合数时就easy了。。。
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