微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第四章习题详解81
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微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第四章习题详解81
习题4-1；1.验证函数f(x)=lnsinx在[,；6π5π；]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的?，使f′(；解:显然f(x)?lnsinx在π5π?x5π?；上连续,在?,内可导,且f()?f()??ln2；66满足罗淼奶跫.令f?(x)?；cosx；sinx?cotx?0,则x?；即存在??π??(π6,5π；),使f?(?)?0成立.；2.下
习题 4-11.验证函数f(x)=lnsinx在[,6π5π6]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的?，使f ′(ξ)=0.解: 显然f(x)?lnsinx在π5π?x5π??π5π?上连续,在?,内可导,且f()?f()??ln2,,???66???66?66满足罗淼奶跫.
令f?(x)?cosxsinx?cotx?0,则x?π2 即存在??π??(π6,5π6),使f?(?)?0成立.2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ ?(1)f(x)?ex2?1,
(2)f(x)?x?1,
?0,2?;(3)f(x)??sinx,0?x?π?x?0?0,π? ?1,解: (1) f(x)?ex2?1在??1,1?上连续,在??1,1?内可导,且f(?1)?e?1,f(1)?e?1, 即
f(?1)?f(1 )?
f(x)在??1,1?上满足罗淼娜鎏跫. 令
f?(x)?2xex2?0得
x?0, 即存在??0?(?1,1),使f?(?)?0.(2) f(x)?x?1??1?x0?x?1??x?11?x?2 显然f(x)在(0,1),(1,2)内连续,又f(1?0)?lim?f(x)?lim?(1?x)?0,x?1x?1f(1?0)?lim?1?f(x)?limx?1?(x?1)?0,即f(1?0)?f(1?0)?f(1)?0,x所以f(x)在x?1处连续,而且f(0?0)?lim?f(x)?lim?0?(1?x)?1?f(0),x?0xf(2?0)?lim?f(x)?lim?(x?1)?1?f(2), x?2x?2即f(x)在x?0处右连续,在x?2处左连续,所以f(x)在?0,2? 上连续.又 1f??(1)?lim?x?1f(x)?f(1)x?1f(x)?f(1)x?1?lim?x?11?xx?11?xx?1??1, ?1f??(1)?lim?x?1?lim?x?1?
f??(1)?f??(1 ) ?在x?1处不可导,从而f(x)在(0,2)内不可导. f x(又
f(0)?f(2)?1??1?10?x?11?x?2又由
f?(x)?0综上所述,函数f(x)满足罗淼奶跫(1),(3)不满足条件(2),没有满足定理结论的?.
(3) 由f(0?0)?limsinx?0?f(0)?1知f(x)在x?0不右连续,x?0??
f(x)在?0,π?上不连续,显然f(x)在?0,π?上可导,又f(0)?1,f(π)?0,即f(0)?f(π),且f?(x)?cosx
x?(0,π),取??π2?(0,π),有f?(?)?cos??cosπ2?0.综上所述,函数f(x)满足罗淼奶跫(2),不满足条件(1),(3),有满足定理结论的?,?=π2.3. 不用求出函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)的导数，说明方程f?(x)?0有几个实根，并指出它们所在的区间.解:
显然f(x)在?1,2?上连续,在?1,2?内可导,且f(1)?f(2)?0,由罗碇,在?1,2?内至少存在一点?1,使f?(?1)?0,即f?(x)?0在?1,2?内至少有一个实根.同理f?(x)?0在?2,3?内也至少有一个实根?2.又f?(x)?0是二次方程,最多有两个实根,故f?(x)?0有两个实根,分别在区间?1,2?和?2,3?内.4. 验证拉格朗日中值定理对函数f(x)?x?2x在区间［0，1］上的正确性.解:
显然f(x)?x?2x在［0，1］上连续,在?0,1?内可导,满足拉格朗日中值定理的条件.23?若令f?(x)?x33?2f(1?)f1?0(0)?3则x??3,取??3,即存在2 ??3(0,1),使得f(?)?f(1)?f(0)1?0成立.从而拉格朗日中值定理对函数f(x)?x3?2x在［0，1］上成立.※5. 设f?(x)在［a,b］上连续，在［a,b］内可导，f ′(a) = 0，f ′′(x) & 0，证明：f′(a)& f (b)。证: 略。6.若方程a0xn?a1xn?1???an?1x?0有一个正根x0,证明方程a0nxn?1?a1(n?1)xn?2???an?1?0必有一个小于x0的正根.
证: 令f(x)?a0x?a1xnn?1?…?an?1x,显然f(x)在?0,x0?连续,在?0,x0?内可导,且f(0)?0,依题意知f(x0)?0.即有f(0)?f(x0).由罗,至少存在一点??(0,x0),使得f?(?)?0成立,即a0n?n?1?a1(n?1)?n?2?…?an?1?0成立,这就说明?是方程a0nxn?1?a1(n?1)xn?2???an?1?0的一个小于x0的正根.
7. 设f(a) = f(c) = f(b),且a＜c＜b, f ″(x)在［a,b］上存在，证明在(a,b)内至少存在一点ξ，使f ″(ξ) = 0.证:
显然f(x)分别在?a,c?和?c,b?上满足罗淼奶跫,从而至少存在?1?(a,c),?2?(c,b),使得f?(?1)?f?(?2)?0.※又由题意知f?(x)在??1,?2?上满足罗淼奶跫,从而至少存在一点??(?1,?2)?(a,b),使得f??(?)?0.即在(a,b)内至少存在一点?,使f??(?)?0.习题4-21.利用洛必达法则求下列极限： (1) limsin3xtan5xmnx??;
(2) lime?x?1x(e?1)xxx?0x;x(3)limx?amnx?ax?a；
(4) lim(a?x)?ax2x?0,(a＞0)； 3(5) limlnx
(6)x?0?cotx；
x?0?ln(1?1)x(7)
(8) lim(e1x?ex?1)x???arcx?0; 1(9) lim(1?sinx)xx?0;
(10) lim(2arctanx)xx???π (11)
lim(3?ex1x?02?x)csxc;
(12) limx2ex2x?0;11(13) limx);
(14) lim?1?(1?x)x?xx???x?0?.?e?解:(1)limsin3x3cos3x?cos25xx?πtan5x?limx?π5sec25x?35limcos3xx?π?35?(?1)?(?1)2??35x(2)limex?x?1ex?1x(ex?1)?limx?0x?0ex?1?xex?limex?0ex?ex?xex ?lim12?x?1x?02?amm?1(3)limxmnn?limmx?limmxm?n?mam?n.x?ax?ax?anxn?1x?ann(a?x)x?x???axln(4)lim(a?x)x?ax?ln(a?x)?a?x?a?x?0x2?limx?02x2(a?x)x?x?x1ax?
?lim?ln(a?x)?a?x??(a?x)(?)?aln2a?a?x(a?x)2x?02a0?lna?0?2?a0(102?a?aa2)?a?lna2?1a 4 1(5)limlnxsin2x2sinxcosxx?0?cotx?limx?0??csc2x?lim?x??x?0?limx?0?1
??2sin0?cos0?01(6)lim?sinxlnx?limlnxx?0x?0?cscx?lim??cscxcotx??limsinxx?tanxx?0x?0?
??limsinxx?lim?1?0?0x?0?x?0?tanx??1x2ln(1?1)1?112(7)xx?x2?1xlim???arccotx?xlim???lim1?x?1x?x2??x???xlim???111?x2x?1 x1xxlim(e?lime2x(8)?ex?xx?0x?ex?1)?lime(e?1)?xx?0x(ex?1)x?0xex?x2xx14e2xexe0 ?lim2e?e??ex?0xex?ex?1?lim?x?0xex?2ex?40?2e ?32cosx11x)sinx)cosx(9)lim(1?sinx)x?limexln(1?sin?elimln(1?limx?0x=elim1?sinxx?01?ex?01?sinx?e1?ex?0x?0ln(2arctanx)2?1limπlimπarctanx?11?x22ln(x???1x????1(10)lim(arctanx)x?limex2πarctanx)?ex?ex2x???πx???2?lim1?limxx????x2)arctanx(1?1)arctanx?ex???(1?ex2?e?2πxln3?ex3?ex2?xln2?x(11)lim(3?excscx2?x?limesinx?elimx?0sinxx?02?x)?limecscxln3?ex?0x?0 2?x?ex(2?x)?(3?ex)xx?elim3?ex?(2?x)2lim?e?xe?3cosx(3?exx?0?ex?0)(2?x)cosx?e?1?1e11211(12)limx2ex2ex2ex?(1x?0?limx?01?lim2)?x?0?limex2x?0??x2(1x2)?5 包含各类专业文献、行业资料、高等教育、幼儿教育、小学教育、文学作品欣赏、中学教育、微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第四章习题详解81等内容。　
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第六题我解得是y=ce^-2x+x-1/2,不知道对不对
对，怎么写的，不会啊
这个才是4题的，刚才出去了，不好意思
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