如图,如图在三棱锥pabc中A-BCD中,面ABC⊥面BCD,△ABC是正三角形,∠BCD=90°，∠CBD=30°。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-10-25 15:01 标签： 已知三棱锥s abc
如图，在三棱锥A-BCD中，面ABC⊥面BCD，△ABC是正三角形，∠BCD=90°，∠CBD=30°．（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）求二面角D-AB-C的大小；（Ⅲ）求异面直线AC与BD所成角的大小．_作业帮
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如图，在三棱锥A-BCD中，面ABC⊥面BCD，△ABC是正三角形，∠BCD=90°，∠CBD=30°．（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）求二面角D-AB-C的大小；（Ⅲ）求异面直线AC与BD所成角的大小．
如图，在三棱锥A-BCD中，面ABC⊥面BCD，△ABC是正三角形，∠BCD=90°，∠CBD=30°．（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）求二面角D-AB-C的大小；（Ⅲ）求异面直线AC与BD所成角的大小．
解法一：（Ⅰ）证明：∵面ABC⊥面BCD，∠BCD=90°，且面ABC∩面BCD=BC，∴CD⊥面ABC．（2分）又∵AB?面ABC，∴DC⊥AB．（4分）（Ⅱ）如图，过点C作CM⊥AB于M，连接DM．由（Ⅰ）知CD⊥面ABC．∴CM是斜线DM在平面ABC内的射影，∴DM⊥AB．（三垂线定理）∴∠CMD是二面角D-AB-C的平面角．（6分）设CD=1，由∠BCD=90°，∠CBD=30°得，BD=2．∵△ABC是正三角形，∴．∴．∴．∴二面角D-AB-C的大小为．（9分）（Ⅲ）如图，取三边AB、AD、BC的中点M、N、O，连接AO、MO、NO、MN、OD，则OM∥AC，；MN∥BD，．∴∠OMN是异面直线AC与BD所成的角或其补角．（11分）∵△ABC是正三角形，且平面ABC⊥平面BCD，∴AO⊥面BCD，△AOD是直角三角形，．又∵CD⊥面ABC，故2+AC2＝2ON＝2．在△OMN中，，MN=1，ON=1．∴
本题考点：
与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．
问题解析：
解法一：（1）根据平面与平面垂直的性质定理可得：CD⊥面ABC，所以DC⊥AB．（2）由（Ⅰ）知CD⊥面ABC．二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过点C作CM⊥AB于M，连接DM．所以∠CMD是二面角D-AB-C的平面角．（3）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．取三边AB、AD、BC的中点M、N、O，连接AO、MO、NO、MN、OD，则OM∥AC，；MN∥BD，．∴∠OMN是异面直线AC与BD所成的角或其补角．解法二：以点O为原点，OM所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（1）设CD=1，则O（0，0，0），，，，．故由得：，即AB⊥CD．（2）由CD⊥平面ABC得，平面ABC的法向量为，设平面ABD的法向量为，所以这两个法向量的夹角的大小（正值）即为二面角D-AB-C的大小；（3）因为，，故异面直线AC和BD所成角的大小即为的夹角的大小．【答案】（1）见解析，(2)
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16．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点．
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＞＞＞如图，在△ABC中，CD是高线，点E在CD上，且∠ACD=∠DBE，则有（）A．BE..
如图，在△ABC中，CD是高线，点E在CD上，且∠ACD=∠DBE，则有（　　）A．BE⊥ACB．BE平分∠ABCC．∠BCD=∠CBED．∠CBD=∠BED
题型：单选题难度：偏易来源：不详
证明：延长BE到AC上一点F，∵CD是高线，∴∠BED=∠CEF，∠BDE=90°，则∠DEB+∠EBD=90°，∵∠ACD=∠DBE，∴∠ACE+∠CEF=90°，∴BE⊥AC，故A选项正确；故选：A．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，CD是高线，点E在CD上，且∠ACD=∠DBE，则有（）A．BE..”主要考查你对&&三角形的内角和定理，三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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三角形的内角和定理三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线
三角形的内角和定理及推论：三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论：（1）直角三角形的两个锐角互余。（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 线段的垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明巧计方法：点到线段两端距离相等。三角形中线性质定理：1、三角形的三条中线都在三角形内。
2、三角形的三条中线长：
ma=(1/2)√2b2+2c2 -a2 ；
mb=(1/2)√2c2 +2a2 -b2& ；
mc=(1/2)√2a2 +2b2 -c2& 。
(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）
3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。
4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.
定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
角平分线线定理：定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC注：定理2的逆命题也成立。三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。&& 2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。&& 3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。&& 垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。垂直平分线的尺规作法：方法一：1、取线段的中点。2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到一个交点。3、连接这两个交点。原理：等腰三角形的高垂直等分底边。方法二：1、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线，得到两个交点。原理：圆的半径处处相等。2、连接这两个交点。原理：两点成一线。 垂直平分线的概念：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）
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与“如图，在△ABC中，CD是高线，点E在CD上，且∠ACD=∠DBE，则有（）A．BE..”考查相似的试题有：
24004711263845627821865129725529770221． 如图,△ABC与△BCD是一副三角板,它们所在的两个平面互相垂直．若AB=AC,∠BAC=∠BCD=90°,∠CBD=3Ⅰ）求证：三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形；（Ⅱ）求二面角A-BD-C的正切值._作业帮
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21． 如图,△ABC与△BCD是一副三角板,它们所在的两个平面互相垂直．若AB=AC,∠BAC=∠BCD=90°,∠CBD=3Ⅰ）求证：三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形；（Ⅱ）求二面角A-BD-C的正切值.
21． 如图,△ABC与△BCD是一副三角板,它们所在的两个平面互相垂直．若AB=AC,∠BAC=∠BCD=90°,∠CBD=3Ⅰ）求证：三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形；（Ⅱ）求二面角A-BD-C的正切值.教师讲解错误
错误详细描述：
如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE＝BE，则有（　　）A．△AED∽△BEDB．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD
【解析过程】
∵，AE＝BE，∴，，∴．又∵∠A＝∠C，∴△AED∽△CBD．故选B．
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