唯一定理为何除零次零化多项式式 高等代数

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-10-26 13:21 标签： 零多项式
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第一篇 高等代数部分第一章
1 定义: ,对任意,有,称为数域2 任给数域,,与之间又无穷多个数域. 如 为素数,为有理数在
与之间. 与之间不存在任何数域有理数域是最小的数域.
2. 一元多项式运算:
1 概念: 次数,系数,首项系数,零次多项式,多项式2 加减运算律:结合律,交换律.
3 乘法定义: 设,.则
运算律: ;若,则.
3. 多项式整除性:
1 带余除法: ,则存在唯一的,使得,其中或.称为商式,为余式.
2 令,若存在,使得,则称整除,记为,为的因式3 , 除余式4 ; ; 取常数,则; 5 与可有相同因式,与等价,可互相整除6 整除关系不因为数域扩大而改变7 整除性质: 1. ;
2 3. ,则与等价8 带余除法计算
9 综合除法计算.
4. 最大公因式:
1 的最大公因式定义: i , ii 若,则有则,就称为的最大公因式. 记为首的最大公因式2 算法:辗转相除法3 性质: 1 .则
2 为的最大公因式,则存在,使得. 若,且
,则为的最大公因式
3 最大公因式不因系数域的扩大而改变.
5. 互素多项式:
2 互素当且仅当存在使得3 ,且,则 4 ,,则.
6. 不可约多项式:
1 定义:不能表示为两个次数比它低的多项式的乘积,称为不可约多项式
注: 1. 次数最低的不可约多项式为一次多项式,一次多项式一定为不可约多项式.多项式以及数不定义不可约与可约 2. 可约性与数域有关,有理数域有任意次数的不可约多项式,实数域上的不可约多项式是一次的和某些二次的判别式小于,复数域上的不可约多项式是一次多项式2 性质:
1 是数域上的不可约多项式,,则也不可约2 对上的任意多项式,或者,或者3 ,则存在,使得.
7. 唯一分解定理:
1 ,则可唯一分解为不可约多项式的乘积.意思是若有两种分解
,其中为不可约多项式,则且,适当排列分解因式次序,有2 标准分解式: ,为首的不可约多项
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内容提示：难点 从增广矩阵出发求解方程组关键 分析如何用消元法求一般方程组的解
重点 二次型的标准形难点 二次型的标准形的求法关键 化二次型为标准形
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高等代数/线性代数：n阶矩阵A、B可换，B幂零，证A与A+B有相同的特征多项式。
提问者采纳
A,B可换，可以同时上三角化，且对角线上为相应特征值，B为幂零阵，从而特征值全部为0，从而A和A+B有相同的特征值，因此有相同的特征多项式
提问者评价
多谢勇哥！
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你可能喜欢高等代数多项式定理的逆定理证明没看懂？_百度知道
高等代数多项式定理的逆定理证明没看懂？
逆定理：设p(x)是次数大于零的多项式，如果对于任何多项式f(x),由p(x)|f(x)g(x)可以推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x),那么p(x)是不可约多项式。答案是：反证法，设p(x)可约，则有p(x)=p1(x)|p2(x).那么由假设可得p(x)|p1(x)或p(x)|p2(x)，这是不可能的，因为后面两个多项式的次数低于p(x)的次数，于是得证。答案看不懂，没有一处看懂，我会设p(x)可约，所以设p(x)=p1(x)p2(x),p1(x),p2(x)次数都小于p(x)的次数，求大神
提问者采纳
你的想法是对的……（猜测是你书上那个整除符号印错位置了吧）正确做法：若p(x)可约，设p(x)=p1(x)p2(x)，则p(x) | p1(x)p2(x)，但p(x)既不整除p1(x)也不整除p2(x)，矛盾，所以p(x)不可约。
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