已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=f(x2)-f(x1)/x2-x1成立，求证：x1＜x0＜x2（III）己知数列{an}满足a1=1，an+1=（1+1/2n）an+1/n2（n∈N+），求证：an＜e又11/4（e为自然对数的底数）．-乐乐题库
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& 函数在某点取得极值的条件知识点 & “已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+...”习题详情
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已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I&）求g（x）=f(x+1)x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II&）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=f(x2)-f(x1)x2-x1成立，求证：x1＜x0＜x2（III）己知数列{an}满足a1=1，an+1=（1+12n）an+1n2（n∈N+），求证：an＜e114（e为自然对数的底数）．　
本题难度：较难
题型：解答题&|&来源：2013-绵阳二模
分析与解答
习题“已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=...”的分析与解答如下所示：
（Ⅰ）由f（x）求出f（x+1），代入g（x），对函数g（x）求导后利用导函数的符号求出函数g（x）在定义域内的单调区间，从而求出函数的极大值；（Ⅱ）求出f′（x0），代入f′（x0）=f(x2)-f(x1)x2-x1后把lnx0用lnx1，lnx2表示，再把lnx0与lnx2作差后构造辅助函数，求导后得到构造的辅助函数的最大值小于0，从而得到lnx0＜lnx2，运用同样的办法得到lnx1＜lnx0，最后得到要证的结论；（Ⅲ）由给出的递推式an+1=（1+12n）an+1n2说明数列{an}是递增数列，根据a1=1，得到an≥1，由此把递推式an+1=（1+12n）an+1n2放大得到lnan+1≤lnan+ln(1+12nn+1＜lnan+12n
（Ⅰ）解：由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））．∴f（x+1）=（x+1）ln（x+1）（x∈（-1，+∞））．则有g(x)=f(x+1)x+1-x=(x+1)ln(x+1)x+1-x=ln（x+1）-x，此函数的定义域为（-1，+∞）．g′(x)=1x+1′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0．所以g（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞），故g（x）的极大值是g（0）=0；（Ⅱ）证明：由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）），得f′（x）=lnx+1，所以lnx0+1=f(x2)-f(x1)x2-x10-lnx2=f(x2)-f(x1)x2-x12-1=x2lnx2-x1lnx1x2-x1-lnx2-1=x1lnx2-x1lnx1x2-x1-1=lnx2x1x2x1-1-1，令x2x1=t（t＞1），则h(t)=lntt-1=ln-t+1t-1，因为t-1＞0，只需证明lnt-t+1＜0．令s（t）=lnt-t+1，则s′(t)=1t0＜lnx2，故x0＜x2．同理可证x1＜x0，故x1＜x0＜x2．（Ⅲ）证明：因为a1=1，an+1=(1+12nn+1n2n，所以{an}单调递增，an≥1．于是an+1=(1+12nn+1n2n+1n2n=(1+12n+1n2)an，所以lnan+1≤lnan+ln(1+12nn+1＜lnan+12nk-lnak-1＜12k-1n-lna1＜(121+[112+122+…+1(n-1)2]＜12(1-12n-1)1-12+[1+14+12×3+13×4+…+1(n-2)(n-1)]=(1-12n-1)+[1+14+(12-13)+(13-14)+…+(1n-2-1n-1)]=(1-12n-1)+(1+14+12-1n-1)=114-12n-1-1n-1＜114．即lnan＜lna1+114n＜e114．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了通过构造函数，利用函数的单调性和极值证明不等式，训练了累加法求数列的通项公式，考查了利用放缩法证明不等式，是一道难度较大的综合题型．
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已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′...
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经过分析，习题“已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=...”主要考察你对“函数在某点取得极值的条件”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数在某点取得极值的条件
函数在某点取得极值的条件．
与“已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=...”相似的题目：
如果f（x0）是函数f（x）的一个极值，称点（x0，f（x0））是函数f（x）的一个极值点．已知函数f（x）=（ax-b）eax（x≠0且a≠0）（1）若函数f（x）总存在有两个极值点A，B，求a，b所满足的关系；（2）若函数f（x）有两个极值点A，B，且存在a∈R，求A，B在不等式|x|＜1表示的区域内时实数b的范围．（3）若函数f（x）恰有一个驻点A，且存在a∈R，使A在不等式|x|＜1|y|＜e2表示的区域内，证明：0≤b＜1．&&&&
已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值，又存在极小值，则实数m的取值范围是&&&&（-1，2）（-∞，-3）∪（6，+∞）（-3，6）（-∞，-1）∪（2，+∞）
设函数f（x）=x2+aln（x+1）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）当a=38时，判断方程f（x）=-14的实数根的个数，并说明理由．&&&&
“已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+...”的最新评论
该知识点好题
该知识点易错题
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可以插入公式啦！&我知道了&
（;山东）设函数f（x）=x
x2-k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．
正在获取……
(注：此处只显示部分答案，可能存在乱码，查看完整答案不会有乱码。)
分析：（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；
（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．
…(点击上面的蓝色链接“查看完整答案与解析”字样可以查看完整答案)
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不错高考题考察真详细
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3.3.1函数的单调性与导数-题型分类讲解|
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函数fx=lnx-kx在0，1上单调递增，求实数k的取值范围。
高中数学，导数
可以取等？
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（1）函数f（x）的定义域：X& 0 衍生函数f（x）： F`（倍）= 1/xk 第一种情况：当k是大于0：当f'（x）的& = 0时间f（x）是单调增加，此时X = 1 / K 那么单调的增加间隔：0 &X &= 1 / K 当f'（x）的 = 1 / K 因此，单级减速间隔：X& = 1 / K & /秒的情况下：当k小于或等于0时： F`（）& = 0恒大0，函数f（x）是单调递增，此时x& 0时的单调递增间隔：x& 0时（2）当k为大于0，函数f（x）在x = 1 / K处，能取得最大的f值（所述）最大= LN（1 / K ） - K * 1 / k +1个= LN（1 / K）/&当最大值小于或等于0，函数f（x） K）= 0解决方案：& = 1 当k为小于或等于0，函数f（x）单调增加的，不符合题意。 因此，在k的范围是：& = 1
导数f'（x）=1/x-k函数单调递增1/x-k&0定义域0&x&1k&1如有疑问可以提问哦没有请 选为满意谢谢亲
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