第4章 多元函数微积分学_百度文库
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第4章 多元函数微积分学|文​科​考​研​p​p​t
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你可能喜欢（2013o湖南模拟）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=x3，f4（x）=sinx，f5（x）=cosx，f6（x）=2．（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．考点：；．专题：；．分析：（1）由任意两个奇函数的和为奇函数，而原来的六个函数中奇函数有三个，故可用古典概型求解；（2）ξ可取1，2，3，4，ξ=k的含义为前k-1次取出的均为奇函数，第k次取出的是偶函数，分别求概率，列出分布列，再求期望即可．解答：解：（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知．（2）ξ可取1，2，3，4，；故ξ的分布列为．答：ξ的数学期望为．点评：本题考查函数奇偶性的判断、排列组合、古典概型、离散型随机变量的分布列、期望等知识，及利用所学知识解决问题的能力．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：★★★★★推荐试卷
解析质量好解析质量中解析质量差极坐标的定义域是怎么规定的?如题：曲线r=(sinθ/3)^3,如果求他的长度...极坐标的定义域是怎么规定的?如题：曲线r=(sinθ/3)^3,如果求他的长度,积分区间该怎么确定?_百度作业帮
极坐标的定义域是怎么规定的?如题：曲线r=(sinθ/3)^3,如果求他的长度...极坐标的定义域是怎么规定的?如题：曲线r=(sinθ/3)^3,如果求他的长度,积分区间该怎么确定?
很久很久以前的教材曾经规定ρ可以取负数,极坐标点(-2,1)表示在射线θ=1反向延长线上距离原点2的那个点,弄得很复杂.现在规定ρ取非负实数,就简单多了,即现在的极坐标点的第1个坐标是不可以为负数的,上面这个点的坐标应该表示为(2,1+π),所以你说“ρ属于R”相对于现在普遍的概念是错误的.ρcosθ=1,即ρ=1/cosθ ==> ρ=secθ表示一条直线,θ可以取一切它可以取的实数（当然必须不能使ρ为负数）,既然定义域是使算式有意义的的一切实数,按照我们的约定,定义域是不必说的.注意：极坐标下的曲线通常是以θ为自变量的,有必要时需要交代的也是θ的取值范围,没有交代ρ的取值范围的.反函数的一些基本知识和极坐标的基本知识知道的速度回了最好详细一点_百度作业帮
反函数的一些基本知识和极坐标的基本知识知道的速度回了最好详细一点
一般地,如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应,y=f（x）.则y=f（x）的反函数为y=f^-1（x）.
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)
【反函数的性质】
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；
（2）函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数),奇函数不一定存在反函数.若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数.
(5)一切隐函数具有反函数；
(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】.
（8）反函数是相互的
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）
(10)原函数一旦确定,反函数即确定（三定）
例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5
y=2^x的反函数是y=log2 x
例题：求函数3x-2的反函数
y=3x-2的定义域为R,值域为R.
由y=3x-2解得
x=1/3(y+2)
将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是
y=1/3(x+2)[编辑本段]⒈ 反函数的定义
一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x= (y). 若对于y在C中的任何一个值,通过x= (y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x= (y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x= (y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f^-1(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
说明：⑴在函数x=f^-1(y)中,y是自变量,x是函数,但习惯上,我们一般用x表示自变量,用y 表示函数,为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y,把它改写成y=f^-1(x),今后凡无特别说明,函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式.
⑵反函数也是函数,因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知,对于任意一个函数y=f(x)来说,不一定有反函数,若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x),那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x),这就是说,函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数.
⑶从映射的定义可知,函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射,而它的反函数y=f^- 1(x)是集合C到集合A的映射,因此,函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数 y=f^-1(x)的定义域（如下表）：
函数y=f(x)
反函数y=f^-1(x)
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：
若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”,那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-1(t)=t/v,同样y=2x+6记为f(x)=2x+6,则它的反函数为：f^-1(x)=x/2-3.
有时是反函数需要进行分类讨论,如：f(x)=X+1/X,需将X进行分类讨论：在X大于0时的情况,X小于0的情况,多是要注意的.一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a极坐标
在 平面内取一个定点O, 叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向).对于平面内任何一点M,用ρ表示线段OM的长度,θ表示从Ox到OM的角度,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标,这样建立的坐标系叫做极坐标系.
第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿.他的《流数法与无穷级数》,大约于1671年写成,出版于1736年.此书包括解析几何的许多应用,例如按方程描出曲线,书中创见之一,是引进新的坐标系.17甚至18世纪的人,一般只用一根坐标轴(x轴),其y值是沿着与x轴成直角或斜角的方向画出的.牛顿所引进的坐标之一,是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准,例如我们现在的极坐标系.牛顿还引进了双极坐标,其中每点的位置决定于它到两个固定点的距离.由于牛顿的这个工作直到1736年才为人们所发现,而瑞士数学家J.贝努力利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章,所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者.J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用,而且自由地应用极坐标去研究曲线.他还给出了从直角坐标到极坐标的变换公式.确切地讲,J.赫尔曼把 ,cos ,sin 当作变量来使用,而且用z,n和m来表示 ,cos 和 sin.欧拉扩充了极坐标的使用范围,而且明确地使用三角函数的记号；欧拉那个时候的极坐标系实际上就是现代的极坐标系.
有些几何轨迹问题如果用极坐标法处理,它的方程比用直角坐标法来得简单,描图也较方便.1694年,J.贝努利利用极坐标引进了双纽线,这曲线在18世纪起了相当大的作用.
在柱坐标中,x被ρcosθ代替,y被ρsinθ代替.
极坐标系是一个二维坐标系统.该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示.极坐标系的应用领域十分广泛,包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域.在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时,极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中,这样的关系就只能使用三角函数来表示.对于很多类型的曲线,极坐标方程是最简单的表达形式,甚至对于某些曲线来说,只有极坐标方程能够表示.
主条目：三角函数的历史
众所周知,希腊人最早使用了角度和弧度的概念.天文学家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC）制成了一张求各角所对弦的弦长函数的表格.并且,曾有人引用了他的极坐标系来确定恒星位置.在螺线方面,阿基米德描述了他的著名的螺线,一个半径随角度变化的方程.希腊人作出了贡献,尽管最终并没有建立整个坐标系统.
关于是谁首次将极坐标系应用为一个正式的坐标系统,流传着有多种观点.关于这一问题的较详尽历史,哈佛大学教授朱利安·卢瓦尔·科利奇的《极坐标系起源》[1][2]作了阐述.格雷瓜·德·圣-万桑特和博纳文图拉·卡瓦列里,被认为在几乎同时、并独立地各自引入了极坐标系这一概念.圣-万桑特在1625年的私人文稿中进行了论述并发表于1647年,而卡瓦列里在1635进行了发表,而后又于1653年进行了更正.卡瓦列里首次利用极坐标系来解决一个关于阿基米德螺线内的面积问题.布莱士·帕斯卡随后使用极坐标系来计算抛物线的长度.
在1671年写成,1736年出版的《流数术和无穷级数》(en:Method of Fluxions)一书中,艾萨克·牛顿第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点.牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系.在1691年出版的《博学通报》（Acta eruditorum）一书中雅各布·伯努利正式使用定点和从定点引出的一条射线,定点称为极点,射线称为极轴.平面内任何一点的坐标都通过该点与定点的距离和与极轴的夹角来表示.伯努利通过极坐标系对曲线的曲率半径进行了研究.
实际上应用“极坐标”en:Polar coordinate system这个术语的是由格雷古廖·丰塔纳开始的,并且被18世纪的意大利数学家所使用.该术语是由乔治·皮科克在1816年翻译拉克鲁瓦克斯的《微分学与积分学》（Differential and Integral Calculus）[3][4][5] 一书时,被翻译为英语的.
阿勒克西斯·谢罗特和莱昂哈德·欧拉被认为是将平面极坐标系扩展到三维空间的数学家.
在极坐标系中表示点
点(3,60°) 和 点(4,210°)
点(3,60°) 和 点(4,210°)
正如所有的二维坐标系,极坐标系也有两个坐标轴：r(半径坐标)和θ（角坐标、极角或方位角,有时也表示为φ或t）.r坐标表示与极点的距离,θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度,极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向.[6]
比如,极坐标中的(3,60°)表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点.(&#°) 和(3,60°)表示了同一点,因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方(240° &#° = 60°).
极坐标系中一个重要的特性是,平面直角坐标中的任意一点,可以在极坐标系中有无限种表达形式.通常来说,点(r, θ)可以任意表示为(r, θ ± n×360°)或(−r, θ ± (2n + 1)180°),这里n是任意整数.[7] 如果某一点的r坐标为0,那么无论θ取何值,该点的位置都落在了极点上.
[编辑] 使用弧度单位
极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度,使用公式2π rad = 360°.具体使用哪一种方式,基本都是由使用场合而定.航海(en:Navigation)方面经常使用角度来进行测量,而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算,所以物理方面更倾向使用弧度.[8]
[编辑] 在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换
极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值
x = r \cos \theta \,
y = r \sin \theta \,
由上述二公式,可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标
r = \sqrt{x^2 + y^2} \,
\theta = \arctan \frac\qquad x \ne 0 \,
[9]在 x = 0的情况下：若 y 为正数 θ = 90° (π/2 radians); 若 y 为负, 则 θ = 270° (3π/2 radians).
[编辑] 极坐标方程
用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程,通常表示为r为自变量θ的函数.
极坐标方程经常会表现出不同的对称形式,如果r(−θ) = r(θ),则曲线关于极点(0°/180°)对称,如果r(π−θ) = r(θ),则曲线关于极点(90°/270°)对称,如果r(θ−α) = r(θ),则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°.[9]
方程为r(θ) = 1的圆.
方程为r(θ) = 1的圆.
在极坐标系中,圆心在(r0, φ) 半径为 a 的圆的方程为
r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2
该方程可简化为不同的方法,以符合不同的特定情况,比如方程
r(\theta)=a \,
表示一个以极点为中心半径为a的圆.[10]
[编辑] 直线
经过极点的射线由如下方程表示
\theta = \varphi \,
其中φ为射线的倾斜角度,若 m为直角坐标系的射线的斜率,则有φ = arctan m. 任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直.[11] 这些在点(r0, φ)处的直线与射线θ = φ 垂直,其方程为
r(\theta) = \sec(\theta-\varphi) \,.
[编辑] 玫瑰线
一条方程为 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰线.
一条方程为 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰线.
极坐标的玫瑰线(polar rose)是数学曲线中非常著名的曲线,看上去像花瓣,它只能用极坐标方程来描述,方程如下：
r(\theta) = a \cos k\theta \, OR
r(\theta) = a \sin k\theta \,
如果k是整数,当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣,当k是偶数时曲线将是2k个花瓣.如果k为非整数,将产生圆盘(disc)状图形,且花瓣数也为非整数.注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2,6,10……）个花瓣.变量a代表玫瑰线花瓣的长度.
[编辑] 阿基米德螺线
方程 r(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一条阿基米德螺线.
方程 r(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一条阿基米德螺线.
阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示:
r(\theta) = a+b\theta \,.
改变参数a将改变螺线形状,b控制螺线间距离,通常其为常量.阿基米德螺线有两条螺线,一条θ > 0,另一条θ < 0.两条螺线在极点处平滑地连接.把其中一条翻转 90°/270°得到其镜像,就是另一条螺线.
[编辑] 圆锥曲线
Ellipse, showing semi-latus rectum
Ellipse, showing semi-latus rectum
圆锥曲线方程如下：
r = {l\over (1 + e \cos \theta)}
其中l表示半径,e表示离心率. 如果e
1,则表示双曲线.
[编辑] 其他曲线
由于坐标系统是基于圆环的,所以许多有关曲线的方程,极坐标要比直角坐标系(笛卡尔形式)简单得多.比如lemniscates, en:lima&ons, and en:cardioids.
[编辑] 行星运动的开普勒定律
开普勒第二定律
开普勒第二定律
另见：开普勒行星运动定律
极坐标提供了一个表达开普拉行星运行定律的自然数的方法.开普勒第一定律,认为环绕一颗恒星运行的行星轨道形成了一个椭圆,这个椭圆的一个焦点在质心上.上面所给出的二次曲线部分的等式可用于表达这个椭圆.开普勒第二定律,即等域定律,认为连接行星和它所环绕的恒星的线在等时间间隔所划出的区域是面积相等的,即d\mathbf\over dt是常量.这些等式可由牛顿运动定律推得.在开普勒行星运动定律中有相关运用极坐标的详细推导.
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