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【考研数学】D1_2数列的极限.ppt25页
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第二节 一 数列极限的定义 定义 例如 例1 已知 例2 已知 例3 设 二收敛数列的性质 例4 证明数列 2 收敛数列一定有界 3 收敛数列的保号性 4 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限
三极限存在准则 1
夹逼准则 准则1
P49 例5 证明 2 单调有界数列必有极限
例6 设 根据准则 2 可知数列 3 柯西极限存在准则柯西审敛原理
P55 内容小结 思考与练习 作业 备用题
设 刘徽约225 – 295年 柯西1789 – 1857
二 收敛数列的性质
三 极限存在准则
一数列极限的定义
数列的极限 数学语言描述 引例 设有半径为 r 的圆
逼近圆面积 S
可知 当 n 无限增大时
无限逼近 S
刘徽割圆术
N 时 用其内接正 n 边形的面积 总有 刘徽
自变量取正整数的函数称为数列 记作 或 称为通项一般项
若数列 及常数 a 有下列关系
N 时 总有 记作 此时也称数列收敛
否则称数列发散
即 或 则称该数列 的极限为 a
趋势不定 收
证明数列 的极限为1
欲使 即 只要 因此
取 则当 时 就有 故 机动
证明 证 欲使 只要 即 取 则当 时 就有 故 故也可取 也可由 N 与
有关 但不唯一 不一定取最小的 N
证明等比数列 证 欲使 只要 即 亦即 因此
时 就有 故 的极限为 0
证 用反证法 及 且 取 因 故存在 N1
从而 同理 因 故存在 N2
N2 时 有 1 收敛数列的极限唯一 使当 n
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数列总结、等差数列、等比数列、求通项方法总结、求和方法总结
数列教案 1．数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 an ，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项） ，在第 二个位置的叫第 2 项，……，序号为 n 的项叫第 n 项（也叫通项）记作 an ； 数列的一般形式： a1 ， a2 ， a3 ，……， an ，……，简记作 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010 年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列 {a n } 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个 公式就叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②： 1， ， ， ， … 数列①的通项公式是 an = n （ n ≤ 7， n ∈ N + ） ， 数列②的通项公式是 an = 说明： ① {an } 表示数列， an 表示数列中的第 n 项， an = f ( n ) 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如， an = (?1)n = ?{an } 。1 1 1 1 2 3 4 51 （ n ∈ N+ ） 。 n??1, n = 2k ?1 (k ∈ Z ) ； ?+1, n = 2k③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点 看，数列实质上是定义域为正整数集 N + （或它的有限子集）的函数 f ( n) 当自变量 n 从 1 开始依次取值时 例：画出数列 a n = 2n + 1 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的 大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列） 、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…对应的一系列函数值 f (1), f (2), f (3), ……， f ( n) ， ……． 通常用 an 来代替 f ( n ) ， 其图象是一群孤立点。（5）数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系： an2(n = 1) ? S1 =? ? Sn ? Sn ?1 (n ≥ 2)例：已知数列 {a n } 的前 n 项和 s n = 2n + 3 ，求数列 {a n } 的通项公式1练习 1．根据数列前 4 项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7……；22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 52 ? 1 （2） ， ， ， ； 2 3 4 5 1 1 1 1 （3） ? ， ，? ， 。 1* 2 2*3 3* 4 4*5（4）9，99，999，9999… （5）7，77，777，7777，… (6)8, 88, 888, 8888… (7)1，3，3，5，5，7，7，9，9… 解析：(7):将已知数列变为 1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得数列 的通项公式为 a n = n + 2．数列 {an } 中，已知 an =1 + (?1) n 2n2 + n ? 1 (n ∈ N + ) 3（1）写出 a1, ， a 2 ， a3 ， an +1 ， an2 ； （2） 792 是否是数列中的项？若是，是第几项？ 33． （2003 京春理 14，文 15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如 下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____）内。4、由前几项猜想通项： 根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.（1）（4）（7）（）（）5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10 条直线相交，交点的个数最多是（ 为 A．40 个 . B．45 个 C．50 个 D．55 个） ，其通项公式2 条直线相 交，最多有 1 个交点3 条直线相 交，最多有 3 个交点24 条直线相 交，最多有 6 个交点等差数列 1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。用递推公式表示为 an ? an ?1 = d (n ≥ 2) 或 an +1 ? an = d (n ≥ 1) 。 例：等差数列 a n = 2n ? 1 ， a n ? a n ?1 = 2、等差数列的通项公式： an = a1 + ( n ? 1) d ； 说明：等差数列（通常可称为 A P 数列）的单调性： d & 0 为递增数列， d = 0 为常数列， d & 0 为递减 数列。 例：1.已知等差数列 {a n } 中， a 7 + a9 = 16，a 4 = 1，则a12 等于（ ） A．15 B．30 C．31 D．64 2. {an } 是首项 a1 = 1 ，公差 d = 3 的等差数列，如果 an = 2005 ，则序号 n 等于 （A）667 （B）668 （C）669 （D）6703.等差数列 a n = 2n ? 1, bn = ?2n + 1 ， a n 为 则 或“递减数列” ） 3、等差中项的概念：bn 为（填 “递增数列”定义：如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中 A =a ， A ， b 成等差数列 ? A =例： （06 全国 I） {an } 是公差为正数的等差数列， a1 + a2 + a3 = 15 ，a1a2 a3 = 80 ， a11 + a12 + a13 = 1． 设 若 则 （ A． 120 B． 105 C． 90 D． 75 ） ）a+b 2a+b 2即： 2a n +1 = a n + a n + 2（ 2a n = a n ? m + a n + m ）2.设数列 {an } 是单调递增的等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是（ A．1 B.2 C.4 D.84、等差数列的性质： （2）在等差数列 {an } 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （1）在等差数列 {an } 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（3）在等差数列 {an } 中，对任意 m ， n ∈ N + ， an = am + ( n ? m) d ， d =an ? am ( m ≠ n) ； n?m（4）在等差数列 {an } 中，若 m ， n ， p ， q ∈ N + 且 m + n = p + q ，则 am + an = a p + aq ； 5、等差数列的前 n 和的求和公式： S n = ( S n = An + Bn2n(a1 + an ) n(n ? 1) 1 d = na1 + d = n 2 + a1 ? ）n 。 （ 2 2 2 2( A, B为常数) ? {a n } 是等差数列 ) (a1 + a n )n (a m + a n ?( m ?1) )n = 2 2递推公式： S n =例：1.如果等差数列 {an } 中， a3 + a4 + a5 = 12 ，那么 a1 + a2 + ... + a7 = （A）14 （B）21 （C）283（D）352.（2009 湖南卷文）设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和，已知 a2 = 3 ， a6 = 11 ，则 S7 等于( A．13 B．35 C．49 D． 63)3.（2009 全国卷Ⅰ理） 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，若 S9 = 72 ,则 a2 + a4 + a9 = 4.（2010 重庆文） （2）在等差数列 {an } 中， a1 + a9 = 10 ，则 a5 的值为（ （A）5 （B）6 （C）8 （D）10 ）5.若一个等差数列前 3 项的和为 34， 最后 3 项的和为 146， 且所有项的和为 390， 则这个数列有 （ A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项 6.已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S12 = 21，则a 2 + a 5 + a8 + a11 = 7.（2009 全国卷Ⅱ理）设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，若 a5 = 5a3 则 8． （98 全国）已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100. （Ⅰ）求数列｛bn｝的通项 bn； 9.已知 {a n } 数列是等差数列， a10 = 10 ，其前 10 项的和 S10 = 70 ，则其公差 d 等于(）S9 = S5)A． ?2 3B． ?1 3C.1 3D.2 310.（2009 陕西卷文）设等差数列{an } 的前 n 项和为 sn ,若 a6 = s3 = 12 ,则 an =Sn ｝ n11． （00 全国） ｛an｝ 设 为等差数列， n 为数列 an｝ S ｛ 的前 n 项和， 已知 S7＝7， 15＝75， n 为数列 S T ｛的前 n 项和，求 Tn。12.等差数列 {a n } 的前 n 项和记为 S n ，已知 a10 = 30，a 20 = 50 ①求通项 a n ；②若 S n =242，求 n 13.在等差数列 {an } 中， （1）已知 S8 = 48, S12 = 168, 求a1和d ； （2）已知 a6 = 10, S5 = 5, 求a8和S8 ； (3)已知 a3 + a15 = 40, 求S1746.对于一个等差数列： （1）若项数为偶数，设共有 2n 项，则① S 偶 ? S 奇 = nd ； ②S奇 a = n ； S偶 an +1 S奇 n = 。 S偶 n ? 1（2）若项数为奇数，设共有 2n ? 1 项，则① S 奇 ? S 偶 = an = a中 ；② 7.对与一个等差数列， S n , S 2 n ? S n , S 3n ? S 2 n 仍成等差数列。例：1.等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（ A.130 B.170 C.210 D.260 2.一个等差数列前 n 项的和为 48，前 2 n 项的和为 60，则前 3 n 项的和为 3．已知等差数列 {a n } 的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为 4.设 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和， S 4 = 14，S10 ? S 7 = 30，则S 9 =）。5． （06 全国 II）设 Sn 是等差数列｛an｝的前 n 项和，若S3 1 S ＝ ，则 6 ＝ S6 3 S12D．A．3 10B．1 3C．1 81 98．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：a n+1 ? a n = d (常数）（n ∈ N ?）? {a n } 是等差数列②中项法：2a n +1 = a n + a n + 2③通项公式法：（n ∈ N ? ) ? {a n } 是等差数列a n = kn + b(k , b为常数) ? {a n } 是等差数列 ( A, B为常数) ? {a n } 是等差数列） D.无法判断④前 n 项和公式法：S n = An 2 + Bn例：1.已知数列 {a n } 满足 a n ? a n ?1 = 2 ，则数列 {a n } 为 （ A.等差数列 B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列2.已知数列 {a n } 的通项为 a n = 2n + 5 ，则数列 {a n } 为 （ A.等差数列 B.等比数列2） D.无法判断 ） D.无法判断C.既不是等差数列也不是等比数列3.已知一个数列 {a n } 的前 n 项和 s n = 2n + 4 ，则数列 {a n } 为（ A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列24.已知一个数列 {a n } 的前 n 项和 s n = 2n ，则数列 {a n } 为（） D.无法判断 ） D.无法判断A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 5.已知一个数列 {a n } 满足 a n + 2 ? 2 a n +1 + a n = 0 ，则数列 {a n } 为（ A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列5? 6.数列 {a n } 满足 a1 =8， a 4 = 2，且 a n + 2 ? 2a n +1 + a n = 0 （ n ∈ N ）①求数列 {a n } 的通项公式；27． （01 天津理，2）设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 Sn=n ，则{an}是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列9.数列最值 （1） a1 & 0 ， d & 0 时， Sn 有最大值； a1 & 0 ， d & 0 时， Sn 有最小值； （2） Sn 最值的求法：①若已知 Sn ， Sn 的最值可求二次函数 S n = an + bn 的最值；2；②或者求出 {an } 中的正、负分界项，即： 可用二次函数最值的求法（ n ∈ N + ） 若已知 an ，则 Sn 最值时 n 的值（ n ∈ N + ）可如下确定 ? 例：1．等差数列 {a n } 中， a1 & 0，S 9 = S12 ，则前 2．设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，已知?an ≥ 0 ?an ≤ 0 或? 。 ?an +1 ≤ 0 ?an +1 ≥ 0项的和最大。a 3 = 12，S12 & 0，S13 & 0①求出公差 d 的范围， ②指出 S1，S 2， ，S12 中哪一个值最大，并说明理由。 L*3． （02 上海）设｛an｝ n∈N ）是等差数列，Sn 是其前 n 项的和，且 S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论 （ N 错误的是（ ） ．． A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值4．已知数列 {a n } 的通项n ? 98 n ? 99（n∈ N?） ，则数列 {a n } 的前 30 项中最大项和最小项分别是5.已知 {a n } 是等差数列，其中 a1 = 31 ，公差 d = ?8 。 （1）数列 {a n } 从哪一项开始小于 0？ （2）求数列 {a n } 前 n 项和的最大值，并求出对应 n 的值．6.已知 {a n } 是各项不为零的等差数列，其中 a1 & 0 ，公差 d & 0 ，若 S10 = 0 ,求数列 {a n } 前 n 项和的 最大值．67.在等差数列 {a n } 中， a1 = 25 ， S17 = S9 ，求 Sn 的最大值．利用 an = ?(n = 1) ? S1 求通项． ? Sn ? Sn ?1 (n ≥ 2)21.数列 {an } 的前 n 项和 S n = n + 1 ． （1）试写出数列的前 5 项； （2）数列 {an } 是等差数列吗？（3）你能 写出数列 {an } 的通项公式吗？2．已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n = n ? 4n + 1， 则23.（2005 湖北卷）设数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn=2n ，求数列 {a n } 的通项公式；2前 4.已知数列 {a n } 中， a1 = 3， n 和 S n = ①求证：数列 {a n } 是等差数列 ②求数列 {a n } 的通项公式1 (n + 1)(a n + 1) ? 1 25.（2010 安徽文）设数列 {an } 的前 n 项和 S n = n ，则 a8 的值为（ ）2（A） 15(B)16(C)49（D）64等比数列 1．等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做 ．．．． ．． 等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示 ( q ≠ 0) ，即： an +1 ： an = q ( q ≠ 0) 。 1． 递推关系与通项公式递推关系：a n +1 = a n q 通项公式：a n = a1 ? q n ?1 推广：a n = a m ? q n? m1． 在等比数列 {an } 中, a1 = 4, q = 2 ，则 a n = 2． 在等比数列 {an } 中, a7 = 12, q =32 ,则 a19 = _____ .，则公比 q 为（ ） 3.（07 重庆文）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64， （A）2 （B）3 （C）4 （D）874.在等比数列 {a n } 中， a 2 = ?2 ， a5 = 54 ，则 a 8 =5.在各项都为正数的等比数列 {an } 中，首项 a1 = 3 ，前三项和为 21，则 a3 + a4 + a5 = （ A 33 B 72 C 84 D 189）则称 b 为 a与c 的等比中项， 且为 b = ± ac，注：b = ac 是 2． 等比中项： 若三个数 a , b, c 成等比数列，2成等比数列的必要而不充分条件. 例：1. 2 + 3 和 2 ? 3 的等比中项为( )( A)1( B) ? 1(C ) ± 1( D)22.（2009 重庆卷文）设 {an } 是公差不为 0 的等差数列， a1 = 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列，则 {an } 的 前 n 项和 Sn =（ ）A．n 2 7n + 4 4B．n 2 5n + 3 3C．n 2 3n + 2 4D． n + n23． 等比数列的基本性质， (其中m, n, p, q ∈ N ? ) （1） 若m + n = p + q，则a m ? a n = a p ? a qn?m（2） q=an 2 ，a n = a n ? m ? a n + m (n ∈ N ? ) am（3） {a n } 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4） {a n } 既是等差数列又是等比数列 ? {a n } 是各项不为零的常数列. 例：1．在等比数列 {an } 中, a1 和 a10 是方程 2 x + 5 x + 1 = 0 的两个根,则 a4 ? a7 = (2)( A) ?5 2( B)2 2(C ) ?1 2( D)1 22. 在等比数列 {a n } ，已知 a1 = 5 ， a9 a10 = 100 ，则 a18 = 3.在等比数列 {a n } 中， a1 + a 6 = 33，a 3 a 4 = 32，a n & a n +1 ①求 a n ②若 Tn = lg a1 + lg a 2 + L + lg a n , 求Tn84.等比数列 {an } 的各项为正数，且 a5 a6 + a4 a7 = 18, 则 log 3 a1 + log 3 a2 + L + log 3 a10 = （ A．12 B．10 C．8 D．2+ log 3 5）5.（2009 广东卷理）已知等比数列{an }满足an & 0, n = 1, 2,L，且a5 ? a2 n ?5 = 22 n (n ≥ 3)，则当n ≥ 1 时， log 2 a1 + log 2 a3 + L + log 2 a2 n ?1 =A. n(2n ? 1) 4． 前 n 项和公式2 B. (n + 1)（ ） C. n2 2 D. ( n ? 1)(q = 1) ? na1 ? n S n = ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q = ? 1? q 1? q ?(q ≠ 1)例：1.已知等比数列 {a n } 的首相 a1 = 5 ，公比 q = 2 ，则其前 n 项和 S n = 2.已知等比数列 {a n } 的首相 a1 = 5 ，公比 q = 和 Sn =1 ，当项数 n 趋近与无穷大时，其前 n 项 23.设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，已 a 2 = 6, 6a1 + a 3 = 30 ，求 a n 和 S n 4． （2006 年北京卷）设 f ( n) = 2 + 2 4 + 27 + 210 + L + 23n +10 ( n ∈ N ) ，则 f ( n) 等于（ A． ）2 n (8 ? 1) 7B．2 n+1 (8 ? 1) 7C．2 n+3 (8 ? 1) 7D．2 n+ 4 (8 ? 1) 75． （1996 全国文，21）设等比数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，若 S3＋S6＝2S9，求数列的公比 q；6．设等比数列 {a n } 的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,Sn，Sn+2 成等差数列，则 q 的值为 .5.若数列 {a n }是等比数列， S n 是其前 n 项的和， k ∈ N * ，那么 S k ， S 2 k ? S k ， S 3k ? S 2 k 成等比数列. 如下图所示：S 3 k
4 7 4 a1 + a2 + a3 + L + ak + ak +1 + L + a2 k + a2 k +1 + L + a3k
3 14 244 144 44 4 3 2 3Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k例：1.（2009 辽宁卷理）设等比数列{an 8 3}的前 n 项和为Sn，若S6 S3 =3 ，则S9 S6=A. 2B.7 3C.D.3 ）2.一个等比数列前 n 项的和为 48，前 2 n 项的和为 60，则前 3 n 项的和为（ A．83 B．108 C．75 D．6393.已知数列 {a n } 是等比数列，且 S m = 10，S 2 m = 30，则S 3m =6.等比数列的判定法（1）定义法：a n +1 = q（常数） {a n } 为等比数列； ? an2（2）中项法： a n+1 = a n ? a n + 2 （3）通项公式法： a n = k ? qn(a n ≠ 0) ? {a n } 为等比数列；(k , q为常数） {a n } 为等比数列； ?n? （4）前 n 项和法： S n = k (1 ? q ) （k , q为常数） {a n } 为等比数列。 S n = k ? kq n （k , q为常数） {a n } 为等比数列。 ?例：1.已知数列 {a n } 的通项为 a n = 2 ，则数列 {a n } 为 （n） D.无法判断 ） D.无法判断A.等差数列B.等比数列2C.既不是等差数列也不是等比数列2.已知数列 {a n } 满足 a n+1 = a n ? a n + 2 A.等差数列 B.等比数列(a n ≠ 0) ，则数列 {a n } 为 （n +1C.既不是等差数列也不是等比数列 ，则数列 {a n } 为（ ）3.已知一个数列 {a n } 的前 n 项和 s n = 2 ? 2 A.等差数列 B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断7.利用 an = ?(n = 1) ? S1 求通项． ? Sn ? Sn ?1 (n ≥ 2)1 S n ，n=1，2，3，……，求 a2， 3例：1.（2005 北京卷）数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， an +1 =a3，a4 的值及数列{an}的通项公式．2.（2005 山东卷）已知数列 {an } 的首项 a1 = 5, 前 n 项和为 S n ，且 S n+1 = S n + n + 5( n ∈ N * ) ，证 明数列 {an + 1} 是等比数列．10求数列通项公式方法 数列通项公式方法 通项公式 （1） ．公式法（定义法） 根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1 已知等差数列 {a n } 满足： a 3 = 7, a 5 + a 7 = 26 ， 求 a n ；2.已知数列 {a n } 满足 a1 = 2, a n ? a n ?1 = 1( n ≥ 1) ，求数列 {a n } 的通项公式；? 3.数列 {a n } 满足 a1 =8， a 4 = 2，且 a n + 2 ? 2a n +1 + a n = 0 （ n ∈ N ） ，求数列 {a n } 的通项公式；4. 已知数列 {a n } 满足 a1 = 2,1 a n +1?1 = 2 ，求数列 {a n } 的通项公式； an5.设数列 {a n } 满足 a1 = 0 且1 1 ? = 1 ，求 {a n } 的通项公式 1 ? a n +1 1 ? a n 2an , a1 = 1 ，求数列 {an } 的通项公式。 an + 226. 已知数列 {an } 满足 an +1 =7.等比数列 {a n } 的各项均为正数，且 2a1 + 3a 2 = 1 ， a 3 = 9a 2 a 6 ，求数列 {a n } 的通项公式8. 已知数列 {a n } 满足 a1 = 2, a n = 3a n =1 ( n ≥ 1) ，求数列 {a n } 的通项公式；9.已知数列 {a n } 满足 a1 = 2， a 2 = 4且 a n + 2 ? a n = a n +12（n∈ N?） ，求数列 {a n } 的通项公式；10.已知数列 {a n } 满足 a1 = 2， an +1 ? 5 且n +1= 2(an ? 5n ) （ n ∈ N ? ） ，求数列 {a n } 的通项公式；n +111. 已知数列 {a n } 满足 a1 = 2， an +1 + 5 × 2 且 项公式； 12.数列已知数列 {an } 满足 a1 =+ 2 = 3(an + 5 × 2 n + 2) （ n ∈ N ? ） ，求数列 {a n } 的通1 , an = 4an ?1 + 1(n & 1). 则数列 {an } 的通项公式= 211（2）累加法 1、累加法 适用于： an +1 = an + f ( n)a2 ? a1 = f (1)若 an +1 ? an = f ( n) ( n ≥ 2) ，则a3 ? a2 = f (2)LLan +1 ? an = f (n)两边分别相加得 an +1 ? a1 = 例：1.已知数列 {an } 满足 a1 =∑ f ( n)k =1n1 , 2a n+1 = a n +1 4n ? 12，求数列 {an } 的通项公式。2. 已知数列 {an } 满足 an +1 = an + 2n + 1，a1 = 1 ，求数列 {an } 的通项公式。 3.已知数列 {an } 满足 an +1 = an + 2 × 3 + 1，a1 = 3 ，求数列 {an } 的通项公式。n4.设数列 {a n } 满足 a1 = 2 ， a n +1 ? a n = 3 ? 22 n ?1，求数列 {a n } 的通项公式（3）累乘法 适用于： 适用于： an +1 = f ( n) an若an +1 a a a = f (n) ，则 2 = f (1)， 3 = f (2)， ， n +1 = f (n) LL an a1 a2 ann an +1 = a1 ? ∏ f (k ) a1 k =1两边分别相乘得，例：1. 已知数列 {an } 满足 an +1 = 2( n + 1)5 × an，a1 = 3 ，求数列 {an } 的通项公式。n2.已知数列 {a n } 满足 a1 =2 n ， a n +1 = a n ，求 a n 。 3 n +13.已知 a1 = 3 ， a n +1 =3n ? 1 a n (n ≥ 1) ，求 a n 。 3n + 212（4）待定系数法适用于 an +1 = qan + f ( n)解题基本步骤： 1、确定 f ( n) 2、设等比数列 {an + λ1 f ( n)} ，公比为 3、列出关系式 a n +1 + λ1 f ( n + 1) = λ 2 [ a n + λ 2 f ( n)] 4、比较系数求 λ1 ， λ2 5、解得数列 {an + λ1 f ( n)} 的通项公式 6、解得数列 {an } 的通项公式 例：1. 已知数列 {an } 中， a1 = 1, an = 2an ?1 + 1( n ≥ 2) ，求数列 {an } 的通项公式。2. （ 2006 ， 重 庆 , 文 ,14 ） 在 数 列 {an } 中 ， 若 a1 = 1, an +1 = 2an + 3( n ≥ 1) ， 则 该 数 列 的 通 项an = _______________3. 2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分） （ 已知数列 {an } 满足 a1 = 1, an +1 = 2an + 1( n ∈ N ). 求数列 {an }*的通项公式； 4.已知数列 {an } 满足 an +1 = 2an + 3 × 5 ，a1 = 6 ，求数列 {an } 的通项公式。n解：设 an +1 + x × 5n +1= 2(an + x × 5n )5.已知数列 {an } 满足 an +1 = 3an + 5 × 2 + 4，a1 = 1 ，求数列 {an } 的通项公式。n n +1解：设 an +1 + x × 2+ y = 3(an + x × 2n + y )6.已知数列 {a n } 中， a1 =5 1 1 n+1 , a n +1 = a n + ( ) ，求 a n 6 3 2137. 已知数列 {an } 满足 an +1 = 2an + 3n + 4n + 5，a1 = 1 ，求数列 {an } 的通项公式。2解：设 an +1 + x( n + 1) + y ( n + 1) + z = 2( an + xn + yn + z )2 28. 已知数列 {an } 满足 an +1 = 2an + 4 ? 3 ，a1 = 1 ，求数列 {an } 的通项公式。n ?1递推公式为 a n + 2 = pa n +1 + qa n （其中 p，q 均为常数） 。 先把原递推公式转化为 a n + 2 ? sa n +1 = t ( a n +1 ? sa n ) 其中 s，t 满足 ??s + t = p ?st = ? q9. 已知数列 {an } 满足 an + 2 = 5an +1 ? 6an , a1 = ?1, a2 = 2 ，求数列 {an } 的通项公式。（5）递推公式中既有 Sn分析：把已知关系通过 an = ? 解。? S1 , n = 1 转化为数列 {an } 或 Sn 的递推关系，然后采用相应的方法求 ? Sn ? Sn ?1 , n ≥ 21.（2005 北京卷）数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， an +1 = 的值及数列{an}的通项公式．1 S n ，n=1，2，3，……，求 a2，a3，a4 32.（2005 山东卷）已知数列 {an } 的首项 a1 = 5, 前 n 项和为 S n ，且 S n+1 = S n + n + 5( n ∈ N * ) ，证明数 列 {an + 1} 是等比数列． 3．已知数列 {a n } 中， a1 = 3， n 和 S n = 前 ①求证：数列 {a n } 是等差数列 ②求数列 {a n } 的通项公式1 (n + 1)(a n + 1) ? 1 2144.已知数列 {an } 的各项均为正数，且前 n 项和 Sn 满足 S n =1 (an + 1)(an + 2) ，且 a2 , a4 , a9 成等比数列， 6求数列 {an } 的通项公式。（6）根据条件找 n + 1 与 n 项关系 例 1.已知数列 {a n } 中， a1 = 1, a n +1 = C ?1 5 1 ，若 C = , bn = ，求数列 {bn } 的通项公式 an 2 an ? 22.（2009 全国卷Ⅰ理）在数列{an }1 n +1 a1 = 1, an +1 = (1 + )an + n n 2 中，bn =（I）设an n ，求数列 {bn } 的通项公式（7）倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例：1. 已知数列 {an } 满足 an +1 =2an , a1 = 1 ，求数列 {an } 的通项公式。 an + 2（8）对无穷递推数列 对无穷递推数列 消项得到第 n + 1 与 n 项的关系 例：1. （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列 {an } 满足a1 = 1，an = a1 + 2a2 + 3a3 + L + (n ? 1)an ?1 (n ≥ 2) ，求 {an } 的通项公式。2.设数列 {an } 满足 a1 + 3a2 + 32 a3 + … + 3n ?1 an =n ， a ∈ N* ．求数列 {an } 的通项； 315（8） 迭代法 ） 、 例：1.已知数列 {an } 满足 an +1 = an 解：因为 an +1 = an3 n? an = an ?12n?13( n +1)2n，a1 = 5 ，求数列 {an } 的通项公式。3( n +1)2n，所以n ?2 n?13( = [an ?n2?1)?2 ]3n?2n ?3 23 = an ?(2n ?1)?n?22( n?2)+( n?1)3( = [an ?n ? 2)?2 ]3 33( n ?1)?n?2( n ?2)+( n ?1)( n?3)+( n?2 )+( n?1)3 = an ?(3n ? 2)( n ?1) n?2=L = a13n?1?2?3LL( n ? 2)?( n ?1)?n?21+ 2+LL+( n?3)+( n?2 )+( n?1)n ( n?1) 2= a13n?1?n!?2又 a1 = 5 ，所以数列 {an } 的通项公式为 an = 53n?1 ?n!?2n ( n?1) 2。（9） 变性转化法 ） 、 1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式 、 例： 已知数列 {an } 满足 an +1 = 2 × 3 × an ， a1 = 7 ，求数列 {an } 的通项公式。n 5解：因为 an +1 = 2 × 3 × an，a1 = 7 ，所以 an & 0，an +1 & 0 。n 5两边取常用对数得 lg an +1 = 5 lg an + n lg 3 + lg 22、换元法 适用于含根式的递推关系 、 例： 已知数列 {an } 满足 an +1 =1 (1 + 4an + 1 + 24an )，a1 = 1 ，求数列 {an } 的通项公式。 16 1 2 (bn ? 1) 24解：令 bn = 1 + 24an ，则 an =16数列求和 1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。n(a1 + a n ) n(n ? 1) = na1 + Sn = d 2 2a1 1? q?na1 (q = 1) ? 公比含字母时一定要讨论 S n = ? a1 (1 ? q n ) (q ≠ 1) ? 1? q ?(理)无穷递缩等比数列时， S =例：1.已知等差数列 {a n } 满足 a1 = 1, a 2 = 3 ，求前 n 项和 {S n }2. 等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=（ A．9 B．10 C．11 D．12）3.已知等比数列 {a n } 满足 a1 = 1, a 2 = 3 ，求前 n 项和 {S n }4.设 f (n) = 2 + 24 + 27 + 210 + L + 23n +10 ( n ∈ N ) ，则 f ( n ) 等于（ A.）2 n (8 ? 1) 7B.2 n+1 (8 ? 1) 7C.2 n+3 (8 ? 1) 7D.2 n+ 4 (8 ? 1) 72．错位相减法求和：如： {a n }等差, {bn }等比, 求a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn的和.例：1．求和 S n = 1 + 2 x + 3 x + L + nx2 n ?12.求和： S n =1 2 3 n + 2 + 3 +L+ n a a a a3.设 {an } 是等差数列， {bn } 是各项都为正数的等比数列，且 a1 = b1 = 1 ， a3 + b5 = 21 ， a5 + b3 = 13 （Ⅰ）求 {an } ， {bn } 的通项公式； （Ⅱ）求数列 ?? an ? ? 的前 n 项和 Sn ． ? bn ?173．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项：1 1 1 = ? n(n + 1) n n + 1 1 1 1 1 = ( ? ) n ( n + 2) 2 n n + 2n ? n! = ( n + 1)!? n!1 1 1 1 = ( ? ) (2n ? 1)(2n + 1) 2 2n ? 1 2n + 1 1 1 1 1 = [ ? ] n(n + 1)(n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) n 1 1 = ? (n + 1)! n! (n + 1)!i i i C n?1 = C n ? C n ?1 ?1数列 {a n } 是等差数列，数列 ??1 ? ? 的前 n 项和 ? a n a n+1 ?例：1.数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，若 an =1 ，则 S5 等于（ B ） n(n + 1)D．A．1B．5 6C．1 61 302.已知数列 {a n } 的通项公式为 an =1 ，求前 n 项的和； n( n + 1) 1，求前 n 项的和．3.已知数列 {a n } 的通项公式为 an =n + n +14.已知数列 {a n } 的通项公式为 an ＝n +1 1 1 1 ，设 Tn = + +L + ，求 Tn ． 2 a1 ? a3 a2 ? a4 an ? an + 25．求1+1 1 1 1 + + +L + ,(n∈N*) 。 1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+L n +6．已知 a & 0, a ≠ 1 ，数列 {a n } 是首项为 a，公比也为 a 的等比数列，令 bn = a n ? lg a n ( n ∈ N ) ，求数 列 {bn } 的前 n 项和 S n 。184．倒序相加法求和1 2 n 例：1. 求 S n = 3Cn + 6Cn + … + 3nCn2.求证： C n + 3C n + 5C n + ... + ( 2n + 1)C n = ( n + 1) 20 1 2 nn3．设数列 {a n } 是公差为 d ，且首项为 a 0 = d 的等差数列， 求和： S n +1 = a 0 C n + a1C n + L + a n C n0 1 n综合练习： 1.设数列 {a n } 满足 a1 = 0 且1 1 ? =1 1 ? a n +1 1 ? a n（1）求 {a n } 的通项公式 （2）设 bn =1 ? a n +1 n, 记 S n = ∑ bk ，证明： S n & 1k =1n2.等比数列 {a n } 的各项均为正数，且 2a1 + 3a 2 = 1 ， a 3 = 9a 2 a 62（1）求数列 {a n } 的通项公式 （2）设 bn = log 31 + log 3 2 + ... + log 3 n ，求数列 {a a a1 } 的前 n 项和 bn193.已知等差数列 {a n } 满足 a 2 = 0 , a 6 + a8 = ?10 . (1)求数列 {a n } 的通项公式及 S n（2）求数列 {an } 的前 n 项和 2 n ?14.已知两个等比数列 {a n } ， {bn } ，满足 a1 = a ( a & 0) ， b1 ? a1 = 1 ， b2 ? a 2 = 2 ， b3 ? a 3 = 3 （1）若 a = 1, 求数列 {a n } 的通项公式 （2）若数列 {a n } 唯一，求 a 的值5.设数列 {a n } 满足 a1 = 2 ， a n +1 ? a n = 3 ? 2 （1）求数列 {a n } 的通项公式2 n ?1（2）令 bn = na n ，求数列 {b n } 的前 n 项和 S n26.已知 a1=2，点(an,an+1)在函数 f(x)=x +2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列； （2） 设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求 Tn 及数列｛an｝的通项； （3） 记 bn=1 1 2 ，求｛bn｝数列的前项和 Sn，并证明 Sn+ =1. + an an + 2 3Tn ? 1207.已知等差数列 {a n } 满足： a 3 = 7, a 5 + a 7 = 26 ， {a n } 的前 n 项和 S n （1）求 a n 及 S n （2）令 bn =1 an ? 12（n∈ N ） ，求数列 {bn } 前 n 项和 Tn+8．已知数列 {a n } 中， a1 = 3， n 和 S n = 前 ①求证：数列 {a n } 是等差数列 ②求数列 {a n } 的通项公式 ③设数列 ?1 (n + 1)(a n + 1) ? 1 2?1 ? ? 的前 n 项和为 Tn ，是否存在实数 M ，使得 Tn ≤ M 对一切正整数 n 都成立？若存在， ? a n a n+1 ?求 M 的最小值，若不存在，试说明理由。9.数列 {a n } 满足 a1 =8， a 4 = 2，且 a n + 2 ? 2a n +1 + a n = 0 （ n ∈ N ? ） ， （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式；（Ⅱ）设 bn =1 (n ∈ N * )，S n = b1 + b2 + LL + bn ，是否存在最大的整数 m，使得任意的 n 均有 n(12 ? a n )Sn &m 总成立？若存在，求出 m；若不存在，请说明理由． 3221