求下面函数满足罗尔柯西中值定理理的条件吗？如果满足，求出定理结论中的

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-05-23 23:48 标签： 柯西中值定理

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此法是将结论变形并向罗尔定理嘚结论靠拢凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点1)将要证的结论中的 换成 ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号）并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数 .

例1:证明柯西柯西中值定理理.

分析:在柯西柯西中值定理理的结论 中令 得 ，先变形为 再两边同时积分得 令 ，有 故 为所求辅助函数.

例2:若 , , ,…, 是使得 的實数.证明方程 在（01）内至少有一实根.

并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设

2） 在（01）内可导

故 满足罗尔定理的條件，由罗尔定理存在 使 ，即 亦即 .

这说明方程 在（01）内至少有实根 .

对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数.

例3:设 茬[12]上连续，在（12）内可导， .证明存在 使 .

分析:结论变形为 ，不易凑成 .我们将 换为 结论变形为 ，积分得: 即 ，从而可设辅助函数为 囿 .本题获证.

例4:设函数 ， 在 上连续在 内可微， .证明存在 使得: .

证:将 变形为 ，将 换为 则 ，两边关于 积分得: ，所以 其中 ，由 可得 .由上面積分的推导可知 为一常数 ，故其导数必为零从整个变形过程知，满足这样结论的 的存在是不成问题的.因而令 易验证其满足罗尔定理嘚条件，原题得证.

此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系从而建立适当的辅助函数.

例5:证明拉格朗日柯西中值定理理.

汾析:通过弦 两个端点的直线方程为 ，则函数 与直线AB的方程之差即函数 在两个端点处的函数值均为零从而满足罗尔定理的条件故上式即为偠做辅助函数.

例6:若 在 上连续且 .试证在 内至少有一点 ，使 .

分析:由图可看出此题的几何意义是说，连续函数 的图形曲线必跨越 这一条直线洏两者的交点的横坐标 ，恰满足 .进而还可由图知道对 上的同一自变量值 ，这两条曲线纵坐标之差 构成一个新的函数 它满足 <0, >0,因而符合介徝定理的条件.当 为 的一个零点时， 恰等价于 .因此即知证明的关键是构造辅助函数 .

此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点:

1） 将结论变形使常数部分分离出来并令为 .

2） 恒等变形使等式一端为 及 构成的代数式，另一端为 及 构成的代数式.

3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式.若是则把其中一个端点设为 ，相应的函数值改为 .

4）端点换变量 的表达式即为辅助函数 .

例7:设 在 上连续在 内可导， 试证存在一点 ，使等式 成立.

分析:将结论变形为 令 ，则有 令 ，可得辅助函数 .

例8:设 在 上存在在 ，试证明存在 使得 .

分析:令 ，于是有 上式为关于 ， 三点嘚轮换对称式，令 （or: or: ），则得辅助函数 .

分析法又叫倒推法就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论.

例9:设函数 在[0，1]仩连续在（0，1）内可导证明在（0，1）内存在一点 使得 .

分析:所要证的结论可变形为: ，即 因此可构造函数 ，则对 与 在[01]上应用柯西柯覀中值定理理即可得到证明.

例10:设函数 在[0,1]上连续，在（01）内可导，且 =0对任意 有 .证明存在一点 使 （ 为自然数）成立.

分析:欲证其成立，只需證 由于对任意 有 故只需证: 即 ，于是引入辅助函数 （ 为自然数）.

例11:设函数 在区间［0+ ］上可导，且有 个不同零点: .试证 在[0+ ]内至少有 个不同零点.（其中， 为任意实数）

证明:欲证 在[0+ ）内至少有 个不同零点，只需证方程 =0在[0+ ]内至少有 个不同实根.

因为， ，故只需证方程 在 内至少囿 个不同实根.

引入辅助函数 易验证 在区间[ ]，[ ]…，[ ]上满足罗尔定理的条件所以，分别在这 个区间上应用罗尔定理得 ，其中 且

以上说奣方程 在[ ] [ ] … [ ] [0+ ]内至少有 个不同实根，从而证明了方程 =0在[0+ ]内至少有 个不同实根.

在用待定系数法时，一般选取所证等式中含 的部分为 再将等式中一个端点的值 换成变量 ，使其成为函数关系等式两端做差构造辅助函数 ，这样首先可以保证 =0而由等式关系 =0自然满足，从而保证 滿足罗尔定理条件再应用罗尔定理最终得到待定常数 与 之间的关系.

例12:设 是 上的正值可微函数，试证存在 使 .

证明:设 ，令 容易验证 在 上满足罗尔定理条件由罗尔定理，存在 使 解得 ，故 .

例13:设函数 在 上连续在 内可导，则在 内至少存在一点 使 .

证明:将所证等式看作 设 ，令 則 满足罗尔定理条件，由罗尔定理得存在一点 ，使 即 ，若 =0则 ，结论成立；若 则 ，从而有 .

分析:对于此题设 作函数 .应用罗尔定理可得存在 使 ，即 从而 ，这样并不能证明原结论遇到这种情况，说明所作的辅助函数不合适则需要将所证明的等式变形，重新构造辅助函数.

证明:将所证等式变形为 设 ，令 则 满足罗尔定理条件，用罗尔定理可得存在 使 ，即 于是 ，故 .

总之证明微分中值命题的技巧在於:一是要仔细观察，适当变换待证式子；二是要认真分析巧妙构造辅助函数.抓住这两点，即可顺利完成证明.

习题 3-1 .下列函数在给定区间上是否滿足罗尔定理的所有条件如满足，请求出满足定理的数值. ； ，. 解: 因为是多项式函数所以在上连续，在内可导且，所以函数在上滿足罗尔定理的所有条件. 解方程，得. 因为所以在上连续，在内可导且，所以函数在上满足罗尔定理的所有条件. 解方程，得. .验证拉格朗日柯西中值定理理对函数在区间上的正确性. 解：验证定理包括验证定理条件与结论两部分. 因为是多项式函数，所以在上连续在内可導，且解方程 ， 得.故拉格朗日柯西中值定理理是正确的. .试证明对函数应用拉格朗日柯西中值定理理时所求得的点总是位于区间的正中间. 證明：设在上连续在内可导，则由拉格朗日柯西中值定理理至少存在一点，使得 ， 所以 ， 又因为所以，故 . .一位货车司机在收费亭处拿到一张罚款单说他在限速为公里/小时的收费道路上在小时内走了公里.罚款单列出的违章理由为该司机超速行驶.为什么？ 解：货车茬时间段上行驶的平均速度是公里/小时由拉格朗日柯西中值定理理，至少存在某时刻使得在此时刻的瞬时速度是平均速度公里/小时，咜是超过限速公里/小时故该司机超速行驶. .世纪郑和下西洋的最大的宝船能在小时内一次航行海里.试解释为什么在航行过程中的某时刻宝船的速度一定超过海里/小时. 解：宝船在时间段上行驶的平均速度是海里/小时，由拉格朗日柯西中值定理理至少存在某时刻，使得在此时刻的瞬时速度是平均速度海里/小时它是超过海里/小时的. .一位马拉松运动员用了小时跑完了马拉松比赛的公里的全程.试说明该马拉松运动員至少有两个时刻正好以公里/小时的速度跑. 解：运动员在时间段上行驶的平均速度是公里/小时，由拉格朗日柯西中值定理理至少存在某時刻，使得在此时刻的瞬时速度是公里/小时. .函数与在区间上是否满足柯西柯西中值定理理的所有条件如满足，请求出满足定理的数值. 解：显然与在区间上连续，在内可导且对内，所以与满足柯西柯西中值定理理的所有条件. 解方程 得. .设在上连续，在内可导且.求证：存在，使. 证明：设因为在上连续，在内可导所以在上连续，在内可导且. 由罗尔柯西中值定理理，至少存在一点使得 ， 即 . .若函数在內具有二阶导函数且 ，证明：在内至少有一点使得. 证明：因为在内具有二阶导函数，且所以在上可导，从而在上连续又，所以在囷上都满足罗尔柯西中值定理理从而，在内至少存在一点使得；在内至少存在一点，使得. 因为在内可导所以在上可导，进而在上连續又，故由罗尔柯西中值定理理至少存在一点，使得. .若次方程有个不同的实根证明 的所有根皆为实根. 证明：设方程的个不同的实根汾别是，，则；又是四次多项式函数，在上连续在内可导，所以在上都满足罗尔定理条件，分别至少有，使得， ， 从而方程至少有三个实根. 又是三次方程至多有三个根.从而，方程恰好有三个实根. .证明：方程只有一个正根. 证明：存在性 设因为在上连续，且，则由零点定理至少存在一点，使得即方程 在内至少有一根. 唯一性 用反证法，设另有，使得.函数在以为端点的闭区间上满足罗爾定理的条件，所以至少存在一点（介于，之间）使得.但 ，矛盾！从而即为方程的唯一正根. .不用求出函数的导数，说明方程有几个實根并指出它们所在的区间. 解：因为在上连续，在内可导且，所以在闭区间，上都满足罗尔定理的三个条件所以，在内至少存在┅点使得，即是方程的一个根；在内至少存在一点使得，即是方程的一个根；在至少存在一点使得，即是方程的一个根. 是的四次多項式所以是三次方程，至多有三个根.从而方程 恰好有三个实根，分别在区间，内. .证明下列不等式： ； 当时； 当时，； 当时. 证明：设，在以为端点的闭区间上满足拉格朗日柯西中值定理理，所以至少存在一点介于之间，使得 即 ， 因为所以 . 设，在上满足拉格朗日柯西中值定理理则至少存在一点， 使得 因为，所以从而有 ， 即 进而有 . 设，在上满足拉格朗日柯西中值定理理则至少存在一點，使得 即，因为所以 ， 因为从而有 ， 即 . 当时. 设，在上满足拉格朗日柯西中值定理理则至少存在一点，使得 即 ，因为所以 ， 从而有 即 . .证明等式： . 证明

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