结构力学(崔清洋，等)【电子书籍下载 epub txt pdf doc 】
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作者：崔清洋，等
出版：武汉理工大学出版社
结构力学《结构力学》是21世纪高等学校土木工程专业规划教材，是在第1版的基础上修订而成的。《结构力学》仍保持第1版的理论体系和特点，按照教育部力学基础课程教学指导分委员会最新制订的&结构力学课程教学基本要求&（2008年版），本次修订进一步加强了对力学基本概念的深入介绍；强化力学问题工程背景的映衬和工程意识的培养；顺应科学技术的发展和工程领域的需要，增加了应用力学概念分析结构受力状态的内容和例题；对力学概念的表述和文字叙述做了精心的修改、更正和完善。
　　《结构力学》分3篇12章，内容包括：绪论、结构的几何组成分析、静定结构受力分析、虚功原理和结构的位移计算、力法、位移法、渐进法和近似法、结构在移动荷载作用下的计算、矩阵位移法、结构的动力分析、结构的稳定分析和结构的极限荷载分析。每章均有内容提要、本章小结、思考题和习题，书后附有习题参考答案。
　　《结构力学》选材适当，叙述简明，思路清晰，符合认识规律，例题、习题突出专业特色、典型实用、难度适中。《结构力学》重视基本概念、基本原理的讲授和基本方法的训练及能力培养，兼顾工程实际应用和本学科的教学改革研究成果。
　　《结构力学》可作为土木工程专业（包括建筑工程、桥梁工程等专业方向）以及水利工程等相近专业的教材，也可作为成人教育、自学考试的教材，以及供有关工程技术人员参考。1 绪论
1.1 结构和结构的分类
1.2 结构力学的研究对象和任务
1.2.1 研究对象和任务
1.2.2 结构力学在结构设计中的地位
1.3 结构的计算简图
1.3.1 结构的简化及简化原则
1.3.2 结构的简化内容
1.3.3 结构的计算简图示例
1.4 平面杆件结构分类
1.5 荷载分类
1.6 结构力学与其他课程的关系及学习方法
2 结构的几何组成分析
2.1 几何组成分析概述
2.2 几何组成分析的几个概念
2.2.1 自由体和自由度
2.2.2 约束
2.2.3 平面杆件体系的计算自由度
2.3 平面几何不变体系的组成规则
2.3.1 二元体规则
2.3.2 二刚片规则
2.3.3 三刚片规则
2.4 瞬变体系
2.5 几何组成分析的步骤和示例
2.5.1 几何组成分析的步骤
2.5.2 几何组成分析示例
2.6 静定结构和超静定结构
第1篇 静定结构
3 静定结构受力分析
3.1 静定结构受力分析概述
3.2 静定梁受力分析
3.2.1 简支梁内力分析回顾
3.2.2 多跨静定梁受力分析
3.3 静定平面刚架受力分析
3.3.1 刚架的特点和类型
3.3.2 刚架受力分析
3.4 三铰拱受力分析
3.4.1 三铰拱的几何组成和类型
3.4.2 三铰拱的支座反力和内力
3.4.3 三铰拱的合理拱轴线
3.5 静定平面桁架受力分析
3.5.1 桁架的特点和组成
3.5.2 静定桁架的几何组成分类
3.5.3 静定桁架的内力计算
3.6 组合结构受力分析
3.6.1 组合结构的特点
3.6.2 组合结构受力分析
3.7 静定结构受力分析总述
3.7.1 基本分析方法
3.7.2 静定结构的基本性质
3.7.3 常用静定结构的受力特点
4 虚功原理和结构的位移计算
4.1 位移计算概述
4.2 刚体虚功原理及应用
4.2.1 刚体虚功原理
4.2.2 刚体虚功原理的应用
4.3 变形体虚功原理及其应用
4.3.1 变形体虚功原理
4.3.2 变形体虚功原理的应用
4.4 荷载作用下静定结构的位移计算
4.4.1 荷栽作用下位移计算的一般公式及计算步骤
4.4.2 各类结构位移计算的简化计算公式
4.4.3 荷栽作用下的位移计算示例
4.5 图乘法计算位移
4.5.1 图乘公式及应用条件
4.5.2 常用内力图的面积公式和形心位置
4.5.3 复杂内力图形的分段、分解和叠加
4.5.4 图乘法计算位移举例
4.6 静定结构由于支座移动引起的位移计算
4.7 静定结构由于温度改变及制造误差引起的位移计算
4.7.1 温度变化的位移计算
4.7.2 制造误差引起的位移计算
4.8 互等定理
4.8.1 虚功互等定理
4.8.2 位移互等定理
4.8.3 反力互等定理
4.8.4 反力位移互等定理
第2篇 超静定结构
5.1 超静定结构的概念和超静定次数的确定
5.1.1 超静定结构的概念
5.1.2 超静定次数的确定
5.2 力法原理和力法方程
5.2.1 力法原理
5.2.2 力法方程
5.3 力法计算超静定结构示例
5.3.1 超静定梁
5.3.2 超静定刚架
5.3.3 超静定桁架
5.3.4 超静定组合结构
5.3.5 铰结排架
5.4 对称结构的计算
5.4.1 结构的对称性
5.4.2 荷栽的对称性
5.4.3 对称结构承受一般荷栽作用
5.4.4 半结构法
5.5 超静定拱
5.6 温度改变和支座移动时超静定结构的计算0
5.6.1 温度改变时超静定结构的计算
5.6.2 支座移动时超静定结构的计算
5.7 超静定结构的位移计算
5.8 超静定结构的内力图的校核
5.8.1 平衡条件的校核
5.8.2 位移条件的校核
6.1 位移法基本原理
6.2 等截面直杆的转角位移方程
6.2.1 杆端内力的正负号规定
6.2.2 等截面直杆的形常数
6.2.3 等截面直杆的载常数
6.2.4 等截面直杆的转角位移方程
6.3 位移法基本未知量的确定
6.3.1 结点角位移的确定
6.3.2 结点线位移的确定
6.4 位移法典型方程
6.4.1 位移法基本结构
6.4.2 位移法典型方程
6.5 位移法计算示例
6.5.1 连续粱
6.5.2 无侧移刚架
6.5.3 有侧移刚架
6.5.4 排架
6.6 位移法中对称性的利用
6.7 用位移法计算支座移动和温度改变引起的内力
6.7.1 支座移动时的计算
6.7.2 温度改变时的计算
6.8 直接按平衡条件建立位移法方程
7 渐近法和近似法
7.1 渐近法和近似法概述
7.2 力矩分配法
7.2.1 力矩分配法的基本概念
7.2.2 单结点结构的力矩分配法
7.2.3 多结点结构的力矩分配法
7.3 对称结构的分析
7.4 剪力静定刚架的力矩分配法
7.4.1 剪力静定刚架和剪力静定分配法
7.4.2 剪力静定杆件的固端弯矩
7.4.3 剪力静定杆件的转动刚度和传递系数
7.4.4 剪力静定分配法计算示例
7.5 剪力分配法
7.5.1 剪力分配法基本概念
第3篇 结构力学专题
附录 习题参考答案
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虚功原理本身适用于任何变形体，但在本章推导位移计算公式时引入了弹性规律，故公式 6.5.2
只适用于线弹性体系。
图乘法是具体的运算方法。只有满足一定的条件下才能用图乘法。象曲杆、变截面杆等均不能用图乘法。
互等定理是线弹性体系的基本定理。本章介绍的四个互等定理是最常用的。 这四个互等定理中，功的互等定理是最基本的。 小结 1.
虚功原理不涉及材料的物理性质，因此它适用于任何固体材料。
图示桁架中腹杆截面的大小对C点的竖向位移有影响。
一、判断题
功的互等定理适用于线性和非线性变形体系。
提示：在F作用下，腹杆全为零杆。
w 自测题 5. 图a 桁架，B点将产生向左的水平位移。 4. 图示梁的跨中挠度为零。（ ） √ w 提示：本题梁的位移为反对称。 解:由于AC、BC为零杆，对结构的位移无影响，可以去掉（图b），用本章所讲的虚力原理，在B点施加一水平单位力（图c），根据位移计算公式
，易得 ?HB＝0。 自测题 有变形的杆件只有CD杆，由于 ， 6. 图示桁架中，杆CD加工后比原尺寸短一些，装配后B点将向右移动。 w 解 在B点施加一水平单位力（图b），应用变形体位移计算的一般公式
因此 。 自测题 7. 图a、b为同一对称桁架，荷载不同，而K点竖向位移相同。
√ 提示：图b可以化为图a与图c相叠加。由于图c为反对称荷载，故c图中K点竖向位移为零，由此易得结论。 自测题 二.选择填空
1.应用虚功原理时，其中力系应满足 条件。
A. 约束 B.
2.图中先加F1后加F2，其中的虚功项 。
A. B. C. D. D C 自测题 A
3. 应用虚功原理时，其中位移应满足 条件。 A. 约束 B.
平衡 4. 图示同一结构的两种受力状态，根
正在加载中，请稍后...第12章 静定结构的位移计算12.1 位移的概念及位移计算的目的 12.2 变形体的虚功原理 12.3 结构位移计算的一般公式 12.4 结构在荷载作用下的位移计算 12.5 图乘法 12.6 支座移动和温度改变引起的位移计算 12.7 互等定理112.1 位移的概念及位移计算的目的1.结构位移产生的原因结
构是由可变形的材料做成的，在外部因素作 用下，结构将产生变形和位移。 变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。 引起结构位移的原因 （1）荷载； （2）温度改变； （3）支座位移； （4）制造误差； （5）材料收缩212.1 位移的概念及位移计算的目的 2. 结构位移的种类 （1）某点的线位移 （2）某截面的角位移 （3）两点间的相对线位移 （4）两截面间的相对角移 A 绝对位移 相对位移 线位移： 角位移： 线位移： 角位移： C△CP B△BC△B?C ?BC?B一般来说，结果的位移与结构 的几何尺寸相比都是极其微小的。312.1 位移的概念及位移计算的目的 3. 计算位移的目的 （1）为了校核结构的刚度。 （2）结构制造和施工的需要。 （3）为分析超静定结构打下基础。 另外，结构的稳定和动力计算也以位移 为基础。 起拱高度△结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。412.2 变形体的虚功原理复习功的概念AP BP常力作的功△T = P?COSαP P d力偶作的功PT = Pd? = M?P512.2变形体的虚功原理1. 外力虚功、广义力及广义位移 （1）位移的双脚标符号?kjAP11产生位移的原因 位移发生的位置 位移的大小△112P2△22B△12A1P12B△21△11A1P22B6△12△2212.2 变形体的虚功原理 1. 外力虚功、广义力及广义位移 （2）外力的虚功实功：力在本身引起的位移上作的功。 实功：力在本身引起的位移上作的功。 实功是力（位移）的二次函数。 实功是力（位移）的二次函数。 虚功： 虚功：力在其它因素引起的位移上作 的功。力与位移是彼此无关的量， 的功。力与位移是彼此无关的量，分 别属于同一体系的两种彼此无关的状 虚功是力（位移）的一次函数。 态。虚功是力（位移）的一次函数。考察力作功的过程 静力加载：0→PAP11△112P2△22B△12A1P12B△21Tkj=Pk?△kj虚功是代数量，有正有负。 虚功是代数量，有正有负。 虚位移与虚力△11A1P22B△12△227虚功并不是不存在的功，只是强调作功过程中位移与力无关的特点。12.2变形体的虚功原理1. 外力虚功、广义力及广义位移 （3）广义力及广义位移 作 功 的 两 因 素集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、 力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、一个力系 统称为广义力 统称为广义力 位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、一组位移 角位移、相对线位移、相对角位移、 位移： 统称为广义位移 统称为广义位移A（4）虚功的两种状态 力状态 位移状态1P12B△21△11A1P22B8△12△2212.2变形体的虚功原理2. 变形体的虚功原理： 设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其它 原因产生符合约束条件的微小的连续变形，则外力在相应位移上 所做的外力虚功T 恒等于整个变形体各个微段内力在变形上所做 的内力虚功W。T=W式(12-1）称为虚功方程，式中（12-1）T ―外力虚功W ―内力虚功912.2 变形体的虚功原理 3.内力虚功的计算力状态 位移状态A RAPMq B dsAdsBqRBNQQ+dQ N+dNds ds duγ γdsd?dvds微段ds上的内力虚功为 整个结构的内力虚功为du = εds , dv = γds , d? = κdsdW=Ndu+Qdv+Md? = Nεds + Qγds + Mκds1012.2变形体的虚功原理4. 虚功原理的两种应用 平面杆件结构的虚功方程为虚位移原理 虚力原理1112.3 结构位移计算的一般公式 1. 位移计算的一般公式 设平面杆系结构由于 荷载、温度变化及支座移 动等因素引起位移如图。 求任一指定截面K沿 K 任一指定方向 k―k上的 位移△Kj 。 利用虚功原理 外力虚功 (12-3) T= = 内力虚功 W= 这便是平面杆系结构位移计算的一般公式，若计算结果为 正，所求位移△Kj与假设的 PK=1同向，反之反向。这种方法又 12 可得 称为单位荷载法。 单位荷载法 t1kK△KjP2dsk PK=1t2 P1 K′kc3 Kds kＲ ３duj、 dvj、 d?jNk、 k、 k Q Mc1c2Ｒ １ Ｒ ２虚拟状态－力状态实际状态－位移状态12.3 结构位移计算的一般公式 2. 位移计算公式的普遍性表现 适用范围与特点： 适用范围与特点： 1） 适于小变形，可用叠加原理。 ） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 ） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 ）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：各种广义荷载。 ）变形原因：各种广义荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 ）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。 ）材料种类：各种变形固体材料。1312.3 结构位移计算的一般公式3. 虚拟状态的设置在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应 的虚拟力状态。例如:求△AH求? AA实际状态1A虚拟状态1A虚拟状态求△AB B A1求?AB B A11虚拟状态虚拟状态1广义力与 广义位移1412.4 结构在荷载作用下的位移计算 1.静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位移△KP， 此时没有支座位移，故式（12-3）为（a）为虚拟状态中微段上的内力；d?P、duP、dvP为 式中： 实际状态中微段上的变形。由材料力学知duP=dvP =d?P=（12-4）将以上诸式代入式（a）得 a15 这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。 这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。12.4 结构在荷载作用下的位移计算平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式（12-4）注： （1）符号说明 ） （2）正负号 ）k--为截面形状系数 为截面形状系数1.2109AA11612.4 结构在荷载作用下的位移计算2. 讨 论在实际计算时，根据结构的具体情况,式（12-4）可以简化：(1) 梁和刚架 (2) 桁架(3)组合结构 组合结构△KP=(4) 拱结构△KP=1712.4 结构在荷载作用下的位移计算 例 12-1 求图示刚架A点 的 竖 向位移△Ay。 EA、EI为常数。 qB A B 1 Ax实际状态LLx xCA`解： 1. 选择虚拟状态 选取坐标如图。 则各杆弯矩方程为:AB段： AB段： MP=xC虚拟状态BC段：2. 实际状态中各杆弯矩方程为， BC段：MP=3. 代入公式（12-4）得△Ay=qx 2 dx qL2 dx = (-x)(- 2 ) + (-L) (- 2 ) EI EI( )1812.4 结构在荷载作用下的位移计算 例12-2 求图示桁架C点的竖向位移△CP。图中杆旁数值为杆件的 截面积，并设各杆E=2.1×104kN/cm2。5kNE4cm2B4cm2B10kN 10kNC1m A 1mPk=1E A8cm2 D 2m8cm2 2mCD杆件 CD CE AD BE AB DE AEl(cm) 200 224 200 224 200 100 224A(cm2) 8 8 8 8 4 4 4Nk(kN) -2.00 2.24 -2.00 2.24 -1.00 0.00 0.00NP(kN) -30.00 22.36 -30.00 27.95 -12.50 0.00 -5.59NkNPl(kN.cm)
0.00NkNPl/A(kN.cm-1) 00 .00 0.001912.5 图乘法 1. 图乘公式: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算积分y当结构符合下述条件时： （1）杆轴为直线； （2）EI=常数； （3）两个弯矩图中至少有一 个是直线图形。 上述 积分可以得到简化。 设两个弯矩图中，dω=MPdxA MP形心 C面积 ω MP图 Bdx O αyC M = xtgαAxxCyC=xCtgαBx图为一段直线，MP图为任意形状：如果结构上各杆段均可图乘，则：2012.5 图乘法图乘法的注意事项（1）必须符合上述三个前提条件； （2）竖标yC只能取自直线图形； （3）ω与yC在杆件同侧乘积取正号，异侧取负号。2. 简单图形的面积公式和形心位置2L/3 L/3hah形心（L+a)/3Lb形心L(L+b)/32112.5 图乘法二次抛物线L/2L顶点二次抛物线3L/85L/8ω1=2/3(hL) ω2=1/3(hL)顶点ω13L/4 Lω2L/42212.5 图乘法 3 .把复杂图形化为简单图形 当图形的面积和形心位置不便确定 时，将它分解成简单图形，之后分别与 另一图形相乘，然后把所得结果叠加。 例如：La ωa c a ya1ωbMP图bybdM图MP图ya=2/3×c+1/3×d yb=1/3×c+2/3×d此时2cya ybb dM图ya=2/3×c－1/3×d yb=2/3×d－1/3×c2312.5 图乘法③当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的 截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。ω1ω2ω3y3ω1EI1ω2EI2ω3EI3y1y2y1y2y3△=(ω1y1+ ω2y2+ ω3y3)△=2412.5 图乘法例 12-3 求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。设 EI=常数。C D1qL2 8形心1 yC=hqA BLωhhMP图M图解：1. 作实际状态的MP图。2. 设置虚拟状态并作。3. 图乘计算 2 2 ωyC 1 2 qL qhL ?CD=∑ = ( 3 8 L) h = （→←） ） EI EI 12EI2512.5 图乘法例 12-4 求图示刚架A点的竖向位移△Ay 。C EI B EIPL 2 PL 2LPPL 4PL 2AP 1DLPLM P图M 图解： 1. 作MP图、 2. 图乘计算。；△Ay=2 1 ( L?L ) PL 1 PL ∑ = - 2EI(L? 3L ) PL = 16EI（↓） 26 ） EI EI 2 2 2 4ωyC12.5 图乘法例12-5 求图示外伸梁C点的竖向位移△Cy。 EI=常数。 q 解：1. 作MP图 2. 作 图 3. 图乘计算 y1= y3= y2=M图A LqL 82B2 qL 8L 2CMP图ω3 y2ω2L 2ω1△Cy=y3y112712.5 图乘法 例12-6求图示刚架C截面的角位移?c ；点B的水平线位移△BH ;点D 的竖向线位移△DV 。40kN 10kN B 3EI EI D 10kN/m C 3m 30 B 5 60 D 5 C BM1=11 CA2m 2mA MP（kN.m）AM 1图解：1、作MP图 2、求? 作 M 1图1 ? 1 1 1 1 2 1 3 ? 140 （ ?c = ?( 2 ? 30 ? 4)( 3 ) ? ( 2 ? 60 ? 4)( 2 ) ? ( 3 ? 5 ? 2)( 4 + 4 )? = ? 9EI ） 3EI ? ?2812.5 图乘法40kN 10kN B 3EI EI D 10kN/m C 3m 30 B 5 60 D 5 P2=1 3 C B3CA2m 2mA MP（kN.m）A M 2图3、求△BH; 作 M 2图 1 ? 1 2 1 1 2 3 1 ? H ?B = ?- ( 2 ? 30 ? 4)( 3 ) + ( 2 ? 60 ? 4)( 2 ) + ( 3 ? 5 ? 2)(3 ? 4 + 3 ? 4 )? 3EI ? ? 1 1 2 ? ( ? 30 ? 3)(3 ? ) EI 2 3 190 =? （ ） 29 3EI12.5 图乘法40kN 10kN B 3EI EI D 10kN/m C 3m 30 B 5 60 D 5 C B1P2=1 CA2m 2mA MP（kN.m）A M 3图4、求△DV; 作 M 3图1 ? 1 1 1 2 2 1 ? ? = ?- ( 2 ?1 ? 4)( 2 ) + ( 2 ? 60 ? 2)( 3 ) ? 2 + ( 3 ? 5 ? 2)( 2 ) ? 2? 3EI ? ? 170 = （ ） 9 EIV D3012.6 支座移动和温度改变引起的位移计算 1.支座移动引起的位移计算 对于静定结构，支座移动并不引起内力，结构材料也不产生应 变。此时，静定结构支座移动时的位移是刚体位移。计算公式化简： 例12-7：图示三铰刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m,水平 位移△Bx=0.04m,已知 L=12m，h=8m。求?A 。C C△Kc=解： 虚拟状态如图。 由式得h实AL/2 L/21B △Bx A虚BHB?AVB=0.0075rad （ ） 3112.6 支座移动和温度改变引起的位移计算 2.支座移动引起的位移计算 （1）静定结构发生温度变化时的反应特点 静定结构没有多余约束，在温度变化时不产生反力和内力； 由于材料热胀冷缩，结构将产生变形和位移。 （2）温度变化作用下静定结构位移计算公式设图示结构外侧温度升高 t1，内侧温度升高 t2 ,求K点的竖向位移△Kt 。1）温度变化规律的假定 沿截面高度线性变化； 材料的线胀系数为α―单位长度在温 度改变1℃时伸长（或缩短）值。t1 t2K`△KtKPK=1K实虚3212.6 支座移动和温度改变引起的位移计算 2）微段的变形 温度改变只引起材料纤维的伸 长或者缩短，因此： 杆件截面无剪应变,t1 t2K`△KtPK=1 dx Kγ = 0;dx K微段杆轴线处的伸长， ut = αt 0 dt0 = t1 t h h h 2 + 2 h1 = 2 t1 + 1 t 2 ; h h h h h t1 + t 2 h1 = h 2 = 时， t 0 = 2 2实t1 αt1dx t0 t2 dx d ?t虚QkMkMk微段两端截面的相对角位移，αt 2 dx ? αt1dx α (t 2 ? t1 ) α?t d?t = = dx = h h hNkαt2dxdxNkQk3312.6 支座移动和温度改变引起的位移计算 3）位移计算公式 (12-3)dut = αt 0 dx ,γ = 0;此时由式（12-3）可得：α?t d?t = dx , C = 0 ht1 t2 dsK`△Kt当t0、△t和截面高度h沿杆长方 向为常量：△KtKPK=1 dsK实t1 αt1dx d?t t2 dx αt2dx虚MNdx34△KtMN12.6支座移动和温度改变引起的位移计算 （12-12）△Kt正负号确定：当温度改变状态的变形与虚力状态的变形方向一致 时取正号，相反时取负号。 计算温度改变引起的结构位移时，不能忽略 轴向变形对结构位移的影响！ 桁架在温度变化时的位移计算公式为△Kt=桁架因制造误差引起的位移计算与上式类似△Ke=式中△l为制造误差。3512.6 支座移动和温度改变引起的位移计算 例12-8 图示刚架施工时温度为20℃，求冬季外侧温度 为－10℃，内侧温度为0℃时A点的竖向位移 △Ay。已知L=4m， α=10－5，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。 t1 t2 A 1 A L 1实L虚N 图M 图化 t2=0℃－20℃=－20℃ 。t0=(t1+t2)/2=－25℃ , △t=t2－t1=10℃ 绘 图， 代入式（12-12），并注意正负号(判断)， 可得解： 外侧温度变化 t1= －10℃－20℃=－30℃, 内侧温度变△Ay3612.7互等定理1. 功的互等定理第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功， 等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。 P2 P1 1 2 2 1△21第一状态 N1、Q1、 M1、 P1、△21△12第二状态 N2、Q2、 M2、 P2、△12证明如下： 据虚功原理有 T12=W12 : T21=W21 : 故∑ P1 ?12 = ∑ P2 ?21或T12=T21（12-15） ）3712.7互等定理2. 位移互等定理第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移， 等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。 1 P1=1 2 1 2 P2=1δ21δ12据功的互等定理 P1?δ12=P2?δ21（δ－影响系数） δ12= δ21 即 （12-16） 又如：A C P1=1 B AM=1CB?A有fC? A = fc3812.7互等定理3. 反力互等定理支座1发生单位位移所引起的支座2的反力， 等于支座2发生单位位移所引起的支座1的反力。据功的互等定理△1=112r12?△1= r21?△2即1r21 r122 △2=1r12= r214.反力位移互等定理 反力位移互等定理单位力所引起的某支座反力，等于该支座发生单位 39 位移时所引起的单位力作用点沿其方向的位移。（略）
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