求exp[1/2(z-1/z)]在本性奇点的留数处的留数

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-12-14 04:57 标签： 奇点大学公开课
实验六、利用MATLAB计算复变函数在孤立奇点处的留数及进行复积分实验六、
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实验六、利用MATLAB计算复变函数在孤立奇点处的留数及进行复积分
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3秒自动关闭窗口1/1^2+1/2^2+1/3^2+..+1/n^2+..的22种解法
转自数学吧
如何计算这个问题是在1644年由意大利数学家蒙哥利（Pietro Mengoli）提出的，而大数学家欧拉于1735年第一次解决了这个问题。
他得出著名的结果：
解决这个问题的方法在近代不断涌现。这里我从各处摘抄到一些方法，列举在此，仅供大家参考。
如有错误，请向我指出，谢谢
首先，我们需要知道这个问题的等价形式,将这个数列除以4，我们自然得到
从而我们只需证明
而以下某些证明会用到这一点
证明1：欧拉的证明
欧拉的证明是十分聪明的。他只是将幂级数同有限的多项式联系到了一起，就得到了答案。首先注意到
但是sin(x)/x的根集为
故我们可以假定
（PS：欧拉似乎没有证明这个无穷积，直到100年后魏尔斯特拉斯得到了他著名的&魏尔斯特拉斯分解定理&（Weierstrass factorization theorem，详情可见wiki相应条目）。利用这个方法得到函数时要特别小心，我以前看到的一个反例（）就可以说明这个问题)
从而我们对这个无穷乘积的x^2项进行研究，可以知道
就有了答案
证明2：一个初等的证明
以下证明第一次来自Ioannis Papadimitriou于1973年在American Math Monthly 80(4):424-425页发表的。Apostol在同一份杂志425-430发表了用这个方法计算ζ(2n)的方法
这似乎是这个问题最&初等&的一个证明了，只需要知道三角函数相应知识就能够完成。我们先证明一个恒等式：
Lemma：令则
证明：由于
很显然，令n=2m+1,我们有为多项式
的根。从而利用韦达定理我们就完成了引理的证明。
由于三角不等式sinx&x&tanx在(0,pi/2)成立,我们有
，对于w[m],2w[m]..代入有
所以应用上面引理，就可以得到
令m趋于无穷大，结论自然就成立了。
证明3：数学分析的证明
这个证明来自Apostol在1983年的&Mathematical Intelligencer&,只需要简单的高数知识。
注意到恒等式
利用单调收敛定理(Monotone Convergence Theorem)，立即得到
通过换元(u,v)=((x+y)/2,(y-x)/2)，就有
S为点(0,0),(1/2,-1/2),(1,0),(1/2,1/2)构成的正方形，由正方形对称性有
利用恒等式arctan(u/sqrt(1-u^2))=arcsinu,arctan((1-u)/sqrt(1-u^2))=pi/4-(1/2)arcsinu得到
证明4:数学分析的证明
(Calabi, Beukers & Kock.)同样利用上一问的结论,不过这次我们计算的是：
雅可比行列式即为
其中也就是等式成立！
证明5:复分析的证明
这个证明在很多复分析书上都有。我们同样可以利用留数计算该结果,考虑,积分路径P[n]为在中心为原点的长形如图
实轴交点为&(n+1/2),复轴交点为&n,若z=x+iy,就有
，从而很容易就能知道|cot(πz)|&2对每根积分曲线成立,于此同时，|z|&=n成立，就有
成立，在n区域无穷大，该函数趋于0
而每一点的留数，计算有就可以得到
证明6:复数积分的证明
本证明由Dennis C.Russell给出。考虑积分&
利用cos的欧拉公式，也就是
再利用ln(1+x)的泰勒展开
从而积分就有
但e^(i*pi)=-1,变为
故如前面式子有
由于左边是实数，右边是纯虚数，从而只能两边都为0，即
这还给了我们一个副产品，就是
证明7:泰勒公式证明
(Boo Rim Choe 在1987 American Mathematical Monthly上发表)
利用反三角函数arcsinx的泰勒展开,
对于|x|&=1成立，令x=sint有
对|t|&=pi/2成立，但是由于积分
所以在(1)两边积分就有
证明8:复分析证明
PS：个人这个证明感觉相当漂亮，基本没怎么算
(T. Marshall 在American Math Monthly,2010)对于
这个和是对于每一个log的分支加起来，在D中的所有点，存在领域使得它的每一个分支都解析，由于这个级数在z=-1以外一致收敛，所以R(z)在D上解析
从而这里有几个Claim:
1.z-&0则级数每一项都趋于0，从而0是可取奇点
2.R的唯一奇点是在1的二阶奇点，是由于logz的主分支造成的，有
3.R(1/z)=R(z)
由于 1.和 3.有 R在扩充复平面上为亚纯函数，从而为有理函数，由2知道R(z)分母为(z-1)^2,由于R(0)=R(&)=0,所以分子就是az,那么2说明a=1,就是说
现在令得到
也就是说，代入w=1/2
证明9:傅立叶分析证明
教科书上最普遍的证明
考虑函数将其傅立叶展开,计算得知
显而易见，代入f(0)得到答案
证明10:傅立叶分析证明
考虑函数,将其傅立叶展开
利用Parseval等式
其中a[n]为e^(i*pi*n)系数，有
那么就知道
证明11:傅立叶分析证明&
在实轴上一致收敛，对于在,我们有
这个和被控制，从而在[ε,2π-ε]一致有界，Dirichlet判别知道
所以对于同样区域的函数
证明12:泊松公式证明&
(Richard Troll)由泊松求和公式其中
为傅立叶变换。
若我们设，f的傅立叶变换为
证明13:概率论证明&
(Luigi Pace 发表于2011 American Math Monthly)&
设X[1],X[2]是独立同半区域柯西分布，也就是它们的分布函数都是
令随机变量Y=X[1]/X[2],,那么Y的概率密度函数p[Y],定义在y&0有
由于X[1],X[2]独立同分布，即P(Y&1)=P(X[1]&X[2])=1/2,即
证明14:积分+函数方程证明&
(H Haruki,S Haruki在1983年 American Mathematical Monthly发表)
只需要算出这个积分值即可，我们令
要求的是a=0的情况
不过我们可以证明
中间是令t=x^2代换掉的。解函数方程
,求导两次知f''(a/2)+f''(pi-a/2)=f(a)/2
由于f''在闭区间[0,2pi]上面连续，所以必然有最大值M，最小值m，那么有设f''(a[0])=M,则
由于M是最大值，只能f''(a[0]/2)=M,f''(pi-a[0]/2)=M,一直迭代下去，我们有
lim[n-&infty] f''(a[o]/2^n)=M,即f''(0)=M,同理有f''(0)=m,即M=m成立，那么f''为常值函数，f为二次函数。再计算二次函数系数
代入式子(1)，以及计算f'(pi/2)，我们知道
，代入a=0,即
证明15:三角恒等式的初等证明
(Josef Hofbauer发表于2002年Americ...
人人移动客户端下载复变函数,z=1 为什么是sin(z-1)/z-1的可去奇点?_百度作业帮
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复变函数,z=1 为什么是sin(z-1)/z-1的可去奇点?
复变函数,z=1 为什么是sin(z-1)/z-1的可去奇点?
当z→1时,z-1→0,lim(z-1=0,sin(z-1)/z-1))=1,故z=1是sin(z-1)/z-1的可去奇点.函数趋于奇点时有极限存在且为常数则是可去奇点,函数趋于奇点时有极限为无穷大则为极点.函数趋于奇点时极限不存在则为本性奇点.留数定理在积分计算和级数求和中的应用
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留数定理在积分计算和级数求和中的应用
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3秒自动关闭窗口你好，如果是函数f(x)=z/z^4+1在复平面上的所有有限奇点处的留数怎么求呢？图解最后一步怎么得到？_百度作业帮
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你好，如果是函数f(x)=z/z^4+1在复平面上的所有有限奇点处的留数怎么求呢？图解最后一步怎么得到？
你好，如果是函数f(x)=z/z^4+1在复平面上的所有有限奇点处的留数怎么求呢？图解最后一步怎么得到？
在z=a处的留数定义就是洛伦特展开式的1/(z-a)的系数此处a=01/z的系数是1/4!=1/24

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