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如图，已知A（-1，0），E（0，-22），以点A为圆心，以AO长为半径的圆交x轴于另一点B，过点B作BF∥AE交⊙A于点F，直线FE交x轴于点C．（1）求证：直线FC是⊙A的切线；（2）求点C的坐标及直线FC的解析式；（3）有一个半径与⊙A的半径相等，且圆心在x轴上运动的⊙P．若⊙P与直线FC相交于M，N两点，是否存在这样的点P，使△PMN是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）证明：连接AF，∵AE∥BF，∴∠1=∠3，∠4=∠2，又∵AB=AF，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，又∵AO=AF，AE=AE，∴△AOE≌△AFE，∴∠AFE=∠AOE=90°，∴FC是⊙O的切线．（2）方法①由（1）知EF=OE=22，∵AE∥BF，∴ACAB=CEEF，∴OC+11=CE22，∴CE=22CO+22①；又∵OE2+OC2=CE2，∴CE2=（22）2+CO2②；由①②解得OC=0（舍去）或OC=2，∴C（2，0），∵直线FC经过E（0，-22），C（2，0）两点，设FC的解析式：y=kx+b，∴2k+b=0b=-22，解得k=24b=-22，∴直线FC的解析式为y=24x-22．方法②：∵CF切⊙A于点F，∴∠AFC=∠EOC=90°，又∠ACF=∠OCE，∴△COE∽△CFA，∴OEAF=COCF，∴221=COCE+22，即CE=2CO-22①；又OE2+OC2=CE2，∴CE2=（22）2+CO2②；由①②解得CO=0（舍去）或CO=2；∴C（2，0）（求FC的解析式同上）．方法③∵AE∥BF，∴ACAB=CEEF，∴OC+11=CE22，∴CE=22CO+22①，∵FC切⊙A于点F，∴∠AFC=∠COE=90°，∴∠ACE=∠OCE，∴△COE∽△CFA，∴OEAF=COCF，∴221=COCE+22，∴CE=2CO-22②．由①②解得：CO=2，∴C（2，0），（求FC的解析式同上）．（3）存在：当点P在点C左侧时，若∠MPN=90°，过点P作PE⊥MN于点E，∵∠MPN=90°，PM=PN，∴PE=PM×cos45°=22，∵AF⊥FC，∴PE∥AF，∴△CPE∽△CAF，∴PEAF=CPCA，∴221=CP3，∴CP=322，∴PO=322-2，∴P（2-322，0）．当点P在点C右侧P′时，设∠M′P′N′=90°，过点P′作P′Q⊥M′N′于点Q，则P′Q=22．∴P′Q=PE，可知P′与P关于点C中心对称，根据对称性得：∴OP′=OC+CP′=2+322，∴P′（2+322，0），∴存在这样的点P，使得△PMN为直角三角形，P点坐标（2-322，0）或（2+322，0）．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，已知A（-1，0），E（0，-22），以点A为圆心，以AO长为半径的圆..”主要考查你对&&求一次函数的解析式及一次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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求一次函数的解析式及一次函数的应用
待定系数法求一次函数的解析式：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。一次函数的应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。（1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；（2）注意自变量的取值范围。 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。第四步（写）：写出该函数的解析式。 一次函数的应用涉及问题：一、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。
二、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数
三、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）一次函数应用常用公式：1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/23.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/24.求任意线段的长：√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x1）/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0，则分子为0)（x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限（x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限（x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限（x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2，则k1=k2，b1≠b29.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，则k1×k2=-110.y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位y=kx+b+n就是向上平移n个单位y=kx+b-n就是向下平移n个单位口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)
发现相似题
与“如图，已知A（-1，0），E（0，-22），以点A为圆心，以AO长为半径的圆..”考查相似的试题有：
30298847507951123288535543549201514当前位置：
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如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P。
（1）求证：PA·PE=PC·PF；（2）求证：；（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC∶CE∶EP=3∶4∶5时，求△PEC与△FAP的面积的比值。
题型：解答题难度：偏难来源：湖北省中考真题
解：（1）证明：连接AB，∵CA切⊙O'于A，∴∠CAB=∠F，∵∠CAB=∠E，∴∠E=∠F，∴AF∥CE，∴，∴PA·PE=PC·PF①；（2）证明：在⊙O中，，①×②得，∴；（3）连接AE，由（1）知△PEC∽△PFA，而PC：CE：EP=3：4：5，∴PA：FA：PF=3：4：5，设PC=3x，CE=4x，EP=5x，∴，∴∠C=∠CAF=90°，∴AE为⊙O的直径，AF为⊙O'的直径，∵⊙O与⊙O'等圆，∴AE=AF=4y，∵AC2+CE2=AE2，∴（3x+3y）2+（4x）2=（4y）2，即25x2+18xy-7y2=0，即（25x-7y）（x+y）=0，∴，∴。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，..”主要考查你对&&相似三角形的性质，勾股定理&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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相似三角形的性质勾股定理
相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.(9)不必是在同一平面内的三角形里①相似三角形对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。勾股定理:直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。定理作用⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。勾股定理的应用：数学从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。生活勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。2、2005年珠峰高度复测行动。测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。通俗来说，就是分三步走：第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。
发现相似题
与“如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，..”考查相似的试题有：
146326108048187177164435343630230259已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为根号5，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（-4，0）．（1）求切线BC的解析式；（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．-乐乐题库
& 切线的性质知识点 & “已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆...”习题详情
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已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为√5，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（-4，0）．（1）求切线BC的解析式；（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2010-楚雄州
分析与解答
习题“已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为根号5，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（-4，0）．（1）求切线BC的解析式；（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线...”的分析与解答如下所示：
（1）连接AC，由于BC与⊙A相切，则AC⊥BC，在Rt△ABC中，OC⊥AB，根据射影定理即可求得OC的长，从而得到C点的坐标，进而用待定系数法求出直线BC的解析式．（2）可设出G点的坐标（设横坐标，利用直线BC的解析式表示纵坐标），连接AP、AG；由于GC、GP都是⊙A的切线，那么∠AGC=∠ABP=60°，在Rt△AGC中，AC的长易求得，根据∠AGC的度数，即可求得AG的长；过G作GH⊥x轴于H，在Rt△GAH中，可根据G点的坐标表示出AH、GH的长，进而由勾股定理求得G点的坐标．（3）若⊙A与直线交于点E、F，则AE=AF，如果△AEF是直角三角形，则∠EAF必为直角，那么△EAF是以A为顶点的等腰直角三角形，因此可分作两种情况考虑：①点A在B点右侧时，可过A作直线BC的垂线，设垂足为M，在（2）题已经求得了⊙A的半径，即可得到AM的长，易证得△BAM∽△BCO，通过相似三角形所得比例线段即可求得AB的长，进而可得到OA的长，从而得出A点的坐标；②点A在B点左侧时，方法同①．
解：（1）如图1所示，连接AC，则AC=√5，在Rt△AOC中，AC=√5，OA=1，则OC=2，∴点C的坐标为（0，2）；设切线BC的解析式为y=kx+b，它过点C（0，2），B（-4，0），则有{b=2-4k+b=0，解之得{k=12；∴y=12x+2．（4分）（2）如图1所示，设点G的坐标为（a，c），过点G作GH⊥x轴，垂足为H点，则OH=a，GH=c=12a+2，（5分）连接AP，AG；因为AC=AP，AG=AG，所以Rt△ACG≌Rt△APG（HL），所以∠AGC=12×120°=60°，在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=√5，∴sin60°=ACAG，∴AG=√153；（6分）在Rt△AGH中，AH=OH-OA=a-1，GH=12a+2，∵AH2+GH2=AG2，∴（a-1）2+(12a+2)2=(√153)2，解之得：a1=√33，a2=-√33（舍去）；（7分）∴点G的坐标为（√33，√33+2）．（8分）（3）如图2所示，在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形．（9分）要使△AEF为直角三角形，∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE≠90°，∴只能是∠EAF=90°；当圆心A在点B的右侧时，过点A作AM⊥BC，垂足为点M，在Rt△AEF中，AE=AF=√5，则EF=√10，AM=12EF=12√10；在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，则BC=2√5，∵∠BOC=∠BMA=90°，∠OBC=∠OBM，∴△BOC∽△BMA，∴OCAM=BCAB，∴AB=√2，∴OA=OB-AB=4-√2，∴点A的坐标为（-4+√2，0）；（11分）当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过点A′作A′M′⊥BC于点M′，可得：△A′M′B≌△AMB，A′B=AB=√2，∴OA′=OB+A′B=4+√2，∴点A′的坐标为（-4-√2，0）；综上所述，点A的坐标为（-4+√2，0）或（-4-√2，0）．（13分）
此题考查的知识点有：一次函数解析式的确定、勾股定理、切线的性质、切线长定理、全等三角形及相似三角形的判定和性质等；需要注意的是（3）题中，一定要考虑到点A在B点左侧时的情况，以免漏解．
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已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为根号5，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（-4，0）．（1）求切线BC的解析式；（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作...
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经过分析，习题“已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为根号5，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（-4，0）．（1）求切线BC的解析式；（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线...”主要考察你对“切线的性质”
等考点的理解。
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切线的性质
（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
与“已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为根号5，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（-4，0）．（1）求切线BC的解析式；（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线...”相似的题目：
如图，PC、DA为⊙O的切线，AB为⊙O的直径，若已知DA=2，CD：DP=1：2，则AB的长为&&&&3．
如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B，如果PA=2√3，∠AOB=120°，求OP的长．
如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是&&&&30°45°60°90°
“已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆...”的最新评论
该知识点好题
1在平面直角坐标系中，以点（-1，-2）为圆心、与x轴相切的圆的半径长是&&&&
2如图，直线MN是等腰直角三角形ABC的对称轴，斜边BC=10cm，以点A为圆心作半径为2cm的圆，若把⊙A沿MN向下平移，使⊙A与BC相切，则平移的距离为&&&&
3如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠CAB=27°，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，则∠ADC的度数为&&&&
该知识点易错题
1如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为（3，-1），AB=2√3．若将⊙P向上平移，则⊙P与x轴相切时点P坐标为&&&&
2下列说法中，正确的是&&&&
3下列说法正确的是&&&&①平分弦所对两条弧的直线，必经过圆心且垂直平分弦．②圆的切线垂直于圆的半径．③在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等．④在同圆中，弦心距越大则该弦越短．
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（1）求证：AB⊥AC；
（2）过点A的直线分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，且DE是连心线时，直线DB与直线EC交于点F．请在图中画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；
（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE绕点A旋转（DE不与点A、B、C重合），请另画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．
（1）作两圆的内公切线，根据切线长定理，得到三角形一边上的中线等于这边的一半，从而证明直角三角形；
（2）根据弦切角定理，结合（1）中的结论进行证明；
（3）根据弦切角定理以及圆周角定理，和（1）中的结论即可证明．
解：（1）证明：如图1，过点A作⊙O1和⊙O2的内公切线交BC于点O，
∵OB、OA是⊙O1的切线，
同理OC=OA．
∴OB=OC=OA．
∴△ABC是直角三角形．
∴AB⊥AC．
（2）DF⊥EF．理由如下：
如图1，∵⊙O1和⊙O2外切于点A，
∴∠ABC=∠FDA，∠ACB=∠FEA，
由（1）得∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠FDA+∠FEA=90°，
∴∠DFE=90°，即DF⊥EF；
（3）DF⊥EF．理由如下：
第一种情况：如图2，
∵⊙O1和⊙O2外切于点A，
∴∠ABC=∠FDA，∠ACB=∠FEA．
由（1）得∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠FDA+∠FEA=90°．
∴∠DFE=90°，即DF⊥EF．
第二种情况：如图3，
∵∠ACB=∠FEA，∠CBD=∠BAD，∠EDF=∠DBA+∠DAB，
∴∠EDF=∠ABC．
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠EDF+∠AEC=90°．
∴∠DFE=90°，即EF⊥DF．(1)求证：OF∥BE；
(2)设BP＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)延长DC，FP交于点G，连接OE并延长交直线DC于H(图2)，问是否存在点P，使△EFO∽△EHG(E，F，O分别与E，H，G为对应点)，如果存在，试求(2)中x和y的值，如果不存在，请说明理由．




【思路分析】(1)连结OE，证同位角相等或同旁内角互补即可；
(2)将直角梯形ABPF分割成矩形和直角三角形，然后利用勾股定理即可求出y与x之间的函数关系式；
(3)欲使△EFO∽△EHG，则只需∠EFO＝∠EHG．这一等式成立的条件之一是∠EFO＝2∠EOF．
【解】(1)证明：连接OE．
∵FE，FA是⊙O的切线，∴∠OAF＝∠OEF＝90°．
又∵FO＝FO，OA＝OE．∴△FAO≌△FEO．
∴∠AOF＝∠EOF＝
∠AOE．
∵∠ABE＝
∠AOE，∴∠AOF＝∠ABE．
∴OF∥BE．
(2)过F作FQ⊥BC于Q，
∴PQ＝BP－AF＝x－y，PF＝PE＋EF＝x＋y．
在Rt△PFQ中，FQ2＋PQ2＝PF2．
∴22＋(x－y)2＝(x＋y)2．
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