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积分方程是含有对未知的运算的方程，与相对。许多问题需通过积分方程或微分方程求解。积分方程是的一个重要分支。数学、和工程技术领域中的许多问题都可以归结为积分方程问题。正是因为这种双向联系和深入的特点，积分方程论得到了迅速地发展，成为包括众多研究方向的数学分支。外文名Integral equation数学范畴高等数学数学思想极限理论所属学科数学
积分方程理论的发展，始终与物理问题的研究紧密相联，它在、等方面有着极其广泛的应用。通常认为，最早自觉应用积分方程并求出解的是(Abel)，他在1823年研究力学问题时引出阿贝尔方程。此前，(Laplace)於1782年在中研究的逆变换以及(Fourier)於1811年研究的实际上都是解第一类积分方程。随着计算技术的发展，作为工程计算的重要基础之一，积分方程进一步得到了广泛而有效地应用。如今，“物理问题变得越来越复杂，积分方程变得越来越有用”。
积分方程与数学的其他分支，例如，、、、、位势理论和等都有着紧密而重要地联系。甚至它的形成和发展是很多重要和概念的最初来源和模型。例如，对泛函分析中平方、平均收敛、算子等的形成，对一般线性算子理论的创立，以至於对整个泛函分析的形成都起着重要的推动作用。积分方程论中许多思想和方法，例如，关於第二种(Fredholm)积分方程的弗雷德霍姆理论和奇异积分方程的诺特(Noether)理论以及逐次逼近方法，本身就是数学中经典而优美的理论和方法之一。积分号下含有未知函数的方程。其中未知函数以形式出现的，称为线性积分方程；否则称为积分方程。积分方程起源于物理问题。的出现，促进了理论的迅速发展，然而对积分方程理论发展的影响却非如此。1823年，N.H.阿贝尔在研究场中的一个质点下落轨迹问题时提出的一个方程，后人称之为阿贝尔方程，是历史上出现最早的积分方程，但是在较长的时期未引起人们的注意。“积分方程”一词是 P.du B.雷蒙德于1888年首先提出的。19世纪的最后两年，瑞典数学家（E.）I.弗雷德霍姆和意大利数学家V.沃尔泰拉开创了研究线性积分方程理论的先河。从此，积分方程理论逐渐发展成为数学的一个分支。 1899年，弗雷德霍姆在给他的老师（M.）G.米塔－列夫勒的信中，提出如下的方程
公式,　 (1)
式中φ（x）是未知函数；λ是参数，K（x，y）是在0 ≤x，y≤1上连续的已知函数；ψ(x)是在区间0≤x≤1上连续的已知函数。并认为方程（1）的解可表为关于λ的两个整函数之商。1900年，弗雷德霍姆在其论文中把（1）称为“积分方程”, 并初次建立了K（x,y）的行列式D(λ)和D（x,y,λ）,证明了它们都是λ的整函数, 以及当λ是D(λ)的一个零点时, 则(1)的齐次方程φ
有不恒等于零的解。1903年，他又指出，若行列式D(1)≠0,则有一个且只有一个函数φ(x)满足方程(1)(λ=1)，此时φ(x)可表为
从此，积分方程理论的发展进入了一个新的时期。以下形式的积分方程
分别称为第一种、第二种、第三种弗雷德霍姆积分方程，其中K(x,y)是在区域α≤x、y≤b上连续的已知函数,称为方程的核;A(x)、ψ(x)都是在区间α≤x≤b上连续的已知函数，φ(x)是未知函数，λ是参数。 第一、二种弗雷德霍姆积分方程是第三种的特殊情形。但是，第一种方程与第二种方程却有本质上的区别。与弗雷德霍姆几乎同时，沃尔泰拉研究了如下形式的积分方程
分别称为第一种、第二种、第三种沃尔泰拉积分方程，式中λ、φ(x)、ψ(x)和A(x)如前所述,K(x,y)是定义在三角形区域α≤y≤x≤b上的已知连续函数。弗雷德霍姆积分方程中的核K(x,y)当x&y时为零,就是沃尔泰拉积分方程。因此沃尔泰拉积分方程是弗雷德霍姆积分方程的特殊情形。但是这两类方程的本质是不同的。例如，第二种沃尔泰拉积分方程对于一切λ值总可用迭代法求解，而第二种弗雷德霍姆积分方程却出现了特征值问题；又如，第一种沃尔泰拉积分方程在一定条件下可以化为等价的某个第二种沃尔泰拉积分方程，而第一种弗雷德霍姆积分方程的讨论却困难得多。
弗雷德霍姆积分方程和沃尔泰拉积分方程的理论可以推广到多个未知的方程组的情形。这时只需要把φ(x)视为未知函数φ(x)=(φ1(x),φ2(x),…,φn(x)),K(x,y)看作n阶方阵(Kij(x,y))，i,j=1,2,…,n,ψ(x)=(ψ1(x),ψ2(x),…,ψn(x))看作已知函数向量。D.希尔伯特和E.施密特对第二种弗雷德霍姆积分方程做了重要的工作，特别是关于对称核积分方程的特征值存在性，对称核关于特征函数序列的展开，以及希尔伯特 -施密特展开等。至于第一种弗雷德霍姆积分方程，早在1828年就为G.格林在研究位势理论以解决的狄利克雷问题时所导出。格林当时还指出，关于这类方程没有一般的理论。20世纪初，E.施密特得到了方程(2)有解的。其后(C.-)&E.皮卡指出,该条件在核K(x,y)的特征函数序列是完备时也是充分的。但是，这一结果并没有提供一个一般的方便解法。第一种弗雷德霍姆积分方程的，尚未建立。
积分方程的核常是非连续的。例如,在,核K(x,y)是具有如下形式：
,式中0&α&1，H(x,y)是有界函数。这样的核称为弱奇性核，相应的方程称为弱奇性方程。可以证明，对弱奇性核施行如下运算：
（p、q都是正整数,K(1)(x,y)呏K(x,y),经m 次后，只要
，就得到一个有界核K(m)(x,y),而弱奇性消失了。由此可以证明，具有弱奇性核的积分方程同样具备第二种弗雷德霍姆积分方程的一切性质。对于n维空间的积分方程，也可以建立相应的结论。 奇异积分方程是与弗雷德霍姆积分方程有本质区别的一类方程。常见的奇异积分方程有两种：一种是核具有意义的奇性，例如柯西核；一种是积分区域为无穷的积分方程，例如。 前一种奇异积分方程的理论是在弗雷德霍姆积分方程理论建立后的几年中产生的。希尔伯特在研究的边值问题中发现了这种奇异积分方程。几乎同时，（J.-）H.庞加莱在研究时,也发现了它。他们的工作为这种方程奠定了理论基础。这种奇异积分方程的一般形式为
式中l是平面上光滑闭围道，系数A(t)、K(t,τ)和ψ(t)都是给定的在l上按赫尔德意义连续的函数。方程中的积分在通常意义下是发散的，但在一定假设下，其存在。这样的方程称为具有柯西核的奇异积分方程。此外，如下具有希尔伯特核的方程 也是一种意义下的奇异积分方程。对于这种奇异积分方程的研究成果及应用，苏联数学家Η.И.穆斯赫利什维利于1946年发表的专著《奇异积分方程》作了系统的总结。 后一种奇异积分方程的重要例子是维纳－霍普夫方程。它是20世纪20年代初在问题的研究中首先得到的，在许多实际问题中有重要的应用。 相应于弗雷德霍姆定理，对于上述两种奇异积分方程有（此诺特为著名的诺特阿姨的弟弟，见）。近年来，非线性积分方程的研究，有了很快的发展。例如哈默斯坦型积分方程，即如下形式的非线性积分方程
式中K(x,y)、?(y,u)都是已知函数,?(y,u)关于u是非线性的。自H.哈默斯坦于1930年提出以来，研究者不乏其人，而且已得到不少有意义的结果。对于奇异积分方程也有不少结果，但是直到现在，对于一般的非线性积分方程还没有系统的理论，即使是可解性的讨论也很困难。自抽象空间这个概念创立以来，如、以及算子理论的建立，使古典的积分方程以崭新的面貌出现。例如,把积分方程(3)中出现的函数看作是巴拿赫空间X的元素，原来的积分运算以算子T代替，于是方程(3)就可写为
这里T是巴拿赫空间X中的一个，ψ是X中一个已知元素,而φ是X中的未知元素。方程(8)的齐次方程φ-λTφ=0,若对于某些λ值有不等于零元素的解，则称这些λ值为算子T的点谱, 相应的元素称为特征元素。对于方程(8)也有在巴拿赫空间X中类似的弗雷德霍姆定理。算子T的谱分解是重要的研究课题,J.冯·诺伊曼在这方面有丰硕的研究成果。 积分方程有广泛的应用。某些的求解可归结为求解积分方程。例如，为求解,y(x0)=y0,y′(x0)=y1，只要在微分方程两端积分两次,并交换积分次序和利用初始条件,就得到与之等价的沃尔泰拉积分方程
类似地，对于常微分方程的边值问题也可得到与之等价的弗雷德霍姆积分方程。又如，中的狄利克雷问题和诺伊曼问题，可分别利用双层位势和单层位势作为中介而归结为第二种弗雷德霍姆积分方程的求解，而且是等价的。粘性流体力学问题中的维纳- 斯托克斯方程的也可化为非线性积分。这种利用位势求解微分方程的某些的方法，已有很多推广，有相当多的一阶或二阶椭圆型方程组的某些边值问题，引进类似于位势的积分算子，往往可归结为弗雷德霍姆积分方程或奇异积分方程。
在中制作地球内部的精细三维图问题。这种图对勘探矿产、预报地震等等都很需要，但不能采用实验的方法来制作，而只能采取间接的方法解决，一般是借助尖端的精密仪器和人造卫星精确地定出地球外部点处的位势，再利用引力位势的方法归结出关于地球内部密度的第一种。在中研究分子运动，考虑非均匀流体中悬浮晶粒的布朗位移和热扩散，导致了以柯尔莫哥洛夫命名的一类积分方程。在确定飞机机翼的剖面时，需要对、、等等效应进行计算，也往往导致一个积分方程（如的、的方程等）。其他如迁移、电磁波以及经济学与人口理论等都导致奇异积分方程的研究。 中国有不少学者致力于积分方程的理论和应用方面的研究，得到了许多有意义的结果。
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常微分方程的常见解法
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解关于x的方程：（1）ax-1=bx（2）4x+b=ax-8（3）k（kx-1）=3（kx-1）
题型：解答题难度：中档来源：不详
原方程可化为：（a-b）x=1，①当a=b时，方程无解；②当a≠b时，x=1a-b；（2）移项合并得：（4-a）x=-8-b①当a=4时且b≠-8时，方程无解；②当a=4，b=-8时，方程有无数多解；③当a≠4时，方程有唯一解；（3）去括号得：k2x-k=3kx-3，移项合并得：（k2-3k）x=k-3，k（k-3）x=k-3，①当k≠0且k≠3时，x=1k；②当k=0且k≠3时，方程无解；③当k=3时，方程有无数多解．
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据魔方格专家权威分析，试题“解关于x的方程：（1）ax-1=bx（2）4x+b=ax-8（3）k（kx-1）=3（kx-1）-数学-..”主要考查你对&&一元一次方程的解法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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一元一次方程的解法
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解一元一次方程的注意事项： 1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数； 2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号； 3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号； 4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项； 5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号； 6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法； 7、分、小数运算时不能嫌麻烦； 8、不要跳步，一步步仔细算 。解一元一次方程的步骤： 一般解法：⒈去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）； 依据：等式的性质2 ⒉ 去括号：一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，可根据 乘法分配律（记住如括号外有减号或除号的话一定要变号） 依据：乘法分配律 ⒊ 移项：把方程中含有 未知数的项都移到方程的一边（一般是含有未知数的项移到方程左边，而把常数项移到右边） 依据：等式的性质1 ⒋ 合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0）的形式； 依据：乘法分配律（逆用乘法分配律） ⒌ 系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 依据：等式的性质2
方程的同解原理 ：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。　
做一元一次方程应用题的重要方法： ⒈认真 审题（审题）　 ⒉分析已知和未知量　 ⒊找一个合适的 等量关系　 ⒋设一个恰当的未知数 　 ⒌列出合理的方程 （列式）　 ⒍解出方程（解题） 　 ⒎ 检验　 ⒏写出答案（作答）
例：ax=b（a、b为常数）? 解：当a≠0，b=0时， ax=0 x=0(此种情况与下一种一样) 当a≠0时，x=b/a。 当a=0，b=0时，方程有无数个解（注意：这种情况不属于一元一次方程，而属于恒等方程） 当a=0，b≠0时，方程无解（此种情况也不属于一元一次方程） 例： （3x+1)/2-2=(3x-2)/10-(2x+3)/5
去分母（方程两边同乘各分母的最小 公倍数）得： 5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3) 去括号得： 15x+5-20=3x-2-4x-6 移项得： 15x-3x+4x=-2-6-5+20 合并同类项得： 16x=7 系数化为1得： x=7/16。
注：字母公式（等式的性质） a=b a+c=b+c a-c=b-c （等式的性质1） a=b ac=bc a=bc(c≠0)= a÷c=b÷c（等式的性质2） 检验 算出后需检验的。 求根公式 由于一元一次方程是 基本方程，教科书上的解法只有上述的方法。 但对于标准形式下的一元一次方程 ax+b=0 可得出求根公式x=-(b/a)
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与“解关于x的方程：（1）ax-1=bx（2）4x+b=ax-8（3）k（kx-1）=3（kx-1）-数学-..”考查相似的试题有：
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