在四棱錐P-ABCD中，底面为直角梯形，AD平行BC，角BAD=90度，PA垂直底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点（1）求证PB垂直DM（2）求CD与平面ADMN所
在四棱錐P-ABCD中，底面为直角梯形，AD平行BC，角BAD=90度，PA垂直底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点（1）求证PB垂直DM（2）求CD与平面ADMN所
（1）求证PB垂直DM（2）求CD与平面ADMN所成的角
证明：取PD中点F,CD中点G,连接EF,AF,BE
AB⊥AD,CD⊥AD----AB//CD
CD=2AB,G为CD的中点
所以AB//=GD
E为PC的中点,F为PD的中点----EF//=CD/2
由（1）（2）得EF//=AB
所以ABEF为平行四边形
AF属于面PAD
所以BE//平面PAD
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以A为原点建立空间直角坐标系即可
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数学领域专家&&&&&&&&&&&&
2012北京各区初三一模压轴题精选（含答案）
【门头沟】五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.已知：关于x的一元二次方程有两个实数根.（1）求k的取值范围；（2）当k为负整数时，抛物线与x轴的交点是整数点，求抛物线的解析式；（3）若（2）中的抛物线与y轴交于点A，过A作x轴的平行线与抛物线交于点B，连接OB，将抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线的顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求n的取值范围.24.已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．（1）如图l，当∠ACB=90°时，直接写出线段DE、CE之间的数量关系；（2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K），延长DK交AB于点H．若BH=10，求CE的长.25.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、 B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点E. 点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行. 一次函数y=－x＋m的图象过点C，交y轴于D点.（1）求点C、点F的坐标；（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.【丰台】五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知：关于x的一元二次方程：.（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线与x轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形C1,将图形C1向右平移一个单位,得到图形C2，当直线(b<0)与图形C2恰有两个公共点时，写出b的取值范围.24．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是
；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．25．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，）为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．如果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；（3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长．.【石景山】五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知：关于的方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）抛物线：与轴交于、两点．若且直线:经过点,求抛物线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，直线:绕着点旋转得到直线：，设直线与轴交于点，与抛物线交于点（不与点重合），当时，求的取值范围．24．（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中点．直接写出∠BMD与∠ADM的倍数关系；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形， AB=2BC，M是AB的中点，过C作CE⊥AD与AD所在直线交于点E．①若∠A为锐角，则∠BME与∠AEM有怎样的倍数关系，并证明你的结论；②当时，上述结论成立；当 时，上述结论不成立．25．已知二次函数中，m为不小于0的整数，它的图像与x轴交于点A和点B，点A在原点左边，点B在原点右边．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点C是抛物线与轴的交点，已知AD=AC（D在线段AB上），有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度移动，同时，另一动点Q从点C出发，以某一速度沿线段CB移动，经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情况下，求四边形ACQD的面积．【东城】五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.已知关于x的一元二次方程.（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围；（3）抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求n的取值范围（直接写出答案即可）．24.
已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.（1）如图1，若AB=，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=，设BP=，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于的函数关系式．25. 如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于（-1,0）、（3,0）两点, 顶点为. (1) 求此二次函数解析式；(2) 点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交BD于点E，过点作直线∥交直线于点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在（2）的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、、，求和的最小值.【西城】五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 已知关于x的一元二次方程的一个实数根为 2．(1) 用含p的代数式表示q；(2) 求证：抛物线与x轴有两个交点；(3) 设抛物线的顶点为M，与 y轴的交点为E，抛物线顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．24．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．(1) 求证：BF∥AC；(2) 若AC边的中点为M，求证：；(3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．图1
图225．平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D．
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；(3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为，若，求点Q的坐标和此时△的面积．【密云】五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知：、分别为关于的一元二次方程的两个实数根．（1） 设、均为两个不相等的非零整数根，求的整数值；（2）利用图象求关于的方程的解．24．已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）如图1，当绕点旋转到时，有．当 绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．25．已知：在平面直角坐标系xoy中，抛物线过点A（－1，0），对称轴与轴交于点C，顶点为B．（1）求的值及对称轴方程；（2）设点为射线BC上任意一点（、C两点除外），过作BC的垂线交直线于点D，连结．设△APD的面积为，点的纵坐标为m，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）设直线AB与y轴的交点为E，如果某一动点Q从E点出发，到抛物线对称轴上某点F，再到x轴上某点M，从M再回到点E．如何运动路径最短？请在直角坐标系中画出最短路径，并写出点M的坐标和运动的最短距离．【昌平】五、解答题（共3道小题，第23小题6分，第24，25小题各8分，共22分）23．已知关于x的方程(k+1)x2+(3k-1)x+2k-2=0．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值；（3）若抛物线y=(k+1)x2+(3k-1)x+2k-2与x轴的两个交点之间的距离为3，求k的值．24． 如图，已知抛物线与轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PAC的周长最小，并求出点P的坐标；（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、C重合）．过点D作DE∥PC交轴于点E．设CD的长为m，问当m取何值时，S△PDE =S四边形ABMC．25． 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线MN经过点O，设锐角∠DOC=∠，将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D'OC'，直线A D'、B C'相交于点P．（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想A D'、B C'的数量关系以及∠APB与∠α的大小关系；（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论还成立吗？（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，∠APB与∠α有怎样的等量关系？请证明．【延庆】七、解答题（本题满分7分）23. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y1=mx2-（2m+3）x+m+3与x轴交于点A、点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C（其中m>0）。（1）求：点A、点B的坐标（含m的式子表示）；（2）若OB=4·AO，点D是线段OC（不与点O、点C重合）上一动点，在线段OD的右侧作正方形ODEF,连接CE、BE，设线段OD=t，△CEB的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；八、解答题（本题满分7分）24.如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合）， 求证：BD+DC > AD 下面的证法供你参考： 把绕点A瞬时间针旋转得到，连接ED，则有,DC=EB∵AD=AE,∴是等边三角形∴AD=DE在中，BD+EB > DE即：BD+DC>AD实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：如图2，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合），求证：BD+DC>AD（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？ 直接写出结论.创新应用：（3）已知：如图3，等腰△ABC中， AB=AC，且∠BAC=（为钝角）， D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC =180o， BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明.九、解答题（本题满分8分）25. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y1=ax2+3x+c的图像经过原点及点A（1,2），与x轴相交于另一点B。（1）求：二次函数y1的解析式及B点坐标；（2）若将抛物线y1以x=3为对称轴向右翻折后，得到一个新的二次函数y2,已知二次函数y2与x轴交于两点，其中右边的交点为C点. 点P在线段OC上，从O点出发向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线AO于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF（当P点运动时，点D、点E、点F也随之运动）；①当点E在二次函数y1的图像上时，求OP的长。②若点P从O点出发向C点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另一个点Q从C点出发向O点做匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）。过Q点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN（当Q点运动时，点G、点M、点N也随之运动），若P点运动t秒时，两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上（正方形在x轴上的边除外），求此刻t的值。【平谷】五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.已知关于x的二次函数与，这两个二次函数图象中的一条与x轴交于A、B两个不同的点.（1）试判断哪个二次函数的图象经过A、B两点（写出判断过程）；（2）若A点坐标为（,0），求点B的坐标；（3）在（2）的条件下，设点C是抛物线上的一点，且△ABC的面积为10，直接写出点C的坐标24．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线ACBD相交于O.（1） 如图1，设 E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF=90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设 E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF=45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明.25．已知抛物线上有不同的两点E和F（）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．【燕山】五、解答题（本题共22分, 第23、24题各7分，第25题8分）23．已知：如图，在直角坐标系xOy中，直线y=2x与函数y=的图象在第一象限的交于A点，AM⊥x轴，垂足是M，把线段OA的垂直平分线记作l，线段AN与OM关于l对称.（1）画出线段AN（保留画图痕迹）；（2）求点A的坐标；（3）求直线AN的函数解析式.24. 已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，AD和BC交于点M.（1）当△APC和△BPD面积之和最小时，直接写出AP : PB的值和∠AMC的度数；（2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α，当α<60°时，旋转过程中，∠AMC的度数是否发生变化？证明你的结论.（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC的度数. 25. 已知点A（1，）在抛物线y=x2+bx+c上，点F（-，）在它的对称轴上，点P为抛物线上一动点.（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）判断是否存在直线l，使得线段PF的长总是等于点P到直线l的距离，需说明理由.（3）设直线PF与抛物线的另一交点为Q，探究：PF和QF这两条线段的倒数和是否为定值？证明你的结论.【通州】五、解答题（共3道小题，23、24题每题7分，25题8分，共22分）23．已知二次函数 （1）求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点. （2）当x≥2时，函数值随的增大而减小，求的取值范围. （3）以二次函数图象的顶点为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形（M，N两点在二次函数的图象上），请问：△的面积是与a无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.24．已知：如图，二次函数y=a(x+1)2－4的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点D，点C是二次函数y=a(x+1)2－4的图象的顶点，CD=. （1）求a的值. （2）点M在二次函数y=a(x+1)2－4图象的对称轴上，且∠AMC=∠BDO，求点M的坐标．（3） 将二次函数y=a(x+1)2－4的图象向下平移k（k＞0）个单位，平移后的图象与直线CD分别交于E、F两点（点F在点E左侧），设平移后的二次函数的图象的顶点为C1，与y轴的交点为D1，是否存在实数k，使得CF⊥FC1，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．25．已知四边形ABCD，点E是射线BC上的一个动点（点E不与B、C两点重合），线段BE的垂直平分线交射线AC于点P，联结DP，PE. （1）若四边形ABCD是正方形，猜想PD与PE的关系，并证明你的结论. （2）若四边形ABCD是矩形，（1）中的PD与PE的关系还成立吗？（填：成立或不成立）. （3）若四边形ABCD是矩形，AB=6，cos∠ACD= ， 设AP=x，△PCE的面积为y,当AP>AC时，求y与x之间的函数关系式.【大兴】五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线（1）k取什么值时，此抛物线与x轴有两个交点？（2）此抛物线与x轴交于A 两点（点A在点B左侧），且，求k的值.24.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线 经过点A（,4）,且与轴相交于点C. 点B在轴上，且. △ABC的面积为S.（1）求m的取值范围;（2）求S关于m的函数关系式;（3）设点B在轴的正半轴上，当S取得最大值时，将△ABC沿AC折叠得到，求点的坐标.25.已知：如图，N、M是以O为圆心，1为半径的圆上的两点，B是上一动点（B不与点M、N重合），∠MON=90°，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）四边形EPGQ
（填"是"或者"不是"）平行四边形；（2）若四边形EPGQ是矩形，求OA的值；（3）连结PQ，求的值．【朝阳】五、解答题（本题共21分，第23题6分，第24题8分，第25题7分）23. 阅读下面材料：问题：如图①，在△ABC中， D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．（1）请你回答：图中BD的长为
；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．图①
图②24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点N（2,－5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；（2） 设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，（3） 使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，（4） 说明理由.25. 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF． （1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答： ① ∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由； ② 直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长． 【海淀】23、已知关于的方程.（1）求证：不论为任意实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，试确定此抛物线的解析式；（3）若点P（，）与点Q（，）在（2）中抛物线上，（点P、Q不重合），且，求代数式的值.24、在□ABCD中，∠A=∠DBC，过点D作DE=DF，且∠EDF=∠ABD，连接EF、EC，N、P分别为EC、BC的中点，连接NP.（1）如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论.25、已知抛物线的顶点为P，与轴交于点A，与直线OP交于点B.（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且，求点M的坐标；（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥轴于点D.将抛物线平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由.【顺义】五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x的方程．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）当方程有两个相等的实数根时，求关于y的方程的整数根（为正整数）．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2mx+n经过点A（-4，0）和点B（0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）向右平移上述抛物线，若平移后的抛物线仍经过点B，求平移后抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，记平移后点A的对应点为A'，点B的对应点为B'，试问：在平移后的抛物线上是否存在一点P，使的面积与四边形AA'B'B的面积相等，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．25．问题：如图1， 在Rt△中，，，点是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系．请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1） 当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由的度数为
，容易得出BE与DE之间的数量关系为
；（2） 当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．【房山】五、解答题（共3道小题，23题7分，24题8分，25题7分，共22分）23．已知：关于x的方程⑴求证：方程总有实数根；⑵若方程有一根大于5且小于7，求k的整数值；⑶在⑵的条件下，对于一次函数和二次函数=，当时，有，求b的取值范围． 24．如图⑴，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2＋8ax＋16a＋6经过点B（0，4）. ⑴求抛物线的解析式； ⑵设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为-4，联结BC、AC.求证：△ABC是等腰直角三角形； ⑶在⑵的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l ，直线l 与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′C是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，请说明理由．25．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，以点B为圆心，以为半径作圆.⑴设点P为☉B上的一个动点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，联结DA，DB，PB，如图2．求证：AD=BP；⑵在⑴的条件下，若∠CPB=135°，则BD=___________；⑶在⑴的条件下，当∠PBC=_______° 时，BD有最大值，且最大值为__________；当∠PBC=_________° 时，BD有最小值，且最小值为__________．参考答案【门头沟】五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）由题意得， ...................1分
解得，
k的取值范围是.
..........................2分
（2）k为负整数，k=-2，-1.当k=-2时，与x轴的两个交点是（-1，0）（-2，0）是整数点，符合题意
.....................3分当k=-1时，与x轴的交点不是整数点，不符合题意 ....4分抛物线的解析式是（3）由题意得，A（0，2），B（-3，2）设OB的解析式为,解得OB的解析式为的顶点坐标是（，）OB与抛物线对称轴的交点坐标（，1） ..............5分直线AB与抛物线对称轴的交点坐标是（，2） .........6分有图象可知，n的取值范围是........................7分 24.(1)DE=2CE...........................1分
(2)证明：过点B作BM⊥DC于M
∵BD=BC，∴DM=CM, .............................2分∴∠DMB=∠CMB=90°,∠DBM=∠CBM=∠DBC=60°
∴∠MCB=30°
∵BC=2AC，
∴BM=AC.
∵∠ACB=120°,
∴∠ACE=90°.
∴∠BME=∠ACE
∵∠MEB=∠AEC
∴△EMB≌△ECA
∴ME=CE=CM ...........................3分
∴DE=3EC ....................................4分
(3) 过点B作BM⊥DC于M，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N.
∵∠DBF=120°, ∴∠FBN=60°. ∴FN=BF,BN=BF ......5分
∵DB=BC=2BF, DN=DB+BN=BF
∴DF=BF
∵AC=BC,BF=BC
∴AC=BF
∵∠DBC=∠ACB
∴△DBF≌BCA
∴∠BDF=∠CBA.
∵∠BFG=∠DFB,
∴△FBG∽△FDB
∴,∴BF
∴DG=BF,BG=BF
∵△DKG和△DBG关于直线DG对称，
∴∠GDH=∠BDF.∠ABC=∠GDH.
∵∠BGF=∠DGA,
∴△BGF∽△DGH.
∴GH=BF.
∵BH=BG+GH=BF=10,
..................................6分
∴BC=2BF=4
∴CD=2CM=.
∵DE=3EC
...................................7分25.解：（1）由题意得，A（－3，0），B（1，0）C（5，0） ........................1分F（3，0） ..............................2分
（2）由题意得，，解得m=5
CD的解析式是
设K点的坐标是（t，0），则H点的坐标是（t，-t+5）,G点的坐标是（t，）
K是线段AB上一动点，
HG=（-t+5）-（）==...........3分
当t=时，线段HG的长度有最大值是 ......................4分
（3）AC=8 ...........................5 直线l过点F且与y轴平行，
直线l的解析式是x=3.
点M在l上，点N在抛物线上
设点M的坐标是（3，m），点N的坐标是（n，）.（ⅰ）若线段AC是以A、C、M、N为顶点的平行四边形的边，则须MN∥AC，MN=AC=8（Ⅰ）当点N在点M的左侧时，MN=3-n3-n=8，解得n=-5N点的坐标是（-5，12）.....................6分（Ⅱ）当点N在点M的右侧时，NM=n-3n-3=8，解得n=11N点坐标是（11，140） .......................7分（ⅱ）若线段AC是以A、C、M、N为顶点的平行四边形的对角线，由题意可知，点M与点N关于点B中心对称. 取点F关于点B的对称点P，则P点坐标是（-1，0）.过点P作NP⊥x轴，交抛物线与点N.过点N、B作直线NB交直线l于点M.∠NBP=∠MBF,BF=BP,∠BPN=∠BFM=90°△BPN≌△BFM.
NB=MB四边形ANCM是平行四边形.N点坐标是（-1，-4）........................................8分符合条件的N点坐标有（-5，12），（11，140），（-1，-4）， 【丰台】五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23 .（1）证明∵．............1分 ∴该方程总有两个不相等的实数根．. .........2分（2）由题意可知y轴是抛物线的对称轴，
∴，解得．.........4分∴此抛物线的解析式为．.......5分（3）-3<b<1．.........7分24.解：（1）BM=DM且BM⊥DM． .........2分 （2）成立． ...............3分理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，联结CF、BF、BD．易证△EMD≌△CMF．.........4分∴ED=CF，∠DEM=∠1． ∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，∴∠2=∠3=45°, ∠4=∠5=45°．∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9， ∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9）=360°-45°-180°+∠6+∠9- 45°-∠9 =90°+∠6 ． ∴∠8=∠BAD．.........5分
又AD=CF． ∴△ABD≌△CBF．∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．.........6分∴∠DBF=∠ABC=90°．∵MF=MD， ∴BM=DM且BM⊥DM．.............7分25. 解：（1）联结PA，PB，PC，过点P作PG⊥BC于点G．∵⊙P与y轴相切于点A，∴PA⊥y轴，∵P（2，），∴OG=AP=2，PG=OA=．.........1分∴PB=PC=2．∴BG=1．∴CG=1，BC=2．∴OB=1，OC=3．∴ A（0，），B（1，0），C（3，0）．.........2分 根据题意设二次函数解析式为：，∴，解得a=．∴二次函数的解析式为：．............3分（2）存在．点M的坐标为（0，），（3，0），（4，），（7，）．............7分（3）∵=，∴抛物线的顶点Q（2，）．作点P关于y轴的对称点P'，则P'（-2，）．联结P' Q，则P' Q是最短总路径， 根据勾股定理，可得P' Q=．.....8分【石景山】五、解答题（本题共22分，第23题和第24题7分，第25题8分）23．解：（1）
.................1分 ∵方程有两个不相等的实数根 ∴ ∴
.................2分（2） 抛物线中，令，则，解得：，
.................3分∴抛物线与轴的交点坐标为和∵直线:经过点 当点坐标为时， 解得 当点坐标为时 ， 解得或 又∵ ∴且 ∴抛物线的解析式为；....... 4分（3）设①当点在点的右侧时，可证若，则，此时,过点的直线：的解析式为时 ，求得
..............5分②当点与点重合时直线与抛物线只有一个公共点解得[来源:]令,求得
..........6分③当点在点的左侧时可证若，则，此时,，解得综上所述，当时且
...........7分24. （1）∠BMD= 3 ∠ADM
............ 2分（2）联结CM，取CE的中点F，联结MF，交DC于N∵M是AB的中点，∴MF∥AE∥BC，∴∠AEM=∠1，∠2=∠4，
......... 3分∵AB=2BC，∴BM=BC，∴∠3=∠4.∵CE⊥AE，∴MF⊥EC，又∵F是EC的中点，∴ME=MC，∴∠1=∠2.
..........4分∴∠1=∠2=∠3.∴∠BME =3∠AEM.
.......... 5分（3）当0°<∠A<120°时，结论成立；当时，结论不成立.
............7分25.（1）∵二次函数的图像与x轴有两个交点，∴∴.
.............1分 ∵m为不小于0的整数，∴m取0、1.
.............2分当m=1时，，图像与x轴的两个交点在原点的同侧，不合题意，舍去；当m=0时，，符合题意.∴二次函数的解析式为：
..............3分（2）∵AC=AD，∴∠ADC=∠ACD∵CD垂直平分PQ，∴DP=DQ，∴∠ADC=∠CDQ.∴∠ACD=∠CDQ，∴DQ∥AC∴△BDQ∽△BAC，∴
..............4分∵AC=，BD=，AB=4.∴DQ=，
..............5分 ∴PD=.
∴AP=AD-PD=，∴t=
..............6分（3）∵△BDQ∽△BAC ∴ 易求，∴
...........7分 ∴.
............8分【东城】五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（本小题满分7分）解：(1)证明：
Δ===∵ ≥0，∴ 无论m取何实数时，原方程总有两个实数根.
..................2分（2） 解关于x的一元二次方程，得 .
..................3分由题意得
..................4分解得 .
..................5分（3）符合题意的n的取值范围是 .
...............7分24. （本小题满分7分）解：（1）EF=2．
...............1分 （2）EF=BF．
...............2分 证明： ∵ ∠BAP=∠BAE-∠EAP=60°-∠EAP ，∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP， ∴ ∠BAP=∠EAQ ．在△ABP和△AEQ中，AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ，∴ △ABP≌△AEQ．∴ ∠AEQ=∠ABP=90°．∴ ∠BEF．又∵ ∠EBF=90°-60°=30°，∴EF=BF．
...............4分 (3) 在图1中，过点F作FD⊥BE于点D． ∵ △ABE是等边三角形, ∴ BE=AB=．由（2）得 30°，在Rt△BDF中， ． ∴
． ∴
∵
△ABP≌△AEQ ,∴
QE=BP= ． ∴
QF=QE＋EF．∴ 以QF为边的等边三角形的面积y= ．...7分25．（本小题满分8分）解:(1) ∵ 点A、B的坐标分别为（-1,0）、（3,0）， ∴解得∴ 二次函数解析式为.
...............2分（2）可求点C的坐标为（1，）∴ 点D的坐标为（1，）.可求 直线AD的解析式为
.由题意可求 直线BK的解析式为.∵ 直线的解析式为,∴ 可求出点K的坐标为(5,).易求
.∴ 四边形ABKD是菱形.∵ 菱形的中心到四边的距离相等，∴ 点P与点E重合时，即是满足题意的点，坐标为（2， ） . ...............5分(3) ∵ 点D、B关于直线AK对称,∴ 的最小值是. 过K作KF⊥x轴于F点.过点K作直线AD的对称点P,连接KP,交直线AD于点Q,∴ KP⊥AD.∵ AK是∠DAB的角平分线, ∴ .∴的最小值是. 即BP的长是的最小值.∵ BK∥AD,∴ .在Rt△BKP中,由勾股定理得BP=8.∴的最小值为8.
...............8分【西城】五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）∵ 关于x的一元二次方程的一个实数根为 2，∴ ．............................................................
1分 整理，得 ． ............................................................ 2分（2）∵ ，
无论p取任何实数，都有≥0， ∴ 无论p取任何实数，都有 ．∴ ．
........................................................................... 3分∴ 抛物线与x轴有两个交点．..............................
4分（3）∵ 抛物线与抛物线的对称轴相同，都为直线，且开口大小相同，抛物线可由抛物线沿y轴方向向上平移一个单位得到，（如图5所示，省略了x轴、y轴）∴
EF∥MN，EF=MN=1．∴ 四边形FEMN是平行四边形． ..................5分 由题意得 ． 解得．.............................................7分24．证明：（1）如图6．∵ 点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，直线DE交直线CH于点F， ∴ BF=DF，DH=BH．.....................1分 ∴ ∠1=∠2． 又∵ ∠EDA=∠A，∠EDA=∠1， ∴ ∠A＝∠2． ∴ BF∥AC．........................................................................ 2分（2）取FD的中点N，连结HM、HN.∵ H是BD的中点，N是FD的中点， ∴ HN∥BF． 由（1）得BF∥AC， ∴ HN∥AC，即HN∥EM． ∵ 在Rt△ACH中，∠AHC=90°，AC边的中点为M， ∴ ． ∴ ∠A＝∠3． ∴ ∠EDA=∠3． ∴ NE∥HM． ∴ 四边形ENHM是平行四边形．............................................. 3分 ∴ HN=EM． ∵ 在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N， ∴ ，即． ∴ ． .................................................................. 4分（3）当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE． （只猜想结论不给分）证明：连结CD．（如图8）∵ 点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H， ∴
BC=CD，∠ABC＝∠5．∵
AB＝BC， ∴ ，AB＝CD．① ∵ ∠EDA=∠A， ∴ ，AE=DE．② ∴ ∠ABC＝∠6=∠5． ∵ ∠BDE是△ADE的外角， ∴ ． ∵ ， ∴ ∠A＝∠4．③
由①，②，③得 △ABE≌△DCE．.............................................5分
∴ BE= CE． ........................................................................ 6分由（1）中BF=DF得 ∠CFE=∠BFC．由（1）中所得BF∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF．∴ ∠CFE=∠ECF．∴ EF=CE．∴ BE=EF． ........................................................................ 7分∴ BE=EF=CE．（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE=EF或BE=CE只得2分）25．解：（1）∵ ， ∴ 抛物线的对称轴为直线． ∵ 抛物线与x轴交于
点A、点B，点A的坐标为， ∴ 点B的坐标为，OB＝3．............... 1分 可得该抛物线的解析式为． ∵ OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C， ∴ OC=3，点C的坐标为． 将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．......2分 ∴ 此抛物线的解析式为．（如图9）........................ 3分（2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点，点关于x轴的对称点为点，点、点均为所求点.（如图10）可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上．∵ 、都是弧AB所对的圆周角，∴ ，且射线FE上的其它点P都不满足．由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线上．∴ 点E的坐标为．......................................................... 4分∴ 由勾股定理得 ．∴ ． ∴ 点的坐标为．................................................... 5分 由对称性得点的坐标为． .................................... 6分 ∴符合题意的点P的坐标为、.（3）∵ 点B、D的坐标分别为、， 可得直线BD的解析式为，直线BD与x轴所夹的锐角为45°．[来源:]∵ 点A关于∠AQB的平分线的对称点为，（如图11）若设与∠AQB的平分线的交点为M， 则有 ，，，Q，B，三点在一条直线上． ∵ ， ∴ 作⊥x轴于点N． ∵ 点Q在线段BD上， Q，B，三点在一条直线上， ∴ ，． ∴ 点的坐标为． ∵ 点Q在线段BD上， ∴ 设点Q的坐标为，其中． ∵ ， ∴ 由勾股定理得 ． 解得． 经检验，在的范围内． ∴ 点Q的坐标为． ................................................... 7分 此时．... 8分 【密云】六、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（本小题满分7分）解：（1）∵， [来源:Z_] 由求根公式，得，．要使，均为整数，必为整数．∴当取时，，均为整数．又 当时，==－1，∴舍．当时，，∴舍．∴的值为－1和－2．
------------------------------------------------------3分（2）将，代入方程 ，整理 得 ． 设，，并在同一直角坐标系中 分别画出与 的图象（如图所示）． 由图象可得，关于的方程的解为，． ---------------------------7分24．（本小题满分7分）解：（1）答：（1）中的结论仍然成立，即 ． 证明：如图2，在MB的延长线上截取BE=DN，连结AE ．易证
（SAS）． ∴
AE=AN；∠EAB=∠NAD． ∴．又AM为公共边， ∴． ． 即 ．
------------------------------------------------------4分[来源:Z,] （2）猜想：线段和之间的等量关系为： ．
证明：如图3，在DN延长线上截取DE=MB，连结A E ．易证 （SAS）．
AM=AE；∠MAB=∠EAD．易证 （SAS）．．∵，∴．
---------------------------------------------------7分25．（本小题满分8分）解：（1）∵抛物线过点A（－1，0），∴．∴对称轴方程为．
-------------------------2分（2）∵点A为（－1，0），点B为（2，9）， ∴直线的解析式为． 依题意知 点的坐标为（2，m）． ∴点D的坐标为（，m）．点dian（ ∴ ∴与的函数关系式为 -------------------------------6分 （3）如图：作点E关于x轴对称的点E,再作点E关于x轴对称的点E，连结EE交x轴于点M，连结EM(F与M重合)．则点Q运动的最短路径为：．
其中，点M的坐标为（2，0）；最短距离为． -------------------------------8分【昌平】五、解答题（共3道小题，第23小题6分，第24，25小题各8分，共22分）23．解：（1）当时，方程=0为一元一次方程，此方程有一个实数根； 当时，方程=0是一元二次方程， △=（3k-1）2-4(k+1)(2k-2)=（k-3）2．∵（k-3）2≥0，即△≥0，∴ k为除-1外的任意实数时，此方程总有两个实数根．
... 2分综上，无论k取任意实数，方程总有实数根． （2），x1=-1，x2=．∵ 方程的两个根是整数根，且k为正整数，∴ 当k=1时，方程的两根为-1，0；当k=3时，方程的两根为-1，-1．∴ k=1，3．
............ 4分 （3）∵ 抛物线y=（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2与x轴的两个交点之间的距离为3， ∴，=3，或=3． 当=3时，=-3；当=3时，k=0． 综上，k=0，-3．
..................... 6分24． 解：（1）∵ 抛物线（）A（-1，0）、B（3，0）C（0，3）三点， ∴ ，解得
． ∴ 抛物线的解析式为，顶点M为（1，4）．
...... 2分 （2）∵ 点A、B关于抛物线的对称轴对称，∴ 连结BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P．设对称轴与x轴交于点H，∵ PH∥y轴，∴ △PHB∽△CBO．∴ ．由题意得BH=2，CO=3，BO=3， ∴ PH=2．∴ P（1，2）．
........................... 5分（3）∵ A（-1，0）B（3，0），C(0，3)，M(1，4)，∴ S四边形ABMC=9． ∵ S四边形ABMC =9S△PDE， ∴=1．∵ OC=OD，∴∠OCB=∠OBC= 45°． ∵ DE∥PC，∴∠ODE=∠OED= 45°． ∴ OD=OE=3-m． ∵ S四边形PDOE=， ∴ S△PDE= S四边形PDOE- S△DOE=（0<m<3）． ∴．解得，m1=1， m2=2． ........................... 8分25．解： （1） A D'=B C'，∠APB=∠α．
..................... 2分 （2） A D'=B C' 仍然成立，∠APB=∠α不一定成立．
..................... 3分 （3）∠APB=180°-∠α．
..................... 4分证明：如图3，设OC'，PD'交于点E． ∵ 将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D'OC'，
∴ △DOC≌△D'OC'， ∴ OD=OD'， OC=OC'，∠DOC=∠D'OC'． ∵ 四边形ABCD是等腰梯形， ∴ AC=BD，AB=CD, ∠ABC= ∠DCB． ∵ BC=CB， ∴ △ABC≌△DCB． ∴ ∠DBC=∠ACB． ∴ OB=OC，OA=OD． ∵ ∠AOB= ∠COD=∠C'O D'， ∴ ∠BOC' = ∠D'O A． ∵ OD'=OA，OC'=OB， ∴ △D'OC'≌△AOB， ∴ ∠OD'C'= ∠OAB ． ∵ OD'=OA，OC'=OB，∠BOC' = ∠D'O A，∴ ∠OD'A = ∠OAD'=∠OBC'=∠OC' B．∵ ∠C'EP= ∠D'EO，∴ ∠C'PE= ∠C'OD'=∠COD=∠α．∵∠C'PE+∠APB=180°，∴∠APB=180°-∠α．
..................... 8分【延庆】23.解： （1） A(1,0)、
..............................2分（写对一个给1分）；（2）m=1(或解析式)....................................3分当0<t<2时，S=8-4t....................................5分（各1分）当2<t<4时，S=4t-8....................................7分（各1分）24.（1）证明：把绕点A瞬时针旋转得到，连接ED，------1分则有,DC=EB∵AD=AE,∴是等腰直角三角形∴DE=AD
------------------2分在中，BD+EB > DE即：BD+DC>AD ------------------- 3分（2）BD+DC≥AD
---------4分（3）猜想1：BD+DC〈2AD证明：把绕点A顺时针旋转，得到则有, DC=EB，∠ACD=∠ABE ---------5分∵∠BAC+∠BDC=180 o∴∠ABD+∠ACD=180 o∴∠ABD+∠ABE=180 o即：E、B、D三点共线---------6分∵AD=AE, 在中∵AE+AD>DE即BD+DC〈2AD ---------------------7分或者猜想2： -------------7分说明：如有不同解法，参照给分。25.解：（1）二次函数y1=-x2+3x ................................................1分B(3，0) ................................................2分 （2）由已知可得C(6,0) 如图：过A点作AH⊥x轴于H点， 可得：△OPD∽△OHA ∴ ∴PD=2a................................................3分 ∵正方形PDEF ∴E（3a，2a） ∵E（3a，2a）在二次函数y1=-x2+3x的图像上 ∴
......................................................4分（3） （每个t值1分，共4分）........................8分具体分析：如图1：当点F、点N重合时，有OF+CN=6，则有如图2：当点F、点Q重合时，有OF+CQ=6，则有如图3：当点P、点N重合时，有OP+CN=6，则有如图4：当点P、点Q重合时，有OP+CQ=6，则有【平谷】五、解答题 （本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.解：令，∵ ，∴ 函数的图象与x轴不相交.........1分令 ，∵ ，∴ 函数的图象与x轴有两个不同的交点.∴ 图象经过A、B两点的二次函数为................................................3分（2）将A（,0）代入，整理，得 .解方程，得 .当m=0时，.令，解得 .此时，点B（1,0）.................4分当m=2时，.令，解得 .此时，点B（3,0）..................................................................................5分（3）点C的坐标为： ；；；......................................7分24．(1) .........................1分(2) 线段AE、BF和EF之间的数量关系：.......................................................................................................2分证明：过O作OH⊥OF，交AD于点H，连结HE.
.................................................3分∵∠1=45°，∠AOB，∴∠2+∠3=∠2+∠4=45°.∴∠3=∠4.由正方形性质可知，OA=OB，∠5=∠6=45°.∴△AOH≌△BOF .
...........................................................4分∴BF=AH，OF =OH.
......................................5分在△EOH和△EOF中∴△EOH≌△EOF.∴EF=EH .
.......................................................................................6分在Rt△AEH中，∵∴................................................................................7分25．解：（1）抛物线的对称轴为..............1分∵ 抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同，∴ 点E和点F关于抛物线对称轴对称，则 ，且k≠－2．∴ 抛物线的解析式为．
...............................................2分（2）抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4）.∴ AB＝，AM＝BM＝．.................................................................3分在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，因为∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°.在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，所以∠BMC＋∠BCM＝135°.在直线AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，所以∠BMC＋∠AMD＝135°．∴ ∠BCM＝∠AMD．故 △BCM∽△AMD．∴ ，即 ，．故n和m之间的函数关系式为（m＞0）．...............................................4分（3）∵ F在上，∴ .化简得，，∴ k1＝1，k2＝3． 即F1（－2，0）或F2（－4，－8）．.................................................................5分①MF过M（2，2）和F1（－2，0），设MF为，则 解得 ∴ 直线MF的解析式为． 直线MF与x轴交点为（－2，0），与y轴交点为（0，1）．若MP过点F（－2，0），则n＝4－1＝3，m＝；若MQ过点F（－2，0），则m＝4－（－2）＝6，n＝．.....................................6分②MF过M（2，2）和F1（－4，－8），设MF为，则 解得 ∴ 直线MF的解析式为．直线MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）．若MP过点F（－4，－8），则n＝4－（）＝，m＝；若MQ过点F（－4，－8），则m＝4－＝，n＝．...................................8分 故当 或时，∠PMQ的边过点F．【燕山】五、23.⑴ 图形大体正确，有画图痕迹
................................................1分⑵ 由2x =，得x2=1.
......................................................2分∵点A在第一象限，∴x=1.∴点A（1，2）.
.......................................3分⑶ 设l与x轴交于点P，与OA交于点B.∵ OM=1 ，AM=2 ，AM⊥x轴∴OA=，OB=
....................................4分易证Rt△POB∽Rt△AOM，∴ .∴OP=×=.∴点P（，0）.
..........................................5分把点A和P的坐标分别代入y=kx+b，得
......................................................6分解得k =，b =.又∵直线AN必过点P，∴直线AN的解析式是y=x+.
..........................................7分 24. ⑴ 1，60°
................................................2分⑵ 不变化.证明：如图，点E在AP的延长线上， ∠BPE=α<60°.（只要画出了符合题意的图形即可得分）
...............3分 ∵∠BPC=∠CPD+60°,∠DPA=∠CPD+60°, ∴∠BPC=∠DPA.在△BPC和△DPA中，又∵BP=DP，PC=PA，∴△BPC≌△DPA.
................................................4分∴∠BCP=∠DAP.∴∠AMC=180°-∠MCP-∠PCA-∠MAC = 120°-∠BCP -∠MAC =120°-（∠DAP+∠MAC）-∠PCA =120°-∠PAC = 60°，且与α的大小无关.
.............................................6分⑶ 不变化，60°
.............................................7分25.⑴ 由=，a=，得b=
....................................1分把b =和点A（1，）代入y=x2+bx+c，可求得c=.∴这条抛物线的解析式是y=x2+x.
....................................2分 ⑵设点P（x0，y0），则y0=x02+x0. 作PM⊥AF于M， 得 PF2=PM2+MF2
= (x0+)2+ (y0-)2
又∵y0=x02+x0 =(x0+)2-
∴(x0+)2=3y0+
∴PF2=3y0++ y02- y0+=( y0+1)2. 易知y0≥-，y0+1＞0. ∴PF= y0+1.
..........................................4分 又∵当直线l经过点（0，-1）且与x轴平行时， y0+1即为点P到直线l的距离. ∴存在符合题意的直线l.
.............................................5分 ⑶ 是定值.证明：当PF∥x轴时，PF=QF=，.
.................................6分
当PF与x轴不平行时，作QN⊥AF于N，
∵ △MFP∽△NFQ，∴. 再依据第⑵小题的结果，可得.
.................................7分
整理上式，得 .
.......................................8分【通州】23. 解：（1）无论a为何实数 ..............................(1分)∴抛物线与x轴总有两个交点..........................................(2分)（2）..........................................(3分) ∴由题意得，（只写<或=其一，不给分）
...............(4分)（3）解法一：以二次函数图象的顶点为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形（，两点在二次函数的图象上），这个正三角形的面积只与二次函数图形的开口大小有关。二次函数的图象可以看做是二次函数的图象通过平移得到的。如图，正三角形的面积等于 正三角形的面积.因此，与a的取值无关点在二次函数的图象上，，，,点在的图象上， 舍去.............................................(5分), .
.......................(6分)正三角形AMN的面积是与a无关的定值,定值为............(7分)解法二：根据抛物线和正三角形的对称性，可知轴，设抛物线的对称轴与交于点，则设∴又= ∴
.........................................(5分) ∴
..........................(6分) ∴正三角形AMN的面积是与a无关的定值................................(7分)24. 解：（1）∵C（-1，-4），CD=，∴D（0，-3）
..............................................(1分)∴a=1∴即y = x2+2x - 3
.....................................(2分)（2）M（-1，6）或（-1，-6）.................................................(4分)（3）存在 由CC1=DD1=k，CC1∥DD1， ∴四边形CC1D1D为平行四边形， ∴C1D1∥CD， ∴∠D1 C1C=∠DCN=45°， ∵CF⊥FC1，∴∠CC1F=45° 即△CFC1为等腰直角三角形，且CC1=k， ∴F（-k-1，-k-4），
.....................................(5分)由点F在新抛物线y=x2+2x-3- k上，∴ (-k-1)2+2（-k-1）-3-k =-k-4，
............................(6分)解得k=2或k=0（舍），∴k =2．当k =2时，
.................................................(7分)25（1）PE＝PD，...................................(1分) PE⊥PD
...................................(2分)①当点E在射线BC边上,且交点P在对角线AC上时,连结PB ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP。 又∵AP＝AP，∴△BAP≌△DAP（SAS）。 ∴PB＝PD∵点P在BE的垂直平分线上∴PB=PE∴PE＝PD∵△BAP≌△DAP，∴∠DPA＝∠APB.又∵∠APB＝180°－45°－∠ABP＝135°－∠ABP，∴∠DPA＝135°－∠ABP。又∵PE＝PB，∴∠BPE＝180°－2∠PBE∴∠DPE＝360°－∠DPA－∠APB-∠BPE＝360°－2（135°－∠ABP） －180°+2∠PBE
＝360°－270°+2∠ABP－180°+2∠PBE=90°∴PE⊥PD
.............................(3分)② P、C两点重合.............................(4分)③ 当点E在BC边的延长线上且点P在对角 线AC的延长线上时,连结PB 同理可证∴△BAP≌△DAP（SAS）。∴ PB=PD∴∠PBA=∠PDA∴∠PBE=∠PDC∵点P在BE的垂直平分线上∴PB=PE∴∠PBE=∠PEB∴∠PDC=∠PEB∴∠DFC=∠EFP∴∠EPF =∠DCF=90°∴PE⊥PD
..................................................(5分) 结论成立（3）（1）中的猜想不成立.
................................(6分)（4） ①当点P在线段AC上时∵四边形ABCD是矩形，AB=6 ∴DC=AB=6 ∴∠ABC=∠ADC=90°∵cos∠ACD=∴AD=8，AC=10作PQ⊥BC于点Q∴PQ∥AB∴=∴= ∴BQ=x, ∴BE=x, ∴CE=x－8 ∴△CPQ∽△CAB ∴=
∴= ∴PQ=6-x ∴y=EC×PQ=(x－8)( 6-x)=-x2+x-24(5<x<10)
................................(7分)②当点P在线段AC的延长线上时 ∵PQ∥AB ∴△CPQ∽△CAB ∴= ∴= ∴PQ=x-6 ∴= ∴= ∴CQ=x-8 ∴BQ=x ∴BE=x ∴EC=x-8 ∴y =EC×PQ=(x－8) (x-6)= -x+24(x>10)
............................................(8分)【大兴】五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.解: （1）∵抛物线与x轴有两个交点,.......................................1分 ，即时，此抛物线与x轴有两个交点
........................2分（2）∵抛物线与x轴交于A 两点 ∴， .....................................................................3分 点A在点B左侧， 即， 又，
..................................................................4分 . ∵， ∴， 即
...........................................................................7分24.解：⑴∵直线经过点A（,4）,∴, ∴. ∵, ∴. 解得且m≠4
............................................................2分 ⑵∵A的坐标是（,4）, ∴OA=. 又∵, ∴OB=7. ∴B点的坐标为(0,7)或(0,-7). .................................................................3分 直线与轴的交点为C(0,m). ① 当点B的坐标是(0,7)时, ∵C(0,m), 且m≠4, ∴BC=7- m. ② 当点B的坐标是(0,-7)时, ∵C(0,m), 且m≠4, ∴BC=7+m. ⑶当m=2时,一次函数取得最大值,这时C(0,2). 如图,分别过点A、B′作轴的垂线AD、B′E,垂足为D、E. ∴AD=,CD=4-2=2. 在Rt△ACD中,tan∠ACD=, ∴∠ACD=60° .........................................................6分 由题意,得∠AC B′=∠ACD=60°, C B′=BC=7-2=5, ∴∠B′CE=180°-∠B′CB=60°. 在中,∠B′CE=60°,C B′=5, ∴CE=,
B′E=. OE=CE-OC=. ∴点B′的的坐标为（）
.....................7分25.解：（1） 是 ......................................................1分 （2）∵EPGQ是矩形． ∴∠CED=90° ∠AED+∠CEB =90°． ∵BA⊥OM， ∠BAO=90° ∴∠AED+∠EDA =90° ∴∠EDA=∠CEB． ∵BA⊥OM，BC⊥ON, ∠AOC =90° ∴OABC是矩形. ∴BC=OA, AB=OC ∠ABC=∠BAO=90° ∴△AED∽△BCE．...........................................................................2分 ∴. 设OA=x，AB=y， 则 得．....................................................................................3分 又 ， 即． ∴， 解得． ∴OA的值为..............................................................................5分（2）连结GE交PQ于，过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点、． ∵四边形PGQE是平行四边形 ∴． ∵BC∥GE ∴△PCF∽△PEG， , ∴ ........................6分 , ∴ ． 在Rt△中，， 即 ，............................................................7分 又 ， ∴ ， ∴ ．..........................................8分【朝阳】五、解答题（本题共21分，第23题6分，第24题8分，第25题7分）23. 解：（1）. ..............................................................................2分（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE， ∴△ADC≌△AEC. ∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA， DC＝EC. ∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°， ∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°. ∴△CDE为等边三角形. ........................3分 ∴DC＝DE. 在AE上截取AF＝AB，连接DF，[来源:] ∴△ABD≌△AFD. ∴BD＝DF. 在△ABD中，∠ADB=∠DAC＋∠DCA=45°， ∴∠ADE=∠AED =75°，∠ABD =105°. ∴∠AFD =105°. ∴∠DFE=75°. ∴∠DFE=∠DEF. ∴DF＝DE. ∴BD＝DC＝2. ...........................................................................4分 作BG⊥AD于点G， ∴在Rt△BDG中， .
...................................................5分 ∴在Rt△ABG中，.
...................................................6分24. 解：（1）∵过点M、N（2，－5），， 由题意，得M（，）. ∴ 解得 ∴此抛物线的解析式为. .......................................2分（2）设抛物线的对称轴交MN于点G， 若△DMN为直角三角形，则. ∴D1（，），（，）. .............................................4分 直线MD1为，直线为. 将P（x，）分别代入直线MD1， 的解析式， 得①，②. 解①得 ，（舍）， ∴（1,0）.
.......................................5分 解②得 ，（舍）， ∴（3,－12）.
.................................6分（3）设存在点Q（x，）， 使得∠QMN=∠CNM. ① 若点Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN， 交MN于点H，则. 即. 解得，（舍）. ∴（，3）. .................................7分 ② 若点Q在MN下方， 同理可得（6，）.
.....................8分25. 解：（1）在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2， ∴PB= ，． ∵， ∴． ∴． ∴ △ABP∽△DPC． ∴，即． ∴PC=2．..............................................................................2分（2）① ∠PEF的大小不变． 理由：过点F作FG⊥AD于点G． ∴四边形ABFG是矩形． ∴． ∴GF=AB=2，． ∵， ∴． ∴． ∴ △APE∽△GFP.
..................................................................4分 ∴． ∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=．..........................................5分 即tan∠PEF的值不变． ∴∠PEF的大小不变．..................................................................6分 ② . ....................................................................................7分【海淀】五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 解：（1）当m=0时，原方程化为 此时方程有实数根 x = -3.
............1分当m?0时，原方程为一元二次方程. ∵?0.∴ 此时方程有两个实数根.
......................................................2分综上, 不论m为任何实数时, 方程 总有实数根.[来源:学,科,网Z,X,X,K] （2）∵令y=0, 则 mx2+(3m+1)x+3=0.解得 ，.
......................................................3分∵ 抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，∴.∴抛物线的解析式为.
.............................................4分 （3）法一：∵点P与Q在抛物线上,∴.∵∴.可得 .即
.∵ 点P, Q不重合,∴ n?0.∴ .
............................................................5分∴.......................................7分 法二：∵ =(x+2)2-1， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x=-2. ∵ 点P与Q在抛物线上, 点P, Q不重合, 且 ∴ 点 P, Q关于直线 x=-2对称. ∴ ∴ .
.........................................................5分 下同法一.24. 解:（1） NP=MN, ∠ABD +∠MNP =180?
(或其它变式及文字叙述,各1分).
.........2分（2）点M是线段EF的中点(或其它等价写法).证明：如图, 分别连接BE、CF.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AB∥DC，∠A=∠DCB，∴∠ABD=∠BDC.∵ ∠A=∠DBC，∴ ∠DBC=∠DCB.∴ DB=DC.
...........................3分∵∠EDF =∠ABD,∴∠EDF =∠BDC.∴∠BDC-∠EDC =∠EDF-∠EDC .即∠BDE =∠CDF.
②又 DE=DF，
③由①②③得△BDE≌△CDF.
.........................................................4分∴ EB=FC, ∠1=∠2.∵ N、P分别为EC、BC的中点，∴NP∥EB, NP=.同理可得 MN∥FC，MN=.∴ NP = NM.
...............................................................5分∵ NP∥EB,∴∠NPC=∠4.∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4.∵MN∥FC，∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1.∴ ∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4 =∠DBC+∠DCB=180?-∠BDC=180?-∠ABD.∴
∠ABD +∠MNP =180?.
...................................................7分25.解：（1）依题意, , 解得b=-2.将b=-2及点B(3, 6)的坐标代入抛物线解析式得.解得 c=3.所以抛物线的解析式为.
.............................................1分
（2）∵抛物线 与y轴交于点A，∴ A(0, 3).∵ B(3, 6),可得直线AB的解析式为.设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N, 则N(x, x+3). (如图1)∴ .
.........2分∴.解得 .∴点M的坐标为(1, 2) 或 (2, 3).
........................4分（3）如图2，由 PA=PO, OA=c, 可得.∵抛物线的顶点坐标为 ,
图1∴ .∴ .
...........................................................................5分∴ 抛物线,
A（0，），P（，）, D（，0）.可得直线OP的解析式为.∵ 点B是抛物线与直线的图象的交点，令 .解得.
图2可得点B的坐标为（-b，）.
..........................................6分由平移后的抛物线经过点A, 可设平移后的抛物线解析式为.将点D(，0)的坐标代入，得.∴ 平移后的抛物线解析式为.令y=0, 即.解得.依题意, 点C的坐标为（-b，0）.
............7分∴ BC=.∴ BC= OA.又BC∥OA，∴ 四边形OABC是平行四边形.∵ ∠AOC=90?，∴ 四边形OABC是矩形.
........................8分【顺义】五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）△= =[来源:] =
........................................................................
1分 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴
即 ∴的取值范围是且． ..........................................
3分（2）当方程有两个相等的实数根时， △==． ∴． ........................................................................... 4分 ∴关于y的方程为． ∴． 由a为正整数，当是完全平方数时，方程才有可能有整数根． 设（其中m为整数），（、均为整数）， ∴．即． 不妨设
两式相加，得 ． ∵与的奇偶性相同， ∴32可分解为，，，， ∴或或或． ∴或或（不合题意，舍去）或． 当时，方程的两根为，即，．...... 5分 当时，方程的两根为，即，．......
6分 当时， 方程的两根为，即，． ............ 7分24．解：（1）∵抛物线y=mx2+2mx+n经过点A（-4，0）和点B（0，3）， ∴
∴． ∴抛物线的解析式为：．.............................. 2分（2）令，得，得，，[来源:学*科*网Z*X*X*K] ∵抛物线向右平移后仍经过点B， ∴抛物线向右平移2个单位．......... 3分[来源:学#科#网Z#X#X#K] ∵． ............ 4分∴平移后的抛物线解析式为． ........................ 5分（3）由抛物线向右平移2个单位，得，． ∴四边形AA'B'B为平行四边形，其面积． 设P点的纵坐标为，由的面积=6， ∴，即 ∴， ．......................................................... 6分 当时，方程无实根， 当时，方程的解为，． ∴点P的坐标为或．.................................... 7分25．解：（1）完成画图如图2，由的度数 为 60°，点E落在
AB的中点处
， 容易得出BE与DE之间的数量关系 为
；...............
3分 （2）完成画图如图3． 猜想：． 证明：取AB的中点F，连结EF．∵，，∴，．∴△是等边三角形．∴．
...... 4分∵△ADE是等边三角形，∴， ．
②∴．∴．即．③
................................................ 5分由①②③得 △ACD≌△AFE（SAS）． ................................. 6分∴．∵F是AB的中点，∴EF是AB的垂直平分线．∴BE=AE.
............................................................... 7分∵△ADE是等边三角形，∴DE=AE.∴． ............................................................ 8分【房山】五、解答题（共3道小题，23题7分，24题7分，25题8分，共22分）23． ⑴证明：∵△=(k－2)2－4(k－3)=k2－4k+4－4k+12= k2－8k+16=(k－4)2≥0 ∴此方程总有实根。-------------------------------2分⑵解：解得方程两根为x1=－1
x2=3－k∵方程有一根大于5且小于7∴5<3－k<7－4<k<－2∵k为整数 ∴k=－3-----------------------------------------------4分⑶解：由 ⑵知k=－3∴-------------------------------------5分∵∴，即--- ------------6分[来源:Z#]∵在时，有∴------------------------------------------------------7分 24． ⑴解：由题意知：解得：∴抛物线的解析式为：-------1分⑵证明 ：由抛物线的解析式知:顶点D坐标为（－4,6）∵点C的纵坐标为－4，且在抛物线的对称轴上∴C点坐标为(－4，－4)设直线BD解析式为：有：，∴∴BD解析式为∴直线BD与x轴的交点A的坐标为（8,0）过点C作CE⊥轴于点E，则CE=4，BE=8又∵OB=4，OA=8, ∴CE=OB,BE=OA,∠CEB=∠BOA=90°[来源:]∴△CEB≌△BOA(SAS)-----------------------------2分∴CB=AB, ∠1=∠2∵∠2+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°∴∠1+∠3=90°，即∠ABC=90°∴△ABC是等腰直角三角形---------------------3分⑶存在.①当∠CA′B′=90°时，如图1所示，∵A′B′∥AB∴∠OA′B′=∠BAO易证:∠ECA′=∠OA′B′∴∠ECA′=∠BAO∵tan∠BAO=∴tan∠ECA′=∴EA′=2∴A′坐标为(－2,0)∴直线l解析式为------5分②当∠A′CB′=90°时，如图2所示，过点C作CE⊥轴于点E，易证△A′FC≌△B′EC∴A′F=B′E∴由①tan∠B′A′O=[来源:Z。xx。k.Com]∴设B′坐标为（0，n）∴有∴B′坐标为（0，）∴直线l解析式为------7分25． ⑴证明：∵∠ACB=90°, ∠DCP=90°，∴∠ACD=∠BCP∵AC=BC,CD=CP，∴△ACD≌△BCP(SAS)∴AD=BP-------------------------------2分⑵在⑴的条件下，①若∠CPB=135°，则BD=或2；（答对一个给1分）②当∠PBC=135° 时，BD有最大值，且最大值为；当∠PBC=___45_° 时，BD有最小值，且最小值为 ．（每空1分）
