利用不等式解几何中的最值问题
利用不等式解几何中的最值问题卢海运（山东省济宁实验中学２７２１２３）几何中的最值问题，大多是通过建立适当的坐标系，把几何问题转化成代数问题或三角问题来求解，这里我们介绍的是怎样用不等式来解几何中的最值问题．例１Ｐ为△ＡＢＣ内一点，Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为Ｐ到ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ各边所引垂线的垂足，求使得ＢＣＰＤ＋ＣＡＰＥ＋ＡＢＰＦ为最小的所有Ｐ点．（ＩＭＯ２２－１）分析要使ＢＣＰＤ＋ＣＡＰＥ＋ＡＢＰＦ最小，只要求出ＢＣＰＤ＋ＣＡＰＥ＋ＡＢＰＦ≥ｋ（ｋ为定值）即可．解如图，设△ＡＢＣ的周长为ｐ，面积为Ｓ，则ＢＣ·ＰＤ＋ＣＡ·ＰＥ＋ＡＢ·ＰＦ＝２Ｓ．由柯西不等式得（ＢＣＰＤ＋ＣＡＰＥ＋ＡＢＰＦ）（ＢＣ·ＰＤ＋ＣＡ·ＰＥ＋ＡＢ·ＰＦ）≥（ＢＣ＋ＣＡ＋ＡＢ）２＝ｐ２，∴ＢＣＰＤ＋ＣＡＰＥ＋ＡＢＰＦ≥ｐ２２Ｓ（定值）．当且仅当ＰＤ＝ＰＥ＝ＰＦ时等号成立，此时Ｐ为△ＡＢＣ的外心．本题用了柯西不等式（ａ２１＋ａ２２＋…＋ａ２ｎ）·（ｂ２１＋ｂ２２＋…＋ｂ...&
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代数和几何是两门不同学科,欧几里得把代数问题用几何来解决,笛卡儿却用代数方法去解决几何问题。因此,解析几何是用代数方法研究几何图形的一门学科,学习解析解析几何必须掌握的基本思想就是通过坐标法将几何图形转化为方程,通过对方程的研究达到研究几何图形的目的,这一思想要贯穿在解析几何学习之中,这包含两方面,一是“以数论形”,即通过解方程、解不等式,明确它的几何意义;另一面是“以形释数”,即通过图形性质的研究,明确它所对应的代数意义。1用代数方法求解几何最值策略在处理解析几何中最值问题时,若目标与条件具有明确的互动函数关系时,可以考虑用代数方面的知识点来解决。1.1利用二次函数求最值利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围和对称轴与区间的相对位置关系,必要时必须分类讨论。例若椭圆上点到定点(,0)(053(舍)。②当531)短轴的一个端点,为椭圆上的一个动点,求||最大值。解:设(0,1),(,),则||=2+(1)2,又因为在椭...&
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解析几何中最值问题，通常有两类:一类是有关长度面积等的最值问题;一类是解析几何中有关几何元素的最值问题.这些问题往往通过回归定义，结合几何知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决.点尸到直线AB:x十勿=2的距离}Zeos夕+Zsin夕一2}福12福，in‘“+借)一“1福2招一22次面一2振困rl.用曲线定义或几何性质求最值振_厌5例1已知点A(3，2)、F(2，0)，在双曲线厂誓一1上求一点尸，使IPA崎PF，的值最小，则尸点赞坐标为(，一迈3 c一迈B.粤D.粤进而求得面积的最大值为招.点拨因为圆、椭国和双曲线的参数方程都用三角函数表示，而一1续sina续1，一1续cos夕感1，故当曲线上一点的坐标用参数表示时，其最大值和最小值由正、余弦的封闭性求出.解析双曲线离心率。=2，设尸点到右准线的距离为d，因为(2，0)是双曲线右焦点，则}尸F}=ed=Zd}尸A}十d最小，，…}PA}十告}尸F}一}PA，...&
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1利用二次函数二函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次函数、三角函数等,但要特别注意函数自变量的取值范围。例如:已知P点在圆x2儁(y儃4)2儹1上移动,Q点在椭圆22 19x儁y儹上移动,试求|PQ|的最大值。本题中P、Q两个都是动点,不易看出P、Q在什么位置时|P Q|最大?所以先让Q点固定,当P Q通过圆心O 1时|P Q|此时最大,因此要求|P Q|的最大值,转化为先要求出1 OQ的最大值.本题还可以应用椭圆的参数方程求解,设Q点坐标为(2cos冡,sin冡),则1 OQ可表示为θ的函数,即2 2 21 OQ儹(3cos冡)儁(sin冡儃4)=2 8sin 8sin 25冡冡儃儃儁=8(sin 1)2 272儃冡儁儁,而sin冡劇兯儃1,1兺,所以当且仅当sin 12冡儹儃时,21 OQ的最大值2 7,即PQ的最大值为1 OQ儁1儹3 3儁1,解法更简洁.2利用圆锥曲线的定义利用圆锥...&
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解析几何中的最值问题，实质上是曲线知识与函数内容的综合运用．尽管知识与方法都是已经学习过的内容．但因其综合性强、解法的灵活多样．能力要求较高，而使学生在理解、掌握、应用上深感困难．本文拟就解析几何中最值问题，给出几种较为典型的解法，以期达到开拓解题思路．丰富解题方法．抛砖引玉的目的．一、运用函数方程的思想运用函数方程思想求最值，多数分两步进行，第一步建立有关的目标函数或方程；第二步由得到函数或方程的不同特征．选取适当的方法求最值．如：配方法、不等式法、判别式法等．例1；已知国和抛物线若国和抛物线只有一个公共点，求开口最小的抛物线方程．解：（如图1）易知坐标原点是因和抛物线的公共点．任取抛物技卜一占M（X．X）．刚X’一由ds＆消X’征后8－＊··⑤由于③式对一切y都成立，令y—0得：8－Zn＜0所以n＞4．从而开口最小的抛物线方程是；y’一sx．例2；若a＞b＞cTho．两直线y—x·ig（ac）＋m和y一xlg（be）＋n垂直...&
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立体几何中的最值问题在近年的高考试题中不断出现。解决这类问题很多时候不仅需要纯粹的立体几何知识,还需要借助于代数知识,如函数,导数,不等式等。这种题目考查学生对知识掌握的灵活程度,有一定的综合性。下面结合具体例子简单谈谈这类问题的求解方法。一、极限思想极限思想要求我们有充分的想象力,对图形有一个动态的认识过程,能够想象图形的变化过程,准确想到图形可能的极限情况。例1正三棱锥的两个侧面所成的角为θ,则θ的取值范围是分析如图1设正三棱锥A-BCD,O为ΔBCD的中心,不妨设是固定不变的,则顶点A的变化将影响θ。当A无限远离中心O时,侧棱无限接近于垂直底面,θ就无限的∠CBD趋近于;当A无限趋近于中心O时,两个侧面无限趋近于同一个平面,就无限趋近于π。所以θ=(π3,π)例2(2010辽宁理数第12题)有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则的取值范围是()(A)(0,...&
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2014年高考素材复习素材：一题多解 专题七 利用基本不等式求最值（
2013高考）
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官方公共微信（理科做）阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题．阅读题目：对于任意实数a1，a2，b1，b2，证明不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．证明：构造函数f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2=（a12+a22）x2+2（a1b1+a2b2）x+（b12+b22）．注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2）]2-4（a12+a22）（b12+b22）≤0，即（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．（其中等号成立当且仅当a1x+b1=a2x+b2=0，即a1b2=a2b1．）问题：（1）请用这个不等式证明：对任意正实数a，b，x，y，不等式又a2/xy=又2/x+又9/1-2x(0＜x＜又1/2)的最小值，并指出此时x的值．（3）根据阅读题目的证明，将不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）进行推广，得到一个更一般的不等式，并用构造函数的方法对你的推广进行证明．-乐乐题库
& 不等式的证明知识点 & “（理科做）阅读下面题目的解法，再根据要求...”习题详情
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（理科做）阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题．阅读题目：对于任意实数a1，a2，b1，b2，证明不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．证明：构造函数f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2=（a12+a22）x2+2（a1b1+a2b2）x+（b12+b22）．注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2）]2-4（a12+a22）（b12+b22）≤0，即（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．（其中等号成立当且仅当a1x+b1=a2x+b2=0，即a1b2=a2b1．）问题：（1）请用这个不等式证明：对任意正实数a，b，x，y，不等式a2xy=2x+91-2x(0＜x＜12)的最小值，并指出此时x的值．（3）根据阅读题目的证明，将不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）进行推广，得到一个更一般的不等式，并用构造函数的方法对你的推广进行证明．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“（理科做）阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题．阅读题目：对于任意实数a1，a2，b1，b2，证明不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．证明：构造函数f（x）=（a1x+...”的分析与解答如下所示：
（1）不等式两边同乘x+y，然后利用已知条件，证明不等式，再转化为所求证的不等式即可．（2）直接利用（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22），求出函数的最小值即可．（3）可将不等式推广到n元的情形，对于任意实数a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn，不等式（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）成立．证明如下：设f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2+…+（anx+bn）2=（a12+a22+…+an2）x2+2（a1b1+a2b2+…+anbn）x+（b12+b22+…+bn2）．注意到f（x）≥0，所以△≤0，推出要证明的结论．
证明：（1）因为都是a，b，x，y正实数，由已知不等式得(x+y)(√x)2√y2√x2√y2√x2=(a+b)2，（2分）所以不等式a2x√xo√y=√yo√x，即ay=bx．）…（4分）解：2）因为0＜x＜12，所以y=2xx=15∈(0，12)．所以函数y=2x+91-2x(0＜x＜12)有最小值25，此时x=15．…（10分）解：（3）可将不等式推广到n元的情形，即对于任意实数a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn，不等式（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）成立．…（13分）证明如下：设f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2+…+（anx+bn）2=（a12+a22+…+an2）x2+2（a1b1+a2b2+…+anbn）x+（b12+b22+…+bn2）．注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2+…+anbn）]2-4（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≤0，即（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）．…（15分）其中等号成立当且仅当a1x+b1=a2x+b2=…=anx+bn=0，即aibj=ajbi（i，j=1，2，…，n，i≠j）．…（16分）
本题是中档题，考查不等式的证明与应用，不等式求函数的最值，考查选上的阅读能力，知识的应用能力，逻辑推理能力．
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（理科做）阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题．阅读题目：对于任意实数a1，a2，b1，b2，证明不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．证明：构造函数f（x）=...
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经过分析，习题“（理科做）阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题．阅读题目：对于任意实数a1，a2，b1，b2，证明不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．证明：构造函数f（x）=（a1x+...”主要考察你对“不等式的证明”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
不等式的证明
不等式的证明已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：a+12+b+12≤2证明：因为1=a+b≥2ab，所以ab≤14．所以12 （a+b）+ab+14≤1 所以（a+12）（b+12）≤1 从而有2+2（a+12）（b+12）≤4 即：（a+12 ）+（b+12 ）+2（a+12）（b+12）≤4 即：（a+12+b+12 ）2≤4 所以原式成立．
与“（理科做）阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题．阅读题目：对于任意实数a1，a2，b1，b2，证明不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．证明：构造函数f（x）=（a1x+...”相似的题目：
设a，b，c∈R+，ab+bc+ca≥3，证明a5+b5+c5+a3（b2+c2）+b3（c2+a2）+c3（a2+b2）≥9．&&&&
已知函数f(x)=ax+bx2+1图象在x=1处的切线方程为2y-1=0．（Ⅰ）&求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若△ABC的三个顶点（B在A、C之间）在曲线y=f（x）+ln（x-1）（x＞1）上，试探究f(2sin2A+sin2C)与f(2sin2B)的大小关系，并说明理由；（Ⅲ）证明：√2（n∈N*）．
已知函数f（x）=1-xax+lnx（a≠0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）求证：ln2＜1n+1+1n+2+1n+3+…+13n＜ln3（n∈N*）&&&&
“（理科做）阅读下面题目的解法，再根据要求...”的最新评论
该知识点好题
1（1）证明：当x∈[0，1]时，√22x≤sinx≤x；（2）若不等式ax+x2+x32
2（Ⅰ）设x≥1，y≥1，证明x+y+1xy≤1x+1y+xy；（Ⅱ）1≤a≤b≤c，证明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac．
3已知函数f（x）（x∈R）满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有λ（x1-x2）2≤（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]和|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，其中λ是大于0的常数，设实数a0，a，b满足f（a0）=0和b=a-λf（a）（Ⅰ）证明λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f（b0）=0；（Ⅱ）证明（b-a0）2≤（1-λ2）（a-a0）2；
该知识点易错题
1（Ⅰ）设x≥1，y≥1，证明x+y+1xy≤1x+1y+xy；（Ⅱ）1≤a≤b≤c，证明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac．
2已知函数f（x）（x∈R）满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有λ（x1-x2）2≤（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]和|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，其中λ是大于0的常数，设实数a0，a，b满足f（a0）=0和b=a-λf（a）（Ⅰ）证明λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f（b0）=0；（Ⅱ）证明（b-a0）2≤（1-λ2）（a-a0）2；
3给出下列命题：①若a，b∈R+，a≠b，则a3+b3＞a2b+ab2；②若a，b∈R+，a＜b，则a+mb+m＜ab；③若ac2＞bc2，则ln&a＞ln&b；④当x∈(0，√2；其中正确命题的个数为&&&&
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3秒自动关闭窗口19基本不等式与利用均值不等式求最值
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19基本不等式与利用均值不等式求最值
基本不等式；一、知识回顾；1.几个重要不等式；（1）若a?R,则|a|?0,a2?0；,则a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|；a?b（当仅当a=b时取等号）.2（2）若a、b；?x,y?R,x?y?S,xy?P,则：最值定理；1如果P是定值,那么当x=y时，S的值最小；○2；注意：；1前提：○“一正、二定、三相等”，如果没有满足前；3均值不等式具有
基本不等式 一、知识回顾1.几个重要不等式（1）若a?R,则|a|?0,a2?0,则a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（当仅当a=b时取等号）a?b（当仅当a=b时取等号） .2（2）若a、b?R（3）如果a,b都是正数，那么 ?x,y?R,x?y?S,xy?P,则： 最值定理：若1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；
○2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. ○注意：1前提：○“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式； 2“和定 积最大，积定 和最小”○，可用来求最值；3均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。 ○ba(5)若ab?0,则??2（当仅当a=b时取等号） ab2.几个著名不等式（1）平均不等式：
如果a,b都是正数，那么a?b（当仅当a=b时取??112?ab2等号）（2）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1?x2),有f(x1?x2f(x1)?f(x2)x?xf(x1)?f(x2))?或f(12)? 2222则称f(x)为凸（或凹）函数.二、课前预习1、（05福建卷）下列结论正确的是______________.A．当x?0且x?1时,lgx?C．当x1?2 lgxB．当x?0时D．当0?2
?2时,x?1的最小值为2 x?x?2时,x?1无最大值 x2、下列函数中，最小值为2 A．C．2的是______________.
B．D．y?x?2 xy?sinx?2(0?x??) sinxy?ex?2e?x y?log2x?2logx23、若0?a?1,则下列不等式中正确的是___________. 2A．loga(1?a)?1
B．a4、若实数a、b满足a?b5、函数x1?()x
C．cos(1?a)?cos(1?a)
D．(1?a)n?an 2?2,则2a?2b的最小值是_________. y?x2?1?1的值域为 x2?1?a?b?3，则ab的取值范围是_____________________. 6、已知x&0，y&0且x+y=5，则lgx+lgy的最大值是 7、若正数a,b满足ab三、例题分析例1、(1)已知x&0，y&0且x+2y=1，求xy的最大值，及xy取最大值时的x、y的值．(2)x、y、a、b∈R+，a、b为常数，且 例2．(1)利用基本不等式求y?ab??1，求x+y的最小值. xyxx?22的最值？当0&x&1时，如何求y?x?1x?22的最大值.(2)已知a ?0，求函数y?2的最小值。例3、（05江苏卷）设数列｛an｝的前项和为Sn,已知a1=1, a2=6, a3=11,且, n?1,2,3,?,(Ⅱ)求数列｛an｝的通项公式;(Ⅲ) 例4．若直角三角形的内切圆半径为1，求其面积的最小值. ?1对任何正整数m、n都成立. 例5．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如下），由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造间价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，
试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。 课堂练习1、若a、b?A）2R?，ab?(a?b)?1，则a?b的最小值是_______________ 2?2
D）222、函数y?49的最小值是_____________ ?22cosxsinx2223、已知α=lgalgb,β=[lg(ab)]γ的大小顺序为_____________.A) γ&β&α4、 知x、y?,γ=[lg(a+b)],其中a&0、b&0、a+b&1且a≠b则α、β、22222
B) γ&α&β
C) α&β&γ
D) α&γ&β R?，则使x?y?tx?y恒成立的实数t的取值范围是____________.b2225、已知a?0,b?0且a??1，求a?b的最大值________. 26、设实数x,y,m,n满足条件m2?n2?1，x2?y2?9，求mx?ny的最大值。3的最小值_______________. x7．x&0，当x=___________地，y=4－2x－8．0&x&1，当x=_______________时，y=x(1?4x)的最大值_____________. 49．某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽油费用9千元；汽车的维修费各年为：
第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年增加，则这种汽车最多使用_________的报废最合算？（即使用多少年的年平均费用最少）注：计算总维修费可
用：第一年费用?最后一年费用?年数. 210．a&b&0则a?1的最小值______________. (a?b)b11．已知x2+y2=1，求(1－xy)(1+xy)的最值。 12．将一块边长为42cm的正方形铁皮剪去四个角（四个全等的小正方形）做成一个无盖铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为_________________cm.13．某工厂生产机器产品第二年比第一年增长的百分率P1，第三年比第二年增长的百分率为P2， 第四年比第三年增长的百分率为P3，设年平均增长率为P，且P1+P2+P3为定值，则P的最大值为____________________.14、某公司租地建仓库，每月士地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站___________.15、一批救灾物资随17列火车以v千米/小时的速度匀速直达400千米处的灾区，为了安全起见，两辆火车的间距不得小于( 16．求半径为R的球的内接圆柱的体积的最大值，且求出圆柱体积最大时的底面半径. v2)千米，问这批物资全部运到灾区最少需要____小时. 20 利用均值不等式求最值的九种技巧利用均值（基本）不等式求最值是历年高考的热点内容之一.利用均值不等式所需的条件可概括为“一正、二定、三相等”.当这些条件不完全具备时，就需要一定的技巧，特别是凑“定和”或“定积”的技巧，使其具备.下面谈谈常见的凑“定和”或“定积”的技巧，供同学们参考. 一、 添、减项（配常数项） 例1 求函数y=3x2+162+x2的最小值. 分析 3x2+162+x2是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而12+x2可与x2+2相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即y=3x2+6+162+x2-6，再用均值不等式.解 x2+2＞0,y=3x2+162+x2=3(x2+2)+162+x2-6 ≥23(2+x2)?162+x2-6=83-6, 当且仅当3(2+x2)=162+x2，即x2=433-2时,等号成立. 所以y的最小值是83-6. 评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项. 二、 配系数（乘、除项） 例2 已知x＞0，y＞0，且满足3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值. 分析 lgx+lgy=lg(x+y),xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x+y是否定值，而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为3x?2y6，再用均值不等式. 解 x,y＞0,lgx+lgy=lg(xy)=lg3x?2y6≤lg163x+2y22=lg161222=lg6， 当且仅当3x=2y，即x=2，y=3时，等号成立. 所以lgx+lgy的最大值是lg6. 评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用ab≤a+b22来解决. 三、 裂项 例3 已知x＞-1，求函数y=(x+5)(x+2)x+1的最小值. 分析 在分子的各因式中分别凑出(x+1)，借助于裂项解决问题. 解 x+1＞0,y=[(x+1)+4][(x+1)+1]x+1 =(x+1)+4x+1+5 ≥2(x+1)4x+1+5=9， 当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号. 所以ymin=9. 四、 取倒数 例4 已知0＜x＜12，求函数y=(x+1)2x(1-2x)的最小值. 分析 分母是x与(1-2x)的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为（1+x）(这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.包含各类专业文献、中学教育、生活休闲娱乐、专业论文、应用写作文书、幼儿教育、小学教育、文学作品欣赏、19基本不等式与利用均值不等式求最值等内容。　
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