限之间的关系
夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限
函数连续（左、右连续）与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）
二、题型与解法
A.极限的求法
（1）用定义求
（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）
（3）变量替换法
（4）两个重要极限法
（5）用夹逼定理和单调有界定理求
（6）等价无穷小量替换法
（7）洛必达法则与Taylor级数法
（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
2030)(6lim0)(6sinlimxxfxxxfxxx+
=
+
&.&.
，求
20303')(6cos6lim)(6sinlimxxyxfxxxxfxxx++
=
+
&.&.
72)0(''06)0(''32166'''''36cos216lim6'''26sin36lim00=∴=
+.
=
++.
=
++.
=
&.&.
yyxyyxxxyyxxx
（洛必达）
;'lim2'lim)(6lim0020====
+
&.&.&.
yxyxxfxxx
3. （重要极限）
121)
12(lim.
&.+
xxxxx
4.已知a、b为正常数，
xxxxba30)
2(lim+
&.
求
]2ln)[ln(3ln,)
2(
3.+=
+
=xxxxxbaxtbat
（变量替换）
2/300)(
)ln(
23)lnln(3limlnlimabtabbbaabatxxxxxx=∴
=+
+
=
&.&.
)1ln(
102)(coslimxxx+
&.
)ln(cos)1ln(
1ln,)(cos2)1ln(
12xxtxtx+
==+
（变量替换）
2/100212tanlimlnlim.
&.&.
=∴.=
.
=etxxtxx
6.设连续，，求
)('xf
0)0(',0)0(≠=ff
1)(
)(
lim02002=
∫
∫
&.xxxdttfxdttf
（洛必达与微积分性质）
7.已知在x=0连续，求a
...
=
≠
=
.
0,0,)ln(cos)(
2xaxxxxf
解：令 （连续性的概念）
2/1/)ln(coslim20.==
&.
xxax
三、补充习题（作业）
1. （洛必达）
3cos11lim0.=
..
..
&.xxxexx
2. （洛必达或Taylor）
)1sin1(lim0xxctgxx.
&.
3. （洛必达与微积分性质）
11lim2200=
..
.
&.
∫
xxtxedtex
第二讲 导数、微分及其应用
一、理论要求
1.导数与微分
导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）
会求平面曲线的切线与法线方程
2.微分中值定理
理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理
会用定理证明相关问题
会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图
会计算曲率（半径）
二、题型与解法
A.导数微分的计算
基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导
1.决定，求
...
=+.
==52arctan)(2tetyytxxyy由
dxdy
2.决定，求
xyxyxxyysin)ln()(32+=+=由
1|0==xdxdy
解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1
yxyy==cos'
3.决定，则
yxxyyxy+==2)(由
dxdyx)12(ln|0.==
B.曲线切法线问题
4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。
)2/,2/πθρρπθee（），在（==
1|'),,0(|),(,
sincos2/
2/
2/.==
..
...
=
=
==πθππθθθθθyeyxeyex
xey.=.2/π
5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足
f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
)6(22)1('8)1('4])1()1(3)1()1([limsin)sin1(3)sin1(lim0sin0.=∴=∴==
..
+
.+
=
..+
&.
=
&.
xyfftftftftfxxfxfttxx
C.导数应用问题
xexfxxxfxxfy..=+=1)]('[2)('')(2满足对一切
，求点的性质。
)0(0)('00≠=xxf若
),(00yx
解：令，故为极小值点。
...
&&
&&
===
.
0,00,0)(''
xxxeexfxxxx
代入，
7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
23)1(.
=
xxy
解：定义域
),1()1,(+∞.∞∈.x
：斜：铅垂；；拐点
及驻点
2100''
300'
+===.=
==.=
xyxxyxxy
8.求函数的单调性与极值、渐进线。
xexyarctan2/)1(+.=π
101'arctan2/
22.==.
+
+
=+xxexxxyx与驻点π
2)2(.=.=xyxey与渐：π
D.幂级数展开问题
∫=.xxdttxdxd022sin)sin(
∫
∫
∫
=...+
+
.+...+.=.
...+
+.
.+...+.=.
+.
.
.+...+.+..=.
...+
+
.
.+...+...=.
.
.
.
+
.
xnnnnxnnnnxnxxxdttxdxdnnxxxtxnntxtxtxdttxntxtxtxtx02)12(2sin)!12(
)1(
!31)sin(
)!12)(14(
)1(
7!3131)sin(
)!12)(14(
)()1()(
7!31)(
31)sin(
)!12(
)()1()(
!31)()sin(
)0(0)1ln()()(2nfnxxxxf阶导数处的在=+=
)(
2)1(
32()1ln(2213222.
.
.+
.
.+....+.=+nnnxonxxxxxxx
)(
2)1(
321543nnnxonxxxx+
.
.+....+..
2!)1()0(1)(
.
.=∴.
nnfnn
E.不等式的证明
)1,0(∈x
211)1ln(
112ln1)1(ln)122&.
+
&.&++
xxxxx，求证（
0)0(,)1(ln)1()(22=.++=gxxxxg
；得证。单调下降，
单调下降单调下降，时
0)()(,0)('
)(',0)('')('')1,0(
0)0('')0(',0)1(
)1ln(2)('''),(''),('2&&
&∈∴
==&
+
+
.=
xgxgxgxgxgxgxggxxxgxgxg
单调下降，得证。,0)('),1,0(,1)1ln(
1)(&∈.
+
=xhxxxxh
F.中值定理问题
12.设函数具有三阶连续导数，且，
]11[)(，在.xf
1)1(,0)1(==.ff
，求证：在（-1，1）上存在一点
0)0('=f
3)('''=ξξf，使
32)('''
!31)0(''
!21)0(')0()(xfxfxffxfη+++=
]1,1[),,0(.∈∈xxη
将x=1，x=-1代入有
)('''
61)0(''
21)0()1(1)('''
61)0(''
21)0()1(021ηηffffffff++==
.+=.=
两式相减：
6)(''')('''21=+ηηff
3)](''')('''[
21)('''][2121=+=.∈.ηηξηηξfff，，
)(')()(:ξfabafbfLagrange=
.
.
ξξln2lnln,ln)(
222=
.
.
=
ababxxf
2222ln)()(0ln1)(',ln)(
eetttttt&∴&∴&
.
==
ξξ.ξ...
（关键：构造函数）
)(4lnln222abeab.&.
三、补充习题（作业）
23)0('',
11ln)(2.=
+
.
=yxxxf求
012)1,0(
2cos2sin=.+
..
...
=
=
xyteytextt
处切线为在
exyxxexy1)0)(1ln(+=&+=的渐进线方程为
4.证明x&0时
22)1(ln)1(.≥.xxx
)('''),(''),(',)1(ln)1()(
xxxgxgxgxxxxg.
=...=
02)1(''0)1(')1(&===ggg，
00'),,1(
0'),1,0(
0''
2'',0'''),,1(
2'',0'''),1,0(
&∴
...
&∞∈
&∈
.&.
...
&&+∞∈
&&∈
ggxgxgggxggx
第三讲 不定积分与定积分
一、理论要求
1.不定积分
掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）
会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）
理解定积分的概念与性质
理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法
会求定积分、广义积分
会用定积分求几何问题（长、面、体）
会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值
二、题型与解法
A.积分计算
∫∫+
.
=
..
=
.
Cxxdxxxdx22arcsin)2(4)4(2
∫∫∫+=+=+Cxexdxexdxedxxexxxxtantan2sec)1(tan222222
xxxf)1ln()(ln+
=
∫dxxf)(
∫∫+
=dxeedxxfxx)1ln()(
∫+++.=
+
.++=..Ceexdxeeeexxxxxx)1ln()1()
11()1ln(
∫∫∞
∞&.
∞+=
+
.+.=
4)
11(lim|arctan1arctanbbdxxxxxxdxxxπ
B.积分性质
5.连续，,且，求并讨论
在的连续性。
)(xf
∫=10)()(dtxtfx.
Axxfx=
&.
)(lim0
)(x.
)('x.
0=x
xdyyfxxtyfx∫=.===0)(
)(,0)0()0(..
)0('2/)0('lim2)0('
)()(
)('
020....==∴=
.
=
&.
∫AAxdyyfxxfxxx
.
∫∫...=.xxxtdtxfdxddttxtfdxd)()(
2)(
)()()(
2202xxfydyfdxdx∫==
C.积分的应用
7.设在[0，1]连续，在（0，1）上，且，
又与x=1,y=0所围面积S=2。求，且a=?时S绕x轴旋转体
积最小。
)(xf
0)(&xf
223)()('xaxfxxf+=
)(xf
)(xf
∫.=∴=+=.=10242)(
23)(
23))((acdxxfcxxaxfaxxfdxd
.
∫.=∴==.+=∴102250)'(')14(
23)(adxyVxxaxfπ.
8.曲线，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形
绕x轴旋转的表面积。
解：切线绕x轴旋转的表面积为
2/xy=
ππ5220=∫yds
曲线绕x轴旋转的表面积为
1.=xy
)155(
6221.=∫ππyds
总表面积为
)1511(
6.
π
三、补充习题（作业）
∫+...=Cxxxxdxxxcot2sinlncotsinsinln2
∫+.
+dxxxx13652
∫dxxxarcsin
第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何
一、理论要求
1.向量代数
理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）
了解两个向量平行、垂直的条件
向量计算的几何意义与坐标表示
2.多元函数微分
理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质
理解偏导数、全微分概念
能熟练求偏导数、全微分
熟练掌握复合函数与隐函数求导法
3.多元微分应用
理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值
4.空间解析几何
掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法
会求平面、直线方程与点线距离、点面距离
二、题型与解法
A.求偏导、全微分
1.有二阶连续偏导，满足，求
)(xf
)sin(yefzx=
zezzxyyxx2''''=+
)(xf
uuececufff.+=.=.21)(0''
yxzyxyxyfxz..
.
++=
2)()(1，求.
决定由0),,(),()(),(=+===zyxFyxxfzxzzxyy
dxdz/
B.空间几何问题
4.求上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之
和。
adazzyyxx=.=++000///
5.曲面在点处的法线方程。
2132222=++zyx
)2,2,1(.
C.极值问题
6.设是由确定的函数，
求的极值点与极值。
),(yxzz=
=+..+.zyzyxyx
),(yxzz=
三、补充习题（作业）
yxzxygyxxyfz..
.
+=
2),(),(求
xzxygyxxyfz.
.
+=求)),(,(
dzxyyxuuz求,arctan,ln,22=+==..
第五讲 多元函数的积分
一、理论要求
熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）
∫∫
∫∫
∫∫
..
..
.
=
Drrbaxyxyrdrrfddyyxfdxdxdyyxf21)(2)(1)(2)(1),(
),(
),(θθθθθθ
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
..
.
..
.
.
=
Vrrzzzzzrzrbaxyxyyxzyxzdrrrfddrdrzrfddzdzzyxfdydxdxdydzzyxfβαθ.θ..θ.θθθθθ..θ.θθθ)(2)(1),(2),(),(2),(1)(2)(1),(2),(1sin),,(
),,(
),,(
),,(
会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）
∫∫++=.=
DyxdxdyzzAyxfz22''1),(
2.曲线积分
理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法
熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件
3.曲面积分
理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系
熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分
∫∫∫
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
.×.=.
..=.
++=
=
LSSVDxyyxyxzzSSdFrdFStokesdVESdEGaussdxdyzzyxzyxfdSzyxf
旋度）
通量，散度）
()(:
(:
''1)),(,,(),,(22),(:
....
...
二、题型与解法
A.重积分计算
1.为平面曲线绕z轴旋转一周与z=8
的围域。
Ω+=∫∫∫Ω,)(22dVyxI
...
=
=
022xzy
3πθπ==+=∫∫∫∫∫∫≤+
zzyxrdrrddzdxdyyxdzI
2.为与
围域。（
∫∫..
+
=
DDdxdyyxayxI,
422222
)0(22&.+.=axaay
xy.=
)
2116(
22.=
πaI
...
≤≤≤≤
=
其他,00,21,
),(
2xyxyxyxf
求 (49/20)
∫∫≥+
DxyxDdxdyyxf2:,),(22
B.曲线、曲面积分
∫.++.=
LxxdyaxyedxyxbyeI)cos())(sin(
)0,0(2)0,2(2OxaxyaAL至沿从.=
AyOL至沿从01=
()()(abadxbxdxdyabIaDLLLππ.+=...=.=∫∫∫∫∫
+
∫+
.
=
LyxydxxdyI224
为半径的圆周正向为中心，为以)1()0,1(&RL
解：取包含(0,0)的正向，
...
=
=
θθsincos2:1ryrxL
π==∴=.=∫∫∫∫∫
.
1110LLLLLL
6.对空间x&0内任意光滑有向闭曲面S，
，且在x&0有连续一
阶导数，,求。
0)()(2=..∫∫Sxzdxdyedzdxxxyfdydzxxf
)(xf
1)(lim0=
+&.
xfx
)(xf
∫∫∫∫∫∫∫∫ΩΩ..+=..=.=
sxdVexxfxxfxfdVFSdF))()(')((02...
)1(1)11('2.=.=.+xxxexeyexyxy
第六讲 常微分方程
一、理论要求
1.一阶方程
熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法
2.高阶方程
))(')(',('')),(')(',(''),()(ypyyyfyxpyyxfyxfyn=====
3.二阶线性常系数
..
..
.
+=→±=
+=→=
+=→≠
.
=++.=++
)sincos(
)(
00'''
1221xcxceyiexccyececyqpqpyyxxxxβββαλλλλλλλαλλλ
..
..
.
=→=
=→=
=→≠
.=
xnxnxnxnexxQyandxexQyorexQyexPxfααααλλαλλαλα)(
)(
)(
)()(
..
...
=+=→=±
+=→≠±
.
+=
),max((sin)(cos)((
sin)(cos)((
)sin)(cos)(()(
22jinxxrxxqxeyixxrxxqeyixxpxxpexfnnxnnxjixββλβαββλβαββααα
二、题型与解法
A.微分方程求解
1.求通解。
（
0)2()23(222=.+.+dyxyxdxyxyx
)322cxyxxy=..
2.利用代换化简并求通解。
（）
xuycos=
xexyxyxy=+.cos3sin'2cos''
xexcxxcyeuuxxcos5sin2cos2cos,4''21++==+
3.设是上凸连续曲线，处曲率为，且过处
切线方程为y=x+1，求及其极值。
)(xyy=
),(yx
2'11y+
)1,0(
)(xyy=
2ln211,2ln211|)
4cos(|ln01'''max2+=++.=.=++yxyyyπ
三、补充习题（作业）
1.已知函数在任意点处的增量。(）
)(xyy=
)1(,)0(),(
12yyxoxxyy求π=Δ+
+
Δ=Δ
4ππe
2.求的通解。（）
xeyy24''=.
xxxxeececy2222141++=.
3.求的通解。（）
0)1(),0(0)(22=&=.++yxxdydxyxy
)1(
212.=xy
4.求的特解。（
1)0(')0(,0'2''2===..yyeyyx
xexy2)23(
4141++=
第七讲 无穷级数
一、理论要求
1.收敛性判别
级数敛散性质与必要条件
常数项级数、几何级数、p级数敛散条件
正项级数的比较、比值、根式判别法
交错级数判别法
幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法
幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）
Taylor与Maclaulin展开
3.Fourier级数
了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理
会求的Fourier级数与正余弦级数
],[ll.
],0[l
第八讲 线性代数
一、理论要求
会用按行（列）展开计算行列式
几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）
矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式
矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆
矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价
用初等变换求矩阵的秩与逆
理解并会计算矩阵的特征值与特征向量
理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件
掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法
掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质
理解n维向量、向量的线性组合与线性表示
掌握线性相关、线性无关的判别
理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩
了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法
了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质
4.线性方程组
理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件
理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解
掌握用初等行变换求解线性方程组的方法
二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换
二次型的标准形、规范形及惯性定理
掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法
了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法
第九讲 概率统计初步
一、理论要求
1.随机事件与概率
了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算
会计算古典型概率与几何型概率
掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式
2.随机变量与分布
理解随机变量与分布的概念
理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度
掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函
数
3.二维随机变量
理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布
理解随机变量的独立性及不相关概念
掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度
会求两个随机变量简单函数的分布
4.数字特征
理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念
掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望
5.大数定理
了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理
了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理
6.数理统计概念
理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩
了解分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念
了解正态分布的常用抽样分布
7.参数估计
掌握矩估计与极大似然估计法
了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性
会求单个正态总体的均值和方差的置信区间
8.假设检验
掌握假设检验的基本步骤
了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验
第十讲 总结
1.极限求解
变量替换（作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性
质，级数，等价小量替换）
1. (几何级
数)
2))1((...)2()[(1limaxnanxnaxnaxnn+=
.
++++++
∞&.
2. (对数替换)
2//10)arccos2(limππ.
&.
=exxx
2tan1)2(limxxxπ.
&.
21)
63(lim.
∞&.+
+xxxx
21)(
)()(limaxaxnaaxnnnax.
....
&.
...
.
...
.
.
&
=
&
.
=
∫)0(
cos0,40,2cos1)(
02xxtdtxxxxxfx
)(lim0xfx&.
2.导数与微分
复合函数、隐函数、参数方程求导
]')()()[(baxaxxbba
3.决定函数，求dy
..
...
=
=
teytexttsincos
)(xyy=
4.已知，验证
1ln22=.yyx
0')12(422=.+yyxxy
bxxvvueyusin,ln31,32===
xy'
3.一元函数积分
1.求函数在区间上的最小值。（0）
∫+.
+
=xdttttxI02113)(
]1,0[
∫..
.222|1|
1dxxx
∫.102/32)1dxx（
∫+
dxxx)1(
1
∫.
+dxxx24141
4.多元函数微分
),(
2xyeyxfz=
yxzz','
2.由给出，求证：
),(yxzz=
0),(=++
xzyyzxF
xyzyzxzyx.=+''
3.求在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。
xyyxyxu2),(22+.=
)ln(sinyxxu+=
yxu..
.2
6.证明满足
)(2xyfxzn=
nzyzxzyx=+'2'
7.求内的最值。
18:44),(2222≤+...=yxDyxyxyxf在
5.多元函数积分
brotaarotbbadiv
.......=×)(
∫∫≤+..=
DyyxDdxdyyxI2:,)4(22
4.改变积分次序
∫∫+
.
2021),(xdyyxfdx
∫∫====
DxyxyxDdxdyyxI1,2,2:,)(2
6.常微分方程
1.求通解。
01ln122=++++dxydyxdxy
2.求通解。
xeyyy325'2''=++
3.求通解。
xeyyy265'2''=..
4.求通解。
0)()(22=++.dyxxydxyyx
5.求特解。
0)0()0('),2cos(
214''==.=+yyxxyy
6.求特解。
1)0(',,0)0(,4''===.yyxeyyx
《高等数学考研题型分析》
填空题：极限（指数变换，罗必达）、求导（隐函数，切法线）、不定积分、二重积分、
变上限定积分
选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限
计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用
《高等数学》试题库
一、选择题
（一）函数
1、下列集合中（ ）是空集。
{}{}4,3,02,1,0..a{}{}7,6,53,2,1..b(){}xyxyyxc2,.==且{}01.≥.xxxd且
2、下列各组函数中是相同的函数有（ ）。
()()()2,.xxgxxfa==()()2,.xxgxxfb==
()()xxxgxfc22cossin,1.+==()()23,.xxgxxxfd==
3、函数的定义域是（ ）。 ()
5lg1.
=
xxf
()()+∞∞.,55,..a()()+∞∞.,66,..b
()()+∞∞.,44,..c()()()()+∞∞.,66,55,44,....d
4、设函数 则下列等式中，不成立的是（ ）。
()..
..
.
.
+
2222xxx.+∞≤
.≤
.∞..
xxx2200
()()10.ffa=()()10..=ffb()()22.ffc=.()()31.ffd=.
5、下列函数中，（ ）是奇函数。
xxa.xxbsin.211.
+
.
xxaac21010.
xxd..
6、下列函数中，有界的是（ ）。
arctgxya=.tgxyb=.
xyc1.=xyd2.=
7、若，则（ ）。 ()()11.=.xxxf()=xf
不存在 ()1.+xxa()()21...xxb()1..xxc.d
8、函数的周期是（ ）。 xysin=
π4.aπ2.bπ.c2.
πd
9、下列函数不是复合函数的有（ ）。
xya..
.
..
.=
21.()21.xyb..=xycsinlg.=xeydsin1.+=
10、下列函数是初等函数的有（ ）。
11.2.
.
=
xxya
...
+
=21.
xxyb00≤
.
xx
xyccos2...=()
()
2121lg1sin....
.
...
.
+
.
=
xeydx
11、区间, 表示不等式（ ）. [,)a+∞
（A） （B） （C） （D） ax&&+∞+∞&≤xaax&ax≥
12、若,则 =（ ）. .3()1tt=+.3(1)t+
（A） （B） （C） （D） 31t+61t+62t+963332ttt+++
13、函数 是（ ）. 2log(1)ayxx=++
（A）偶函数 （B）奇函数 （C）非奇非偶函数 （D）既是奇函数又是偶函数
14、函数与其反函数的图形对称于直线（ ）. ()yfx=1()yfx.=
（A） （B） （C） （D） 0y=0x=yx=yx=.
15、函数的反函数是（ ）. 1102xy.=.
（A） （B）
1x lg22yx=
.
log2xy=
（C） （D） 21logyx=1lg(2)yx=++
16、函数是周期函数，它的最小正周期是（ ）. sincosyxx=+
（A） （B） （C） （D） 2ππ2π4π
17、设 ，则=（ ）． 1)(+=xxf)1)((+xff
A． x B．x + 1 C．x + 2 D．x + 3
18、下列函数中，（ ）不是基本初等函数．
A． B． C． D． xy)
e1(=2lnxy=
xxycossin=35xy=
19、若函数f(ex)=x+1，则f(x)=( )
A. ex +1 B. x+1 C. ln(x+1) D. lnx+1
20、若函数f(x+1)=x2，则f(x)=( )
A.x2 B.(x+1) 2 C. (x-1) 2 D. x2-1
21、若函数f(x)=lnx，g(x)=x+1，则函数f(g(x))的定义域是( )
A.x&0 B.x≥0 C.x≥1 D. x&-1
22、若函数f(x)的定义域为(0,1)则函数f(lnx+1)的定义域是( )
A.(0，1) B.(-1，0) C.(e-1，1) D. (e-1，e)
23、函数f(x)=|x-1|是( )
A.偶函数 B.有界函数 C.单调函数 D.连续函数
24、下列函数中为奇函数的是( )
A.y=cos(1-x) B. C.ex D.sinx2
...
...
++=21lnxxy
25、若函数f(x)是定义在(-∞，+∞)内的任意函数，则下列函数中（ ）是偶函数。
A.f(|x|) B.|f(x)| C.[f(x)]2 D.f(x)-f(-x)
26、函数是（ ）
21sinxxxy+
=
A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
27、下列函数中（ ）是偶函数。
1sinxxy.A2+= x1x1lny.B+
.
= )x(f)x(fy.C.+= )x(f)x(fy.D..=
28、下列各对函数中，（ ）中的两个函数相等。
x)x(g,x)x(f.A2== x1xln)x(g,
xxxlnx)x(f.B2.
=
.
=
xln2)x(g,xln)x(f.C2== 1x)x(g,
1x1x)x(f.D2+=
.
.
=
（二）极限与连续
1、下列数列发散的是（ ）。
a、0.9，0.99，0.999，0.9999，…… b、……
54,45,32,23
c、= d、= ()nf
...
...
.
.
+
nnnn212212
为偶数
为奇数
nn()nf
..
..
.
.
+
nnnn11
为偶数
为奇数
nn
2、当时，arctgx的极限（ ）。 ∞→x
a、 b、 c、 d、不存在，但有界
2π=
2π.=∞=
3、（ ）。
11lim1.
.
→xxx
a、 b、 c、=0 d、不存在 1.=1=
4、当时，下列变量中是无穷小量的有（ ）。 0→x
a、 b、 c、 d、
x1sinxxsin12..xxln
5、下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的有（ ）。
a、 b、 c、 d、 ()+→0lgxx()1lg→xx132+xx()+∞→x().→01xex
6、如果， ，则必有（ ）。 ()∞=
→
xfxx0lim()∞=
→
xgxx0lim
a、 b、 ()()[]∞=+
→
xgxfxx0lim()()[]0lim0=.
→
xgxfxx
c、 d、（k为非零常数） ()()01lim0=
+→xgxfxx()∞=
→
xkfxx0lim
7、（ ）。
()=
.
.
→11sinlim21xxx
a、1 b、2 c、0 d、
8、下列等式中成立的是（ ）。
a、 b、 ennn=..
.
..
.+
∞→
21limennn=..
.
..
.+
+
∞→
211lim
c、 d、 ennn=..
.
..
.+
∞→211limennn=..
.
..
.+
∞→
211lim
9、当时，与相比较（ ）。 0→xxcos1.xxsin
a、是低阶无穷小量 b、是同阶无穷小量
c、是等阶无穷小量 d、是高阶无穷小量
10、函数在点处有定义，是在该点处连续的（ ）。 ()xf0x()xf
a、充要条件 b、充分条件 c、必要条件 d、无关的条件
11、若数列{x}有极限,则在的邻域之外，数列中的点（ ）. naaε
（A）必不存在 （B）至多只有有限多个
（C）必定有无穷多个 （D）可以有有限个，也可以有无限多个
12、设存在, 则必有( ) . 0, 0(), lim()
, 0xxexfxfxaxbx→
.≤
=.
+&.
若
(A) a = 0 , b = 0 (B) a = 2 , b = －1 (C) a = －1 , b = 2 (D)a 为任意常数, b = 1
13、数列0，，，，，……（ ）.
（A）以0为极限 （B）以1为极限 （C）以为极限 （D）不存在极限
14、 数列｛y n｝有界是数列收敛的 ( ) .
（A）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件
15、当x —&0 时，( )是与sin x等价的无穷小量.
(A) tan2 x (B) (C) (D) x (x+2) x1ln(12)
2x+
16、若函数在某点极限存在，则（ ）. ()fx0x
（A）在的函数值必存在且等于极限值 ()fx0x
（B）在的函数值必存在，但不一定等于极限值 ()fx0x
（C）在的函数值可以不存在 （D）如果存在则必等于极限值 ()fx0x0()fx
17、如果与存在，则（ ）.
0lim()
xxfx→+
0lim()
xxfx→.
（A）存在且
0lim()
xxfx→00lim()()
xxfxfx→
=
（B）存在但不一定有
0lim()
xxfx→00lim()()
xxfxfx→
=
（C）不一定存在
0lim()
xxfx→
（D）一定不存在
0lim()
xxfx→
18、无穷小量是（ ）.
（A）比0稍大一点的一个数 （B）一个很小很小的数
（C）以0为极限的一个变量 （D）0数
19、无穷大量与有界量的关系是（ ）.
（A）无穷大量可能是有界量 （B）无穷大量一定不是有界量
（C）有界量可能是无穷大量 （D）不是有界量就一定是无穷大量
20、指出下列函数中当时（ ）为无穷大量. 0x+→
（A） （B） （C） （D） 21x..sin1secxx+
xe.
1xe
21、当x→0时，下列变量中（ ）是无穷小量。
xxsin.A xe1.B. xxx.C2.
x)x1ln(.D+
22、下列变量中（ ）是无穷小量。
0) (x e.Ax1-
→0) (xx1sin .B→)3 (x9x3x .C2→
.
.
)1x (xln .D→
23、（ ） =
∞→xxx2sinlim
A.1 B.0 C.1/2 D.2
24、下列极限计算正确的是（ ）
ex11lim.Ax0x=..
.
..
.+
→1x1sinxlim.Bx=
∞→
1x1sinxlim.C0x=
→
1xxsinlim.Dx=
∞→
25、下列极限计算正确的是（ ）
1xxsinlim.Ax=
∞→
ex11lim.Bx0x=..
.
..
.+
→5126xx8xlim.C232x=
.+
.
→1xxlim.D0x=
→
则下列结论正确的是
A. f(x)在x=0处连续 B. f(x)在x=0处不连续，但有极限
C. f(x)在x=0处无极限 D. f(x)在x=0处连续，但无极限
27、若，则（ ）.
0lim()0xxfx→
=
（A）当为任意函数时，才有成立 ()gx0lim()()0xxfxgx→
=
（B）仅当时，才有成立
0lim()0xxgx→
=
0lim()()0xxfxgx→
=
（C）当为有界时，有成立 ()gx0lim()()0xxfxgx→
=
（D）仅当为常数时，才能使成立 ()gx0lim()()0xxfxgx→
=
28、设及都不存在，则（ ）.
0lim()
xxfx→0lim()
xxgx→
（A）及一定都不存在
0lim[()()]
xxfxgx→
+
0lim[()()]
xxfxgx→
.
（B）及一定都存在
0lim[()()]
xxfxgx→
+
0lim[()()]
xxfxgx→
.
（C）及中恰有一个存在，而另一个不存在
0lim[()()]
xxfxgx→
+
0lim[()()]
xxfxgx→
.
（D）及有可能都存在
0lim[()()]
xxfxgx→
+
0lim[()()]
xxfxgx→
.
29、（ ）.
22212lim()
nnnnn→∞
+++=.
22212limlimlim0000nnnnnnn→∞→∞→∞
+++=+++=..
212limnnn→∞
+++
=∞.
（C） （D）极限不存在 2(1)
12lim2nnnn→∞
+
=
30、的值为（ ）.
201sinlimsinxxxx→
（A）1 （B） （C）不存在 （D）0 ∞
31、（ ）.
1limsinxxx→∞
=
（A） （B）不存在 （C）1 （D）0 ∞
32、（ ）.
221sin(1)lim(1)(2)xxxx→
.
=
++
（A） （B） （C）0 （D） 1313.23
33、（ ）. 21lim(1)xxx→∞
.=
（A） （B） （C）0 （D） 2e.∞12
34、无穷多个无穷小量之和（ ）.
（A）必是无穷小量 （B）必是无穷大量
（C）必是有界量 （D）是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量
35、两个无穷小量与之积仍是无穷小量，且与或相比（ ）. αβαβαβ
（A）是高阶无穷小 （B）是同阶无穷小
（C）可能是高阶无穷小，也可能是同阶无穷小 （D）与阶数较高的那个同阶
36、设，要使在处连续，则（ ）.
1sin0()30xxfxxax
.≠.=..
=.
()fx(,).∞+∞a=
（A）0 （B）1 （C）1/3 （D）3
37、点是函数的（ ）. 1x=
311()1131xxfxxxx.&..
==..
.&.
（A）连续点 （B）第一类非可去间断点
（C）可去间断点 （D）第二类间断点
38、方程至少有一个根的区间是（ ）. 410xx..=
（A） （B） （C） （D） (0,1/2)(1/2,1)(2,3)(1,2)
39、设，则是函数的（ ）.
110()
00xxfxxx
.+.
≠.=..
=.
0x=()fx
（A）可去间断点 （B）无穷间断点 （C）连续点 （D）跳跃间断点
40、，如果在处连续，那么（ ）.
110()
0xxxfxxkx
.+..
≠.=..
=.
()fx0x=k=
（A）0 （B）2 （C）1/2 （D）1
41、下列极限计算正确的是（ ）．
（A） （B） （ C） （ D） e)11(lim0=+
→
xxxe)1(lim1=+
∞→
xxx11sinlim=
∞→xxx1sinlim=
∞→xxx
42、若,则 f (x) = ( ) . 23()211lim169xfxxx→
.+
=.
.
(A) x+1 (B) x+5 (C) (D) 13 x+6x+
43、方程 x4 –x – 1 = 0至少有一个实根的区间是( ) .
(A) (0,1/2) (B) (1/2, 1) (C) (2, 3) (D) (1, 2)
44、 函数的连续区间是( ) .
210()(25)
lnxfxxx.
=.+
(A) (0, 5) (B) (0, 1) (C)(1, 5) (D) (0, 1) ∪(1,5)
（三）导数与微分
1、设函数可导且下列极限均存在，则不成立的是（ ）。 ()xf
()()()00lim0fxfxfx′=
.
→
()()()0000limxfxxxfxfx′=
ΔΔ..
→Δ
()()()afhafhafh′=
.+
→
2lim0()()()00002limxfxxxfxxfx′=
ΔΔ..Δ+
→Δ
2、设f(x)可导且下列极限均存在，则 ( ) 成立.
)(
21)()2(
lim0000xfxxfxxfx′=
Δ.Δ+
→Δ
)0()0()(lim0fxfxfx′=
.
→
)(
)()(
lim0000xfxxfxxfx′=
Δ.Δ.
→Δ
)()()2(lim0afhafhafh′=
.+
→
3、已知函数，则f(x)在x = 0处 ( ). ...
&
≤.
=.001)(
xexxxfx
① 导数 ② 间断 (0)1f′=.
③ 导数=1 ④ 连续但不可导 )0(f′
4、设，则=（ ）。 ()()()()321...=xxxxxf()0f′
a、3 b、 c、6 d、 3.6.
5、设，且 ， 则=（ ）。 ()xxxfln=()20=′xf()0xf
a、 b、 c、e d、1
6、设函数 ，则在点x=1处（ ）。 ()
...
.
=
1lnxxxf11.
≥
xx()xf
a、连续但不可导 b、连续且 c、连续且 d、不连续 ()11=′f()01=′f
7、设函数 在点x=0处（ ）不成立。 ()
...=
xxexfx00≥
.
xx
a、可导 b、连续 c、可微 d、连续，不可异
8、函数在点处连续是在该点处可导的（ ）。 ()xf0x
a 、必要但不充分条件 b、充分但不必要条件
c、充要条件 d、无关条件
9、下列结论正确的是（ ）。
a、 初等函数的导数一定是初等函数 b、初等函数的导数未必是初等函数
c、初等函数在其有定义的区间内是可导的 d、初等函数在其有定义的区间内是可微的
10、下列函数中（ ）的导数不等于。 x2sin21
a、 b、 c、 d、 x2sin21x2cos41x2cos21.x2cos411.
11、已知 ，则=（ ）。 xycos=()8y
a、 b、 c、 d、 xsinxcosxsin.xcos.
12、设，则y′= ( ). )1ln(2++=xxy
① ② 112++xx112+x
③ ④ 122++xxx12+xx
13、已知 ，则=（ ）。 ()xfey=y′′
a、 b、 ()()xfexf′′()xfe
c、 d、 ()()()[]xfxfexf′′+′()()[](){}xfxfexf′′+′2
14、已知，则=（ ）． 441xy=y′′
A. B. C. D. 6 3x23xx6
15、设是可微函数，则（ ）． )(xfy==)2(cosdxf
A． B． C．
xxfd)2(cos2′xxxfd22sin)2(cos′xxxfd2sin)2(cos2′
xxxfd22sin)2(cos′.
16、若函数f (x)在点x0处可导，则( )是错误的．
A．函数f (x)在点x0处有定义 B．，但 Axfxx=
→
)(lim0)(0xfA≠
C．函数f (x)在点x0处连续 D．函数f (x)在点x0处可微
17、下列等式中，（ ）是正确的。
()x2ddxx21.A= ..
.
..
.=
x1ddx.Blnx
..
.
..
.=2x1ddxx1.C- ()cosxdsinxdx.D=
18、设y=F(x)是可微函数，则dF(cosx)= ( )
A. F′(cosx)dx B. F′(cosx)sinxdx C. -F′(cosx)sinxdx D. sinxdx
19、下列等式成立的是（ ）。
xddxx1.A= ..
.
..
..=2x1ddxx1.B
()xcosdxdxsin.C=)1a0a(adaln1xda.Dxx≠&=且
20、d(sin2x)=( )
A. cos2xdx B. –cos2xdx C. 2cos2xdx D. –2cos2xdx
21、f(x)=ln|x|，df(x)=( )
dxx.A1x1.Bx1.Cdxx1.D
22、若，则 xxf2)(=
（ ） ()()=
Δ.Δ.
→Δxfxfx00lim0
A.0 B.1 C.-ln2 D.1/ln2
23、曲线y=e2x在x=2处切线的斜率是( )
A. e4 B. e2 C. 2e2 D.2
24、曲线处的切线方程是（ ） 11=+=xxy在
232xy.A+=
232xy.B.=
232xy.C..=
232xy.D+.=
25、曲线上切线平行于x轴的点是 ( ).
A、 (0, 0) B、(1, -1) C、 (–1, -1) D、 (1, 1)
（四）中值定理与导数的应用
1、下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理的有（ ）。
a、 b、 xy=[]2,1.15423.+.=xxxy[]1,0
c、 d、 ()21lnxy+=[]3,0212xxy+
=[]1,1.
2、函数 在其定义域内（ ）。 23++=xxy
a、单调减少 b、单调增加 c、图形下凹 d、图形上凹
3、下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）． (,).∞+∞
A．sinx B．e x C．x 2 D．3 - x
4、下列结论中正确的有（ ）。
a、如果点是函数的极值点，则有=0 ； 0x()xf()0xf′
b、如果=0，则点必是函数的极值点； ()0xf′0x()xf
c、如果点是函数的极值点，且存在， 则必有=0 ； 0x()xf()0xf′()0xf′
d、函数在区间内的极大值一定大于极小值。 ()xf()ba,
5、函数在点处连续但不可导，则该点一定（ ）。 ()xf0x
a、是极值点 b、不是极值点 c、不是拐点 d、不是驻点
6、如果函数在区间内恒有 ，，则函数的曲线为（ ）。 ()xf()ba,()0.′xf()0.′′xf
a、上凹上升 b、上凹下降 c、下凹上升 d、下凹下降
7、如果函数的极大值点是 ，则函数的极大值是
（ ）。
22xxy.+=
21=x22xxy.+=
a、 b、 c、 d、
8、当 ；当，则下列结论正确的是（ ）。 ()00.′′.xfxx时，()00.′′.xfxx时，
a、点是函数的极小值点 0x()xf
b、点是函数的极大值点 0x()xf
c、点（，）必是曲线的拐点 0x()0xf()xfy=
d、点不一定是曲线的拐点 0x()xfy=
9、当 ；当，则点一定是函数的（ ）。 ()00.′.xfxx时，()00.′.xfxx时，0x()xf
a、极大值点 b、极小值点 c、驻点 d、以上都不对
10、函数f(x)=2x2-lnx的单调增加区间是
..
.
..
.+∞..
.
..
..,,.A21021和..
.
..
.
..
.
..
..∞.
21021,,.B和..
.
..
.
210,.C..
.
..
.+∞,.D21
11、函数f(x)=x3+x在（ ）
()单调减少+∞∞.,.A()单调增加+∞∞.,.B
()()单调增加单调减少+∞..∞.,,,.C11()()单调增加单调减少+∞∞.,,,.C00
12、函数f(x)=x2+1在[0，2]上（ ）
A.单调增加 B. 单调减少 C.不增不减 D.有增有减
13、若函数f(x)在点x0处取得极值,则( )
0)x(f.A0=′不存在)x(f.B0′处连续在点0x)x(f.C不存在或)x(f0)x(f.D00′=′
14、函数y=|x+1|+2的最小值点是（ ）。
A.0 B.1 C.-1 D.2
15、函数f(x)=ex-x-1的驻点为（ ）。
A. x=0 B.x=2 C. x=0，y=0 D.x=1，e-2
16、若则是的（ ） (),0=′xf0x()xf
A.极大值点 B.最大值点 C.极小值点 D.驻点
17、若函数f (x)在点x0处可导，则
()()=
..
→hxfhxfh22lim000
)x(f.A0′)x(f2.B0′)x(f.C0′.)x(f2.D0′.
18、若则（ ） ,)1(xxf=()=′xf
x1-.B 2x1.C 2x1.D-
19、函数单调增加区间是（ ） xxy.=
33
A.(-∞，-1) B.( -1，1) C.(1，+∞) D.(-∞,-1)和(1，+∞)
20、函数单调下降区间是（ ）
A.(-∞，+∞) B. (-∞，0) C. (0，+∞) D. (-∞，0)和(0，+∞)
21、在区间（1,2）上是（ ）； 142+.=xxy
（A）单调增加的 （B）单调减少的 （C）先增后减 （D）先减后增
22、曲线y= 的垂直渐近线是（ ）；
（A） （B）0 （C） （D）0 y=1±y=x=1±x=
23、设五次方程有五个不同的实根，则方程
最多有( )实根.
axaxaxaxaxa+++++=
0axaxaxaxa++++=
A、 5个 B、 4个 C、 3个 D、 2个
24、设的导数在=2连续，又, 则 ()fxx2'()lim12xfxx→
=.
.
A、 =2是的极小值点 B、 =2是的极大值点 x()fxx()fx
C、 (2, )是曲线的拐点 (2)f()yfx=
D、 =2不是的极值点, (2,)也不是曲线的拐点. x()fx(2)f()yfx=
25、点(0,1)是曲线的拐点，则( ).
32yaxbxc=++
A、 a≠0，b=0，c =1 B、 a为任意实数，b =0，c=1
C、 a =0，b =1，c =0 ↓ D、 a = -1，b =2, c =1
26、设p为大于1的实数，则函数在区间[0，1]上的最大值是（ ）. ()(1)ppfxxx==.
A、 1 B、 2 C、 D、 112p.
12p
27、下列需求函数中，需求弹性为常数的有（ ）。
a、 b、 c、 d、 aPQ=baPQ+=12+=
PaQbPaeQ.=
28、设总成本函数为，总收益函数为，边际成本函数为，边际收益函数为
，假设当产量为时，可以取得最大利润，则在处，必有（ ）。
()QC()QRMCMR0Q0QQ=
a、 b、 c、 d、以上都不对 MCMR.MCMR=MCMR.
29、设某商品的需求函数为，则当时，需求弹性为（ ）． 2e10)(
ppq.
=p=6
A． B．－3 C．3 D． ..53e.12
30、已知需求函数q(p)=2e-0.4p，当p=10时，需求弹性为 ( )
A. 2e-4 B. -4 C. 4 D. 2e4
（五）不定积分
1、（ ）． =.∫)d(exx
A． B． C． D． cxx+.ecxxx++..eecxx+..ecxxx+...ee
2、下列等式成立的是( ) ．
A． B． C． D．
xxx1ddln=21dd1xxx.=xxxsinddcos=
xxx1dd12=
3、若是的原函数，则（ ）. )(xf)(xg
（A） （B） ∫+=Cxgdxxf)()(∫+=Cxfdxxg)()(
（C） （D） ∫+=′Cxgdxxg)()(∫+=′Cxgdxxf)()(
4、如果，则一定有（ ）. ∫∫=)()(xdgxdf
（A） （B） )()(xgxf=)()(xgxf′=′
（C） （D） )()(xdgxdf=∫∫=)()(xgdxfd
5、若，则（ ）. ∫+=cexdxxfx22)(=)(xf
（A） （B） xxe22xex222
（C） （D） xxe2)1(22xxex+
6、若，则（ ）. ∫+=CxFdxxf)()(∫=..dxefexx)(
（A） （B） ceFx+)(ceFx+..)(
（C） （D） ceFx+.)(ceFx+)(
7、设是的一个原函数，则（ ）. xe.)(xf∫=dxxxf)(
（A） （B） cxex+..)1(cxex++.)1(
（C） （D） cxex+..)1(cxex++..)1(
8、设，则（ ）. xexf.=)(=
′∫dxxxf)(ln
（A） （B） cx+.1cx+.ln
（C） （D） cx+1cx+ln
9、若，则（ ）. ∫+=cxdxxf2)(∫=.dxxxf)1(2
（A） （B） cx+.22)1(2cx+..22)1(2
（C） （D） cx+.22)1(
21cx+..22)1(
21
10、 （ ）. ∫=xdx2sin
（A） （B） cx+2cos21cx+2sin
（C） （D） cx+.2coscx+.2cos21
11、 （ ）. =
+∫xdxcos1
（A） （B） cxtgx+.seccxctgx++.csc
（C） （D） cxtg+
2)
42(
π.xtg
12、已知 ，则（ ）. xefx+=′1)(=)(xf
（A） （B） Cx++ln1Cxx++221
（C） （D） Cxx++2ln21lnCxx+ln
13、函数的一个原函数是（ ）. xxfsin)(=
（A） （B） xcos.xcos.
（C） （D）
...
&.
≥.
=
02cos0cos)(
xxxxxF
...
&+
≥+.
=
0cos0cos)(
xCxxCxxF
14、幂函数的原函数一定是（ ）。
A.幂函数 B.指数函数 C.对数函数 D.幂函数或对数函数
15、已知，则（ ） ∫+=CxFdxxf)()(∫=dxxfx)(ln1
A. F(lnx)+c B. F(lnx) C. D. cxFx+)(ln1cxF+)1(
16、下列积分值为零的是（ ）
∫+
.
ππxdxsinx.A ∫.
.+11xxdx2ee.B ∫.
..11xxdx2ee.C ()∫+
.
+22dxxxcos.Dππ
17、下列等式正确的是（ ）。
)x(fdx)x(fdxd.A=∫ C)x(fdx)x(fdxd.B+=∫
)x(f)x(fdxd.Cba=∫ )x(fdx)x(f.D=′∫
18、下列等式成立的是（ ）。
)x(fdx)x(fdxd.A=∫ )x(fdx)x(f.B=′∫
)x(fdx)x(fd.C=∫ )x(fdx)x(df.C=∫
19、若 =+=∫)(,2sin)(xfcxdxxf则
A.2cos2x B. 2sin2x C. -2cos2x D. -2sin2x
20、若（ ） =′+=∫.)(,)(2xfcedxxfx则
A.-2e-2x B.2e-2x C.-4e-2x D.4e-2x
21、若( ) 则,)()(∫+=cxFdxxf∫=.dxxxf)1(2
A、 B、 C、 D、 cxF+.)1(2cxF+.)1(
212cxF+..)1(
212cxF+..)1(2
22、若（ ） =+=
′∫)(,)(lnxfcxdxxxf则
A.x B. ex C. e-x D. lnx
（六）定积分
1、下列积分正确的是（ ）。
a、 ∫.
44cosππxdx
b、 011ln111=
.
=∫.
xdxx
c、 2ln22ln24cosln224044.===∫∫.
ππππtgxdxtgxdx
d、 21111=
.
=∫.
xdx
2、下列（ ）是广义积分。
a、 b、 c、 d、 ∫2121dxx∫.
111dxx∫.
210211dxx∫.
.11dxex
3、图6—14阴影部分的面积总和可按（ ）的方法求出。
a、 ()∫badxxf
b、 ()∫badxxf
c、+ ()∫cadxxf()∫bcdxxf
d、+ ()∫cadxxf()∫bcdxxf
4、若，则k=（ ） ()∫=+102dxkx
a、0 b、1 c、 d、 1.
23
5、当（ ）时，广义积分收敛。 ∫∞.
.0dxekx
a、 b、 c、 d、 0&k0≥k0&k0≤k
6、下列无穷限积分收敛的是（ ）．
A． B． C． D． xxxedln∫∞+xxxedln∫∞+xxxed)(ln12∫∞+xxxedln1∫∞+
7、定积分定义说明（ ）. Σ∫
=
→
Δ=
niiibaxfdxxf10)(lim)(ξλ
（A）必须等分，是端点 ],[baniξ],[1iixx.
（B）可任意分法，必须是端点 ],[baiξ],[1iixx.
（C）可任意分法，，可在内任取 ],[ba0}max{→Δ=ixλiξ],[1iixx.
（D）必须等分，，可在内任取 ],[ba0}max{→Δ=ixλiξ],[1iixx.
8、积分中值定理其中（ ）. ))(()(abfdxxfba.=∫ξ
（A）是内任一点 （B）是内必定存在的某一点 ξ],[baξ],[ba
（C）是内惟一的某点 （D）是内中点 ξ],[baξ],[ba
9、在上连续是 存在的（ ）. )(xf],[ba∫badxxf)(
（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要
10、若设，则必有（ ）. ∫.=xdtxtdxdxf0)sin()(
（A） （B） xxfsin)(.=xxfcos1)(+.=
（C） （D） xxfsin)(=xxfsin1)(.=
11、函数在区间上的最小值为（ ）. ∫+.
=xdttttxF0213)(]1,0[
（A） （B） （C） （D） 0
12、设连续，已知 ，则应是（ ）. )(uf′′∫∫′′=′′2010)()2(dttftdxxfxnn
（A）2 （B）1 （C）4 （D）
13、设，则=（ ）. ∫=xdttfxF0)()()(xFΔ
（A） （B） ∫.Δ+xdttfttf0)]()([xxfΔ)(
（C） （D） ∫∫Δ+.xxxdttfdttf00)()(∫∫.Δ+xxdttfttdxf00)()()(
14、由连续函数y1=f(x)，y2=g(x)与直线x=a，x=b(a&b)围成的平面图形的面积为（ ）。
[]∫.badx)x(g)x(f.A []∫.badx)x(g)x(f.B
[]∫.badx)x(f)x(g.C ∫.badx)x(g)x(f.D
15、（ ） ∫+
.
=+ππdxxxex)sin(2cos
32π2e.C3-1+
32πe-e.D3-1+
16、 ∫=.201dxx
A.0 B.1 C.2 D.-2
17、下列无穷积分中（ ）收敛。
∫+∞
1dx.Ax1 ∫+∞
1dxx1.B ∫+∞
4dxxlnx1.C ∫+∞
13dxx1.D
18、无穷积分（ ） ∫+∞=
121dxx
A.∞ B.1 D.-1 31.C
19、（ ）。 =∫.])(arctan[
02xdttdxd
（A）2arctant （B） （C） （D） 211t+
2)(arctanx.2)(arctanx2)(arctant.
（七）多元函数的微积分：
(1) 设则( ) (,)ln,(,)lnln,fxyxygxyxy==+(,)fxy(,).gxy
① & ② & ③ = ④ ≠
(2) 设点的偏导数存在，则 00(,)(,)fxyxy在00(,)( ).xfxy′=
00000(,)(,)
limxfxxyyfxyxΔ→
+Δ+Δ.
Δ
00000(,)(,)
limxfxxyfxyxΔ→
+Δ.
Δ
③ 0000(,)(,)
limxxfxyfxyxx→
.
.
④ 00000(,)(,)
limxxfxyfxyxx→
.
.
(3) 设则( ). 0000(,)(,)0,xyfxyfxy′′==
① 为极值点 ② 为驻点 00(,)xy00(,)xy
③ 在有定义 ④ 为连续点 (,)fxy00(,)xy00(,)xy
(4) 在空间中,下列方程( )为球面, ( )为抛物面, ( )为柱面.
2425xyz.+=
2221444yxz++=
2yx=221xy+=
2zy=22222xyyxz++=.
(5) 设在处偏导数存在,则在该点( ). (,)fxy00(,)xy(,)fxy
① 极限存在 ② 连续
③ 可微 ④ 以上结论均不成立
（6）设Ｄ由轴、围成，则 xlnyxxe==、
(,)dd( ).
Dfxyxy=∫∫
ln10d(,)dexxfxyy∫∫ln00d(,)dexxfxyy∫∫
100d(,)dyeyfxyx∫∫10d(,)dyeeyfxyx∫∫
(7) 当时，有 ( )a=222221dd.
xyaxyxyπ+≤
..=∫∫
① ② ③ ④
二、填空：
（一）函数：
1、设，则的定义域是________，=________，-
________.
2,10()2,011,13xxfxxxx
..≤&
.=
≤&..
.≤&.
()fx(0)f=(1)f=
2、 的定义域是________，值域是________.
22arccos1xyx=
+
3、函数的定义域是 ．
xxxf.
.+=
21)5ln()(
4、若，则________. 2211()3fxxxx+=++()fx=
5、设，则________. 21()1fxxx=++()fx=
6、若 ，则________，________.
1()
1fxx=
.
(())ffx=((()))fffx=
7、若函数，则 ． 52)1(2.+=+xxxf=)(xf
8、设函数，则= 。
xxxf.
=
1)()1(
xf
9、函数是_____________函数。
2)(
xxaaxf..
=
10、函数的定义域是区间 ；
11、函数 的反函数是 ； 13.=xy
（二）极限与连续：
1、________. lim(1)1nnnn→∞
+..=
2、________.
1111242lim1111393nnn→∞
++++
=
++++
.
.
3、已知，则________，________.
25lim232nabnn→∞
++
=
+
a=b=
4、设，则_____________． 3e)21(lim.
∞→
=+kxxx=k
5、________.
)(32)lim(51)xxxx→+∞
.+
=
+
6、 ． =
+
∞→xxxxsinlim
7、 ________.
10lim()(0,0,0)xxaxbabx→
+&&&=
8、如果时，要无穷小量与等价，应等于________. 0x→(1cos)x.2sin2xaa
9、设，，则处处连续的充分必要条件是
________.
20()
()0axbxfxabxxx+≥.
=.++&.
0ab+≠
b=
10、，则________；若无间断点，则=________.
21/0()
0xexfxax...
≠=.
=..0lim()
xfx→
=a
11、函数，当________ 时，函数连续.
211()11xxfxxAx
..
≠..=+..
=..
A=()fx
12、设有有限极限值，则=________，________.
3214lim1xxaxxx→.
..+
+
LaL=
13、已知，则=________，=________.
222lim22xxaxbxx→
++
=
..
ab
14、函数的间断点是_____________； )(xf=
1ln.xx
15、若，则 105lim(1)kxxex..
→∞
+=k=
16、当 时，为无穷大 →x()21lnxy+=
17、如果函数当时的左右极限存在，但在处不连续，则称间断点
为第 类间断点
()xfax→()xfax=
ax=
（三）导数与微分
1、若函数，则= ． 3ln=yy′
2、若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则(0) = ． y′
3、曲线在点（4, 2）处的切线方程是 ． xy=
4、设是可导函数且，则＝________________； )(xf0)0(=fxxfx)(lim0→
5、曲线在处的切线方程是______________； xxyarctan+=0=x
6、设由方程可确定是的隐函数，则 0yxeexy.+=yx0xdydx=
=
7、函数在处的导数为 ； xytan=0=x
（四）中值定理 导数的应用
1、函数的单调增加区间是 . yx=.312()
2、函数的驻点是 . yx=.312()
3、设某产品的需求量q为价格p的函数，且，则需求对价格的弹性
为 .
pq5.0e1000.=
4、过点且切线斜率为的曲线方程是= ． )3,1(x2y
5、函数的拐点为
6、函数的单调递增区间为___________，最大值为__________
7、函数 的驻点是 ，拐点是 xxey.=
8、设函数在点处具有导数，且在处取得极值，则该函数在处的导数
()xf0x0x0x()=′0xf
（五）不定积分
1、已知的一个原函数为，则= ． )(xfx.e)(xf
2、若存在且连续，则 ． )(xf′=′∫])(d[xf
3、若，则= . cxFxxf+=∫)(d)(xfxx)de(e..∫
4、若连续，则＝ . )(xf∫′))((dxxf
5、设，则_______________； )(xf=xcos[f∫xdttf0)(]=
6、 . ∫=
.dxxx2)1(
7、 . ∫=.dxctgxxx)(csccsc
8、，则 . ∫+=Cedxxfx33)(=)(xf
9、＝ . ∫+
dxxxxsincos2cos
10、＝ . xdxexsincos∫
11、 . =∫dxx1arctan
12、 . ∫.dxtgxxtg)(2=
13、 . ∫=
+
.dxxx2412
14、 . ∫=
+.
dxxx26101
2()sin,xxfxdxeC=+∫()fx=
16、 21lnxxxdxx+.
=∫
（六）定积分及应用
1、已知在上连续，且，且设，则
)(xf),(∞+.∞2)0(=f∫=
2sin)()(xxdttfxF(0)F′=
2、设，则 .
..
..
.
&.
&
..
=
∫.xxxxdttxxxexf03220,sin0,31)(
0lim()
xfx→
=
3、已知，则 . xxexf=)2(∫.
=11)(dxxf
4、 . =.+∫+
.
aadxxfxfx)]()([
5、，其中为常数，当时，这积分 ，当时，这积
分 ，当这积分收敛时，其值为 .
∫∞+
2)(lnkxxdxk1≤k1&k
6、设连续，且则具体的 . )(xf∫+=10)(2)(dttfxxf()fx=
7、设连续，且，则 . )(xf∫=
30)(xxdttf=)8(f
8、 . ∫=
+∞→
101limdxxxnn
2030sinlimxxtdtx→
=
∫
12351(1)sinxxdx.
.=∫
11、 3211cosdxxxπ+∞=∫
12、设，则
20(2)4,()1ffxdx==∫20()xfxdx′=∫
二、求极限
（一）利用极限的四则运算法则求下列函数的极限
（1） （2） （3） ()432lim21+.
→
xxx56312lim222+.
.
→xxxx34lim23.
.
→xxx
（4） （5） （6）
123lim221.
+.
→xxxx39lim9.
.
→xxx321lim3.
.+
→xxx
（7） （8） （9）
xxxxxx2424lim2230+
+.
→22011limxxx+.→2321lim4.
.+
→xxx
（10） （11） （12）
4332lim22+
+.
∞→xxxxxxxxx7153lim23+
++
∞→xxx+
+
∞→121lim33
（13） （14） （15）
336lim2++
+
∞→xxxx2)1(321limnnn.++++
∞→
.
(
)13)(2(lim+
+.
∞→xxxx
（16） （17） （18） (
)32()2(limxxxx.
..
∞→()nnn.+
∞→
1lim..
.
..
.
.
.
.→1112lim21xxx
（19） （20） ()11lim22..+
∞→
nnnnnn)1(1lim.+
∞→
)1(
1321211lim+×++
×+
×∞→nnn
.
（22） （23） （24）
121lim221..
.
→xxxx2110limxxx+∞→5223lim22.+
+.
∞→nnnnn
（25） （26） （27）
（28） （29）
xxxx+
+
∞→2312lim4312lim4.
.+
→xxx21limttet→.
+
/4sin2lim2cos()xxxππ→.
22lim()
xxxxx→+∞
+..
(30) ..
.
..
.
.
.
.→xxx1113lim31
（二）利用第一重要极限公式求下列极限
（1） （2） （3）
xxtgxxsinlim0.
→xxx5sin3sinlim0→xxxxxsinsin2lim0+
.
→
（4） （5） （6） 20cos1limxxx.
→xxxarcsinlim0→
()
11sinlim21.
.
→xxx
（7） （8） （9）
xtgxx0lim→xkxxsinlim0→xxxxsincos1lim0.
→
（10） （11） （12）
sinsinlimxaxaxa→
.
.xxxxsin11lim20.+
→1)1sin(lim21.
.
→xxx
（13） （14） （15）
1)1sin(lim1.
.
→xxxxxxxsin11lim20..
→
xxctgx2lim0→
（16） （17） （18）
xtgxx32sinlim0→222sinlimxxx∞→ππ.→xxxsinlim
（19） nnnx2sin2lim∞→
（三）利用第二重要极限公式求下列极限
（1） （2） （3）
xxx311lim..
.
..
.+
∞→
xxx.
∞→
..
.
..
.+21limxxx
..
.
..
..
∞→
21lim
（4） （5） （6） ()xxx1201lim.
→
12022lim.
→
..
.
..
..xxxxxxx
..
.
..
.
+∞→1lim
（7） （8） （9） ()xxx1031lim+
→
xxx211lim..
.
..
.+
∞→
131lim+
∞→
..
.
..
.+
xxx
（10） （11） （12） ()xxx1021lim.
→0limln(1)xxx→+
123lim()
21xxxx+
→∞
+
+
（13） （14） （15） 2cot0lim(13tan)xxx→
+21/
0lim(cos)xxx→
xxxx)
13(lim+
.
∞→
（16） （17） xxx20)
33(lim+→
)ln)2(ln(limnnnn.+
∞→
（18）） （19） （20）
xxxx
..
.
...
+
.
∞→11limxxxx
..
.
..
.
+
.
∞→1212limxxx31lim0.
→
（21） （22） （23） xxxsec32)cos1(lim+
→
πxxx10)sin21(lim+
→
xxxx.
→
.
10)41(lim
（四）利用罗必达法则求极限
（1） （2） （3）
327lim33.
.
→xxx()
xxx+
→
1lnlim030sinlimxxxx.
→
（4） （5） （6）
xeexxx.
→
.
0limxxex2lim+∞→2lnlimxxx+∞→
（7） （8） （9）
5212lim22.
.+
∞→xxxxtgxxtgx3lim2π→
..
.
..
..
.→xxxln111lim1
（10） （11） （12） ..
.
.
..
.
.
.
∞→
1lim1xxex154lim1xxxx→
..
.01limxxex→
.
（13） （14） （15） 1/lim(39)xxxx→+∞
+
232lim222+.
..
→xxxxxxeexxxcos12lim220.
.+.
→
（16） （17） （18）
xxx5sinlim0→ctgxxx2lnlim0π.
+→
xxx10)sin1(lim+
→
（19） （20） （21）
(22) (23) (24)
xxxsin0lim+→
)
111(lim0.
.
→xxexnnmmaxaxax.
.
→
lim30tansinlimxxxx.
→
)
111(lim0.
.
→xxex)1ln(
lim0xbaxxx+
.
→
(25) (26) )1(lim2xxxx.+
∞→1132lim23231+..
+.
→xxxxxx
三、求导数或微分
（一）利用导数的基本运算公式和运算法则求导数
（1） （2） 14+.=xxy()23221xxxxy...
.
..
.+=
（3） （4）
11+
.
=
xxyxxxxycossinln.+=
（5） （6） 5232+.=xxy112++=
xxy
（7） （8） 3333++=.xxy()()21..=xxy
（9） （10） xxyln2=
1122+
.
=
xxy
（11） （12）
xxycos1sin.
=
xxysin1cos.
=
（13） （14） xxxysincos+=ctgxxtgxy+=
（15） （16） ()为常数aaaxyaxa++=xyxln2=
(17) (18) xxysin23=4tan3.=xy
(19) (20) )32)(23(xxy.+=xxxyln1ln+=
(21) (22) xxeyx22+=
ttycos1sin1+
+
=
（二）求复合函数的导数
（1） （2） 2sinxy=xycosln=
（3） （4） 21xy.=2lntgxy=
（5） （6） ()22lnxay.=
xy1arcsin=
（7） （8） ()21lnxy.=xylnsin=
（9） （10） ()53cos.=xyxtgy1=
（11） （12） 12+=xey()1052+=xy
（13） （14） 2arctgxy=
3arcsinxy=
（15） （16） 22sinxxy=xeyxcos.=
（17） （18） xxy22sinsin+=xtgy3ln=
（19） （20） ()32lnxy=24xy.=
（21） （22）
121lncos.
+=
xxyxy12.
=
（23） （24） xxy3sincos3.=xxyx+=
1sin2
（25） （26）
223xy.=32xey=
（27） (28) xyarcsin=)ln(22xaxy++=
（29） (30）
2coslnxey.=xy1arctan=
（31） （32） xeyx2cos2.=nxxyncossin=
（33） xxy22ln2.=
（三）求由方程F（x,y）=0所确定的隐函数y=f(x)的导数
（1） （2） 1222+=xyyxyln=
（3） （4） yxey+=1()xxy=cos
（5） （6） 0=.+ayx122=.+xyyx
（7） （8） yxyln+=yarctgyx=+
（9） （10） 0eln23=.+yxyx61832=+.xyxy
（11）＝1 （12） .)sin(xylnyx1+yxexy+=
（13） （14）（为常数） )arctan(2xyxyx=+033=.+ayxa
（四）利用取对数求导法求下列函数的导数
（1） （2）
()()
()()4321++
++
=
xxxxy()()()32321+.+=xxxy
（3） （4） xxy1=
xxxxy+
.
.
.
=
3312
xxxy+
.
.=
11
（五）求下列函数的二阶导数
（1） （2） 142234.+.=xxxyxxyln2=
（3） （4） xey=
xy1sin=
（5） （6） ()1ln2.=xyxeyxcos.=
（7） （8） xeyxsin=xxeeysincos+=
（9） （10） ()2xxexf=21xxy+=
（11） （12） xyarctan=)21(sin2xy+=
（13） （14） )1ln(2xxy++=2(1)arctanyxx=+
（六）求下列函数的微分
（1） （2） 56xy=12.=xy
（3） （4） 2lnxy=21sinxxy.
=
（5） （6） xyarccos=xeyxcos.=
（7） （8） xtgy2=xarctgey=
（9） （10） 2arctgxy=()()3221..=xxy
（11） （12） )11)(1(.+=
xxyxxyxsine+=
（13） （14） )(xfxxxx+
.
+=
11lncos21e)cos(=++yyx
（15） （16） )13sin(+=xeyxey2cos=
（17） （18）y= xyx=+)cos(2xsin2
（19） （20）
xexy22=xeyx2sin=
（21） （22）
21lnxy.=yxey+=1
（23） yxyarccos2+=
四、求不定积分
（一）利用基本积分公式和积分的运算法则求不定积分
（1） （2） ()∫++dxxxx24sec2dxxx∫..
.
..
.
+
.213sin
（3） （4） ()dxxxx232∫+.()∫+
dxxx2211
（5） （6） dxxx∫+241()
∫.dxxx231
（7） （8） ∫xdxtg2∫dxxx2sin2cos
（9） （10） ∫dxx2cos2∫.
dxxx22cossin1
（11） （12） ()dxtgxxx∫.secsec()∫+dxctgxxxcsccsc
（13） （14） ∫.dxexx2∫+
.dxxx24
（15） （16） ∫.
.dteett112∫dxxxxx
（17） （18） ∫..
.
.
..
.
.
.
.
+
dxxx221513∫..
.
..
.+.dxxxx32321
（19） （20） ()∫+
+dxxxx222113∫...
.
...
.
+
.
.
dxxeexxx212
（21） （22）. dxxxx)11(2∫.∫.dxxx1023)51(
（23） （24） ∫++.
dxxxx3442∫.+dxxxxx332
(25) (26) dxxxx∫+.
23)1)(3(dxxxx∫.)
44(
(27) (28) dxxxx∫+
.+
1133224∫.
+
.
dxxeexxx)
12(
2
(29) (30) dxx∫2sin2dxxx∫+)10(10
（二）利用第一类换元积分法求不定积分
（1） （2） ()∫.dxx52sindxex∫.3
（3） （4） ()∫.dxx233()∫.
dtt2521
（5） （6） ∫.dxxx22∫.dxx73
（7） （8） ∫+
dxxx212∫.+
dxeexx1
（9） （10） ()∫+
dxxx23223∫+
dxxx442
（11） （12） ∫.
dxx2411∫dxxax21
（13） （14） ∫dxxxln1()
∫dxxx3ln
（15） （16）
()
∫.
dxxx221arcsin∫+
dxxarctgx21
（17） （18） ∫ctgxdx∫xdxcsc
（19） （20） ∫.xdxxcossin3∫dxxx3sincos
（21） （22） ∫xdx5sec()()∫+.
dxxarctgx2211
（23） （24） ∫.xdxaxsincos()∫+
dxxx2cos21sin
（25） （26） ()∫.xdxx3cos3sin2dxxxx∫+
secsinsin2
（27） （28） ()∫.++dxxxx2122dxxxx∫+.
.
32222
（29） （30） ()∫+dxxx25425dxxx∫+.2212
（31） （32） xxxxd)2sinln1(+
+∫∫+
dxxxx23cos1cossin
（33） （34） ∫++
dxxxx652∫+.
+dxxxxx651233
（35） (36) ∫+
.dxxxx2231)(arctandxx∫.3321
(37) (38) dxxx∫+324dxxx∫+ln32
(39) (40) dxeexx∫+21dxxx∫sincos5
(41) (42) ∫.dxx)52tan(dxxax∫21
（43） dxxx∫+221)(arctan
（三）利用第二类换元积分法求不定积分
（1） （2） dxx∫+311dxx∫++3211
（3） （4） dxxx∫+31dxxxx∫.
+
21
（5） （6） dxxx∫.1dxxxx∫+11
（7） （8） dxxx∫.3dxxx∫++
.+
1111
（9） （10） ∫.
dxx211dxx∫.+211
（11） （12） ∫
+2322)(axdx∫.
..+dxxxx111422
（13） (14)
211xdxx++∫∫+
dxx11
(15) (16) dxxx∫++
+
111dxx∫.24
(17) ∫+21xdx
（四）利用分部积分法求不定积分
（1） （2） dxxx∫.cosdxx∫ln
（3） （4） dxarctgxx∫2dxxx∫ln2
（5） （6） dxx∫arcsindxexx∫..
（7） （8） dxexx∫2()dxx∫.1ln
（9） （10） ()dxxx∫..lnln1()dxexx∫+12
（11） （12） ∫++dxxx)1ln(2dxx∫sin
（13） （14） ∫dxxex2∫xdxxln
(15) (16) dxxx∫sindxxx∫cos2
(17) ( 18) ∫xdxarctandxxex∫sin
（1） （2）. ∫+
.dxxxxx4422cossincossin∫+)2(lnlnxxxdx
（3） （4） ∫xdxex22sin∫++1222xxeedx
（5） （6） ； ∫xdxxnnln∫+xdxsin1
（7） (8) dxeexx∫arctan∫dxxxcos
(9) (10) dxx∫.291dxxx∫+292
(11) (12) ∫.+2)32(1xdxdxxx∫+321
(13) (14) ∫.
dxxx21arcsindxxx∫+22tan2sec
(15) (16) ∫dxexx32xdx∫2)(ln
(17) (18) dxex∫3dxxx∫arcsin1
(19) (20) ∫+.652xxdxdxxx∫.421
五、求定积分
（一）求下列定积分
（1） （2） ()∫+.212132dxxx()∫+10dxxx
（3） （4） ∫
2lneexxdx∫303dxex
（5） （6） ∫+
33121xdx∫π20sindxx
（7） （8） ∫.
2221211dxx∫2123dxx
（9） （10） ∫..
.
..
.+2121dxxx∫+
32224xdx
（11） （12） xxxd2cos20∫
πxxxdln51e1∫+
（13） （14） ∫.
..32232dxxxdxx∫.
.4421secππ
（15） （16） ()∫+10221dxxxdxeexx∫+
1021
（二）求下列定积分
（1） （2） ∫..
1145xdxdtt∫+
4011
（3） （4） ∫30πtgxdx∫+edxxx1ln2
（5） （6） ∫.511duuu∫.10221dxxx
（7） （8） ∫.203cossinπxdxx∫.
..
2221xdx
（9） （10） ∫.+
10xxeedx∫.ππ2121sin1dxxx
（11） （12） ∫.
..
2221xxdxθθθπd∫.
03sinsin
（13） （14） dxx∫.π0sin13011xdxx++∫
（三）求下列定积分
（1） （2） ∫210arcsinxdx∫.102dxexx
（3） （4） ()∫edxx12ln∫.20sinπxdxex
（5） （6） ∫402cosπdxxx∫.302arctgxdxx
（7） （8） ∫10dxex()∫+1021lndxx
（9） （10） ∫.exdxx1ln∫210arccosxdx
（11） （12） ∫+.20)1ln(dxxx∫+∞..
02dxexx
（13） （14） ∫.102dxexx()∫+101lndxx
（15） （16） ∫.102dxexx∫exdxx1ln
（四）求广义积分
（1） （2） ∫+∞.
0dxex∫+∞
edxxxln1
（3） （4） ∫+∞.
02dxxex()∫∞.+
02212dxxx
（5） （6） ∫.
1021xdx∫.
1121dxx
（7） （8） ∫+∞
+0211dxx∫+∞
edxxxln
（9） （10） ∫∞..
01xdx()∫.
2121xdx
六、定积分的应用
（一）利用定积分求曲线所围成区域的面积
（1 ） 求曲线，直线x=0,x=3和x轴所围成的曲边梯形的面积； xy2=
（2）求曲线和直线所围成的图形的面积； xyxycos,sin==
4,4ππ=.=xx
（3）求由曲线，直线所围成的图形的面积； 2xy=xyxy2,==
（4）求由曲线与直线所围成的图形面积； xy22=4.=xy
（5）求由曲线所围成的图形面积。 1,,===.xeyeyxx
（6）求由曲线y=x3与直线y=-x+2，x=0围成的平面图形面积。
（7）求由曲线y=x2与直线x+y=2围成的平面图形面积。
（8）设平面图形由围成，求此平面图形的面积. ,,0xyeyex===
（9）求由曲线与所围成的图形的面积。 2xy=xy=
（二）利用定积分求旋转体的体积
（1） 求由连续曲线和直线和x轴所围成的图形绕x轴旋转所成旋
转体的体积；
xycos=
2,0π==xx
（2）求由曲线与围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积； 2xy=xy=
（3）求由曲线旋转所得旋转体的体积； 轴绕xyxxy,0,2,3===
（4）求由曲线旋转所得旋转体的体积； 轴绕yyxxxy,0,4,1,====
（5）求由曲线旋转所得旋转体的体积。 轴轴、分别绕yxxyxy,8,22==
七、计算题
（一）求下列各数的近似值
（1） （2） （3） （4） 302.ln.29sin
（5） （6） （7） 0260cos′.302.8.31tg
（二）求下列函数的增减区间
（1） （2） xxy123.=1..=xexy
（3） （4） xarctgxy.=
xxy+
=
12
（5） （6） 2224+.=xxyxxy+=3
（7）y=x-ln(1+x2) （8） 2)1(2xexy.+=
（9） （10） xxy.=6)1ln(2xy+=
(11) 3232xxy+.=
（三）求下列函数的极值
（1） （2） 242xxy.=xexy.=2
（3） （4） ()xxy+.=1lnxxy.+=1
（5） （6） xxyln2=()3212..=xy
（7） （8） ()1132+.=xyxxy1+=
（9） （10） 159323+..=xxxy()1232.=xxy
（11） （12） ()32132..=xxy7323+.=xxy
（13） （14） )2()3(2..=xxy22xxy.+=
(15) (16) 5323+.=xxyxxy.=arctan
(17) (18) xxyln22.=81024+.=xxy
（四）求下列函数的凹向与拐点
（1） （2） 1234+.=xxy32xxy.=
（3） （4） ()21lnxy+=xxey.=
（5） （6） 3553xxy.=()352.=xy
（7） （8） 21xy+=35xxy+=
（9） (10) 5223++.=xxxy1.
+=
xxxy
（五）求下列函数的最值
（1）y=x3-3x2+6x-2在区间[-1,1]
（2）y=x2e-x在区间[-1,3]
21[,1]
12xyx=.
+
(4) ， 123+..=xxxy]2,1[.
(5) ， xxy1+=]2,21[
(6) ， xxy2+=]4,0[
八、多元函数的微积分：
（一）求下列函数的偏导数：
（1） （2）
33xyyxz.=)ln(xyz=
（3） （4） )(cos)arcsin(2xyxyz+=yxyz)1(+=
（5） （6） xyzarctan=xyz=
（7） xyz=
（二）求下列函数的全微分：
（1） （2）
xzxyy=+
yxez2.=
（3） （4）
22yzxy=
+yzux=
（5） （6）
2ln()zxxy=221zxy=
.
（7） （8） )1ln(22yxz++=xyz=
（三）求下列函数的偏导数和微分：
2ln,32xzuvuvxyy===.而,.zzxy..
..
（2.）设,而, ,求. 2xyze.=sinxt=3yt=dz
（3.） 设,而, 求. arctan()zxy=xye=
ddzx
（4）设, 而, 求. 2()
1axeyzua.
=
+sin,cosyaxzx==
ddux
（四）设下列方程所确定的函数为,求. ()yfx=
ddyx
(1) (2) ln0xyy.=2sin0xyexy+.=
(3) lnln0xyxy++=
（五）对下列隐函数, 求及.
,,zzxxyy...
...dz
(1) 220xyzxyz++.=
(2) (3) 0zexyz.=
lnxzzy=
（六）1、设, 求.
333zxyza.=
2zxy.
..
2、设, 求. 0xexyz.=
22zx.
.
十二、计算下列二重积分：
其中D是矩形区域：;
22(1) ()d,
Dxyσ+∫∫1,1xy≤≤
其中D由直线所围成;
22(2) ()d,
Dxyxσ+.∫∫22yyxyx===、与
2(3) d,
Dxyσ∫∫2yxyx==由抛物线和直线所围成
2111sin(4) dd.
yxyxx.∫∫
（5） ∫∫515lnyxydxdy
（6） dyedxxy∫∫.10022
（7） dyyxdxdyyxdxxxx∫∫∫∫+242212sin2sinππ
（8） dxedydxedyyyxyyxy∫∫∫∫+
（9），其中Ｄ是由直线及所围成的平面
区域。
Dydxdy∫∫,1,01yxyxyy==.==及
九、判断与证明
（一）求下列函数的间断点, 并指出间断点的类型. 若是可去间断点，则补充定义，使其在
该点连续.
221(1)() (2) ()
ln(21)(1)
xxfxfxxxx.
==
..
1, 11arctan, 0(3)()2, 10 (4) ()
0, 01 sin, 02xxxfxxxfxxxxxx..≤....≠.=+.&≤=..
..=..&≤
.
（5） （6） ()221.
=
xy23122++
.
=
xxxy
（7） （8）
..
..
.
+
.
=
0112xxy11.=
.≠
xx
...
...
.
=
.xexxy0sin000.
=
.
xxx
（9） （10） ()
..
..
.
.
+
101xxxf000.
=
.
xxx()
xxxxf..+
=11
（11） ()
tanxfxx=
（二）利用连读函数的定义，证明下列函数在 x = 0 点的连续性.
221(1)()11 (2) ()
21arctan, 10, 0(3)() (4) ()
1, 01 0, 0xfxxfxxxxxxfxfxxxxxx+
=+.=
.
...&&≠..==.
.
...
≤&=..
（三）判断下列函数在给定的区间上是否满足罗尔定理的条件。如满足，求出定理中的ξ；
如不满足，说明原因。
（1） ()122.+=xxxf[]0,2.
（2） ()xxfsinln=..
.
..
.
65,6ππ
（3） ()322..=xxxf..
.
..
..
23,1
（四）验证下列函数在给定的区间上是否满足拉格朗日定理的条件。如满足，求出定理中的
ξ；如不满足，说明原因。
（1） ()xxfln=[]0,2.
（2） ()arctgxxf=..
.
..
.
65,6ππ
（3） ()xxfln=[]2,1
（五）证明：
（1）证明方程在1与2之间至少有一个实根； 0107324=.+.xxx
（2）证明方程至少有一个小于1的正根。 12=.xx
（3）证明方程在（1，2）内至少存在一个实根； 135=.xx
（4）方程，其中，至少有一个正根，并且它不超过. sinxaxb=+0,0ab&&ab+
（5）证明方程至少有一个根介于1和2之间.
（6）证明方程有且只有一个实根. 51030xx++=
（六）证明不等式：
(1)ln(1) (0)
(2)1,xxxxxeex&+&
&&当时有
（3）当x&0时，ex&1+x
（4） 当x&0时, 2211cosxx..
（七）证明等式：
（1） (x≥1). 222arctanarcsin1xxxπ+=
+
（八）证明： 当x —&0 时，
(1) e x -1 ∽ x； (2) arcsin x ∽ x .
九：应用题
1．设某产品的价格与销售量的关系为.
(1) 求当需求量为20及30时的总收益R、平均收益及边际收益. R'R
(2) 当Q为多少时,总收益最大？
2.设某商品的需求量Q对价格的函数为. p250000pQe.=
（1）求需求弹性;
（2）当商品的价格=10元时,再增加1%，求商品需求量的变化情况. p
3．某食品加工厂生产某类食品的成本C（元）是日产量（公斤）的函数 x
C() = 1600 + 4.5+0.012 xxx
问该产品每天生产多少公斤时, 才能使平均成本达到最小值？
4．某化肥厂生产某类化肥，其总成本函数为
23().001Cxxxx=+.+
销售该产品的需求函数为 =800-p (吨), 问销售量为多少时, 可获最大利润, 此时的
价格为多少?
5. 某商店每年销售某种商品a件，每次购进的手续费为b元, 而每年库存费为c元，在该
商品均匀销售的情况下（此时商品的平均库存数为批量的一半），问商店分几批购进此种商
品，方能使手续费及库存费之和最少？
6．生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售
的单价为30元，试求：
(1) 生产件该种产品的总成本和平均成本； x
(2) 售出件该种产品的总收入； x
(3) 若生产的产品都能够售出，则生产件该种产品的利润是多少？ x
7.某厂生产某种商品千件的边际成本为（万元/千件），其固定成本是9800（万元）.求（1）产量为多少时能使平均成本最低？（2）最低平均成本是多少？
q36)(+=′qqC
8.已知某产品的边际成本为（万元/百台），边际收入为（万
元/百台）。如果该产品的固定成本为10万元，求：（1）产量为多少时总利润最大？（2）
从最大利润产量的基础上再增产200台，总利润会发生什么变化？
qqC4)(=′qqR1260)(.=′
)(qL
9、生产某种产品q吨时的边际成本函数为C′(q)=2+q(万元/吨)，收入函数为
R(q)=12q-q2/2(万元)，如果最大利润为15万元，求成本函数。
10、某商品总成本函数为C(q)=100+4q2,q为产量，求产量为多少时，平均成本最小？
11、某厂生产某种商品q件时的总成本函数为C(q)=20+4q+0.01q2(元)，单位销售价格为
p=14-0.01q（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少。
12、要做一个底为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm3， 底长与宽的比为2 : 1，问各
边长多少时，才能使表面积为最小？
13、要做一个容积为立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为
池壁单位造价的两倍，问蓄水池的尺寸应怎样设计，才能使总造价最低？
14、要做一底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72立方厘米，两底边之比
为，问边长为多少时用料最省？ 1:2
十、解答题：
（一）求函数的定义域:
(1)若的定义域是[-4，4]，求的定义域 ; ()fx2()fx
(2)若的定义域是[0，3 a] (a & 0)，求的定义域; ()fx()()fxafxa++.
(3)若的定义域是[0，1]， 求的定义域; ()fx(lg)fx
(4)若的定义域是[-1，1],求的定义域 (1)fx.()fx
（5）.求下列二元函数的定义域并作出图形：
（1） （2）
2ln(21)zyx=.+
11zxyxy=++.
（3） （4）
2224ln(1)
xyzxy.
=
..zxy=.
（二）关于极限：
1、设函数, 问当k取何值时，函数f(x)在x —& 2时的极限存在.
21, 2()
2, 2xxfxxkx
.+≥
=.
+&.
2、求当x —& 0时的左、右极限，并说明它们在x—& 0时的极限是否
存在.
(),()
xxfxxxx.==
3、设 , 求常数a, b 的值.
22lim()51xxaxbx→∞
.
.+=.
.
4、若常数k 使存在, 试求出常数k与极限值. 233lim222.+
+++
.→xxkkxxx
5、当时，指出关于x的同阶无穷小量、高阶的无穷小量、等价的无穷小量. 0x→
222111,sin,cos1,(1),sin.
2xxxxex+...
6、已知,问当 a, b 为何值时,在 x =1 处连续.
2, 01() 2, 1ln(1), 13axbxfxxbxx
.+&&
.
==..
+&≤.()fx
7、求函数的连续区间,并求.
32233()
6xxxfxxx+..
=
+.
)(lim),(lim),(lim320xfxfxfxxx.→→→
8、设 存在.
10sin, 02() , , lim()
(1), 0xxxxxfxafxaxx→
.&..
=..
+&..
试求使得
（三）导数和微分
1、讨论下列函数在处的连续性和可导性： 0=x
21sin,
0,
xyx
..
=...
00=
≠
xxcosyx=
2,
,
xyx
.
=.
..00&
≥
xx
2、 设函数，为使函数f (x) 在x = 1处连续且可导，a ,b应取什么值？
2, 1()
, 1xxfxaxbx
.≤
=.
+&.
3、求曲线在点（-1，1）处的切线方程.
4、求曲线上横坐标为的点处的切线方程和法线方程.
2sinxxy+=0=x
5、求曲线在点（e, 1）处的切线方程。
2ln()cot02yyxxeπ.+.=
6、设，求. 033=++.xeyx''(0)y
7、设曲线与都经过点，且在有公共切线，
求常数、、.
axxxf+=3)(cbxxg+=2)((1,0).(1,0).
abc
8、设（为常数），求
axaxaxxay+++=a22ddyx
（四）微分中值定理
1、设试确定常数a，b的值.
320lim(sin3)0,
xxxaxb..
→
++=
2、→+∞时，的极限存在吗？可否应用罗必达法则. x21()xfxx+
=
3、设， 证明函数在=0
ln(1)(tan),01()
1, 0xxxfxx..&&.=.
=..()fxx
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