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已知函数f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+x32+1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：1-x≤f(x)≤11+x；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：辽宁
（I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e-2x≥1-x（1+x）e-x≥（1-x）ex，令h（x）=（1+x）e-x-（1-x）ex，则h′（x）=x（ex-e-x）．当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，1）上是增函数，∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1-x．②当x∈[0，1）时，f(x)≤11+xex≥1+x，令u（x）=ex-1-x，则u′（x）=ex-1．当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，∴f（x）≤11+x．综上可知：1-x≤f(x)≤11+x．（II）设G（x）=f（x）-g（x）=(1+x)e-2x-(ax+12x3+1+2xcosx)≥1-x-ax-1-12x3-2xcosx=-x(a+1+x22+2cosx)．令H（x）=x22+2cosx，则H′（x）=x-2sinx，令K（x）=x-2sinx，则K′（x）=1-2cosx．当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．∴当a≤-3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．下面证明当a＞-3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．f（x）-g（x）≤11+x-(1+ax+12x3+2xcosx)=-x1+x-ax-x32-2xcosx=-x(11+x+a+x22+2cosx)．令v（x）=11+x+a+x22+2cosx=11+x+a+H(x)，则v′（x）=-1(1+x)2+H′(x)．当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．当a＞-3时，a+3＞0．∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．综上实数a的取值范围是（-∞，-3]．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+x32+1+2xcosx，当x∈[0，1]时，..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，函数的单调性与导数的关系，函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的奇偶性、周期性函数的单调性与导数的关系函数的极值与导数的关系
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
发现相似题
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836021877838283457522939831817566441已知函数f（x）=ax^2+bx+c的图像经过点（—1，0），且不等式x≤f(x)≤1/2(1+x^2)对任意x∈R恒成立，求函数f(x)的解析表达式
已知函数f（x）=ax^2+bx+c的图像经过点（—1，0），且不等式x≤f(x)≤1/2(1+x^2)对任意x∈R恒成立，求函数f(x)的解析表达式
y=ax^2＋bx+c的图像经过点（-1，0）0=a-b+c,b=a+cy≤0.5(1+x^2)ax^2+bx+c-1/2-1/2x^2≤0(a-1/2)x^2+bx+c-1/2≤0 对任意x都成立当a-1/2=0,a=1/2时，bx+c-1/2≤0,则b=0,c=-1/2y=1/2x^2-1/2当a-1/2≠0时.a&0,△=b^2-4*(a-1/2)(c-1/2)=(a-c)^2+2(a+c)-1≤0x≤y对任意x都成立ax^2+(b-1)x+c&=0 ,a&0,△=(b-1)^2-4*ac=(a-c)^2-2(a+c)+1≤0两个不等式相加，2（a-c)^2≤0,a=cax^2+bx+c-1/2-1/2x^2&=0 代入x=1 ，a+b+c-1≤0ax^2+(b-1)x+c&=0,代入x=1, a+b+c-1≥0所以a+b+c-1=0,且b=a+c，a=c得，a=c=1/4,b=1/2y=1/4x^2+1/2x+1/4
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c=0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
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数学领域专家设f(x)=ax^2+bx+c(b&0)满足f(1-x)=f(1+x),m+f(2^x),n=f(3^x),则m与n的大小关系是多少
设f(x)=ax^2+bx+c(b&0)满足f(1-x)=f(1+x),m+f(2^x),n=f(3^x),则m与n的大小关系是多少
f(1-x)=f(1+x)可知x=1是·函数的对称轴
若a=0，则f（x）是·一次函数，不可能关于x=1对称，所以a≠0
x=-b/2a=1得：f（x）=ax^2-2ax+c=a（x-1）^2+c-a
所以m=a（2^x-1）^2+c-a
&&&&&& n=a（3^x-1）^2+c-a
x=0时，m=n=0
x＞0时，若a＞0，则m＜n
&&&&&&&&&&&&& 若a＜0，则m＞n
x＜0时，若a＞0，则m＞n
&&&&&&&&&&&&& 若a＜0，则m＜n
（以上根据指数函数y=2^x和y=3^x图像性质可得）
sorry，x=0时，m=n=c-a
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学习帮助领域专家
当前分类官方群专业解答学科习题，随时随地的答疑辅导已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点（-1，0），是否存在a,b,c使不等式x&=f(x)&=1/2(1+x^2)对一切x属于R恒成立?
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点（-1，0），是否存在a,b,c使不等式x&=f(x)&=1/2(1+x^2)对一切x属于R恒成立? 15
不区分大小写匿名
∵f（x）的图象过点（-1，0），∴a-b+c=0，
∵x〈=f（x）〈=（1+x∧2）/2对一切x∈R均成立，
∴当x=1时也成立，即1〈=a+b+c〈=1，故有a+b+c=1，∴b=1/2，C=1/2-a，
∴f（x）=ax+1/2x∧2+1/2-a，故应有x〈=ax∧2+1/2x+a〈=（1+x∧2）/2对一切x∈R成立，
即ax∧2-1/2x+1/2-a=〉0且（1-2a）x∧2-x+2a=〉0恒成立，
则有△1〈=0，△2〈=0，a=〉0，1-2a〉0，
则1/4-4a（1/2a）〈=0，1-8a（1-2a）〈=0，a〉0，1-2a〉0，
∴&a=1/4，∴C=1/2-a=1/4，
∴存在一组常数：a=1/4，b=1/2，C=1/4，
使不等式x〈=f（x）〈=（x+1）/2对一切实数x均成立
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学习帮助领域专家
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高三的吧!我也是…《回答》：由f=f得：x=1时：f=f则x=1为对称轴,所以：为增函数.由对称轴x=1所以：f=f由此：f > f > f
f(x) 是抛物线，存在对称轴，对称轴两侧距离对称轴相等两点 的函数y值相等。因此 利用 f(1+x)=f(1-x) 能求出对称轴。 [(1+x) + (1-x)]/2 就是对称轴 对称轴为 x = 1 上开口抛物线上，对称轴处是最低点，距离对称轴越远，y坐标越大。 因为 对称轴为 x = 1 ，所以 f(1) < f(2) < f(-1)...