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学年高二数学课件：1章《导数及其应用》阶段复习课（人教A版选修2-2）
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学年高二数学课件：1章《导数及其应用》阶段复习课（人教A版选修2-2）
(2)依题意有
(x2+2x+1)dx =
(x2+2x+1)dx， 所以(
x3+x2+x)| =(
x3+x2+x)| 即-
t3-t2+t. 所以2t3-6t2+6t-1=0， 所以2(t-1)3=-1， 所以 【方法技巧】由定积分求曲边梯形面积的方法步骤 (1)画出函数的图象，明确平面图形的形状. (2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标. (3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算. (4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”来求各部分的面积之和. 【补偿训练】由曲线y=
，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为(
【解析】选C.y=
与y=x-2以及y轴所围成的图形面积为如图所示的阴影部分， 联立
得交点坐标为(4，2)， 故所求面积为S= 【强化训练】 1.若f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2，则f′(-1)=(　　) A.-4
D.4 【解析】选B.因为f′(x)=4ax3+2bx， 所以f′(1)=4a+2b，即4a+2b=2， 故f′(-1)=-(4a+2b)=-2，故选B. 2.若曲线
)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=(
D.8 【解题指南】先求出切线方程，然后表示出切线与两个坐标轴围成的三角形的面积. 【解析】选A.y′= 所以曲线y=
)处的切线为
由x=0得 由y=0得x=3a， 所以 解得a=64. 【误区警示】求切线问题时在审题过程中要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”，二者意义不同. 3.由直线
与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面积为(
【解析】选D.所求图形的面积是 4.若函数f(x)=-x2-2x+3在区间［a，2］上的最大值为
则实数a的值为______． 【解析】f′(x)=-2x-2，当a≤-1时，f(x)的最大值为4，不合题意；当-1≤a0时，f′(x)=0， 得2ax2+bx-1=0， 由Δ=b2+8a>0， 得 显然，x10. 当0<x<x2时，f′(x)x2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， 所以函数f(x)的单调递减区间是(0，
)，单调递增区间是(
，+∞). 综上所述，当a=0，b≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，+∞)； 当a=0，b>0时，函数f(x)的单调递减区间是(0， )，单调递增区间是(
，+∞)； 当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，
)，单调递增区间是(
，+∞). 【方法技巧】求函数的单调区间的方法步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)计算函数f(x)的导数f ′(x). (3)解不等式f′(x)＞0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f ′(x)＜0，得到函数f(x)的递减区间. 提醒：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误. 【拓展延伸】确定导函数符号的方法 确定函数单调性的关键是确定导函数的符号，导函数的符号确定可以借助以下方法完成： (1)解关于导函数的不等式. (2)利用导函数的单调性，如果导函数较复杂，还可以利用导数判定导函数的单调性. (3)数形结合，利用导函数图象找出其大于零和小于零的区间. (4)含有参数时，经常利用分类讨论思想，将参数取值分类后，确定导函数值的符号. 【补偿训练】若a≥-1，求函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)的单调 区间. 【解析】由已知得函数f(x)的定义域为(-1，+∞)，且f′(x)=
(a≥-1)， (1)当-1≤a≤0时，f′(x)0时，由f′(x)=0，解得 f′(x)，f(x)随x的变化情况如表
从上表可知，当x∈(-1， )时，f′(x)0，函数f(x)在(
，+∞)上单调递增. 综上所述，当-1≤a≤0时，函数f(x)在(-1，+∞)上单调递减. 当a>0时，函数f(x)在(-1， )上单调递减，函数f(x)在(
，+∞)上单调递增. 主题三
利用导数求函数极值 【典例3】(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=x2e-x. (1)求f(x)的极小值和极大值. (2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围. 【解题指南】(1)求导函数f′(x)，令f′(x)=0求极值点，列表求极值. (2)设切线，表示出切线l的方程，令y=0得l在x轴上的截距，利用函数知识求得截距的取值范围. 【自主解答】(1)f′(x)=e-x(-x2+2x)，令f′(x)=0，得x=0或2. 列表如下
函数f(x)的极小值为f(0)=0，极大值为f(2)= x (-∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ (2)设切点为(x0，
)，则切线l的斜率为k=
(-x02+ 2x0)， 此时切线l的方程为y-
(-x02+2x0)(x-x0)， 令y=0，得 x=
，由已知和(1)得x0∈(-∞，0)∪(2，+∞).令t=x0-2，则t∈(-∞，-2)∪(0，+∞)，令h(t)=t+
，则当t∈(0，+∞)时，h(t)的取值范围为［
，+∞)；当t∈ (-∞，-2)时，h(t)的取值范围是(-∞，-3)，所以当x0∈ (-∞，0)∪(2，+∞)时，x的取值范围是(-∞，0)∪ ［
，+∞)，综上，l在x轴上的截距的取值范围是(-∞，0)∪［
，+∞). 【方法技巧】求函数的极值的方法步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x). (2)求方程f′(x)=0的根. (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值. 【补偿训练】求f(x)=
的极值. 【解析】f(x)= 所以f′(x)= 令f′(x)=0，得x1=-1，x2=1， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况为
所以当x=-1时，f(x)极小值=-3； 当x=1时，f(x)极大值=-1. x (-∞，-1) -1 (-1，1) 1 (1，+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小 ↗ 极大 ↘ 主题四
利用导数求函数最值 【典例4】已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0，1]上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0. (1)求a的取值范围. (2)设g(x)= f(x)-f′(x)，求g(x)在[0，1]上的最大值和最小值. 【解题指南】(1)利用f(0)=1，f(1)=0，将f(x)用a表示出来，然后利用f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0，1]上单调递减?f′(x)≤0在x∈[0，1]上恒成立且f′(x)=0不恒成立，然后通过分类讨论求得a的取值范围. (2)化简g(x)= f(x)- f′(x)，通过对g(x)求导，然后分类讨论求最值. 【自主解答】(1)由f(0)=1，f(1)=0，得c=1，a+b=-1，则f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex，f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex，依题意对于任意x∈[0，1]，f′(x)≤0恒成立，且f′(x)=0不恒成立. 当a>0时，因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图象开口向上，而f′(0)=-a<0，所以需f′(1)=(a-1)e<0，即0<a<1； 当a=1时，对于任意x∈[0，1]有f′(x)=(x2-1)ex≤0，且只在x=1时f′(x)=0，f(x)符合条件； 当a=0时，对于任意x∈[0，1]，f′(x)=-xex≤0，且只在x=0时f′(x)=0，f(x)符合条件； 当a0，f(x)不符合条件. 故a的取值范围为0≤a≤1. (2)因g(x)=(-2ax+1+a)ex，g′(x)=(-2ax+1-a)ex， (i)当a=0时，g′(x)=ex>0，g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1，在x=1处取得最大值g(1)=e. (ii)当a=1时，对于任意x∈[0，1]，有g′(x)=-2xex≤0，g(x)在x=0处取得最大值g(0)=2，在x=1处取得最小值g(1)=0. (iii)当0＜a＜1时，由g′(x)=0得 ①若
≥1，即0＜a≤
时，g(x)在［0，1］上单调递增， g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a，在x=1处取得最大值g(1)=(1-a)e. ②若
＜a＜1时，g(x)在x=
处取得最大值 g(
，在x=0或x=1处取得最小值，而g(0)=1+a，g(1)=(1-a)e， 由g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e=(1+e)a+1-e=0， 得 则当
时，g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a； 当
＜a＜1时，g(x)在x=1取得最小值g(1)=(1-a)e. 【方法技巧】求函数的最值的方法步骤 (1)求f(x)在(a，b)内的极值. (2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较得出函数f(x)在［a，b］上的最值. 提醒：易忽视函数的端点、不连续点、不可导点. 【补偿训练】求函数f(x)=-x3+3x，x∈［
］的最值. 【解析】f′(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1)． 令f′(x)=0，得x=1或x=-1． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表： x (
-1) -1 (-1，1) 1 (1，
) f′(x) - 0 + 0 - f(x) 0 ↘ -2 ↗ 2 ↘ 0 由上表可知： 当x=1时，f(x)取得最大值，f(x)max=f(1)=2. 当x=-1时，f(x)取得最小值， f(x)min=f(-1)=-2. 主题五
导数在优化问题中的应用 【典例5】(2013·重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域. (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 【解题指南】直接根据题意可列出函数的解析式并能直接写出定义域，通过求导研究函数的单调性进而求出函数的最值. 【自主解答】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh=
200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本 为(200πrh+160πr2)元.又据题意 200πrh+160πr2=12000π，所以h=
(300-4r2)，从而 V(r)=πr2h=
(300r-4r3). 因r>0，又由h>0可得r0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r∈(5，
)时，V′(r)3)千元.设该容器的建造费用为y千元. (1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域. (2)求该容器的建造费用最小时的r. 【解析】(1)因为容器的体积为
立方米，所以
， 解得l= 由于l≥2r，因此0＜r≤2. 所以圆柱的侧面积为2πrl= 两端两个半球的表面积之和为4πr2， 所以建造费用y=
-8πr2+4πcr2，r∈(0，2］. (2)因为y′= = 由于c>3，所以c-2>0， 所以令y′＞0得：r＞ 令y′＜0得：0＜r＜ ①当
时，即当3＜c≤
时，函数y在(0，2)上是单调递减的，故建造费最小时r=2. ②当0＜
<2时，即c＞
时，函数y在(0，2)上是先减后增的，故建造费用最小时 主题六
定积分的应用 【典例6】设y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相等的实根，且f′(x)=2x+2. (1)求y=f(x)的表达式. (2)若直线x=-t(0<t0且x≠1时，x-1> 设f(x)=x(x-1)-ln x，x>0，则f′(x)=2x-1-
= 当x∈(0，1)时，f′(x)0. 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 所以f(x)在x=1处取得极小值，也是最小值. 所以f(x)>f(1)=0(x≠1). 因此，除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方. 主题二
求函数单调区间 【典例2】(2013·山东高考改编)已知函数f(x)=ax2+bx-ln x (a，b∈R).设a≥0，求f(x)的单调区间. 【自主解答】由f(x)=ax2+bx-ln x，x∈(0，+∞)， 得f′(x)= (1)当a=0时，f′(x)= ①若b≤0，当x>0时，f′(x)0，当0<x<
时，f′(x)
时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， 所以函数f(x)的单调递减区间是(0， )，单调递增区间是 (
，+∞). * 【答案速填】 ①导数及其应用
②导数的运算
③曲线的切线斜率
④导数的四则运算 ⑤函数的单调性
⑥曲线的切线
⑦最优化问题
⑧曲边梯形的面积 ⑨微积分基本定理的应用 *《高二数学》相关试题
已知函数f（x）=x3+3x，（1）求曲线y=f（x）在点P（1，4）处的切线方程；（2）求此函数的单调区间。
5秒后显示答案···
解：（1）所以在点处的切线的斜率所以切线的方程为，即为所求。（2）由（1）知恒成立所以，此函数的单调递增区间为，无单减区间。已知函数f（x）={1，x∈Q
{0，x∈CRQ
则f（f（x））=？
解答教师：时间： 02:36
已知函数f（x）=1/3x^3-ax^2+(a
…… x+ln(a+1) 其中a为常数 若存在一条与y …… （x）=f（x）-（a
^ 2-1）x+lnx …… 相切且切点的横坐标-x 满足x＞2 求实数a的 ……
解答教师：时间： 12:06
已知函数f（x）=1/3x^3-ex^2 mx 1（m属于R），g（x）=lnx/x
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）对任意x1 x2属于R ，若g（x1）
解答教师：时间： 12:45
已知函数f（x）=x2-2acosk
lnx(k属于正整数，a属于R，且a大于0) （1）讨论函数f（x）的单调性 （2）若k=2010，关于x的方程f（X） ……
解答教师：时间： 20:18
已知函数f（x）=1/3(x^3)-3/2(ax^ …… 3)x+b若a=1，且函数f（x）在【-1 …… 零点，求实数b的取值范围。 若关于x的方程f（x）=-5/2x+b在区间【0，2】上恰有两个不同 ……
解答教师：时间： 20:28
已知函数f（x）=|lnx|，若0＜a＜b，f（a）=f（b），则2a+b的取值范围是 A. （2倍根2，正无穷） B. [ 2倍根2，正无穷) C. （3，正无穷） D. [ 3，正 ……
解答教师：时间： 13:54
已知函数f（x）=1/2ax方-（a+1）x+lnx，其中a∈R，求f（x）的单调区间
解答教师：时间： 19:40
已知函数f（x）=x2-2x+5 （1）是否存在实数m，使不等式m+f(x)大于0对于任意x属于R恒成立，并说明理由 （2）若存在一个实数x0，使不等式m-f(x0)大于0成立，求实数m ……
解答教师：时间： 22:33
已知函数f（x）=（x2+ax+2）ex（x，a∈R） （1）当a=0时，求函数f（x）的图像在点A（1，f（ …… 上单调，求a的取值范围 （3）当a=5/2时，求函数f（x）的 ……
解答教师：时间： 21:36
已知函数f（x）=ln（ax+1）+ 1-x/1 …… ，a为正实数） （1）若a=1，求曲线y=f …… 处的切线方程 （2）求函数f（x）的单调区间 （3）若函数f（x）的最小值为1，求a的取值范围 请 ……
解答教师：时间： 15:08
共4143页,41425行,只显示前50页
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&&学年高二数学课件：1.2.1《几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式》（人教A版选修2-2）
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学年高二数学课件：1.2.1《几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式》（人教A版选修2-2）
【解题探究】1.题(1)中对函数f(x)=
求导，应该用哪类函数的导数公式？ 2.在题(2)中能否直接对②应用导数公式求导，如果不能，应该如何处理？ 【探究提示】1.应用幂函数的导数公式求导，可先将原函数变形为幂函数，再求导数. 2.不能直接用公式求导，应对函数进行变形，可变形为cos x. 【自主解答】(1)选D.因为f′(x)=(x-3)′=-3x-4， 所以f′(-3)=-3×(-3)-4= (2)①y′=(
)xln 2-1=-(
)xln 2. ②y=2cos2
-1=cos x，y′=-sin x. 【延伸探究】题(1)中，求x=-3处的切线方程. 【解析】f′(-3)= 则切线方程为y-(
［x-(-3)］， 即y=
x- 【方法技巧】 1.用公式求函数导数的方法
(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解. (2)对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如
可以写成y=x-4，y=
等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误． 2.周期性问题处理方法 如果所求的问题具有周期性，可通过观察先写出所求问题前几项，从写出的几项中找出周期，再把所求的问题转化到已知的前几项求解. 【变式训练】 1.若函数r(v)=
)的值等于(
D. 【解析】选B.r′(v)=
)=1. 2.已知f(x)=ln x且f′(x0)=
，则x0等于_____. 【解析】f′(x)=
，f′(x0)= 所以
，所以x0=1. 答案：1 【误区警示】解答此题时往往犯两种错误： (1)因认不清谁是变量导致错误. (2)不能正确变形，导数公式应用不准确导致错误；对于不符合基本函数形式的函数应该先将其化简变形为基本函数的形式，再用导数公式求导. 【补偿训练】求下列函数的导数. (1)y=x7.(2) (3)y=ln 3.(4) 【解题指南】(2)(4)两个题目中的函数都可以转化为y=xα的形式，再利用幂函数的导数公式求解. 【解析】由求导公式得 (1)y′=7x6. (2)y′= (3)y′=(ln 3)′=0. (4)因为y=
，所以 所以y′=(
)′= 类型二
导数的几何意义的应用 【典例2】(1)(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为__________. (2)已知两条曲线y=sinx，y=cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直?并说明理由. 【解题探究】1.题(1)中抛物线x2=2y上两点P，Q的切线的斜率等于多少? 2.题(2)中两条直线互相垂直的条件是什么? 【探究提示】1.kP=y′|x=4=4，kQ=y′|x=-2=-2. 2.两直线互相垂直的条件是斜率的乘积等于-1. 【自主解答】(1)由于P，Q为抛物线x2=2y(即y=
x2)上的点，且横坐标分别为4，-2，则P(4，8)，Q(-2，2)，从而在点P处的切线斜率kP=y′|x=4=4，据点斜式，得曲线在点P处的切线方程为y-8=4(x-4)；同理，曲线在点Q处的切线方程为y-2= -2(x+2)；上述两方程联立，解得交点A的纵坐标为-4. 答案：-4 (2)由于y=sin x，y=cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)， 所以两条曲线在P(x0，y0)处的切线斜率分别为 k1=y′|x=x0=cos x0， k2=y′|x=x0=-sin x0. 若使两条切线互相垂直， 必须cos x0·(-sin x0)=-1， 即sin x0·cos x0=1，也就是sin 2x0=2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直. 【方法技巧】利用导数的几何意义解决曲线切线问题的方法 【变式训练】若曲线y=x3在点P处的切线斜率为3，则切点P的坐标为________. 【解题指南】设出点P坐标，利用导数直接求出点P的横坐标，再代入曲线方程求出纵坐标. 【解析】设点P(x0，y0)，因为曲线在点P处的切线斜率为3. 所以 y′|x=x0=3x02=3，所以x0=±1， 又因为点P在曲线y=x3上， 所以点P的坐标为(1，1)或(-1，-1). 答案：(1，1)或(-1，-1) 【补偿训练】1.曲线y=x2的一条切线的斜率为1，则切点的坐标为_____________________. 2.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak，ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1，其中k∈N*，若a1=16，求a1+a3+a5的值. 【解析】1.设切点坐标为(x0，y0)，y′=2x0=1，x0=
，切点坐标为(
). 答案：(
) 2.由y=x2(x>0)得，y′=2x， 所以函数y=x2(x>0)在点(ak，ak2)处的切线方程为： y-ak2=2ak(x-ak)， 当y=0时，解得 所以ak+1= a1+a3+a5=16+4+1=21. 【易错误区】不能正确利用导数几何意义导致错误
【典例】(2014·广州高二检测)已知直线y=kx是曲线y=3x的切线，则k的值是(　　) A.
D.e 【解析】选B.设切点为(x0，y0)， 因为y′=3xln 3，① 所以k=
ln 3， 所以y=
ln 3·x， 又因为(x0，y0)在曲线y=3x上， 所以
，② 所以x0=
=log3e. 所以k=eln 3. 【常见误区】 错解 错因剖析 选A，或选C或选D 不能利用导数公式正确求导得出①处导数或不能正确利用导数几何意义设切点，得出②处方程，从而导致错解 【防范措施】 1.导数几何意义的应用 解决切线问题，一般把切线的斜率与导数联系起来，要注意切点的坐标既满足切线方程又满足曲线方程.如本例中(x0，y0)既在切线y=kx上，又在曲线y=3x上. 2.牢记导数公式 导数公式是计算函数导数的关键，在本例中，要正确应用(ax)′=axlna这个公式，在应用的基础上牢固掌握. 【类题试解】(2014·烟台高二检测)已知函数y=kx是曲线y=lnx的一条切线，则k=__________. 【解析】设切点为P(x0，y0)，则y0=kx0， 又切线斜率k=y′|x=x0=
，所以y0=kx0=1， 又因为切点P(x0，y0)在曲线y=ln x上， 所以y0=ln x0=1，所以x0=e，k=
. 答案： 1.2　导数的计算 第1课时　几个常用函数的导数与基本 初等函数的导数公式 问题 引航 1.函数y=c，y=x，y=x-1，y=x2，y=
的导数分别是什么?能否得出y=xn的导数公式? 2.正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么?如何应用这些公式? 1.几个常用函数的导数 (1)若y=f(x)=c，则f′(x)=__. (2)若y=f(x)=x，则f′(x)=__. (3)若y=f(x)=x2，则f′(x)=___. (4)若y=f(x)=
，则f′(x)=______=____. (5)若y=f(x)=
，则f′(x)=_______. 0 1 2x -x-2 2.基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)=c(c为常数)，则f′(x)=__. (2)若f(x)=xα(α∈Q*)，则f′(x)=______. (3)若f(x)=sinx，则f′(x)=_____. (4)若f(x)=cosx，则f′(x)=______. (5)若f(x)=ax，则f′(x)=_____. (6)若f(x)=ex，则f′(x)=__. (7)若f(x)=logax，则f′(x)=_____. (8)若f(x)=lnx，则f′(x)=___. 0 αxα-1 cosx -sinx axlna ex 1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y=
) (2)若f′(x)=sin x，则f(x)=cos x.(
) (3)若f(x)=
，则f′(x)=
) 【解析】 (1)错误，y′=0. (2)错误，(cos x)′=-sin x. (3)正确，f′(x)= 答案：(1)×
(3)√ 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)
=_____. (2)(2x)′=_______. (3)若f(x)=x3，g(x)=log3 x则f′(x)-g′(x)=_______. 【解析】(1)
=(x-3)′=-3x-4= 答案： (2)(2x)′=2xln 2. 答案：2xln 2 (3)f′(x)-g′(x)=3x2- 答案：3x2-
【要点探究】 知识点1
基本函数的导数 基本函数的导数公式的语言表述： (1)常数函数的导数为零. (2)有理数幂函数f(x)=xα的导数依然为幂函数，且系数为原函数的次数，幂指数是原函数的幂指数减去1. (3)正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数. (4)指数函数的导数依然为指数函数，且系数为原函数底数的自然对数. (5)函数y=ex的导数等于它本身. (6)对数函数的导数等于自变量x与底数的自然对数乘积的倒数. 【知识拓展】两个有相同导数的函数不一定是同一个函数的原因 若两个函数相差一个常数，则它们有相同的导数，反之也成立，即f′(x)=g′(x)，f(x)=g(x)+c(常数).例如：f′(x)=g′(x)=3x2，则f(x)=x3+m，g(x)=x3+n，(m，n为常数)而m与n未必相等. 【微思考】 (1)若函数f(x)=x3，那么f′(m)的含义是什么? 提示：f′(m)的含义是函数f(x)=x3在x=m时所对应的导数值. (2)没有公式能直接求函数f(x)=
的导数，是不是其导数就不能用基本函数的导数公式求解了? 提示：不是，可以将其变形为f(x)=
，然后用幂函数的导数公式求解即可. 【即时练】 1.y=25和y=ln3的导数分别为________，________. 2.2(lnx)′+x2·(x-2)′=________. 【解析】1.y′=(25)′=0，y′=(ln3)′=0. 答案：0　0 2.2(lnx)′+x2·(x-2)′ =2×
+x2(-2x-3)=
=0. 答案：0 知识点2
导数的几何意义 1.对常数函数导数的几何意义与物理意义的两点说明 (1)常数的导数为0，其几何意义为f(x)=c在任意点处的切线平行于x轴，其斜率为0. (2)若y=c表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. 2.正比例函数y=x的导数的几何意义和物理意义 (1)正比例函数y=x的图象是过原点的直线，直线上每一点处的切线都是直线y=x，斜率都为1，即y′=1. (2)若y=x表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动. 【微思考】 (1)y=sinx在x=x0处的导数是多少?其几何意义是什么? 提示：y′=cosx，x=x0，f′(x0)=cosx0，几何意义是曲线y=sinx在点(x0，y0)处的切线的斜率. (2)y=x3在(0，0)点存在切线吗?若存在，切线方程是什么? 提示：存在，y′=3x2，y′|x=0=3×02=0，所以过(0，0)点的切线为y=0. 【即时练】 1.余弦曲线y=cos x在(0，1)处的切线的斜率为(
在(1，1)处的切线方程为______. 【解析】1.选B.y′=-sin x，斜率k=-sin 0=0. 2.y′=
，k=-1，切线方程为： y-1=-(x-1)， 即y=-x+2. 答案：y=-x+2 【题型示范】 类型一
利用导数公式求函数的导数 【典例1】(1)已知函数f(x)=
，则f′(-3)=(
D. (2)求下列函数的导数. ①y=(
)x； ②y=2cos2