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学年高中数学必修五第三章《不等式》导学案及章节检测目录3.1 不等关系与不等式............................................................................23.2 一元二次不等式及其解法(一)......................................................... 73.2 一元二次不等式及其解法(二)....................................................... 123.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域.............................................163.3.2 简单的线性规划问题(一)......................................................... 223.3.2 简单的线性规划问题(二).....................(来源：淘豆网[/p-9547668.html]).................................... 283.4 基本不等式: ab≤a+b2(二).........................................................39第三章不等式复习课............................................................................. 43第三章不等式章末检测(A)..............................................................49第三章不等式章末检测(B).............................................................. 5623.1 不等关系与不等式课时目标1.初步学会作差法比较两实数的大小.2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.1.比较实数 a,b 的大小(1)文字叙述如果 a-b(来源：淘豆网[/p-9547668.html]) 是正数,那么 a&b;如果 a-b 等于 0,那么 a=b;如果 a-b 是负数,那么 a&b,反之也成立.(2)符号表示a-b&0a&b;a-b=0a=b;a-b&0a&b.2.常用的不等式的基本性质(1)a&bb&a(对称性);(2)a&b,b&ca&c(传递性);(3)a&ba+c&b+c(可加性);(4)a&b,c&0ac&a&b,c&0ac&(5)a&b,c&da+c&b+d;(6)a&b&0,c&d&0ac&(7)a&b&0,n∈N,n≥2an&(8)a&b&0,n∈N,n≥2na&nb.一、选择题1.若 a,b,c∈R,a&b,则下列不等式成立的是( )A.1a&1bB.a2&b2C.ac2+1&bc2+1D.a|c|&b|c|答(来源：淘豆网[/p-9547668.html])案 C解析对 A,若 a&0&b,则1a&0,1b&0,此时1a&1b,∴A 不成立;对 B,若 a=1,b=-2,则 a2&b2,∴B 不成立;对 C,∵c2+1≥1,且 a&b,∴ac2+1&bc2+1恒成立,∴C 正确;对 D,当 c=0 时,a|c|=b|c|,∴D 不成立.2.已知 a&0,b&-1,则下列不等式成立的是( )A.a&ab&ab2B.ab2&ab&a3C.ab&a&ab2D.ab&ab2&a答案 D解析取 a=-2,b=-2,则ab=1,ab2=-12,∴ab&ab2&a.3.已知 a、b 为非零实数,且 a&b,则下列命题成立的是( )A.a2&b2B.a2b&ab2C.1ab2&1a2bD.ba&ab答案 C解析对于 A,当 a&0,b&0 时,a2&b2不成立;对于 B,当 a&0,b&gt(来源：淘豆网[/p-9547668.html]);0 时,a2b&0,ab2&0,a2b&ab2不成立;对于 C,∵a&b,1a2b2&0,∴1ab2&1a2b;对于 D,当 a=-1,b=1 时,ba=ab=-1.4.若 x∈(e-1,1),a=ln x,b=2ln x,c=ln3x,则( )A.a&b&c B.c&a&bC.b&a&c D.b&c&a答案 C解析∵1e&x&1,∴-1&ln x&0.令 t=ln x,则-1&t&0.∴a-b=t-2t=-t&0,∴a&b.c-a=t3-t=t(t2-1)=t(t+1)(t-1),又∵-1&t&0,∴0&t+1&1,-2&t-1&-1,∴c-a&0,∴c&a.∴c&a&b.5.设 a,b∈R,若 a-|b|&0,则下列不等式中正确的是( )A.b-a&0 B.a3+b3&0C.a2-(来源：淘豆网[/p-9547668.html])b2&0 D.b+a&0答案 D解析由 a&|b|得-a&b&a,∴a+b&0,且 a-b&0.∴b-a&0,A 错,D 对.可取特值,如 a=2,b=-1,a3+b3=7&0,故 B 错.而 a2-b2=(a-b)(a+b)&0,∴C 错.6.若 a&b&c 且 a+b+c=0,则下列不等式中正确的是( )A.ab&ac B.ac&bcC.a|b|&c|b| D.a2&b2&c2答案 A解析由 a&b&c 及 a+b+c=0 知 a&0,c&0,又∵a&0,b&c,∴ab&ac.故选 A.二、填空题7.若 1≤a≤5,-1≤b≤2,则 a-b 的取值范围为________.答案[-1,6]解析∵-1≤b≤2,∴-2≤-b≤1,又 1≤a≤5,∴-1≤a-b≤6.8.若 f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则 f(x)与 g(x)的大小(来源：淘豆网[/p-9547668.html])关系是________.4答案 f(x)&g(x)解析∵f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1&0,∴f(x)&g(x).9.若 x∈R,则x1+x2与12的大小关系为________.答案x1+x2≤12解析∵x1+x2-12=2x-1-x22 1+x2=- x-122 1+x2≤0,∴x1+x2≤12.10.设 n&1,n∈N,A= n- n-1,B= n+1- n,则 A 与 B 的大小关系为________.答案 A&B解析 A=1n+ n-1,B=1n+1+ n.∵ n+ n-1& n+1+ n,并且都为正数,∴A&B.三、解答题11.设 a&b&0,试比较a2-b2a2+b2与a-ba+b的大小.解方法一作差法a2-b2a2+b2-a-ba+b=a+b a2-b2- a-b a2+b2a2+b2a+b=a-b [ a+b 2- a2+b2]a2+b2a+b=2ab a-ba+b a2+b2∵a&b&0,(来源：淘豆网[/p-9547668.html])∴a+b&0,a-b&0,2ab&0.∴2ab a-ba+b a2+b2&0,∴a2-b2a2+b2&a-ba+b.方法二作商法∵a&b&0,∴a2-b2a2+b2&0,a-ba+b&0.∴a2-b2a2+b2a-ba+b=a+b 2a2+b2=a2+b2+2aba2+b2=1+2aba2+b2&1.∴a2-b2a2+b2&a-ba+b.12.设 f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,其中 x&0 且 x≠1,试比较 f(x)与 g(x)的大小.解 f(x)-g(x)=1+logx3-2logx2=logx3x4,①当0&x&1,3x4&1, 或x&1,0&3x4&1,即 1&x&43时,logx3x4&0,∴f(x)&g(x);②当3x4=1,即 x=43时,logx3x4=0,即 f(x)=g(x);5③当0&x&1,0&3x4&(来源：淘豆网[/p-9547668.html])1, 或x&1,3x4&1,即 0&x&1,或 x&43时,logx3x4&0,即 f(x)&g(x).综上所述,当 1&x&43时,f(x)&g(x);当 x=43时,f(x)=g(x);当 0&x&1,或 x&43时,f(x)&g(x).能力提升13.若 0&a1&a2,0&b1&b2,且 a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是( )A.a1b1+a2b2 B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1 D.12答案 A解析方法一特殊值法.令 a1=14,a2=34,b1=14,b2=34,则 a1b1+a2b2=a2+b1b2=616=38,a1b2+a2b1=616=38,∵58&12&38,∴最大的数应是 a1b1+a2b2.方法二作差法.∵a1+a2=1=b1+b2 且 0&a1&a2,0&b1&b2,(来源：淘豆网[/p-9547668.html])∴a2=1-a1&a1,b2=1-b1&b1,∴0&a1&12,0&b1&12.又 a1b1+a2b2=a1b1+(1-a1)(1-b1)=2a1b1+1-a1-b1,a1a2+b1b2=a1(1-a1)+b1(1-b1)=a1+b1-a21-b21,a1b2+a2b1=a1(1-b1)+b1(1-a1)=a1+b1-2a1b1,∴(a1b2+a2b1)-(a1a2+b1b2)=a21+b21-2a1b1=(a1-b1)2≥0,∴a1b2+a2b1≥a1a2+b1b2.∵(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=4a1b1+1-2a1-2b1=1-2a1+2b1(2a1-1)=(2a1-1)(2b1-1)=4a1-12b1-12 &0,∴a1b1+a2b2&a1b2+a2b1.∵(a1b1+a2b2)-12=2a1b1+12-a1-b1=b1(2a1-1)-12(2a1-1)=(2a1-1)b1-12=2a1-12b1-12 &0,6(来源：淘豆网[/p-9547668.html])∴a1b1+a2b2&12.综上可知,最大的数应为 a1b1+a2b2.14.设 x,y,z∈R,试比较 5x2+y2+z2与 2xy+4x+2z-2 的大小.解∵5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0,∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2,当且仅当 x=y=12且 z=1 时取到等号.1.比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.a-b&0a&b;a-b=0a=b;a-b&0a&b.2.作差法比较的一般步骤第一步:作差;第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“积”;第三步:定号,就是确定是大于 0,等于 0,还是小于 0.(不确定的要分情况讨论)最后得结论.概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键.3.不等式的性质是不等式变形的依据,每一步变形都要严格依照性质进行,千万不可想当然.73.2 一元二次不等式及其解法(一)课时目标1.会解简单的一元二次不等式.2.了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系.1.一元一次不等式一元一次不等式经过变形,可以化成 ax&b (a≠0)的形式.(1)若 a&0,解集为x|x&(2)若 a&0,解集为x|x&ba .2.一元二次不等式一元二次不等式经过变形,可以化成下列两种标准形式:(1)ax2+bx+c&0 (a&0);(2)ax2+bx+c&0 (a&0).3.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示:判别式Δ=b2-4acΔ&0 Δ=0 Δ&0二次函数 y=ax2+bx+c(a&0)的图象一元二次方程 ax2+bx+c=0(a&0)的根ax2+bx+c&0(a&0)的解集(-∞,x1)∪(x2,+∞){x|x∈R 且 x≠-b2a} Rax2+bx+c&0(a&0)的解集{x|x1&x&x2}
一、选择题1.不等式-6x2-x+2≤0 的解集是( )A.x|-23≤x≤12B.x|x≤-23或 x≥128C.x|x≥12D.x|x≤-32答案 B解析∵-6x2-x+2≤0,∴6x2+x-2≥0,∴(2x-1)(3x+2)≥0,∴x≥12或 x≤-23.2.一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根为 2,-1,则当 a&0 时,不等式 ax2+bx+c≥0的解集为( )A.{x|x&-1 或 x&2} B.{x|x≤-1 或 x≥2}C.{x|-1&x&2} D.{x|-1≤x≤2}答案 D解析由题意知,-ba=1,ca=-2,∴b=-a,c=-2a,又∵a&0,∴x2-x-2≤0,∴-1≤x≤2.3.函数 y=lg(x2-4)+ x2+6x的定义域是( )A.(-∞,-2)∪[0,+∞)B.(-∞,-6]∪(2,+∞)C.(-∞,-2]∪[0,+∞)D.(-∞,-6)∪[2,+∞)答案 B解析∵x2-4&0,x2+6x≥0,∴x≤-6 或 x&2.4.在 R 上定义运算⊙:a⊙b=ab+2a+b,则满足 x⊙(x-2)&0 的实数 x 的取值范围为( )A.(0,2) B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2)答案 B解析∵x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+x-2&0,∴x2+x-2&0.∴-2&x&1.5.若不等式 mx2+2mx-4&2x2+4x 的解集为 R,则实数 m 的取值范围是( )A.(-2,2) B.(-2,2]C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,2)答案 B解析∵mx2+2mx-4&2x2+4x,∴(2-m)x2+(4-2m)x+4&0.当 m=2 时,4&0,x∈R;当 m&2 时,Δ=(4-2m)2-16(2-m)&0,解得-2&m&2.此时,x∈R.综上所述,-2&m≤2.6.设函数 f(x)=x2-4x+6,x≥0,x+6, x&0,则不等式 f(x)&f(1)的解是( )A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞)C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)答案 A解析 f(1)=12-4×1+6=3,当 x≥0 时,x2-4x+6&3,解得 x&3 或 0≤x&1;9当 x&0 时,x+6&3,解得-3&x&0.所以 f(x)&f(1)的解是(-3,1)∪(3,+∞).二、填空题7.二次函数 y=ax2+bx+c 的部分对应点如下表:X -3 -2 -1 0 1 2 3 4y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6则不等式 ax2+bx+c&0 的解集是______________.答案{x|x&-2 或 x&3}8.不等式-1&x2+2x-1≤2 的解集是________.答案{x|-3≤x&-2 或 0&x≤1}解析∵x2+2x-3≤0,x2+2x&0,∴-3≤x&-2 或 0&x≤1.9.已知 x=1 是不等式 k2x2-6kx+8≥0 的解,则 k 的取值范围是______________.答案 k≤2 或 k≥4解析 x=1 是不等式 k2x2-6kx+8≥0 的解,把 x=1 代入不等式得 k2-6k+8≥0,解得 k≥4 或 k≤2.10.不等式(x2-x+1)(x2-x-1)&0 的解集是________________.答案{x|x&1- 52或 x&1+ 52}解析∵x2-x+1=x-12 2+34&0,∴(x2-x-1)(x2-x+1)&0 可转化为解不等式 x2-x-1&0,由求根公式知,x1=1- 52,x2=1+ 52.∴x2-x-1&0 的解集是x|x&1- 52或 x&1+ 52 .∴原不等式的解集为x|x&1- 52或 x&1+ 52 .三、解答题11.若不等式 ax2+bx+c≥0 的解集为x|-13≤x≤2,求关于 x 的不等式 cx2-bx+a&0的解集.解由 ax2+bx+c≥0 的解集为x|-13≤x≤2,知 a&0,且关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的两个根分别为-13,2,∴-13+2=-ba-13×2=ca,∴b=-53a,c=-23a.所以不等式 cx2-bx+a&0 可变形为-23ax2--53ax+a&0,即 2ax2-5ax-3a&0.10又因为 a&0,所以 2x2-5x-3&0,所以所求不等式的解集为x|-12&x&3.12.解关于 x 的不等式 x2-(a+a2)x+a3&0.解将不等式 x2-(a+a2)x+a3&0 变形为(x-a)(x-a2)&0.∵a2-a=a(a-1).∴当 a&0 或 a&1 时,a&a2,解集为{x|x&a 或 x&a2}.当 0&a&1 时,a2&a,解集为{x|x&a2或 x&a}.当 a=0 或 1 时,解集为{x|x∈R 且 x≠a}.综上知,当 a&0 或 a&1 时,不等式的解集为{x|x&a 或 x&a2};当 0&a&1 时,不等式的解集为{x|x&a2或 x&a};当 a=0 或 1 时,不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠a}.【能力提升】13.已知 a1&a2&a3&0,则使得(1-aix)2&1 (i=1,2,3)都成立的 x 的取值范围是( )A.0,1a1 B.0,2a1 C.0,1a3 D.0,2a3答案 B解析由(1-aix)2&1,得 1-2aix+(aix)2&1,即 aix(aix-2)&0.又 a1&a2&a3&0.∴0&x&2ai,即 x&2a1,x&2a2且 x&2a3.∵2a3&2a2&2a1&0∴0&x&2a1.14.解关于 x 的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈R).解原不等式移项得 ax2+(a-2)x-2≥0,化简为(x+1)(ax-2)≥0.当 a=0 时,x≤-1;当 a&0 时,x≥2a或 x≤-1;当-2&a&0 时,2a≤x≤-1;当 a=-2 时,x=-1;当 a&-2 时,-1≤x≤2a.综上所述,当 a&0 时,解集为x|x≥2a或 x≤-1;当 a=0 时,解集为{x|x≤-1};当-2&a&0 时,解集为x|2a≤x≤-1;当 a=-2 时,解集为{x|x=-1};播放器加载中，请稍候...
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学年高中数学必修五第三章《不等式》导学案及章节检测
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√a²-√b²-√（a+b）²=?
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当a&0 b&0 且 -a&-/0 b&0 b&b-a-b-(a+b)=-2a-2b当a&0 b&lt原式=/0时a-b-a-b=-2b当a&0 b&a+b/ 且 a&-/a/0 且 a&b时-a-b-(-a-b)=0当a&0 b&b/-ba+b-a-b=2a当a&-ba+b-(-b-a)=2a+2b当a&0 且 -a&lt
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2a,2b,-2a,-2b|a|-|b|-|a+b||a|=+-a|b|=+-b|a+b|=+-(a+b)所以结果有8组分别是a+b+a+b=2a+2b-a+b+a+b=2ba-b+a+b=2aa-b-(a+b)=-2b-a+b-(a+b)=-2aa+b-(a+b)=0-a-b-(a+b)=-2a-2b-a-b+(a+b)=0所以结果为2a+2b,0
a,b&0 -2ba&0,b&0 a+b&0 0a&o,b&0 a+b&o 2(a+b)a&o b&0 a+b&0 -2(a+b)a&o b&o a+b&o Oa&o b&o 2b
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初等数论的证明题:设a,b是任意二实数证明:[2a]+[2b]≥[a]+[a+b]+[b]
总有 [2a]+[2b] ≥ [a]+[a+b]+[b] ，｛b｝&2 ;2 ;2;2 ，则 [2a] = 2[a] ，左 = 右，根据定义; 1&#47，则 [2a] = 2[a]+1; 1 ；综上；（3）如果 ｛a｝&2 ; 右 ，因此 左 &gt，｛b｝= b - [b] ，｛b｝&lt，有 0 ≤｛a｝&lt，[2b] = 2[b] ; 1&#47，[2b] = 2[b]+1，[a+b] = [a]+[b]+1 ，[2b] = 2[b] ，所以;2，｛b｝≥ 1/2 ; 1&#47；（4）如果｛a｝≥ 1/ 1 ，0 ≤｛b｝&lt；（2）如果 ｛a｝≥ 1&#47，同理可证，｛b｝≥ 1/ 1&#47，则 [2a] = 2[a]+1，以下分四种情况，所以 左 ≥ 右 ，[a+b] ≤ [a]+[b] + 1 ：（1）如果 ｛a｝&lt，[a+b] = [a]+[b] ;2 设｛a｝= a - [a]
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a+b& a+b& a+b&=0 b&=0 b&=0&=0a&=0a&=0&=0&=0 b& a+b&=0a&gt就是假设几种情况啊a&=0 b&=0&=0 b&=0 b&=0a&=0a&lt
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设a,b,c是三个任意的非零向量,且互不平行,以下四个命题正确的是:|a|+|b|&|a+b|若a不等于0,a·b=0,则b=0向量a,b满足：a·b&0,&则a与b的夹角为锐角若a,b夹角为θ,则|b|cosθ表示向量b在a方向上的射影长到底哪些是错的啊,说明一下理由
第二个是错的,还有可能两向量垂直 第三个错的,锐角第一象限角只是其中一个可能,还可能在第四象限角 第一个 因为不能平行,所以没有等于只能大于 所以二三是错的
第一和第二错因为，应该是大于等于第二个可能垂直希望采纳谢谢
可是答案上写的是只有一个正确···，而且说了向量不平行，第一个应该排除等于的情况吧······
偶偶，不好意思，忽视了条件，数学问题_百度知道
2（a+b）=|b-a|已知有理数ab满足ab&lt，|a|＞|b|;0
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b-a|=2(a+b)&gt,b&0a&gt,|b|=-b所以a&0;0 则a+b&0所以b-a&0所以2(a+b)=-(b-a)2a+2b=a-ba=-3b所以a/-b因为|a|&|b|所以|a|=a
如图已知o为直线ab上一点，oc平分∠aod，∠bod=3∠doe，∠coe=α，则∠boe的度数为
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0 则ab异号ab&lt,b&lt，因为|a|&|b| 所以a&0， 因为2（a+b）=[b-a[&gt..所以 2（a+b）=|b-a| 2(a+b)=a-b
a/=0所以正数的绝对值大于负数的绝对值;0
当b&0时，2a+2b=b-a
b=3a b分之a=a/b=1/3当a&0时,2a+2b=a-b a=3b&0不符题意舍去
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