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数学是什么?什么是数学?
数学,作为人类思维的表达形式,反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理及对完美境界的追求.它的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性.虽然不同的传统学派可以强调不同的侧面,然而正是这些互相对立的力量的相互作用,以及它们综合起来的努力,才构成了数学科学的生命力、可用性和它的崇高价值.《什么是数学》作者:R .柯朗 H.罗宾
数学就是关于数字组合成的一门博大精深的学问啊，真心的搞不懂数学！
由数据而构成一门学问，需要通过学习来掌握
你看看R.科朗写的《什么是数学》英文名字为《 What is Mathematics》
数学（汉语拼音：shù xué；希腊语：μαθηματικ），源自于古希腊语的μθημα（má
thēma），其有学习、学问、科学，以及另外还有个较狭隘且技术性的意义——“数学研究”。即使在其语源内，其形容词意义和与学习有关的，亦会被用来指数学的。其在英语的复数形式，及在法语中的复数形式+es成 mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数Mathematica，由西...
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收藏 查看&什么是数学本词条缺少概述、名片图，补充相关内容使词条更完整，还能快速升级，赶紧来吧！出版时间2005-5定&&&&价37.00元出版社
《什么是数学》
作者:[美] R·柯朗 H·罗宾 著/I·斯图尔特 修订
装帧: 平装
丛书:西方数学文化理念传播译丛
ISBN: 6《什么是数学》既是为初学者也是为专家，既是为学生也是为教师，既是为哲学家也是为工程师而写的。它是一本世界著名的数学科普读物。书中搜集了许多经典的数学珍品，给出了数学世界的一组有趣的、深入浅出的图画，对整个数学领域中的基本概念与方法，做了精深而生动的阐述。
I·斯图尔特增写了新的一章，以新的观点阐述了数学的最新进展，叙述了四色定理和费马大定理的证明等。这些问题是在柯朗与罗宾写书的年代尚未解决，但现在已被解决了的。本书是“对整个数学领域中的基本概念及方法的透彻清晰的阐述。”
——A·爱因斯坦
本书既是为初学者也是为专家，既是为学生也是为教师，既是为也是为工程师而写的。《什么是数学》是一本数学经典名著，它搜集了许多闪光的数学珍品，它们给出了数学世界的一组有趣的、深入浅出的图画。本书传至今日，又由I·斯图尔特增写了新的一章。此第二版以新的观点阐述了数学的最新进展，叙述了四色定理和费马大定理的证明等。这些问题是在与写书的年代尚未解决，但如今已被解决了的。
一个光辉的文献故事，《什么是数学》开启了一扇认识数学世界的窗口。
“毫无疑问，这本书将会有深远的影响，它应当人手一册，无论是专业人员抑或是愿意做科学思考的任何人。”
“一本极为完美的著作。”
——数学评论
“太妙了……这本书是巨大愉快和满足感的源泉。”
——应用物理杂志
“这本书是一部艺术著作。”
——M·莫尔斯
“这是一本非常完美的著作。……被数学家们视作科学的的一切基本思路和方法，在《什么是数学》这本书中用最简单的例子使之清晰明了，已经达到令人惊讶的程度。”
本书是世界著名的数学科普读物，它搜集了许多经典的数学珍品，对整个数学领域中的基本概念与方法，做了精深而生动的阐述。无论是数学专业人士，或是愿意作数学思考者都可以阅读此书。特别对中学数学教师，大学生和高中生，都是一本极好的参考书。R?（Richard Courant）是20世纪杰出的数学家，学派重要成员。他生前是数学系和数学科学研究院的主任，该研究院后被为数学科学研究院。他写的书《》为每一个所熟知；而他的《微积分学》已被认为是近代写得最好的该学科的代表作。
H?Herbert Robbins）是拉特杰斯大学的数理统计教授。
I?斯图尔特（Ian Stewart）是的数学教授，并且是《自然界中的数和上帝玩色子游戏吗》一书的作者；他还在《科学美国人》杂志上主编《数学娱乐》专栏；他因使科学为大众理解的杰出贡献而在1995年获得了皇家协会的米凯勒奖章。什么是数学
第1章 自然数
§ 1 整数的计算
§ 2 数系的无限性 数学归纳法
§ 3 毕达哥拉斯数和费马大定理
§ 4辗转相除法
第2章 数学中的数系
§ 1 有理数
§ 2 不可公度线段 无理数和极限概念
§ 4 无限的数学分析
§ 6 代数数和超越数
第2章补充 集合代数
第3章 几何作图 数域的代数
第1部分 不可能性的证明和代数
§ 1 基本几何作图
§ 2 可作图的数和数域
§ 3 三个不可解的问题
第2部分 作图的各种方法
§ 4 几何变换 反演
§ 5 用其他工具作图 只用圆规的作图
§ 6 再谈反演及其应用
第4章 射影几何 公理体系
§ 2 基本概念
§ 4 平行性和无穷远
§ 6 解析表示
§ 7 只用直尺的作图问题
§ 8 二次曲线和二次曲面
§ 9 公理体系和非欧几何
附录 高维空间中的几何学
第5章 拓扑学
§ 1 多面体的欧拉公式
§ 2 图形的拓扑性质
§ 3 拓扑定理的其他例子
§ 4 曲面的拓扑分类
第6章 函数和极限
§ 1 变量和函数
§ 3 连续趋近的极限
§ 4 连续性的精确定义
§ 5 有关连续函数的两个基本定理
§ 6定理的一些应用
第6章 补充 极限和连续的一些例题
§ 1 极限的例题
§ 2 连续性的例题
第7章 极大与极小
§ 1 初等几何中的问题
§ 2 基本极值问题的一般原则
§ 3 驻点与微分学
§ 4的三角形问题
§ 6 极值与不等式
§ 7 极值的存在性 狄里赫莱原理
§ 8 等周问题
§ 9 带有边界条件的极值问题问题和等周问题之间的联系
§ 10 变分法
§ 11 极小问题的实验解法 肥皂膜实验
§ 3 微分法
§ 4的记号和“无穷小”
§ 6 指数函数与对数函数
第8章 补充
§ 1 原理方面的内容
§ 2 数量级
§ 3 无穷级数和无穷乘积
§ 4 用统计方法得到素数定理
第9章 最新进展
§ 1 产生素数的公式
§ 2和孪生素数
§ 3 费马大定理
§ 4 连续统假设
§ 5 集合论中的符号
§ 6 四色定理
§ 7维数和
§ 9 力学中的一个问题
§ 11 肥皂膜和最小曲面
§ 12 非标准分析
附录 补充说明 问题和习题
算术和代数
射影几何和非欧几何
函数、极限和连续性
极大与极小
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“公文数学”是日本经过长期实践检验而推行的一种数学训练模式。它的优势在于培养学生的自学能力，养成良好的学习习惯，提高单位学习时间效率和计算准确性。建校初期我们在教学中就引进了“公文数学”这种先进的教学方法，让学生每天坚持15－20分钟的训练，持之以恒。目前相当一部分三、四年级学生的数学水平已达到初中一、二年级的水平。四年的实践证明，学生自主学习的能力和学习数学积极性得到提高，不良的学习习惯得到纠正，使学生“勤学”与“巧学”有机的结合了起来，每个学生潜在的能力被很好发掘了出来，并得到最大限度地发展。
1954年，当时担任高中数学老师的公文日本公文教育研究会公先生（是日本公文教育研究会的创始人），为自己上小学二年级的长子编写了一套数学习题集，这就是的起源。其效果除了能提高学生的数学能力外，还能培养学生自学自习的能力，奠定良好的学习基础。从那以后，公文式学习法就以开发学生能力的有效方法在世界上30个国家推广，目前有200多万学生在利用公文式学习法学习。公文式教材的编排原则是，让学生在最短的时间内获得最大的学习效果；同时考虑到计算在高中数学中所占的绝对比重，公文式突破了学校的教学大纲，以培养学生的计算能力为公文数学突破口，精心编排了一套循序渐进的数学教材，帮助学生实现“自学自习到高中教材”的目标。
公文式数学教材从简单的划线练习到，跨越了从幼儿园到大学整个阶段，由于公文式采取了小步前进的学习方式，将整套教材细分多个阶段，尽可能的减低了学习阶段间的落差，便于每个学生自学自习，因此任何人都可以借用这套教材来提高自己的学习能力，取得意想不到的效果。
公文式数学教材自问世以来，不断从实际的运用中吸取经验，不断加以修订，力求使教材在题量、顺序、例题等各方面得到不断的完善，达到最佳的学习效果。1、学习材料采取层层递进式的编排方式，系统地训练学生的
2、学习材料内容由专家精心编排，并不断加以改进
3、21套教材由浅入深，针对不同年龄层次的学生，提供适合每一个孩子的学习材料，内容涵盖数字练习、四则运算和微积分等公文式学习法不以学生的学年来决定学习内容，而是通过学力诊断测试来评估学生的实际学习能力，找出学生能轻松学习的起点。因为所学教材内容符合学生自身的能力，所以学生能够顺利进行学习，容易获得100分，这样逐步建立起学习的自信心，体会到学习的乐趣。
公文式教材设有标准完成时间，幼儿和小学低年级的学生每天学习10-20分钟，高年级孩子学习20-30分钟，一周学习六天，由于是要求孩子在短时间内完成学习，培养了学生强烈的时间观念和集中思想的能力。
公文式学习法的教材编排科学，内容精炼，易于学生迅速地学习，即使学习的起点比学生的实际学年低一到两个学年，也可以在半年到一年间很快地赶上并超过学校进度，达到超学年学习的状态。M、N、O将于2009年年底引进等各大城市。
L是指在K教材基础上引入微积分（公文教育最终目标）
K 是指培养学生各类函数（二次函数、分式函数、无理函数、指数函数、对数函数、三角函数）的计算能力
J是指 通过学习代数式、因式分解、无理数、二次方程式、方程组和高次方程，培养高等数学所必须的基础能力，为学习K教材打好基础。
I 是指在H教材的基础上，学习掌握因式分解、平方根、式和二次函数等内容，为学习J教材打好基础。
H是指 在G教材的代数式运算能力的基础上，培养学生解一元至四元一次方程的能力，为学习I教材打好基础。
G是指 在F教材的分数运算能力的基础上，培养正负数和代数的运算能力，为学习H教材打好基础。
F是指 提高E教材的分数运算能力，培养复杂的分数的能力，为学习G教材的代数奠定基础。
E是指 在D教材为止的加减乘除的四则运算和约分能力的基础上，培养分数的四则运算能力，为学习F教材打好基础。
D 是指 在C教材的基础上进一步提高乘除法运算能力，并且要求掌握2位数的除法运算，逐渐习惯“分数”概念，为学习E教材打好基础。
C 是指在B教材的加减法运算能力的基础上，进一步培养学生乘除法运算的基本能力，并为学习D教材打好基础。
B 是指在A教材的加减法的心算能力基础上，培养加减法的笔算能力，并为学习C教材打好基础。
A 是指在2A教材所培养的加减法心算能力的基础上，进一步提高学生加减法的心算能力，要求学生达到一看就能计算出来的水平，为学习B教材的笔算打好基础。
2A是指在3A教材所培养的加法能力的基础上，继续学习2A教材的“加6”到“加10”，然后学习被减数到10为止的基础减法，为顺利学习A教材培养必要的心算能力。
3A是指 在4A教材所培养的数数及写数能力的基础上，让学生学习加1到加5的加法。
4A 是指在具有5A教材的做题能力的基础上，要求掌握1～100的100个数字的大小顺序并会书写，同时提高做题能力和对数字的感性认识，为进入3A教材的加法学习做准备。
5A 是指 通过用铅笔做题，培养孩子的握笔能力、运笔能力、做题能力和注意力。通过做题时的数数练习和数字连图的画线练习，使孩子更熟练地掌握30以内的数字。
公文的信条（The Kumon Way)
我们所珍视的，首先是&每一位孩子&
&公文式学习对每一位孩子的成长和将来都是大有裨益 &。&为尽可能多的孩子提供公文式学习的机会&，在展开所有的活动时，我们要将这两项准则铭记在心。这是公文式存在、发展的唯一理由，也是我们对孩子们所要尽的责任。在前进的路上，也许有迷茫，也许有意见分歧，那时我们一定要扪心自问&这真的是对孩子有帮助吗？&以此,我们重新确认前进的方向。为了让公文式教育法的价值不断得以提高，为了让尽可能多的孩子学习公文式，我们将竭尽全力。“公文式学习法突破了那种‘所有人都在同一间教室，同一段时间学习同一种内容’的传统教育理念。”
教育不应只是一种单纯的大众化知识传播方式，它还应该认识到人与人之间存在能力上的差异。公文式学习法大力提倡，让能力强的孩子尽其所能地前进；能力弱的孩子则应该倒退至他们感到轻松的地方学习，等到完全掌握以后，就能够继续前进。学习能力差的孩子不应该被迫超越自己的能力进行学习。“我们所提供给孩子的，应该是一种使他们倚靠自身的力量就能够顺利学习的教材，而不是那种让孩子倍感困难而老师疲于补漏的教材。”
个性化辅导和自学自习是密不可分的。缺少了任何一个环节，就不可能做到最大限度地开发每个孩子的能力。通过一整套有系统有组织的学习教材，公文确保了每个孩子都能够按照各自的步伐，轻轻松松地往前学，同时在学习中获取自学能力。在成长的过程中他们始终感到，只要敢于尝试，任何目标都是触手可及的。以此，孩子们树立起自尊和自信。“只有当学习的主观能动性发自于内心时，孩子们才会产生向着更高教材前进的渴望。当一个人促使自己不断地挑战极限，并亲眼目睹了自己所取得的成就后，他就会相信人类和自身所能具有的潜能。”
让孩子日积月累地小步前进，每次都能得到一百分，孩子就能逐步养成以自信、积极的态度解决问题。而超学年的学习，孩子不断地挑战自我，自然地养成了沉着冷静的处事风格和自尊心。公文式学习法愿将孩子培养成为一个有理想，懂得不断学习和提高自身的人。“公文认为，不应该进行无计划、无目的的学习。”
公文式学习法强调为每一个孩子制定进度预测和学习计划，让孩子明确经过一段时间的学习，他们能够达到什么样的目标。如果孩子的实际进度背离了学习计划，老师也能参考原先的学习情况够做出准确的判断，及时调整计划。“假如我们确实关心孩子的教育，就应该让孩子从一个完全与其能力相匹配的起点开始学习，然后稳步培养他的能力。”
因为孩子间的能力各不相同，所以仅仅因为孩子们的年龄相同就让他们都学习相同的内容是不公平的。公文式学习法根据每个的孩子的能力而非年龄安排学习内容。即便是那些在学校学习成绩处于下游的孩子，只要给予与其能力水平相匹配的学习材料，也同样可以享受到学习的乐趣，取得意想不到的进步。“公文式学习法推崇适合个人需要和能力的学习方法，坚信孩子应该快乐地学习。”
只要加以正确的引导，孩子就不会感到游戏和学习之间的区别。对孩子的成长和将来而言，公文式学习法是一种宝贵的学习体验。它一贯坚持 “以孩子为本”的教育思想，让孩子在愉快的情绪下获取知识。
我们所珍视的，其次是&志同道合的人们&
我们向以公文式教室的指导老师们为代表的&热爱孩子，与我们肩并肩通过教育事业为社会做出贡献&的所有志同道合的人们致以最崇高的敬意。我们满怀真诚的谢意与热情竭尽全力地支持他们，并与他们同心协力，携手并进。
我们所珍视的，其次是&公文全体员工&
我们将致力于携手创造我们的企业文化和良好的工作环境每一位员工认识到肩负的神圣使命和工作的意义，朝气蓬勃地投入工作并在工作中不断成长；每一位员工的待遇得以保障，并且过着充裕的生活。
我们所珍视的，再次是&与所在社区的密切联系&
对于每日生活、工作在其中的社区，我们深怀感激。我们身为尽心尽责的社区一分子，为创造一个更美好的社区，积极参加保护地球环境、资源以及提高当地文化教育的各项活动，担负起对整个地球社会的义务和责任。
最后，让我们将以下三条铭记在心，作为我们的行动指南，须臾不忘。
1、时常反省自己的言行是否公正并合乎道义，发誓做一个光明磊落，堂堂正 正的社会人。
2、满怀作为教育工作者的自豪和信念，做一名率直开朗，真心为任何值得喜 悦的事情而感动的人。
3、时常保持谦虚的态度，努力争取今天比昨天进步，明天又比今天进步，成为不断成长进步的人。
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《数学是什么》
&北京大学继出版《人文社会科学是什么》丛书后推出这套《自然科学是什么》丛书，深入浅出地介绍了自然科学领域的知识，为大、中学生展示了一个五彩缤纷的自然科学世界。相信这套书的出版会对提高中华民族的科学素养、普及自然科学知识起重大的推动作用。&本书为该系列之一的《数学是什么》分册。
《数学是什么》 -
，1936年生，1957年毕业，1964年调至中国科学院数学研究所，1980年转至中国科学院系统科学研究所，现任研究员。主要研究方向为数学，科学史，思想史。著有《》（1999）、《近代数学史》（2006）、《大有可为的数学》（2006）、《影响世界历史的100名著排行榜》（）等。译著有（2002）、《》（1979）、《》（2001）等，另有各方面论文近百篇。
《数学是什么》 -
& 导言&数学是什么？ 0.1&与哲学 0.2&数学与科学 0.3& 一&数 1.1&自然数的难题 1.2&初等数论及其问题 1.3&的启发 1.4&数列中的问题 1.5&自然数的加法表示 小结 二&量 2.1&自然数的有理扩张 2.2&从离散到连续 2.3&第二次划分 小结 三&图 3.1&初等图论 3.2&图论三大问题 3.3&拉姆齐理论 小结 四&形 4.1&几何学是什么 4.2&欧几里得几何学 4.3&非欧几何学 4.4&解析几何学 4.5&丰富多彩的直观几何对象 小结 五&算 5.1&从算术到代数 5.2&算术：从有限到无穷 5.3&从到分析 5.4&从多项式到一般函数 5.5&函数 小结 六&集合 6.1&无穷 6.2&从素朴集合论到公理集合论 6.3&病态的集合 小结 七&逻辑 7.1&数学基础 7.2&几何学基础和公理理论 7.3& 7.4&& 小结 八&结构 8.1&多头的数学家——布尔巴基 8.2&布尔巴基的思想 8.3&域 8.4&群 小结 九&空间 9.1&空间概念的演化 9.2&维数 9.3&流形 9.4&什么是拓扑学 9.5&庞加莱猜想 小结 十&概率 10.1&赌场产生的问题 10.2&概率的哲学本质 10.3&布朗运动 10.4&随机分析 小结 十一&数学大厦 11.1&经典数学 11.2&现代数学 11.3&后现代数学 小结 十二&理解数学 12.1&基础教育中的数学 12.2&数学家的工作 12.3&伟大的数学家创造伟大的数学 小结 结束语数学是什么！ 阅读书目 后记 《自然科学是什么》丛书出版后记
《数学是什么》 -
所体现的特点
第一，对于任何一门科学的正确概念，都不能从有关这门的片断知识中形成，尽管这些片断知识足够广泛。还需要对这门科学的整体有正确的观点，需要了解这门科学的本质。本章的目的就是给出关于数学的本质的一般概念。为了这个目的，没有很大必要去详细考察新的数学理论，因为这门科学的历史和初等数学就已经提供了足够的根据来作出一般的结论。甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地察觉到数学的这些特征，第一是它的抽性，第二是精确性，或者更好地说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性，最后是它的应用的极端广泛。 抽象性在简单的计算中就已经表现出来，我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来，我们在学校中学的是抽象的乘法表一总是数字的乘法表，而不是男孩的数再乘上苹果的数目，或者苹果的数目乘上苹果的价钱等等。 同样的在几何中研究的，例如，是，而不是拉紧了的绳子，并且在几何线的概念中舍弃了所有性质，只留下在一定方向上的伸长。总之，关于几何图形的概念是舍弃了现实对象的所有性质只留下其空间形式和大小的结果。全部数学都具有这种抽象的特征。关于整数的概念和关于几和图形的概念)&--这只是一些最原始的数学概念，之后才是其他许多达到象复数、函数、积分、微分、泛函、&n维甚至无限维空间等等这样抽象程度的概念。这些概念的抽象化好象是一个高于一个，一直高到这样的抽象程度，以致看上去已经失去了同生活的一切联系。以致“凡夫俗子”除了感到“莫名其妙”以外什么也不能理解。&事实上情形当然不是这样。虽说的概念的确非常抽象，但它却有完全现实的内容，要了解这内容并不那么困难。在这本书里将要特别强调和解释上面列举的那些抽象概念的现实意义，并且使读者相信这些概念全都是既从它们自身的起源方面也从实际应用方面同生活联系着的。
不过，抽象并不是数学独有的属性，它是任何一门科学乃至全部人类思维都具有的特性。因此，单是数学概念的抽象性还不能说尽数学的特点。数学在它的抽象方面的特点还在于：第一，在数学的抽象中首先保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切。第二，数学的抽象是经过一系列阶段而产生的；它们达到的抽象程度大大超过了自然科学中一般的抽象。我们将以数学的基本概念：数与形为例来详细解释这两点：最后一这也是惹人注意的棗数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那末数学家证明定理只需用推理和计算。
当然，数学家们为了发现自己的定理和方法也常常利用模型，物理的类比，注意许多单个的十分具体的实例等等。所有这些都是理论的现实来源，有助于发现理论的，但是每个定理最终地在数学中成立只有当它已从逻辑的推论上严格地被证明了的时候。如果一个几何学家报告一条他所发现的新定理时，只限于在模型上把它表示出来，那么任何一个数学家都不会承认这条定理是被证明了。对于证明一个定理的要求从中学的几何课程中就可以很好地了解到了，这种要求贯穿在全部数学中。我们可以极精确地测量成千个等腰三角形的底角，但这并不能给我们以关于等腰三角形两底角相等的定理的数学证明。数学要求从几何的基本概念推导出这个结果)现在在几何的严格叙述中基本概念的性质是精确地表述在公理中)，并且总是这样的：证明一个定理对于数学家来说就是要从这个定理中引用的那些概念所固有的原始性质出发，用推理的方法导出这个定理。这样看来，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的。数学结论本身的特点具有根大的逻辑严格性。数学推理的进行具有这样的精密性，这种推理对于每个只要懂得它的人来说，都是无可争辩和确定无疑的。数学证明的这种精密性和确定性人们从中等学校的课程中就已很好地懂得了。数学真理本身也是完全的。难怪人们常说：“像二乘二等于四那样的证明”。这里，数学关系式&2×2=4&正是取作不可反驳、无可争辩的范例。 但是数学的严格性不是绝对的，它在发展着；数学的原则不是一劳永逸地僵立不动了，而是变化着的并且也可能成为甚至已经成为的对象。归根到底，数学的生命力的源泉在于它的概念和结论尽管极为抽象，但却如我们所坚信的那样，它们是从现实中来的，并且在其他科学中，在技术中，在全部生活实践中都有广泛的应用；这一点，对于了解数学是最主要的。数学应用得非常广泛也是它的特点之一。第一，我们经常地、几乎每时每刻地在生产中、在日常生活中、在社会生活中运用着最普通的数学概念和结论，甚至并不意识到这一点。例如，我们计算日子或开支时就应用了算术，而计算住宅的面积时就运用了几何学的结论，当然，这些结论都是十分简单的，不过，记起这一点是有益的：在古代某个时候，这些结论曾经是当时正在萌芽中的数学的一些很高的成就。
第二，如果没有数学，全部现代都是不可能的。离开或多或少复杂的计算，也许任何一点技术的改进都不能有；在新的技术部门的发展上数学起着十分重要的作用。最后，几乎所有科学部门都多多少少很实质地利用着数学。“精确科学”—力学、天文学、物理学、以及在很大的程度上的化学一通常都是以一些公式来表述自己的定律)这是每个从中学毕业人都早已懂得的)，都在发展自己的理论时广泛地运用了数学工具。没有数学，这些科学的进步简直是不可能的。因此，力学、天文学和物理学对数学的需要恰好也总是在数学的发展上起了直接的、决定性的作用。
在其他科学中数学起着较小的作用。但是就在这些领域中，它也有重要的应用。当然，在研究像生物现象和社会现象那样复杂的现象时，数学方法本质上不能起像在物理学中所能起的那样的作用，数学的应用总是只有与具体现象的深刻理论相结合才有意义，在这些现象的研究中尤其如此，记住这一点是很重要的，这样才不致迷惑于毫无实在内容的公式游戏。但是无论如何，数学几乎在所有科学中，从力学到政治经济学，都有着这样那样的应用。我们来回忆几个在精确科学和技术中特别出色的数学应用的例子。
太阳系最远的行星之一的海王星是在年在数学计算的基础上被发现的。天文学家阿达姆斯和勒未累分析了天王星的运动的不规律性，得出结论说：这种不规律性是由其他行星的引力而发生的。勒未累根据力学法则和引力法则计算出这颗行星应该位于何处，他把这结果告诉了观察员，而观察员果然从望远镜中在勒未累所指出的位置上看到了这颗星。这个发现不仅是力学和天文学特别是哥白尼体系的胜利，而且也是数学计算的胜利。另一个同样令人信服的例子是电磁波的发现。物理学家麦克斯威尔概括了由实验建立起来的电磁现象规律，把这些规律表述为方程的形式。他用纯粹数学的方法从这些方程推导出可能存在着电磁波并且这种电磁波应该以光速传播着。根据这一点，他提出了光的电磁理论，这理论以后被全面地发展和论证了。但是，除此以外，麦克斯威尔的结论还推动了人们去寻找纯电起源的电磁波，例如，由振动放电所发射的电磁波。这样的电磁波果然被赫兹所发现。而不久之后，波波夫就找到了电磁振荡的激发、发送和接收的办法，并把这些办法带到许多应用部门，从而为全部无线电技术奠下基础。在己成为公共财富的无线电的发现中，纯粹数学推论的结果也起了巨大的作用。&　　
科学就是这样从观察，比如观察到由电流而引起磁针偏转，进入概括，进入现象的，进入规律的提出以及它们的数学表达式。新的结论从这些规律中产生，而最后，理论又体现在实践中，实践也给予理论以向前发展的新的强有力的动力。&　　特别值得注意的是，没有从自然科学或技术方面来的直接推动，而仅从数学本身内部产生的最抽象的数学体系，甚至也有极有价值的应用。例如，虚数在代数中出现了，在很长一段时间中它们的实在意义却没有被理解，这一情况可以从它们的名称中看出。但是以后，就在本世纪初对它们给予了几何的解释，从而虚数在数学中完全站住了，并且建立了复变数)就是&x+y√-1形式的变数)函数的广泛理论。这种所谓“虚”变数的“虚”函数的理论完全不是虚假的，而是解决许多技术问题的很现实的工具。比如，茹可夫斯基关于机翼上升力的基本定理正好就是以这个理论作为工具来证明的。又如，就是这个理论在解决堤坝渗水问题时也显示了它的用处，至于这个问题的意义在巨大的水电站建设时代是很显然的。&　　
非欧几里得几何是另一个同样光辉的例子。它是从欧几里得时代起的几千年来人们想要证明平行公理的企图中，也就是说，从一个只有纯粹数学趣味的问题中产生的。罗巴切夫斯基创立了这门新的几何学，他自己谨慎地称之为“想象的”，因为还不能指出它的现实意义，虽然他相信是会找到这种现实意义的。他的几何学的许多结论对大多数人来说非但不是“想象的”，而且简直是不可想象和荒涎的。可是无论如何罗巴切夫斯基的思想为几何学的新发展以及各种不同的非欧几里得空间的理论的建立打下了基础；后来这些思想成为广义相对论的基础之一，并且四维空间非欧几里得几何的一种形式成了广义相对论的数学工具。于是，至少看来是不可理解的抽象数学体系成了一个最重要的物理理论发展的有力工具。同样地，在原子现象的近代理论中，在所谓量子力学中，实际上都运用着许多高度抽象的数学概念和理论，比如，无限维空间的概念等等。&　　
不必陷于例子的列举；我们已经足够地强调了数学在日常生活实践中，在技术中，在科学中都有最广泛的应用，并且只从数学本身内部生长起来的理论在精确科学和许多技术问题中也有其应用。除了数学的抽象性、严格性和它的结论的确定性以外，数学的另一个特征便是如此。2、注意了所有这些数学的特点，我们当然还没有阐明数学的本质，毋宁说只是指出了数学的外表特征。问题在于要解释这些特点。为此至少应该回答下列问题：
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