第六章：平行四边形一般的平行四边形 菱 形 平行四边形 特 殊 的 矩 形 四 平行四边形 正方形 边 形一般四边形三角形的中位线及其定理文字语言叙述 几何符号表述 O 在 ABCD中 ABCD中 ①对边平行且相等 ∵在四边形 AB=CDAD=BC ∠ A= ∠ C， A B ②对角相等，邻角
互补 OA=OC ∠ AB B= ∥ ∠ CDAD D ∥ BC 平 性质 ③对角线互相平分 0 OB=OD ∠ A+ ∠ B=180 ∴四边形ABCD 行 是 ABCDD C四 边 形①两组对边分别平行的 四 ②两组对边分别相等的 判别 ③一组对边平行且相等的 边 ④对角线互相平分的 形平 行 四 边 形1、在ABCD中，已知AB=8，AO=3，∠B=50°BAD8 6 则CD=________ ，AC=________ 130° ， ∠D=___________ 50° ∠A=________ 2、在 ABCD中， ∠A+ ∠C= 150°那么 75° 105° ∠A=__________ ，∠D=_________ 3、在 ABCD中， ∠A:∠B= 5:4，那么 80° 100° ∠B=__________ ，∠C=_________ 4、请在横线上写出结论，在括号里填理由 ∵四边形ABCD是平行四边形B CA O CD∴_________________(平行四边形的特征(5个,详见前知识点 ))定义： 有一个内角是直角的平行四边形是矩形 性质 边：对边平行且相等．D O A B C矩 形角：四个角都是直角． 对角线： 对角线相等且互相平分． 对称性：是轴对称图形（1）有一个角是直角的平行四边形 （2）有三个角都是直角的四边形 矩 判别 （3）对角线相等的平行四边形 形 （4）对角线互相平分且相等的四边形AD O C1、如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O， 12 ∠AOB= 60°，AB=6，则AC=_______ B2、已知矩形的周长是24，相邻两边之比是1：2，那么这个矩 32 形的面积是_____________ 3、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和 5 为15，则短边长为____________A D O B C4、请在横线上写出原因，在括号里填理由 ∵四边形ABCD是矩形∴____________________ ()5、矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是( C A、对角相等 B、对边相等 C、对角线相等 D、对角线互相平分 6、把一张长方形的纸条按图那样折叠，若得到 A ∠AME＝70o ，则∠EMN＝（ C ） A、45o B、50o B C、55o D、60o)MCN E FD7、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处， 如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于（ A ） A．15° B．30° C．45° D．60°定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形D性质 边：四条边都相等，对边平行． 角：对角相等，邻角互补． A 菱 对角线： 对角线互相垂直平分．对称性：即是轴对称图形，O BC形又是中心对称图形．⑴有一组邻边相等的平行四边形 判别 ⑵四条边都相等的四边形 ⑶对角线互相垂直平分的四边形 ⑷对角线互相垂直的平行四边形菱 形1、如图，在菱形ABCD中，AB=10，OA=8， 40 OB=6，则菱形的周长是_________ ，面积是 96 ___________D AO B DC菱形面积 ? 两对角线之积 22、如图，在菱形ABCD中， ∠B= 120°，则 30° ∠DAC=___________AC B D3、菱形的一个内角为120°，较短的对角线长 A 40 为10，那么菱形的周长是_____________BC4、菱形有而一般的平行四边形不具有的性质是( D ) A、对角相等 B、对角线互相平分 C、对边平行且相等 D、对角线互相垂直5、如图，小强拿一张正方形的纸（图(1)），沿虚线对折 一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3） 中的虚线剪成两部分，再把所得的三角形的部分打开后的 形状一定是（ B ） A．一般的平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形(1)(2)(3)定义：一组邻边相等且有一个角是直角的四边形叫正方形正 方 形边：四条边都相等，对边平行． 角：四个角都是直角． 性质 对角线： 对角线相等且互相垂直平分．对称性：即是轴对称图形又是中心对称图形 ⑴先判定四边形是矩形； 判别 再判定这个矩形是菱形 ⑵先判定四边形是菱形； 再判定这个菱形是矩形D O CABAD1、如图，已知正方形ABCD对角线交于点O， 90° 则∠BOC=________BO C2、如图，以定点A、B为其中两个顶点作为正方形， B 一共可以作（ ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个AB三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半。A数学语言：∵在△ABC中，D 、E分别 是AB 、AC的中点. 1 ∴ DE∥BC, DE= BCDE2BC平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系平行四边形 正 方 形矩形菱形二、几种特殊四边形的性质边平行 四边形矩 形对边平行 且相等 对边平行 且相等 对边平行，四 条边都相等 对边平行， 四条边 都相等角对角相等， 邻角互补 四个角 都是直角对角相等, 邻角互补对角线对称性对角线互相平分 对角线相等且互相平分 轴对称图形 （2条）菱 形对角线互相垂直平分， 轴对称图形 每条对角线平分一组对角 （2条） 对角线互相垂直平分且 相等，每条对角线平分 一组对角正方形四个角 都是直角轴对称图形 （4条）三、特殊四边形的常用判定方法平行 四边形 分别相等; （4）对角线互相平分； （5）一组对边平行且相等（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （1）两组对边分别平行； （2）两组对边分别相等； （3）两组对角矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形。 （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱 形（2）四条边都相等的四边形是菱形； （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （1）有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；正方形 （2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形。巩固练习（一）判断题： 1.平行四边形的对角线相等； （ 2.矩形的四个角都相等； （ ） ） ） ）3.菱形的对角线互相垂直平分； （4.有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形； （5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （ 6.对角线相等的四边形是矩形； （ ））（二）选择题： 1.下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（ D ）。 (A)一组对边平行，另一组对边也平行；(B)一组对角相等，另一组对角也相等； (C )一组对边相等，另一组对边也相等； (D)一组对边平行，另一组对边相等 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ B ）。 (A)对角线互相平分。 (B)对角线相等。 （C）对角线平分一组对角。 (D)对角线互相垂直。 3.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形一定是（ D ） (A)矩形。 (B)正方形。(C ) 菱形。(D)平行四边形 4.内角和等于外角和的多边形是（ B ） (A) 三角形。(B)四边形。(C )五边形。(D)六边形。 5.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ C ） (A)对角相等。(B)邻角互补。(C )对角互补。(D)内角和是360°。6.能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（ B ） (A)一组对角相等。 (B)两条对角线互相平分。 (C )两条对角线互相垂直。 (D)一对邻角的和为180°。7.不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ D ） (A) AB =CD, AD =BC。(B) BC // AD。 (C ) AB//DC, AD//BC。 (D) AB =CD，AD//BC。典型例题：例1 如图，E，F是平行四 边形ABCD的对角线AC上的 点，CE=AF，请你猜想：ADEBE与DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明BFCA ED23 4 1 F CB猜想： BE∥DF, BE=DFADEoFBC证法1：∵四边形ABCD是平行四 边形 ∴BC=AD，∠1=∠2 在△BCE与△DAF中 BC=AD ∠1=∠2 CE=AF ∴ △BCE≌△DAF证法2： 连接BD，交AC于点O， 连接DE,BF∵四边形ABCD是平行四边形∴BO=OD, AO=CO 又∵AF=CE ∴AF-AO=CE-CO 即EO=FO∴BE=DF， ∠3=∠4∴BE∥DF∴四边形BEDF是平行四边形∴ BE=DF， BE∥DF例2如图，在⊿ABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D，AN是三角形外角 ∠CAM的平分线， CE⊥AN,垂足为点E. （1）求证：四边形为矩形； M （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？ 证明你的结论。A 4 1 2 E ∟N3BD∟ C第七章：实数复习目标1了解无理数与实数的概念，学会区分无理数 与有理数,会对实数进行分类 2了解算术平方根，平方根，立方根的概念， 会用根号表示数的平方根立方根，掌握三 者的区别 3掌握勾股定理及其逆定理的内容。会用勾股 定理解决实际问题，会用逆定理判定直角 三角形（难点）算术平方根负的平方根
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？ 算术平方根 表示方法 平方根 立方根3a的取值性 质正数 0 负数a≥0a0≠? a a≥ 00 没有aa 是任何数0 负数（一个）正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）没有开方 是本身0,1求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方 0 0,1,-1有限小数及无限循环小数整数分数有理数实 数正整数 0 负整数 正分数 负分数自然数无理数无限不循环小数一般有三种情况正无理数 负无理数(1)、 ??2?、 “”， “3”开不尽的数(3)、 类似于0. 0001 ?练习：1、—8是64 的平方根, 64的平方根是±8； 8 -64的立方根是_____ -4 64 ? _____92、的平方根是? 。33 9 ? ____64 的立方根是（ 2 ）， 81 的平方根是 （ ? 3）＜0.5 时，2x-1没有平方根 3.当x ______4.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则 a= ,x= 1 4练习：1、判断下列说法是否正确：）1.实数不是有理数就是无理数。 （2.无限小数都是无理数。3.无理数都是无限小数。（（））4.带根号的数都是无理数。（））5.两个无理数之和一定是无理数。（6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来， 数轴上所有的点都表示有理数。（ ） 7.平面直角坐标系中的点与有序实数对之间是 一一对应的。（ √ ）2.把下列各数分别填入相应的集合内：32,?,0,4 , 95 ? , 22,1 , 420 , 3? 5, ? 3 8 ,7,0. ???5 1 ,? , 4 24 , 93（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）? 8,32,7,?,2,0,???? 5,20 , 30. ??????有理数集合无理数集合2 3 2 27 （ x ? ） ? 125 ? 0 (1). 9(3 ? y) ? 4 (2). 3 2 3 4 2 解: 解: 27 ( x ? ) ? ?125(3 ? y ) ?3.解方程：不 要 遗 漏4 3? y ? ? 91 2 y ? 2 或y ? 3 3 393 2 3 125 (x ? ) ? ? 3 272 3 125 x? ? ? 3 272 y ? 3? 3x ? ?12 5 x? ? 3 3当方程中出现平方时，若有解，一般都有 两个解当方程中出现立方时，一般都有一个解4、若 5 试化简2?x ? 2?2___ ? 2 ? x ，则 x的取值范围是x≤2a、b、c 位置如图所示，a b 0(1) a ? a ? b ? c ? a ??b ? c ?c2解：原式＝-a-(b-a)+(c-a)-(c-b)=-a-b+a+c-a-c+b=-a6、已知 5 ? 11 的小数部分为m, 5 ? 11 1 的小数部分为n 则m ? n ? _____解： ? 3? 11? 4 ? 8?5 ? 11?9， -3 ? 5 ? 11的整数部分是8，小数部分是 11? m ? 11 - 3 ? 3? 11? 4 ? -4?- 11?-3 ?1?5 - 11? 2 ? 5 - 11的整数部分是1，小数部分是4 - 11 ? n ? 4 - 11 ? m ? n ? 11 ? 3 ? 4 ? 11 ? 17、计算：（1）1.44 ? 0.16 ? ?1 ? 83 3(2) | ?3 | ? 25 ? (38?解：原式＝3+5-1+4 ＝11 a , b 8、已知等腰三角形的两边长 满足 2 2a ? 3b ? 5 ? ?2a ? 3b ? 13? ? 0 ，求三角形的周长a=2 2a-3b+5=0 解得： 解：由题意，得｛ ｛ b=3 2a-3b-13=05)解：原式＝1.2+0.4+1-2 0 ＝0.6 3? 64所以等腰三角形的三边为2，2，3或2，3，3 所以，三角形的周长为7或89、已知 3 ? a ? a ? 4 ? a ，求 a 的值。 解得a≥4 解：由题意得：a-4≥0a?4 ?3 ∴ a-3+ a ? 4 ? a ∴a-4=9 ∴a=13 10、已知y ? x ? 2 ? 2 ? x ? 3 ，求 y-x的算术平方根解：由题意，得： x≥2 解得： x≤2｛｛X-2≥0 2-x≥0 ∴x=2当x=2时，y=3? y ? x ? 3 ? 2 ?1勾股定理与逆定理勾股定理 内 容 用 途两直角边的平方 和等于斜边的平 2 2 2 方即 a ? b ? c逆定理若三角形的三 2 2 2 边满足 a ? b ? c 则三角形是直 角三角形是直角三角形 的性质用来判定三角 形是否是直角 三角形典型题目1、张大爷家屋前9米远处有一棵大树。 在一次强风中，这棵大树从离地面6米处 折断倒下，量得倒下部分的长是10米。 大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请 你通过计算、分析后给出正确的答案10 62、三角形三边a,b,c满足(a?b) ? b ? 2 ? (c2?8) ? 02 2等腰直角三角形 则此三角形为________________.在Rt⊿ABC其中两边 a,b满足 3 ? a? b?4 ? 07或5 则此三角形c边长为________________.3、直角三角形两条直角边的长为 1和 3，求斜边上的高。3 24 、已知：如图，四边形 ABCD 中 ，∠ B ＝ 900 ， AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ， CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四 边 形 ABCD的面积?C4S四边形ABCD=3612B35S四边形ABCD=？13DA
用不等号连接 而成的数学式 子叫做不等式一、知识导图不等号的两边都是整 式,而且只有一个未知 数,未知数的最高次数 是一次数轴、 定点、 定方向一、知识点总结：? 1、不等号： 表示不等关系的符号称为不等号。一般包括“&”、 “&”、“≥”、“≤”、“≠”五种,其意义、读法如下表 所示： 名称 符号 读法 意义 例子大于号 小于号 大于或等于号 小于或等于号 不等号& &≥ ≤ ≠大于 小于左边的量大于右边的量左边的量小于右边的量3&2 -5&11.大于或等于 左边的量不小于右边的量 a≥4 2.不小于 1.小于或等于 左边的量不大于右边的量 b≤-1 2.不大于不等于左右两边的量不相等c≠0例:用不等号表示下列两数或两式的关系:≤ 2_____0;(4)|2x|______|-3x|. ≥ & (1)3____-1;(2)-10____0;(3)2x &2.不等式:用不等号连接起来的式子.? ? ? ? ? ? ?例用适当的符号表示下列关系: (1)a的2倍比8小; (2)y的3倍与1的和大于3; (3).x除以2的商加上2至多为5; (4).a与b两数和的平方不大于2. (5).x与y的差为非正数; (6).a与4的和不小于2.注：列不 等式与列 等式一样。3.不等到式的基本性质 性质 : 1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变. 性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的 方向不变. 性质 3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号 的方向改变. 例: (1).由a&b,得到am≤bm的条件是( D )A.m&0; B.m&0; C.m≤0; (2).下列变形中正确的是( CD.m≥0.)1 1 A.由a&b,得 a ? B.由m&n,得mx& 3 3C.由a&b,得-2+3a&-2+3b; D.由7x&3x-2,得x&-2.注:在不等式两边都乘以(或除以)同一个整式时,应 考虑整式为正数、负数、零三种情况。4、不等式的解: 使不等式成立的未知数的值. 例：-2是不是不等式2x-1&-3的解？4呢？解：当X=-2时,2x-1=2×(-2)-1=5&-3,即不等式左边&右边,所以x=-2 不是不等式2x-1&-3.的解.当x=4时,2x-1=2×4-1=7&-3,即不等式左 边&右边,所以x=4是不等式2x-1&-3的解.5、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解， 组成了这个不等式的解集。 例：x&5是不等式3x-5&2x的解集，则下列说法正确的有 （ B ）个。 A.1个; B.2个; C.3个; D.4个.①5是不等式3x-5&2x的一个解；②0是不等式3x-5&2x的一个解； ③x&4也是不等式3x-5&2x的解集；④所有小于4的数都是不等式 3x-5&2x的解。 剖析：x&5是不等式3x-5&2x的解集，说明任何一个小于5的数都是 不等式3x-5&2x的一个解，当然小于4的值也一定是不等式3x-5&2x 的解，但x&4不是不等式的解集，因为它不是由不等式的所有解组 成的。6、解不等式：求不等式解集的过程其实质就是把不等式化为“x&a或x≥a或x&a或x≤ a”的形式。7、用数轴表示不等式的解集：大于向右画,小于向左画. x≤a x&a x&a x≥aa a a a 例: 1.关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图所示,则a的取值是( A.0; B.-3; C.-2; D.-1 2.如图,表示的是不等式的解集,或中错误的是( C )-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2D )-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-2 -1 0 1-2 -1 0 1 2x≥-1 Ax&1 Bx≥0 Cx&0 D用数轴表示不等式的一般步骤;(1)画数轴;(2)定界点;(3)定方向8、不等式解集中最值问题： 对于不等式x≥a的解集有最小值，最小值为x=a；对于 不等式x≤a的解集有最大值，最大值为x=a，而不等式 x&a的解集没有最小值，x&a没有最大值。例：x≥2时x的最小值是a，x≤5时x的最大值是b，试求 ba的值。 解：根据已知条件，得a=2,b=5则ba=52=259、一元一次不等式： 不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未 知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不 等式。10、一元一次不等式的解法解一元一次不等式和解一元一次方程类似,有 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1等步骤. 与一元一次方程解法区别在哪里?在系数化为1的这一步中,要特别注意不等式的两 边都乘以(或除以)一个负数时,不等号的方向必须 改变方向.2x ?1 5 1.解不等式 ? x ? 5, 3 4 与解一元一次 并把它的解集在数轴上表示出来. 方程方法类似 5 解 去分母得: 4(2 x ? 1) ? 12( x ? 5) 4 : 同乘最简 去括号得: 8x-4≥15x-60 公分母12,移项得: 8x-15x≥-60+4 合并同类项得 : 化系数为1得 :-7x≥-56方向不变例：x≤8同除以-7, 方向改变-1 0 1 2 3 4 5 6 7 82求不等式 3x+1≥4x-5的正整数解．3x﹣4x≥-5-1 解 移项得: : ﹣x ≥-6 合并同类项得 : 化系数为1得 x≤6 : 所以不等式 的正整数解为： 1、2、3、4、5、6练习1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。(1).2(5x+3) ≤x-3(1-2x)x?2 (2). ? (x ? 1) ? 1 22x ? 1 10x ? 1 5 (3). ? ? x?5 3 6 42.不等式2x-7&5-2x的正整数解有（ A、1个； B、2个； C、3个；B ）D、4个 的解是非负数，求x ? m 2 ? x 3、若关于x的方程 x ? ? m的取值范围。 2 211.利用方程和一个一次函数的图象求一元一次不等式的 解集: 一次函数y=kx+b的图象是条直线,kx+b=0是一元一次方 程,其解为直线与x轴的交点的横坐标.kx+b&0,kx+b&0是 一元一次不等式,它们分别对应直线x轴上方的部分和直 线在x轴下方的部分,相应不等式的解集便是相应的图象 对应的所有x值,这种解法较为直观,关键是确定一次函数 的图象与x轴的交点.例:作函数y=x+3的图象,并观察图象,回答下列问题 y : 解:(1).当x&-3 4 时,x+3&0; (1).x取何值时,x+3&0? 3 2 (2).当x&-3时 (2).x取何值时,x+3&0? 1 ,x+3&0; x 1 2 3 4 -5 -4 -3 -2 -1 -1 (3).x取何值时,x+3&2? (3).当x&-1 -2 时,x+3&2;12、利用两个一次函数的图象求一元一次不等式的解集：对于两个一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2，若比较y1与y2的大小， 则为比较k1x+b1与k2x+b2的大小，即为求不等式k1x+b1&k2x+b2 （或k1x+b1&k2x+b2）的解集，或求方程k1x+b1=k2x+b2的解。利 用一次函数的图象解决这类问题会更加直观。若y1&y2，则一次函 数y1=k1x+b1的图象在一次函y2=k2x+b2的图象的上方，从而找出 对应的x的取值范围即可；若y1&y2，则一次函数y1=k1x+b1的图象 在一次函数y2=k2x+b2的图象的下方，从而找出对应的x的取值范 围即可。若y1=y2即为求一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的交点处 的横坐标。解决这类问题关键是确定两个一次函数图象的交点坐 标。 例：已知y1=x+1,y2=2x，试用两种方法回答下列问题： y 4 Y1=x+1 解：（1）x=1; 3 （1）、当x取何值时，y =y ?1 2（2）、当x取何值时，y1&y2 （3）、当x取何值时，y1&y2?(2).x&1;(3).x&1-5 -4 -3 -2 -12 1 1 2 3 4 -1 -2x13、一元一次不等式组： 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组 成一个一元一次不等式组。 14、一元一次不等式组的解集： 一般地，一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫这个 一元一次不等式组的解集。 15、一元一次不等式组的解集的取法：最简不等式组（a&b)数轴表示aa a a b b解集 x&b口决 同大取大 同小取小x&a x&b x&a x&b x&a x&b x&a x&bbbx&aa&x&b 大小小大取中间 无解大大小小解不了16、一元一次不等式组的解法：步骤：（1）先分别解不等式组中的每一个不等式，分别求 出它们的解集； （2）将每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，找 出它们的公共部分，注意：公共部分可能没有，也可能是 一个点。 （3）根据公共部分写出不等式组的解集，若没有公共 部分，则说明不等式组无解。特别注意：用数轴表示不等式的解集时，” ＜、 ＞“用空心，” ≤、≥“用实心。” ＞、≥“向 右画，” ＜、≤“向左画。例1：解不等式组:2x ?1 5 ? x?5 ① 3 4 2( x ? 4) ? 3 x ? 3 ②解 :由不等式①得: x≤8由不等式②得: x≥5-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8与解方程组的 方法完全不同∴ 原不等式组的解集为:5≤x≤82.求不等式组?2 x ? 1 ? 5 ① ? ?1 ② ( x ? 2) ? 3 ? ?2的整数解.解 :由不等式①得: x＞2由不等式②得: x≤4-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8∴ 不等式组的解集为:2＜x≤4不等式组的整数解为：3、4练习：解下列不等式组：?x ? 3 ? 4 ? (1).? x ?1 ? 1 ? ?2?x ? 3(x ? 2) ? 4 ? (2).?1 ? 2x ? 2?x ? ? 4?2(x ? 1) ? 3x ? 1 ? (3).? x x ? 1 ? ? 4 ?3?3x ? 1 ? 5x ? 4 ? (4).? 1 2 x?x? ? 3 ?3生活与数学? 不等式(组)在实际生活中的应用 当应用题中出现以下的关键词,如大,小,多 ,少,不小于,不大于,至少,至多等,应属列不等式 (组)来解决的问题,而不能列方程(组)来解.17、一元一次不等式（组）的应用： （1）、利用不等式解决商家销售中的利润问题： 例：某商店将一件商品的进价提价20%的，再降价30%，以105 元出售，问该商店卖出这件产品，是盈利还是亏损？ 解：设这件商品的进价为x元，则x(1+20%)(1-30%)=105，解得 x=125，因为105&125，所以该商店卖出这件产品亏损了。 练习：免交农业税，大大提高了农民的生产积极性，某镇政府对生 产的土特产进行加工后，分为；甲、乙、丙三种不同包装推向市场 进行销售，其相关信息如下表：质量（克/袋） 销售价（元/袋） 包装成本费用（元/袋） 4.8 3.6 2.5 0.5 0.4 0.3甲乙400 300 200丙春节期间，这三种不同包装的土特产都销售1200千克，那么在这次 销售中，这三种包装的土特产获得利润最大的是（ C ）A、甲 B、乙 C、丙 D、不能确定（2）、利用不等式解决方案设计问题：例1：某校在“五一”期间组织学生外出旅游，如果单独租用45座 的客车若干辆，恰好坐满；如果单独租用60座的客车，可少租一辆， 并且有一辆不空也不满。（1）求外出旅游的学生人数是多少？（2）已知45座客车座客车每辆租金250元，60座客车每辆租金300 元，为了节省租金，并保证每个学生都能有座，决定怎样租用客车， 使得租金最少？ 解：设单独租用45座的客车x辆，则单独租用了（x-1） 辆60座的客车。根据题意得： 0&45x-60(x-2)&60 解得:4&x&8 所以学生数为：45×5=225人、45×6=270人或45×7=315人。例2：某单位急需用车，但以不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国营出 租车公司中一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主有月 租费用是y1元，应付给国营出租车公司的月租费用是y2元，y1、y2分别与x之间 的函数关系（两条射线）如图所示，回答下列问题： （1）分别写出y1、y2与x的函数关系式？（2）每月行驶的路程在什么范围内， 租国营出租车公司的车合算？在什么范围内租个体车主的车合算？（3）每月行 驶的路程是多少千米时，租两家车的费用相同？（4）如果这个单位估计每月行 驶的路程为2300米，那么这个单位租哪家的车合算？ 解：设y1与x之间的函数关系式为y1=k1x+b, y(元） 由于该函数图象过(0,1000),()，所 以有 b= 解得 +b=2500 b=2000所以y1=x+1000。设y2与x之间的函数关系式 1000 为y2=k2x，由于该函数图象过（1500， 3000），所以0所以k2=2,所以 O 500 00 x（千米） y =2x;(2)根据题意，得y &y ，即 2 2 12x&x+1000，解得x&，即2x&x+1000，解得x&1000。所以当每月行驶的路程 小于1000千米时，租国营出租四公司的车合算；当每月行驶的路程大于1000千米时，租 个体车主和车合算；（3）由题意得y1=y2，即2x=x+1000,解得x=1000，所以每月行驶的 路程为1000千米时，租两家车的费用相同；（4）因，所以租个体车主和车合 算。例3、某饮料厂为了开发新产品，用A、B两种果汁原料各19千克、 17.2千克试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是实验的相关数 据： 饮料 (1)假设甲种饮料需配每千克会含量甲乙A（单位：千克） B（单位：千克）0.5 0.30.2 0.4制x千克,请你写出满 足题意的不等式组,并 求出其解集.(2)若甲种饮料每千克成本为4元,乙种饮料每千克成本为3元,设这两 种饮料的成本总额为y元,请写出y与x的函数关系式(不要求写自变 量的取值范围),并根据(1)的运算结果,确定当甲种饮料配制多少千克 时,甲、乙两种饮料的成本总额最少？ 解：（1）由题意得： 0.5x+0.2(50-x) ≤19 0.3x+0.4(50-x) ≤17.2 解不等式组，得 28≤x≤30 （2）y=4x+3(50-x)，即y=x+150。因为x越小，y越小，所以当 x=28时，y最小。即当甲种饮料配制28千克时，甲、乙两种饮料的 成本总额最少。练习：绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨， 桃子12吨。现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往 外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货 车可装枇杷和桃子各2吨。 （1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几 种方案？ （2）若甲种货车每辆要付运费300元，乙种货车每辆要付运费240 元，则果农王灿应选择哪种方案，使运费最少？最少运费是多少？ 解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车(8-x)辆，依题意得 4x+2(8-x) ≥20，且x+2(8-x) ≥12，解得2≤x≤4。因为x是正整数，所以 x可取的值为2，3，4。因此安排甲、乙两种货车有三种方案：甲种货车 乙种货车 方案一 方案二 方案三 2辆 3辆 4辆 6辆 5辆 4辆 （2）方案一所需运费300×2+240×6=2040 （元）；方案二所需运费 300×3+240×5=2100（元）；方案三所需 运费300×4+240×4=2160（元）。所以五 灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040 元。解不等式的步骤? 去分母 ? 去括号 ? 移项 ? 合并同类项 ? 未知数的系数化为1 注意用不等式性质3，即不等式两边乘或 除以一个负数时，改变不等号的方向。返回解不等式组的四种基本结果类型（a&b） 解集数轴显示b a语言叙述两大选取大?2? ?x?bx?a x?b?1??x?ax?a x ?bx&a x&b b&x&a 无解?3? ? x ?a ?4? ?x?bba两小应选小大于小小于 大中间找 小于小大于 大无处挑返回baba列一元一次不等式组解应用题 的一般步骤： 一元一次不等式组的应用（1）审：审题，分析题目中已知什么，求什么，明确 各数量之间的关系;（2）设：设适当的未知数； （3）找：找出题目中的所有不等关系;执教：李维明（4）列：列不等式组;单位：无锡市华庄中学 （5）解：求出不等式组的解集（6）答：写出符合题意的答案返回
二次根式概念最简二次根式 同类二次根式a ?0二 次 根 式( a? ? a2??(??a ? 0) ?(??a ? 0)( a ? ?? a ?性质ab ? a ? b ?(??a ? 0, b ? 0??)a a ? b b(??a ? 0, b ? 0??)运算a ? b ? ab??(??a ? 0, b ? 0??)a a ? ??(??a ? 0, b ? 0??) b b二次根式的概念１．二次根式的定义： 形如 a（a ? 0）的式子 叫做二次根式２．二次根式的识别： （１）．被开方数a?0（２）．根指数是２例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？①15a ?b22②3a?a2 ?1③x ? 100④2⑤⑥?144⑦a ? 2a ? 1⑧ 35二次根式的性质（1）．（2）． （3）．a ? 0　（ａ? 0）( a) ? a2a ? a ?{2a ,a ?0 ? a ,a ?0题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.1. 当3 时， X≤ _____3? x有意义。2.(2006.青岛)a ? 4 + 4 ? a 有意义的条件是 a=43.求下列二次根式中字母的取值范围 1 x ?5 ? 3 ?x 说明：二次根式被开方数解： ?x?5 ? 0 ? ?3- x ? 0①②不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）解得- 5≤x＜34、已知函数 y ? x ? 2 ? - 2 - x ? x ?1, 求y x的值。?x?2 ? 0 ? x ? ?2 解：由? 得： ? ?- 2 - x ? 0 ? x ? ?2? x ? ?2?y ?3y ?3x?21 ? 95、已知x、y是实数，且y?x ? 4 ? 4 ? x ?1 x?22 2求3x+4y的值。题型2:二次根式的非负性的应用.注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。1.已知：x?4+2x ? y=0,求 x-y 的值.解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8 x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 2.已知x,y为实数,且x ?1A.3+3(y-2)2 =0,则x-y的值为(D )B.-3C.1D.-1题型3最简二次根式：１、被开方数不含分数； ２、被开方数不含开的尽方的因数或因式； 注意：分母中不含二次根式。练习1：把下列各式化为最简二次根 3 2 x 式 1 2 32 3y 55 ? 57?4 22 7 ? 7x ? 6 xy 3y抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式, 并说明理由。(1) 50 (4) 0.75(2) a bc (5) (a ? b)(a ? b )2 22(3) x ? y21 (6) 6 2例1：把下列各式化成最简二次根式(1) 541 1 2(2)4a2? 16ay x2 (a≥0)例2：把下列各式化成最简二次根式(1 ) 4 (2)x2(x&0)化简二次根式的方法：（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分 母有理化,将式子化简。题型3：利用 a ? ( a )2 (a ? 0) 进行分解因式 例：分解因式：(1) x ? 22? x 2 ? ( 2 )2 ? x ? 2 x ? 2????(2)2 x 2 ? 3 y 2? ( 2x)2 ? ( 3 y)2 ? 2x ? 3y 2x ? 3y????练习与反馈1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ 的取值范围 1 （１）3? x（２）2x ? 5由3 ? x ? 0得：x ? 3（３） 1 ? xx5 由2 x ? 5 ? 0得： x ? 2?1 ? x ? 0 由? 得：x ? 1且x ? 0 ? x?02．（１）? ?3 (? ? 3) ? ____22x ?1 （２）当 x ? 1 时， (1 ? x) ? ____（３） ( x ? 2) 2 ? x ? 2 ， 则Ｘ的取值范围是＿＿＿（４）若则Ｘ的取值范围是＿＿＿( x ? 7) ? ?1 x?72，3、二次根式的混合运算 计算(1)( 48 ? 50) ? 6(2)(2 6 ? 7 2 ) ? (7 2 ? 2 6 ) (3)(3 5 ? 4 2 ) ? (2 5 ? 3 2 )第10章一次函数（复习课）1．回顾并理解掌握正比例函数、一次函数的概念、图象、性质 及解析式的确定，查漏补缺；理解回顾一次函数与一元一次 方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系。会用相关 知识解决实际问题。 2．提升学生自主构建知识体系的能力，进一步提高学生数形结 合思想和用函数思想解决问题的能力。 3.在学习过程中，培养学生独立思考、合作探究的意识和能力， 进一步激发学生学习数学的兴趣。1．一次函数的图象及性质的归纳和总结。 2．通过一次函数图象深刻认识方程（组）、 不等式（组）的解。3.运用一次函数的图象及其性质解决有关实际问题。1.一次函数的实际应用。 2. 函数思想、数形结合的渗透和应用定义 变化的 世界 函 数 一 次 函 数 正 比 例 函 数定义 图象 性质应用函数与一 元一次方 程（组） 的关系 函数与一 元一次不 等式的关 系Y=kx+b(k≠0)直线 增减性 对应性 待定系数法 实际应用函数关系的 表示方法表 达 式 列 表 法 图 象 法一.常量、变量： 在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做 变 量 ；数值始终不变的量叫做 常量 ；二、函数的概念：函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量， y是x的函数．返回引入三、函数中自变量取值范围的求法：（1）.用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 （2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的 一切实数。 （3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数 为非负数的一 切实数。 （4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取 值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问 题有意义。四. 函数图象的定义：一般的，对于一个函数， 如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点 的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组 成的图形，就是这个函数的图象．下面的２个图形中，哪个图象中y是关于x的函数．图１图２五、用描点法画函数的图象的一般步骤：1、列表（表中给出一些自变量的值及其 对应的函数值。） 注意：列表时自变量由小到大，相差一样， 有时需对称。2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐 标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的 各点。 3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点 用平滑的曲线连接起来）。六、函数有三种表示形式：正方形的面积S 与边长 x的函数关系为： S=x2 (x＞0)（1）解析式法 （2）列表法 （3）图象法2.一次函数的概念一次函数的概念：如果函数y=_______(k kx ＋b 、b 为 ≠０ ，那么y叫做x的一次函数。 常数，且k______) kx ≠０ 叫做正比 = ０ 时，函数y=____(k____) 特别地，当b_____ 例函数。★理解一次函数概念应注意下面两点：1 次， ⑴、解析式中自变量x的次数是___ ⑵、比例系数_____ k≠0 。思考y=k xn +b为一次函数的条件是什么? 一. 指数n=1 二. 系数 k ≠01.下列函数中,哪些是一次函数?1 (1) y ? 2 x (2) y ? (3) y ? ? x ? 1(4) y ? xx2答: (1)是 (2)不是 (3)是 (4)不是 2:函数y=(m +2)x+(m 2 -4)为正比例 函数,则m为何值 m =23. 冲击中考演练： 1.求m为何值时，关于x的函数y=（m+1）x2-㎡+3 是一次函数，并写出其函数关系式。 （点评：本题在考查一次函数的定义，由定义可 得 2-㎡=1 且 m+1≠0 ，解得：m=1 解析式为：y=2x+3解 由题意得： 2-㎡=1 m+1≠0 解之得：m=1 把m=1代入 Y=（m+1）x2-㎡+3得 解析式：y=2x+3书写格式2.一次函数的图象a. 正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过点（_____ 0，0 ），(______) ，k 一条直线 的1 _________ 。 b （____， b b.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点（0，___), ? 一条直线 0)的__________ 。 k c.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与k,b符号的关系：& ，b___0 k___0 && ，b___0 & k___0& ，b___0 & k___0& ，b___0 & k___03.一次函数的性质 （1）增减性一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的性质： 增大 ⑴当k&0时，y随x的增大而_________ 。 减小 ⑵当k&0时，y随x的增大而_________ 。例：点A（5，y1）和B（2，y2）都在直线y= -x+1上， 则y1与y2的关系是（ C ） A、y1≥ y2 B、y1＝ y2 C、y1＜y2 D、y1＞y2（2）k.b的符号与图象所在位置对应性从表中可 以看出：由一次函 数经过的 象限可以 判断k、b 的符号， 反过 来，由k、 b的符号 也可以判 断图象经 过的象限.练习： １、直线y=kx+b经过一、二、四象限，则 K ＜ 0, b ＞ 0．此时，直线y=bx＋k的图象只能是( D )2、根据下列一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的草图 回答出各图中k、b的符号：& ， k___0 b___0 & ，& k___0 b___0 &k___0 & ， b___0 & ，& k___0 b___0 &? 图象辨析3、已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb&0, 则在直角坐标系内它的大致图象是( A )(A)(B)（C）（D）? 4、一次函数y=ax+b与y=ax+c(a&0)在同一坐标系中的 图象可能是（ A ）y y y yoxoxoxoxABCD5、直线y1=ax+b与直线y2=bx+a在同一 坐标系内的大致图象是 ( D )a&0 ,b&0 a&0 ,b&0b&0, a&0 b&0, a&0a&0 ,b&0b&0, a&0a&0 ,b&0b&0, a&06. 一支蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧 5厘米,燃烧时剩下的高度h(厘米)与燃烧时 间t(时)的函数关系的图象是( D )ABCD三、两条直线的位置关系 :? 若直线L1和L2的解析式为y＝k1x＋b1和y＝ k2x＋b2 ? 则它们的位置关系可由其系数确定:? (1)k1≠k2? L1和L2相交．? (2)k1= k2，b1≠b2? L1和L2平行．yy ? kx ? b(k ? 0)(0,b)y ? kx(k ? 0)o x一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可 以看作是直线y=kx (k≠0)平移 b 个单位长度得到的。yy=2x+1yy=2xoy=2x-1 y=2x-2xox上 个单位得到。 直线y=2x+1是由直线y=2x向 平移 1下 个单位得到。 1 直线y=2x-2是由直线y=2x-1向 平移四、怎样画一次函数y=kx+b的图象？ 1、两点法y=x+1五、一次函数解析式的求法：求一次函数解析式一般步骤：（1）先设出 函数解析式；（2）根据条件（一般是已知 两个条件）列关于待定系数的方程（组）； （3）解方程（组）求出解析式中未知的系 数；（4）把求出的系数代入设的解析式， 从而具体写出这个解析式。这种求解析式的 方法叫待定系数法练习：1.若一次函数y=x+b的图象过点A（1，-1），则 b=__________ 。 -2 2.根据如图所示的条件，求直线的表达式。另外根据定义求解析式的类型： 例已知y-1与x成正比例，且x=－2时， y=4，那么y与x之间的函数关系式为_________________。3 y ? ? x ?1 23.柴油机在工作时油箱中的余油量Q(千克）与工作时间t（小时）成一次函数关系，当工作开始时油箱中有油 40千克，工作3.5小时后，油箱中余油22.5千克 （1）写出余油量Q与时间t的函数关系式. （2）画出这个函数的图象。 解：（１）设所求函数关系式为：Ｑ＝kt＋b。 把t=0，Q=40；t=3.5，Q=22.5分别代入上式，得?b ? 40 ? ?22.5 ? 3.5k ? b?k ? ?5 解得 ? ?b ? 40(0≤t≤8)解析式为：Q＝－５t+404.柴油机在工作时油箱中的余油量Q(千克）与工作时间t（小时）成一次函数关系，当工作开始时油箱中有油40 千克，工作3.5小时后，油箱中余油22.5千克 （1）写出余油量Q与时间t的函数关系式. Q＝－５t+40 （2）画出这个函数的图象。 (0≤t≤8)（２）取t=0，得Q=40；取t=８，得Q=０。描出点 Ａ（０，40），B（8，0）。然后连成线段AB即是所 求的图形。 图象是包括 两端点的线段注意：（1）求出函数关系式时，必须找出自变量的取值范围。 （2）画函数图象时，应根据 函数自变量的取值范围来确定图 象的范围。Q 40 20 0.A.B8 t六、一次函数与一元一次方程：求ax+b=0(a，b是 常数，a≠0)的解．x为何值时 函数y= ax+b的值 为0．从“数”的角度看求ax+b=0(a, b是 常数，a≠0)的解．从“形”的角度看求直线y= ax+b 与 x 轴交点的横 坐标．练习：（ 1 ）根据下列图象，你能说出哪些 一元一次方程并说出相应方程的解？yy ? 5x0 5x=0 X=0y2 -2 0y ? x?2xx+2=0xy2 0y1X=-2y ? x ?1xxy ? ?3x ? 6-3x+6=00 -1x-1=0 X=1X=2七、一次函数与一元一次不等式：解不等式ax+b＞0(a， b是常数，a≠0) ．x为何值时 函数y= ax+b的值 大于0．从“数”的角度看解不等式ax+b＞0(a， b是常数，a≠0) ．从“形”的角度看求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线） 所对应的的横坐标的 取值范围．解不等式：5x+4＜2x+10? 解法一：利用解不等式的方法(略）解法二：把5x+4＜2x+10看做两个一次函数y=5x+4和y=2x+10y=5x+4 y=2x+10画出y=5x+4和y=2x+10的图像 由图像可知：它们的交点的横坐标为2。 104当x ＜2时直线y=2x+10上的点都在直线y=5x+4的 下方，即5x+4＜2x+10 -5 2所以：此不等式的解集为： x ＜2其实：两种解不等式的方法都是把不等式转化为比较 直线上点的位置的高低练习：1、函数 y＝2x＋3 的图象如图 3，根据图象回答： (1)x 取什么值时，函数值 y 等于 0? (2)x 取什么值时，函数值 y 大于 0? (3)x 取什么值时，函数的图象在 x 轴下方？图33、直线y=kx+b与直线y=2x+3交点的横坐标为2，则关于x的不等式kx+b&2x+3的解集为______ x&2yy=2x+302x y=kx+b八、一次函数与二元一次方程组：x ? b1 y ? c1 ? ? a 1 解方程组 ? 从“数”的角度看 x ? y ? ? a b c 2 2 ? 2自变量（x）为何值 时两个函数的值相 等．并求出这个函数值? ?a1 x ? b1 y ? c1 解方程组 ? ? ?a2 x ? b2 y ? c2从“形”的角度看确定两直线交点的 坐标.巩固练习1、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在一次函数 y=2x-1 ______的图像上。x=6 x-y=4 2、方程组 3x-y=16 的解是 y=2 ，由此可知一y=-3x+16 次函数 y=x+4 与 且交点坐标是 (6，2) 。的图像必有一个交点，3、用图象法解方程组：2x+y=4 2x-3y=12①②x解： 由①得: y ? ?2 x ? 4作出图象： 观察图象得：交点为(3,-2) x=3 ∴方程组的解为 y=-2y=-2x+42 由②得: y ? x ? 4 3y=2/3x - 4 oy八年级 数学?二元一次方程组的解与以这两 个方程所对应的一次函数图象的 交点坐标相对应。由此可得:二元一次方程组的图象解法.写函数，作图象，找交点，下结论图象法： 近似！x-y=0 你有哪些方法？ 4、解方程组 2x+y=5 y8 6 4y?x精确！ 代数法：-10观察图象得：交点(1.7,1.7) ∴方程组的解为 x=1.7 y=1.7-52x=5/3 ∴方程组的解为 y=5/3用作图象的方法可以直观地获得问题的 结果,但有时却难以准确.为了获得准确 的结果,我们一般用代数方法.o-25x-4y ? ?2 x ? 5作出图象：-6乘坐智慧快车5、应用：老师为了教学，需要在家上网查资料。电信公司提供了两种上网收费方式： 方式 1 ：按上网时间以每分钟 0.1 元计费；方式 2 ：月租费 20 元，再按上网时间 以每分钟 0.05 元计费。请同学们帮老师选择：以何种方式上网更合算？解：解法一：设上网时间为 x 分，若按方式 1 则收 y1=0.1x若按方式 2 则收 y2=0.05x+20元；元。在同一坐标系中分别画出这两个函数的图像y1=0.1x y2=0.05x+20 当 x＞400 时,y/元y1 ＞ y240 30 20 当 x = 400 时,y1 = y2当 0≤x＜400 时, o 200 400 x /分y1 ＜ y2九、一次函数图像中的面积有关问题： 1、已知一次函数y=kx+b的图象经过(-1,1 5),且与正比例函数y= X的图象相交于点 2(2,a),求:(1)a的值; (2)一次函数的解析式;(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积.3、如图,A,B分别是x轴上位于原点左,右两侧 的点,点P(2,P)在第一象限,直线PA交y轴于点 C(0,2),直线PB交y轴于点D, S?AOP ? 6 (1)求 S?COP 的面积; (2)求点A的坐标及P的值;C A OB x y D P(2,p)2 4、直线y ? x ? 2 3分别交x轴,y轴于A,B两点,O为原点.(1)求△AOB的面积; (2)过AOB的顶点,能不能画出直线把 △AOB分成面积相等的两部分?写出这 样的直线所对应的函数解析式用数形结合思想解决一次函数与存在性问题：例题：如图,直线AB与y轴,x轴交点分别为 A(0,2) y A B(4,0) 2问题1:求直线AB的解析式 及△AOB的面积.B O 4 x问题2: 当x满足什么条件时,y＞0,y＝0,y＜0,0＜y＜2 当x＜4时,y ＞ 0, 当x=4时,y = 0, 当x ＞4时,y ＜ 0, 当0＜ x＜4时, 0＜ y ＜2,1 y ?? x?2 2S ?AOB ? 4问题3:在x轴上是否存在一点P,使S ?PAB ? 3 ?若存在,请求出P点坐标,若不存在,请说明理由.y A2P(1,0)或(7,0)PB 4O1P 7x问题4:若直线AB上有一点C,且点C的横坐标为0.4, 求C的坐标及△AOD的面积. C点的坐标(0.4,1.8)2 1.6 Oy A D 2 y ACB xB 4 xO 0.44问题5:若直线AB上有一点D,且点D的纵坐标为1.6, 求D的坐标及直线OD的函数解析式.D点的坐标(0.8,1.6)y=2x问题6:求直线AB上是否存在一点E,使点E到x轴的 距离等于1.5,若存在求出点E的坐标,若不存在,请 说明理由.2y AE1.5E点的坐标(1,1.5) 或(7,-1.5)B 4Ox1.5 E问题7:求直线AB上是否存在一点F,使点E到y轴的 距离等0.6,若存在求出点F的坐标,若不存在,请说明 理由.F点的坐标(0.6,1.7)或(-0.6,2.3)问题8: 在AB上是否存在一点G,使S ?BOG若存在,请求出G点坐标,若不存在,请说明理由.2 y A1 ? S ?AOB 2?G(2,1)或(6,-1)GB 4 xOGH(1,1.5)或(-1,2.5)问题9:在x轴上是否存在一点H,使S ?AOH若存在,请求出H点坐标,若不存在,请说明理由.1 ? S ?AOB 4?问题10:已知x轴上两点的图象上,且△ABC是直角三角形,则满足条件点C有( )1 A(-4,0),B(2,0),若点C在一次函数 y ? ? x ? 2 2A.1个B.2个C.3个D.4个CCx 2CCA O B 4 y问题11: 如图,直线AB与y轴,x轴交点分别为A(0,2) B(4,0),以坐标轴上有一点C,使△ACB为等腰三角形这样的点C有( )个 A.5个 B.6个 C.7个y A B O 4 xD.8个21.某天早晨，小明离家跑步到公园锻炼一会后又 回到家里.下面图像中，能反映小明离家的距离 y和时间x的函数关系的是（ ）.2.下列各点哪些在函数y=2x-1的图像上？ A（1，- 2） B（-2.5，-6） C（0，-1） D（101，199）E（-100，-103）F（1.5，2）3.已知： y ? (m ? 3) xy ? (m ? 2) xm2 ?8m2 ?8是一次函数，则m=_______ ? m ?1? m ? 1 是一次函数，且y随着X的增大而减小则m=________ 4、函数y=2x - 4与y轴的交点为 ，与x轴交于 ，5、已知一次函数y = mx-(m-2), 若它的图象经过原点，则 m= ;若点（0 ，3) 在它的图象上，则m=;6.下列哪个图像是一次函数y=-3x+5 和y=2x-4的大致图像（ Ｂ ）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）7、已知函数 y = kx的图象在二、四象限，那么函数y = kx-k的图象可能是（y 0 x y 0x 0 ( C) (D ) x 0 (B ) xBy）(A )y8、一次函数y=kx+b中，kb&0,且y随x的增大而 减小，则它的图象大致为（ C ）9. 一次函数的图象经过点(2,1)和点(1,5)，则这个一 次函数是( C )ABCDA.y=4x+9 C. y=-4x+9B. y=4x-9 D. y=-4x-9D 是方程组_______ 的解（ ） ?? y ? 3x ? 6 ? A． ?2 y ? x ? ?4?x ? a 10．如果直线y=3x+6与y=2x-4交点坐标为（a，b），则? ?y ? b? y ? 3x ? 6 ? B． ?2 y ? x ? 4?3x ? y ? 6 ? C．?3x ? y ? 4 D．? x ? y ? 15 ? 11、解方程组 ?x ? y ? 7? x ? 11 ? ? y ? 4 ，则直线y=-x+15和y=x-7 解为________的交点坐标是（ ． _______ 11，4） _ x轴，且A点坐标为（1，-2），则直线AB上任意一 12．直线AB∥ 点的纵坐标都是-2，此时我们称直线AB为y=-2，那么直线y=3与直 线x=2的交点是（ ） B A．（3，2） B．（2，3） C．（-2，-3） D．（-3，-2）13.根据下列图象，你能说出哪些方程组的解？ 这些解是什么？Y=－0.5x 1－2y1y=2x-10o1x y=-3x+4Y=x+3随堂练习14、若函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0) 的图象如图所示，那么当y&0时，x的 取值范围是（ D ）. y y&1呢？ （A）x&1（B）x&-3 （C）x&1 1（D）x&-3-3ox随堂练习15、（贵阳市中考题）已知一次函 数y=kx+b的图象如图所示，当y&0 时，x的取值范围是（ D ）.（A）x&0（B）x&0 （C）x&2y Y&3呢？3o（D）x&22x随堂练习16、直线y=-x+2上的点在x轴上方 时，对应的自变量的取值范围是 （ B ）. （A）x&2 （B）x&2（C）x&-2（D）x&-217、（山东烟台市中考题）如图，直线 y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1,2）， 则使y1&y2的x的取值范围是（C ）.（A）x&1（B）x&2 （C）x&1yy1=k1x+a 2 o 1 x（D）x&2y2=k2x+b18：直线y=kx+b与直线y=mx+n交A点（-1，2），直线 y=mx+n与x轴交于（3，0）则关于x的不等式组{kx+b&mx+nmx+n≥0的解集为_________ -1 &x≤3yy=kx+b2-103xy=mx+n19：直线y=kx+b经过点A(1 , 2)和点B( -2 , 0)，则不等式组- x ? 3 ? kx ? b ? 0-2≤x& 1 的解集为___________yy= -x+3A-2y=kx+bB013x20．如图，折线ABC是在某市乘出租车所付车费y（元）与行车 里程x（km）之间的函数关系图象． ①根据图象，写出当x≥3时该图象的函数关系式； ②某人乘坐2.5km，应付多少钱？ ③某人乘坐13km，应付多少钱？ ④若某人付车费30.8元，出租车行驶了多少千米？ 7 14 ①y= 5 x+ 5 （x≥3） ② 7元③ 21元④20千米21、 小明根据某个一次函数关系式填写了下表:xy-10214其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看，该空格里原来 填的数是多少？解释你的理由。 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. ∵当x=0时，y=1，当x=1时，y=0. ∴ b=2 k+b=4∴k=2 ∴y=2x+2∴x=-1时y=0 b=222.如下图，两摞相同规格的碗整齐地放在桌面上，请根据 图中的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上的碗的高度y(cm)与碗的个数x(个) 之间的函数关系式；（2）把这两摞碗整齐地摆成一摞时，碗的高度是多少？14cm 11cm一次函数的应用（1）待定系数法： 用待定系数法求一次函数y=kx+b的解析式，可由已知条 件给出的两对x、y的值，列出关于k、b的二元一次方程组。 由此求出k、b的值，就可以得到所求的一次函数的解析式。 例：已知一次函数y=kx+b(k≠0)当x=1时，y=5，且它的图 象与x轴交点的横坐标是６，求这个一次函数的解析式。解：把x=1时， y=5；x=6时，y=0分别代入解析式，得?k ? b ? 5 ? ?6k ? b ? 0?k ? ?1 解得 ? ?b ? 6y= - x+6∴此一次函数的解析式为（2）利用一次函数解决实际问题。一.使用直译法求解一次函数应用题 所谓直译法就是将题中的关键语句“译”成代数式， 然后找出函数关系、列出一次函数解析式，从而解决问题 的方法。课本P158 (4) 二.使用列表法求解一次函数应用题 列表法就是将题目中的各个量列成一个表格，从而 理顺它们之间的数量关系，以便于从中找到函数关系的解 题方法。 三.使用图示法求解一次函数应用题 所谓图示法就是用图形来表示题中的数量关系，从而观察出 函数关系的解题方法。 此法对于某些一次函数问题非常有效，解题过程直观明了。2.弹簧的长度y (cm)与所挂物体的质量x (kg)的关系是一 次函数,图象如左图所示,观察图象回答：（1）弹簧不挂物体时的长度是多少？从图中还可知道什么？(2) y与x之间的函数关系式为？ （3）弹簧的长度是24cm时，所挂物体的质量是多少？y/cm20A80510 15x/kg3、声音在空气中传播的速度y（米/秒） （简称音速）是气温x（℃）的一次函 数，下表列出了一组不同气温时的音 速： 5 10 15 20 气温x（℃） 0音速（米/秒） 331 334 337 340 343（1）求y与x之间的函数关系式；（2）气温x=22（℃）时，某人看到烟 花燃放5秒后才听到声音响，那么此人 与燃放的烟花所在地约相距多远？二：分段函数 1、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源， 某城市规定用水标准如下：每户每月用水量不超 过6米3时，水费按0.6元/米3收费，每户每月用水量 超过6米3时，超过的部分按1元/米3。设每户每月 用水量为x米3，应缴纳y元。（1）写出每户每月用水量不超过6米3和每户每月用水量 超过6米3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为 一次函数。（2）已知某户5月份的用水量为 x 米3，求该用户5月份的 水费。三.作实际问题函数图象(1)2.5 5 7.5 10 121416 18
2. 范老师从家里出发，坐出租车到桐乡十中上课。出租车计费方法如图所示，请根据图象回答下面的问题：（1）出租车的起步价是多少元？在多少路程内只收起步价？（2）起步价里程走完之后， 每行驶1km需多少车费？ （3）用恰当的方式表示费 用y与路程s之间的关系。 （4）范老师花了车费41元，y费用（元) 9 5 0试求出范老师乘车的里程。35s(km)（ 13 ）服药后 （ (4) ）当x≤2时 当每毫升血液中含 y与x之间6 （2 ）服药5 ______ 时，血液 的函数关系式是 药量在 3毫升以上 _____ (含3 当 时，血液中 x≥2) 毫升 时 时才有药效，求 y与x之间的函数关 中含药量最高， 3 系式是 药效持续时间 _____ 含药量为每 达到每毫升 毫升____ 毫 _______ 毫克， 克。 接着逐步衰弱。 O4、某医药研究所开发了一种新药，在 实际验药时发现，如果成人按规定剂 量服用，那么每毫升血液中含药量y （毫克）随时间x（时）的变化情况如 图所示，当成年人按规定剂量服药后。 y/毫克25x/时7、某地市区打电话的收费标准为： 3分钟以内（含3分钟）收费0.2元, 超过3分钟,每增加1分钟(不足1分钟, 按1分钟计算)加收0.11元,那么当时 间超过3分钟时,求:电话费y(元)与 时间t(分)之间的函数关系式.9、某图书馆开展两种方式的租书业务： 一种是使用会员卡，另一种是使用租 书卡。使用这两种卡租书，租书金额y （元）与租书时间x（天）之间的关系 如图所示。 （元） y （1）分别写出 租书卡 （ 2 ）两种租书 （ 3 ）若两种租书卡的 用租书卡和会员 会员卡 方式每天租书 50 使用期限均为一年，则 卡租书的金额y 的收费分别是 在这一年中如何选择这 20 （元）与租书时 多少元？ 两种租书方式比较合算？ 间x（天）之间 100 （天） x o 的函数关系式；11、甲乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价20元，乒 乓球每盒5元，现两家商店搞促销活动，甲店： 每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价 的9折优惠，某班级需要购球拍4付，乒乓球 若干盒（不少于4盒）。（1）、设购买乒乓球盒数为x（盒），在甲店购买的 付款数为y甲（元），在乙店购买的付款数为y乙(元)， 分别写出在两家商店购买的付款数与乒乓球盒数x之间 的函数关系式。 （2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店购买合算？? （1）y甲=20×4+5(x-4)=5x+60 (x≥4)， y=0.9×20×4+0.9×5x=72+4.5x(x≥4)； ? （2）当y甲=y乙时，5x+60=72+4.5x， ? 解得x=24 即：当x=24盒乒乓球时，去两家 购买的价格相同； ? 当x&24盒乒乓球时，去乙店 购买的价格合算； ? 当4≤x&24盒乒乓球时，去甲 店购买的价格合算。2．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出 发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P 运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关 C D 于x的函数图象如图2所示， P BC=4 (1)求△ABC的面积; A B (2)求y关于x的函数解析式; 图 1(2) y=2.5x (0＜x≤4) y=10 (4＜x≤9) y=-2.5x+32.5 (9＜ x ＜ 13) AB=5y10(3)当 △ABP的面积为5时,求x的值X=2 X=11O4 图 2913 x析例：某牛奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在一条 直线上，顺次为A楼、B楼、C楼，其中A楼与B楼之间的距 离为40米，B楼与C楼之间的距离为60米、已知A楼每天有 20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，公 司提出两种建站方案： 方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离最小； 方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和 等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和， （1）若按第一种方案建站，取奶站应建在什么位置？ （2）若按方案二建站，取奶站应建在什么位置？ （3）在（2）的情况下，若A楼每天取奶的人数增加，增加 的人数不超过22人，那么取奶站将离B楼越来越远，还是越 来越近？请说明理由分析：1、“距离总和最小 ” ——与函数相关，建立函数关系式。（为了便于表述，设自变量x为“距A楼的距离”，函数y设为“距离总和最小 ”） 2、”等于 “——与等式相关，建立方程。 （另：A、B、C三楼有间距，应为分段函数。且按方案分类讨论。）?等量关系为：SA?奶站之和? SC ?奶站之和 ? S B ?奶站之和 ?3、”在方案二的情况下，若A楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人） “ ——设增加人数为a（a≤22），可建立关于x与a的二元一次方程，即得x与a的 函数关系式，从而可讨论最值问题。解：（1）设取奶站建在距A楼x米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y米． ①当0≤x≤40时，y=20x+70（40-x）+60（100-x）=-110x+8800 ∴当x=40时，y的最小值为4400， ②当40＜x≤100，y=20x+70（x-40）+60（100-x）=30x+3200 此时，y的值大于4400 因此按方案一建奶站，取奶站应建在B处； （2）设取奶站建在距A楼x米处， ①0≤x≤40时，20x+60（100-x）=70（40-x） 解得x=-320 3 ＜0（舍去） ②当40＜x≤100时，20x+60（100-x）=70（x-40） 解得：x=80 因此按方案二建奶站，取奶站建在距A楼80米处．? （3）设A楼取奶人数增加a人①当0≤x≤40 时，（20+a）x+60（100-x）=70（40-x） 解得x=-3200/(a+30)（舍去）．②当40＜ x≤100时，（20+a）x+60（100-x）=70 （x-40），解得x=?a) ．∴当a 增大时，x增大．∴当A楼取奶的人数增加 时，按照方案二建奶站，取奶站建在B、C 两楼之间，且随着人数的增加，离B楼越来 越远．一次函数中方案选择问题：1、某学校计划在总费用2300元的限额内， 租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动， 每辆汽车上至少要有1名教师，现有甲、乙两种 大客车，它们的载客量和租金如下表：载客量（单位：人/辆） 甲种客车 乙种客车 （ 45 30 1租金（单位：元/辆）（1）共需租多少辆汽车？400）280（2）给出最节省费用的租车方案？16 要求：（1）要保证240名师生有车坐。 x ? 3 （2）要使每辆车至少要有1名教师。 x ? 6解:（1）共需租6辆汽车. （2）设租用x辆甲种客车.租车费用为y元, 由题意得y=400x+280(6-x) 化简得y=120x+1680?45x ? 30(6 ? x) ? 240 ? ? 120x ? ∴当x=4时,Y的最小值=2160元x ? 4 ? ? 31 解得? x? ? 6 ?∵x是整数,∴x 取4,5 ∵k=120＞O ∴y 随x的增大而增大2.我市某化工厂现有甲种原料290千克,乙 种原料212千克,计划利用这两种原料生产 A,B两种产品共80件,生产一件A产品需要甲 原料5千克,乙种原料1.5千克,生产成本是 120元,生产一件B产品,需要甲种原料2.5千 克,乙种原料3.5千克,生产成本是200元. (1) 有几种生产方案 ,请你设计出来 . ,其 (2) 设生产 A,B两种产品的总成本为 y元 中一种的件数为x,试写出y与x之间的函数 关系式,并利用函数的性质说明(1)中哪种 生产方案总成本最低,最低成本是多少?? 解：设安排生产A种产品x件，生产B种产品(80-x)件；则x 件A种产品需要甲种原料5x千克，乙种原料1.5x千克； (80-x)件B种产品需要甲种原料2.5(80-x)千克，乙种原料 3.5(80-x)千克；根据题意，可列不等式组： 5x+2.5(80-x)≤290 1.5x+3.5(80-x)≤212 不等式组的解集为 34≤x≤36 不等式组的整数解为 x=34和x=35, x=36 当x=34时，80-x=46 当x=35时，80-x=45 当x=36时，80-x=44 该化工厂现有原料能保证生产顺利进行，有以下三种方案： 方案一：生产A产品34件，B产品46件 方案二：生产A产品35件，B产品45件 方案三：生产A产品36件，B产品44件。? （2）设生产A产品x件，总造价是y元，可 得： ? y=120x+200（80-x）=16000-80x ? 由式子可得，x取最大值时，总造价最低． ? 即x=36件时，y==13120 元． ? 答：第三种方案造价最低，最低造价是 13120元．23.某车间共有工人20名，已知每名工人每天可 制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲 种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获 利润260元，车间每天安排x名工人制造甲种零件， 其余工人制造乙种零件． （1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（名） 之间的函数关系式； （2）若要使车间每天所获利润不低于24000元，你 认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？? 解：：（1）根据题意，可得y=150×6x+260×5 （20-x）=-400x+26000（0≤x≤20）；（2）由题 意，知y≥24000，即-400x+2，令400x+，解得x=5．因为y=400x+26000中，-400＜0，所以y的值随x的值的 增大而减少，所以要使-400x+2，需 x≤5，即最多可派5名工人制造甲种零件，此时有 20-x=20-5=15（名）．答：至少要派15名工人制 造乙种零件才合适．
一、一次函数最值在纯数学问题中的确定方法1、完成下面的练习： 如图，已知一次函数y=2x+3 （1）函数y有最大值吗?有最小值吗？ （2）当x≥1时，y有最大值吗?有最小值吗？ （3）当1＜x≤3时，y有最大值吗?有最小值吗？ 2、请添加适当的条件： （1）使函数y=－x+3有最大值，并求出这个值； （2）使函数y=－x+3有最小值，并求出这个值。y=2x+3归纳总结一、一次函数最值在纯数学问题中的 确定方法：1.有确定的一次函数关系式；2.有自变量的取值范围；3.根据一次函数的增减性确定它的最值。?学校计划购买40支钢笔，若干笔记本（笔记本数超过钢笔 数），甲乙两家文具店的标价都是钢笔10元一支，笔记本 2元一本，甲店的优惠方式是钢笔打9折笔记本打8折，乙店的 优惠方式是每买5支钢笔就送1本笔记本，钢笔不打折，购买 的笔记本打7.5折，那么怎样购买更合算（请看清题目再回） 好的加分。? 解：设买笔记本a本，且有：a&40，那么有：在甲 店买的费用y1=40X10X0.9+2aX0.8=360+1.6a在乙 店买的费用为y2=40X10+2(a-8)X0.75=388+1.5a ? i 当 甲＞乙时有：360+1.6a&388+1.5a 解得： a&280即：当所买笔记本数超过280本时，在乙店 合算！ ? ii 当 甲=乙时有：360+1.6a=388+1.5a 解得： a=280即：当所买笔记本数为280本时，在甲、乙 店都一样！ ? iii 当 甲&乙时有：360+1.6a&388+1.5a 解得： 40&a&280即：当所买笔记本数超过40本且小于 280本时，在甲店合算！二、一次函数最值在实际问题中的确定方法1.某汽车停车场预计五一这天将停放大小汽车1000 辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车 每辆次5元。 （1）写出这天停车场的收费总额P（元）与大车停 放辆次x（辆）之间的函数关系式。 解：（ （2）这天停车场的收费总额最多为多少元？ 1）P=10x+5(1000-x)=5x+5000 （3）如果这天停放的大汽车不低于停车总辆次的 解：（ 2）∵P随x的增大而增大，0≤x≤1000 60%，那么，这天停车场的收费总额最少为多少元？ ∴当x=1000时，P最大。 当x=1000时，P=5×000所以这天停车场的收费总额最多为10000元。解：（3）根据题意得： x≥ ≤x≤1000 解得 600≤x≤1000 ∵ P随x的增大而增大， 故当x=600时，P最小。 当x=600 时 ，P=5×600＋ 所以，五一这天停车场的收费总额最少为8000元。归纳与总结 二、一次函数最值在实际问题中的解答 思路：1、求一次函数解析式。 2、结合题意列出不等式（组），确定自变量的取值 范围。3、根据一次函数的增减性，计算函数的最大（小）值。活动2某校八年级举行英语演讲比赛，派了两位老师去 学校附近的超市购买笔记本作为奖品．经过了解得知， 该超市的A、B两种笔记本的价格分别是12元和8元， 他们准备购买者两种笔记本共30本． (1) 如果他们计划用300元购买奖品，那么能买这 两种笔记本各多少本? (2) 两位老师根据演讲比赛的设奖情况，决定所购 买的A种笔记本的数量要少于B种笔记本数量的三分之 二，但又不少于B种笔记本数量的三分之一，如果设 他们买A种笔记本n本，买这两种笔记本共花费w元． ① 请写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并 求出自变量n的取值范围； ② 请你帮助他们计算，购买这两种笔记本各多少 时，花费最少，此时的花费是多少元？解：（1）设买A种笔记本x本，B种笔记本y本， 根据题意，得：x+y=3012x+8y=300解得x=15y=15所以能买这两种笔记本各15本。（2）①:根据题意得w=12n+8(30-n)=4n+2402 n＜ ×(30-n) 3 n≥ 1 ×(30-n) 3解得 7.5≤n＜12∵n为整数，∴n的取值可为8、9、10、11。②:由①得w=4n+240(n可取8、9、10、11）∴w随n的增大而增大当n=8时，w最小，当n=8时，w=4×8+240=272所以当购买8本A种笔记本、22本B种笔记 本时花费最少，最少为272元。活动3“5.12”汶川大地震震惊全世界，面对这人类特大 灾害，在党中央国务院的领导下，全国人民万众一心， 众志成城，抗震救灾.现在A、B两市各有赈灾物资500 吨和300吨，急需运往汶川400吨，运往北川400吨， 从A、B两市运往汶川、北川的耗油量如下表： 汶川（升/吨） 北川（升/吨）A B 0.5 1.0 0.8 0.4（1）若从A市运往汶川的赈灾物资为x吨，求完成以 上运输所需总耗油量y（升）与x（吨）的函数关系式. （2）请你设计一种最佳运输方案，使总耗油量最少. 并求出完成以上方案至少需要多少升油？解：（1）A、B两市运往两地的物资数量如下：汶川（吨） 北川（吨） A B 合计 x 400-x 500-x x-100 合计 500 300 800400汶川（升/吨）400北川（升/吨） 0.8 0.4A B0.5 1.0y=0.5x+0.8(500-x)+1.0(400-x)+0.4(x100)（2）：由题意得 x≤400 400-x≤300 解得100≤x ≤400 由（1）得 y=-0.9x+760. ∵-0.9＜0, ∴y随x的增大而减小 又∵100≤x≤400, ∴当x=400时，y的值最小，即最小值是 y=-0.9×400+760=400（升） 这时，500-x=100，400-x=0，x100=300. ∴总耗油量最少的最佳运输方案是从A市运 往汶川400吨，北川100吨;B市的300吨全部运 往北川. 此方案总耗油量是400升A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全 部运往C,D两乡．从A城往C,D两乡运肥料的费用分别为 每吨20元和25元；从B城往C、D乡运肥料的费用分别为 每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨,D乡需要肥料 260吨， （1）如果从A城运往C乡x吨肥料，则你能表示出其它 C D 的变量吗？ 总计A BX吨(200-x) （240-x） 吨吨 (60+x)200吨 300吨吨 500吨总计240吨260吨（2）如果总运费为y元，你会表示y与x的函数关系吗？（3）怎样调运可使总运费最小？解：设总运费为ｙ元，A城运往C乡的肥料量为 ｘ吨，则运往D乡的肥料量为（200－ｘ）吨； B城运往C、D乡的肥料分别为（240－ｘ）吨 与（60＋ｘ）吨。由总运费与各运输量的关系 可知，反映ｙ与ｘ之间关系的函数为： ｙ＝20ｘ＋25（200－ｘ）＋15（240－ｘ）＋ 24（60＋ｘ） y 可得：y=4x＋10040（0≤x≤200）因为 k=4&0，所以y随x的增大而增大 x=0时，y 作由图象如右，由图可知：当 又因为 0≤x≤200 的值最小，最小值为 10040 所以x=0时y最小，y最小=10040100400 x答：从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨，从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨， 此时总运费最小，最小值为10040元。析例：4、某一次足球联赛，规定每名参赛队员出场费 500 元／场，胜 场和平场除积分外，参赛队员还可以获得相应的奖金。规定如下： 胜一场积 3 分， 奖金 1500 元／人； 平一场积 1 分， 奖金 700 元／人； 负一场积 0 分，无奖金。大力队参加了全部 12 场比赛，共积 19 分， 那么该队某名队员所得奖金与出场费的和最大是多少元？分析：“求最大值“——与函数有关，应建立函数关系式。如何由实际问题得出函数关系式： 1、审题，确定函数与自变量，并用合适的字母表示。 2、找出与两个变量相关的等量关系式，列出二元一次方程（或其他方程。 ）y ? kx ? b, y ? 3、写成函数的形式。 （如：k ?k ? 0?, y ? ax 2 ? bx ? c?a ? 0?） x析例：解：设该队胜 x 场，平 y 场，则负（12-x-y）场。∴ 3x ? y ? 19, y ? 19 ? 3x 。（ 19 ? 3x）场 ，负： ?2 x ? 7?场 。 则胜：x 场，平：?x ? 0 7 19 ? 且： 1 9 ? 3 x ? 0 解得： ? x ? ? 2 3 ?2 x ? 7 ? 0 ?∴不等式组的整数解为： x? 4;5;6设奖金与出场费的和为 P，则 P ? 1500x ? 700?19 ? 3x? ? 500?12 。?x ? 4;5;6? 整理得： P ? ?600x ? 19300∵-600＜0，∴P 随 x 增大而减小，要使 P 取值最大，需 x 取值最小。 即：当 x ? 4时，P ? ?600? 4 ? 1 ∴该队某名队员所得奖金与出场费的和最大是16900 元。5、某蒜薹（tai）生产基地喜获丰收收蒜薹200吨。经市场调 查，可采用批发、零售、冷库储藏后销售，并按这三种方式 销售，计划每吨的售价及成本如下表销售方式 售价（元 ／吨） 批发 3000 零售 4500 冷库储藏后销 售 5500成本（元 ／吨）70010001200若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出后获得利润为y（元），蒜薹零售x（吨）且 零售量是批发量的1/3 （1）求y与x之间的函数关系； （2）由于受条件限制经冷库储藏的蒜薹最多80吨，求该生产基地计划全部售完蒜薹 获得最大利润。? 解：（1）由题意，批发蒜薹3x吨，储藏后销售（200-4x） 吨， ? 则y=3x（）+x（）+（200-4x） （）， ? =-（0＜x≤50）． ? ? ? ? ? （2）由题意得200-4x≤80解之得x≥30， ∵y=-且-6800x＜0， ∴y的值随x的值增大而减小， 当x=30时，y最大值=-000=656000（元）； 答：该生产基地按计划全部售完蒜薹获得的最大利润为 656000元．6.某化工厂现有甲种原料7吨，乙种原料5吨，现计划用 这两种原料生产两种不同的化工产品A和B共8吨，已知生 产每吨A，B产品所需的甲、乙两种原料如下表： 甲种原料 乙种原料A产品B产品0.6吨1.1吨0.8吨0.4吨销售A，B两种产品获得的利润分别为0.45万元/吨、0.5万元/吨．若设化工厂生产A 产品x吨，且销售这两种产品所获得的总利润为y万元． （1）求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围； （2）问化工厂生产A产品多少吨时，所获得的利润最大？最大利润是多少？? 解：（1）据题意得： y=0.45x+（8-x）×0.5=-0.05x+4， 因为生产两种产品所需的甲种原料为：0.6x+1.1×（8-x）， 所需的乙种原料为：0.8x+0.4×（8-x）， 则可得不等式组0.6x+1.1×(8?x)≤70.8x+0.4(8?x)≤5， 解得3.6≤x≤4.5； （2）因为函数关系式y=-0.05x+4中的-0.05＜0， 所以y随x的增大而减小． 则由（1）可知当x=3.6时，y取最大值，且为3.82万元． 答：化工厂生产A产品3.6吨时，所获得的利润最大，最大 利润是3.82万元? 7.宏志中学八年级300位同学给灾区90名同 学捐赠一批学习用品，由于零花钱有限，每 6人合买一个书包，每2人合买一个文具盒， 书包和文具盒的单价分别是54元和12元。 ? （1）若有x名同学参加购买书包，试求出学 习用品的总件数y和x之间的函数关系式。 ? （2）若捐赠学习用品总金额超过2300元， 且灾区90名同学每人至少得到了一件学习用 品，请问同学们如何安排购买书包和文具盒 的人数？此时选择其中哪种方案，使购买学 习用品的总件数最多？? 1.Y=X/6+(300-X)/2=(-1/3)X+150 2.设所用总金额为W W=54×（X/6)+12×（300-X)/2 =3X+1800 由题意得 W&2300 Y&=90 解得180&=X&(500/3） X/6 ，(300-X)/2是整数 所以X分别为168 174 180 共有3种方案 又因为 a 就是（-1/3)&0 Y随X的增大而减小 所以 X=168时Y最大 即168人买书包第十一章AB
轴对称图形 1 2 3 有一条对称轴—— 直线中心对称图形有一个对称中心—— 点180° 图形沿轴对折（翻转180° ） 图形绕对称中心旋转翻转前后的图形完全重合 旋转前后的图形完全重合1、如图,正方形EFGH是由正方形ABCD平移 得到的, 则有( B ) A.点E和B对应 B. 线段AD和EH对应C. 线段AC和FH对应A B D E C FD. ∠B和∠D对应H G平移方向和 距离呢？2、如图△ABC是等腰直角三角形, 点D是斜边 BC中点, △ABD绕点A旋转到△ACE的位置, 恰 与△ACD组成正方形ADCE, 则△ABD所经过的 旋转是( D )A. 顺时针旋转225° B. 逆时针旋转45° C. 顺时针旋转315° D. 逆时针旋转90°A EBDC3、下列图形中，既是轴对称图形又是中 心对称图形的是（ D ）(A)(B)(C )(D)4、经过平移，△ABC的边AB移到了EF，作 出平移后的三角形． A F C EB5、在右图中作出“三角旗”绕O点按逆时 针旋转90°后的图案．O6、已知四边形ABCD和点O,画四边形 A'B'C'D' 使它与已知四边形关于点O对称。画法：A' D C O BB'C' D'A四边形A'B'C'D'就是所求的四边形。7. 下列说法正确的是( B ) A.旋转改变图形的形状和大小B.平移改变图形的位置C. 图形可以向某方向旋转一定距离 D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到8、如图,四边形EFGH是由四边形ABCD平移 得到的,已知AD=5,∠B=700,则（B ）. A. FG=5, ∠G=700 B. EH=5, ∠F=700 C. EF=5, ∠F=700 D. EF=5. ∠E=700E D H G F图7A B C9.将图形度后的图形是( D按顺时针方向旋转90)ABCD10．下列图形中，不能由图形 M 经过 C 一次平移或旋转得到的是（ ）．MA B C D11、如图，ΔABC和ΔADE都是等腰直角三角形， ∠ACB和∠ADE都是直角，点C在AE上， ΔABC绕着A点经过逆时针旋转后能够与ΔADE 重合得到左图，再将左图作为“基本图形”绕 着A点经过逆时针连续旋转得到右图.两次旋转 A 的角度分别为（ ）.D E CA、45°，90° B、90°，45° C、60°，30° D、30°，60°D CEABAB图612、如图,ΔABC和ΔADE均为正三角形,则图中可 看作是旋转关系的三角形是（ C ）. A. ΔABC和ΔADE B. ΔABC和ΔABD C. ΔABD和ΔACE D. ΔACE和ΔADE A E D BC13 、在正方形 ABCD 中， E 为 DC 边上的点， 连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转900 得到△ DCF ，连结 EF ，若 ∠ BEC=600 ，则 ∠EFD的度数为（ B ） A、100 B、150 C、200 D、250D A EB14、下列图形均可以由“基本图案”通过变换得到(序 号 ) (1) 通过平移变换但不能通过旋转变换得 (3)既可以由平移变换, 也可以由旋转变换得到(2)可以通过旋转变换但不能通过平移 ②⑥ 的图案是 _____ ③④ ① ⑤ ____ 到的图是 _________; 变换得到的图案是①②③④⑤⑥15、如图：ΔDEF可以看作ΔABC平移得到 1）AB∥ DE ； AC ∥ DF . 2）若BC=5cm， CE =3cm，则平移的 距离是 2cm ，EF= 5 cm. 3）若连结AD，与AD相等的线段是： . BE或CF A DB E C F16、如图，在ΔABC中，∠A=40o，∠C=35o，将ΔABC平移得到ΔDEF的 位置，DF与BC交于点G， 你能求出 ∠DGB与∠E的度数吗？ A DB E G C F17、如图：在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B+∠C=90o，点E在AD上，先将AB 向右平移，使点A与点E重合，交BC于 F，再将DC向左平移，使点D与点E重 合，交BC于G，请判断ΔEFG的形状 “若AD=3，FG=5， 求BC的长”B A E DFG C随堂练习18、请说出下面乙树是怎样由甲树变换得到的？甲乙19 、如图，点 E 为正方形 ABCD 的边 CD 上一点， AB=5 ， DE=6 。△ DAE 旋转后能与△ DCF 重合， （ 1 ）旋转中心是哪一点？（ 2 ）旋转了多少度？ （3）如果连接EF，那么△DEF是怎样的三角形？ F （4）四边形DEBF的周长和面积？DCAEB20、已知正方形ABCD和正方形AEFG有 一个公共点A,若将正方形AEFG绕点A按 顺时针方向旋转, 连结DG,在旋转的过程 中,你能否找到一条线段的长与线段DG的 长始终相等.并说明理由.D G F A E 图2 B C感悟与收获：1、本节课，你学到了哪些知识？ 2、师友互助，给你带来了哪些帮助？五、当堂作业1、如图，菱形ABCD可看成是 时针旋转 度得到的。 绕 点按 ２.如图,绕点O旋转的两个图形的对应点M与N到旋转中心O 的距离 (相等或不相等)； 3、如图，正方形ABCD经过旋转后到达正方形AEFG的位置， 旋转中心是点________，旋转角度是__________，点C的对应 点是点__________；A DM OCOB·N4、请你作出四边形ABCD绕点c顺时针旋 转90度后的图形。A DBC5、PA=1，PB=2，PC=3，以点B为旋转中心将△ABP 旋转使点A与点C重合这时P点旋转到G点。 （1）画出旋转后的图形,此时△ABP以点B为旋转 中心旋转了多少度？ D A （2）求出PG的长度 （3）请你猜想△PGC P 的形状，并说明理由。BCA PDBGC
A BB DB C AC4
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