选用适当的坐标变换公式计算下列三重积分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-05-02 14:11 标签： 三维坐标变换
利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。
为空间的一点,该点在面上的投影为,点的极坐标为,则三个数称作点的柱面坐标。
的取值范围是
轴为轴的圆柱面；
轴的半平面；
面平行的平面。
的直角坐标与柱面坐标之间有关系式
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(1)
在柱面坐标系中的计算公式
将分割成许多小区域,除了含的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。
各取得微小增量所成的柱体,该柱体是底面积为,高为的柱体,其体积为
, 并注意到(1)式有
也可化为关于积分变量的三次积分,其积分限要由在中的变化情况来确定。
表示积分区域的方法
在面上的投影区域, 并用极坐标变量表示之；
内任取一点, 过此点作平行于轴的直线穿过区域, 此直线与边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成的函数 )即为的变化范围。
】求下述立体在柱面坐标下的表示形式
与三坐标面所围成的立体且位于第一卦限内的部分。
与平面所围成的立体。
面上的投影区域为 ,
的变化范围是&&&& &,
面上的投影区域为&& ,
的变化范围是&&& &&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&
】用柱坐标计算三重积分,其中是球体位于第一卦限内的部分。
空间任意一点也可用三个数唯一表示。
到点的距离；
与轴正向所成夹角；
轴来看自轴依逆时针方向转到有向线段的角度,而点是点在面上的投影点。
的取值范围为
点的直角坐标与球面坐标间的关系为
&&&&&&&&&&&&&&&&(3)
轴为轴的圆锥面；
轴的半平面。
变量刻划点到原点的距离,即“远近”；
刻划点在空间的上下位置,即“上下”；
刻划点在水平面上的方位,即“水平面上方位”。
将分划成许多小区域,考虑当各取微小增量 &所形成的六面体,若忽略高阶无穷小,可将此六面体视为长方体,其体积近似值为
的三次积分来实现其计算,当然,这需要将积分区域用球面坐标加以表示。
一般需要参照的几何形状,并依据球坐标变量的特点来决定。
其边界曲面是包围原点在内的封闭曲面,将其边界曲面方程化成球坐标方程,据球面坐标变量的特点有
若是球体& ,& 则的球坐标表示形式为
的球坐标方程为
】求曲面与曲面所围成的立体的体积。
的球坐标表示式。
面的投影区域包围原点,故变化范围应为；
中可由轴转到锥面的侧面,而锥面的半顶角为,故的变化范围应为；
内任取一值, 作射线穿过,它与有两个交点,一个在原点处,另一个在曲面上,它们可分别用球坐标表示为 及 。

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