第一章 复数与复变函数(工科2版)_百度文库
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第一章 复数与复变函数(工科2版)
第​一​章​ ​复​数​与​复​变​函​数​(​工​科版​)
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复数的乘幂与方根第1章1.2-1.4
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复数的乘幂与方根第1章1.2-1.4.PPT
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从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b，组成复数a+bi，其中虚数有（　　）A．36个B．4
从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b，组成复数a+bi，其穿罚扁核壮姑憋太铂咖中虚数有（　　）A．36个B．42个C．30个D．35个
提问者采纳
∵a，b互不相等且为虚数，∴所有b只能从{1，2，3，4，5，6}中选一个有6种，a从剩余的6个选一个有6种，∴根据分步计数原理知虚数有6×6=36（个）．故选A
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实数m分别取什么数时，复数z=（1+i）m2+（5-2i）m+（6-15i）是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应点在第三象限．
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复数z=（1+i）m2+（5-2i）m+（6-15i）=（m2+5m+6）+（m2-2m-15）i．（1）当z为实数时，m2-2m-15=0，解得m=5或m=-3．（2）当z为虚数时，m2-2m-15≠0，解得m≠5或m≠-3．（3）当z为纯虚数时，m2+5m+6=0，m2-2m-15≠0，解得m=-2．（4）∵对应点在第三象限，∴2+5m+6＜0m2?2m?15＜0，解得-3＜m＜-2．
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出门在外也不愁复数与方程84
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复数与方程84
复数与方程；重点难点:一元二次方程一、二项方程:形如基本解法；例1．在复数集中解下列方程；解1)法1、求方程∵；的解，即求复数；的4次方根，；(a0,an∈C,an≠0,n∈N)的方程；的形成，利用复数开方求出它的根；∴其4次方根为；∴原方程的解为下面4个复数:；(k=0,1,2,3)；法2、求方程∵由；∴由复数的；次方根的几何意义有；知1-i；的解，即求复
复数与方程重点难点:一元二次方程
一、二项方程:形如
基本解法:化为例1．在复数集中解下列方程 解1)法1、求方程
∵ 的解，即求复数 的4次方根，(a0, an∈C,an≠0, n∈N)的方程的形成，利用复数开方求出它的根。∴ 其4次方根为∴原方程的解为下面4个复数:(k=0,1,2,3) 法2、求方程
∵ 由∴ 由复数的次方根的几何意义有知1-i为的解，即求复数的一个4次方根， 的4次方根。的其余三个4次方根分别为: ∴ 方程
解2) 令 的解分别为1+i, -1+i, -1-i, 1-i。, ∴ ,∴解之有, ∴ 原方程的根为2-i或-2+i。
次方根，所以要注意一复数Z的次方根的几种基本注:解二项方程实质就是求一复数的求法:&一& ，则可用公式1 求其n个n次方根布在以原点为圆心，以(k=0,1,2,……,n-1)。如例(1)解法1，此n个复数的几何意义是复平面上n个点，这n个点均匀分为半径的圆上，组成一个正n边形。&二& 若能由已知中找出个Z的n次方根Z0，则可由n次方根的几何意义求其余n-1个n个次根如下: , 。如例(1)解法2。&三&若Z的辐角非特殊值，不好转化为三角形式或也不好看出Z的n次方根时，则可以考虑用n次方根的定义利用代数形式及复数相等直接求。如例(2)。
二、一元二次方程1. a,b,c∈R时基本解法 时，两不等实根可由求根公式时，两相等实根。可由上面公式求出，求出，时，两互为其轭虚根，可由求根公式求出。另:韦达定理仍成立。2. a,b,c∈C时基本解法判别式定理不成立，所以不能由此判别根的情况。但可由求根公式根
另:韦达定理仍成立。
例2．在复数集中解方程。, δ是b2-4ac的一个平方解:∵，∴=，∴ 原方程的根为。 注:∵ (x-1)(x2+x+1)=x3-1∴ x2+x+1=0的根也是x3=1的根，即1的两个立方虚根。记
② ，其有如下特征:；
③ 2；④；
⑤要注意此特征，并能灵活运用其解决有关问题。例3．在复数集中解方程① 2x2-6ix-6=0；② x2-(5-3i)x+(4-7i)=0。
解① :∵ 其平方根为，∴ 原方程根为
∵ ，；其平方根为(1-i)或-(1-i)，∴原方程的根为，即3-2i或2-i。注:在例3 ①中Δ&0，但有两虚根，可见判别式定理对于复系数的一元二次方程来谈已不成立。要注意不要轻易由Δ的正负情况给根下结论。
三、含的方程基本解法：1．令Z=x+yi(x,y∈R)，由复数相等转化为实数方程来解决。
2．若由①困难，则看是否能求出|Z|，然后代回去再解。
例4．令,解方程 解:令Z=x+yi(x,y∈R)，则原方程化为:
即，∴ 由复数相等的条件有解之有x=0, y=3(x=4, y=3是增根，舍去）∴ 原方程的解是3i。
例5．解方程。。
即 ,分析:三次方程解起来比较困难，所以考虑
解:∵∴ , ∴ 两边取模有 , ∴ |Z|=0或|Z|=1,当|Z|=0时，Z1=0，当|Z|=1时，含Z=cosθ+isinθ代入原方程有cos3θ-isin3θ=cosθ+isinθ即
cos(-3θ)+isin(-3θ)=cosθ+isinθ，由复数相等条件有:-3θ=θ+2kπ(k∈Z)∴ , ∴ Z2=1, Z3=-1, Z4=i, Z5=-i, ∴原方程有5个根:0，±1，±i。3注:令Z=x+yi(x,y∈R)是解决含的方程的基本出发点。有时由于题目的特殊性，应用此法去解方程会有困难，如出现高次等等，这时要注意题目特点，从题目结构出发，正确运用共轭及模的性质，看能否先求出|Z|，然后再带回解决问题，如解方程Zn=
参考练习:一、在复数集中解下列方程: 等。二、关于x的方程x2-(2i-1)x+3m-i=0(m∈R)有实根，求这个实根及实数m的取值范围。
三、关于x的方程x2+x+1=0的两个根为α,β，求α100+β100的值。四、已知虚数α，β是实系数一元二次方程
本周参考答案:
一、1．可见 为其一个根，所以其余三个根为。的两个根且，求。, ,2. 法一:令x=a+bi(a,b∈R)，则由已知有，解之有 。
∴根为0, i,-i。法2:∵x2+|x|=0，∴x2=-|x|, ∴|x2|=|-|x||
即 |x2|=|x|，解之有|x|=0或|x|=1,
当|x|=0时,有x=0,当|x|=1时，代入原方程有x2+1=0，∴x2=-1,
∴ x=i或x=-i。, 其平方根,3．∵∴ 由求根公式x=有此方程的两个根分别为-2, -3i。 4．根为-1±2i。二、这是复系数方程，已不能用判别式确定有实根的条件，若用求根公式也很繁，所以用复数为零的充要条件来做，令x0为方程的实根，则 ∵x0, m∈R, ∴ 解之有x0=-,m=4。三、由求根公式有x2+x+1=0的两根α=,β=,且可知:α3=1，β3=1，由其有α3n=1,β3n=1(n∈N), ∴α100+β100=α99+1+β99+1=α+β=-1。四、∵ ∴， 又,, ∴， 即， 即α3=β3，∴,∵ , ∴，又，∴，解之有。在线测试选择题1．复数等于（ ） A、1+iB、-1+ C、1-i D、-1-i2．复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（ ）A、i
C、±iD、±i3．已知复数z的模为2，则|z-i|的最大值为（ ）A、1B、2C、 D、34．如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2，那么|z+i+1|的最小值是（ ）A、1B、 C、2D、 5．设复数z=-i(i为虚数单位)，则满足等式zn=z，且大于1的正整数n中最小的是（A、3B、4C、6D、7答案与解析答案：1、B
1．选B。5）包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、中学教育、应用写作文书、外语学习资料、高等教育、文学作品欣赏、各类资格考试、复数与方程84等内容。　
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