机缘凑巧，从某大学数学系毕业二十年后，成为某培训机构的一名高中数学教师。没有多久，就有了第一批学生，基本上都是高三毕业班的，女生居多，而且都是化学班的。几个月教下来，也有一些感悟。
　　首先是教材和教辅。在书城和图书馆，翻阅上百种之后，得到的印象是，要么中规中矩令人昏昏欲睡，要么标新领异其中错漏百出。这里忍不住要说一位姓梁的先生的《攻克高复14道难关》，初看觉得很有新意，当即掏钱买下，回到家里一读，才发现里面竟然有许多常识性错误。不知道是这位老先生故意设置障碍让读者保持警醒，还是根本就基础不扎实自误误人。相比之下，王金战的《高考数学难题破解策略》还差强人意。
楼主发言：66次 发图：
　　看起来很厚道的师长，期望楼主多多指点大家
　　谢谢甜甜的虾子的捧场！好像您和我是同年同星座呀。难得！　　其实与其说是感悟，不如说是困惑。在辅导自己孩子和别人孩子的过程中，发现了不少问题，自己觉得有必要记录下来，一方面是一种印迹，另一方面也想着能提高自己。　　希望能与大家共同探讨。　　上面的那张图是今天研究的重点。已经遇到了许多类似的问题，就是三角形内一点，与三个顶点相连，形成了六个新的角，告诉了其中的四个，求另外两个。我把这一类问题抽象了一下，通过正弦定理把解答写了出来。（本来用的是希腊字母，标记时不方便打出来，就用了拉丁字母。）　　但是问题还没有彻底解决。比如a=30度，b=40度，c=20度，d=50度,可以解得y=30度，但是这道题目是一道初中奥数题呀。我用的方法是高中才学的正弦定理和三角公式。它的初中解法是怎么样的？还有哪些特殊角可以用初中解法呢？
　　@三不知_ 　　火速来支持楼主！
　　王金战可算是个红人啊。当当上图书卖得很火的。楼主觉得他的《高考数学难题破解策略》还差强人意，那么，有没有什么好的书目推荐呢？
　　@话梅糖0217 5楼
16:29:00　　王金战可算是个红人啊。当当上图书卖得很火的。楼主觉得他的《高考数学难题破解策略》还差强人意，那么，有没有什么好的书目推荐呢？　　-----------------------------　　+1 ，欢迎推荐好书！
　　请问楼主,初中女生的数学如何提高,什么样的教辅比较好?　　
　　回复话梅糖0217：谢谢！感动！推荐教辅书感觉我有些力不从心，怎么说呢，我是上海的课外一对一辅导老师，感觉学生的情况各不相同，很难给个统一的推荐。比如个别的成绩好的有钻劲的高中生，我就会推荐华师大的多功能题典（包括高中数学和高中竞赛）。其实我觉得，对大部分学生教辅书都作用不大。把教材吃透都很不容易。　　回复好懒的MM猪：欢迎讨论！我的意见如上。　　回复77零零：初中女生，这样四个字的限制感觉太简单了。就我辅导过的几个初中女生而言，情况也有很大的差异。可能下文会讲到一些。至于教辅，如果是在上海，如果是初三，不妨做一做《挑战中考数学压轴题》。
　　听课，学习。
　　貌似潜力贴
　　用力顶。
　　我泪牛满面地发现，我真的不行了。　　已经刻意安排等腰三角形了，不用三角函数，我还是没头绪。
　　回阿棠哥：过谦了！　　回牛小跑：多谢鼓励！　　回青青草浪：谢谢！我也还没有找到。
　　楼主资深数学专家，趁早请教一下，帖子红了楼主就没空回答了~　　——小女刚上初中，位于内陆省份湖北某地级市，各科基础还算扎实，想在假期跟她数学拔高一下，有何比较好的相关书籍推荐一下，不以竞赛为目的，以中考数学满分为目标，兼顾一下竞赛，还望楼主不吝赐教，先谢过了~
　　@三不知_ 2楼
15:38:00　　　　-----------------------------　　先构X+Y=。。。。。　　再利用全等（不妨高X&Y），构造Ｘ－Ｙ＝。。。。。
　　回复临江民兵：老乡呀！握手！可惜我离开湖北已经十多年了，对现在的情况实在不熟悉。抱歉了。　　回复易通数学：欢迎！能说得更详细一些吗？就以上面的a=30度，b=40度，c=20度，d=50度为例？
　　用力顶
　　@三不知_ 2楼
15:38:00　　　　-----------------------------　　从前见过的一道竞赛题，求证结果不同，但过程中包含您所求结果，请参考　　
　　@三不知_ 2楼
15:38:00　　　　-----------------------------　　来讨论，不对之处，大家轻拍。　　设顶点为A，角b那点为B，角c那点为C，中间那点为D，只要设BC长为单位1，则A,B,C,D点全部变成定点，问题得解。　　单位1，是小学数学讲到分数时，提到的概念。
　　回复dingling113：欢迎！多谢！　　回复dmwg：非常感谢！很棒的证明！这个证明正是我期待的。略感不足的是，似乎此法只适用于此题。　　回复阿棠哥：你好！其实结果我在上面已经写出来了，只是苦于找不到一个适合初中生的做法。不过楼上dmwg兄已经给出了一个很好的证明。
　　感悟之二，数学对中小学生和中小学校真的很重要。我惊讶地注意到，在最近一二十年里冒出来的一些名校和校长，似乎都与数学有关。上海中学的前校长唐某某现校长冯某某，华育的校长吕某某，北京人大附中的刘某某，还有我的中学恩师蒋先生，都是从数学教师升为重高校长。他们的共同秘诀就是传统数学教育的精耕细作，以及奥数的做大做强。　　当然，外语学校不在此列。中外比较，到底是中国孩子数学学得太深，还是外国孩子学得太浅，是中国数学抓得太紧，还是外国数学抓得太松，也是一个众说纷纭的问题。但是不得不承认，数学确实有良好的区分度，考试结果有良好的可信度，在选拔性考试中占了很大的分量。当高考不再有原先那种千军万马过独木桥的惨烈时，好学校为了生源考虑，取而代之的是各种奥数和自主招生数学考试。这些考试倚重数学，确实也能够达到掐尖的效果。　　感悟之三，就是数学在现实生活中实在无用武之地。这一点我以前也有一定体会，近来感受更加深刻。我教的这些东西，和“孔乙己”教的“回字的四种写法”到底有什么不同？不懂这些，对实际生活又有什么妨碍？这个问题真是非常困扰我。当然，也可以泛泛地说，现代科技跟数学密不可分，学好数学对学好理工科很有帮助，而学好理工科，就业前景很广阔，就是经济金融等文科也用到大量的数学，所以很重要云云。但是这些说法并不能打消我的疑虑。
　　哦，刚才又推导了一下，dmwg兄的方法还是可以适度推广的。可以推广到a=30度,b=2c的情况。
　　俺的问题跟“临江民兵”问题相似，“不以竞赛为目的，以中考数学满分为目标”，怎样引导孩子去做？孩子现在初二，成绩能保持在90分以上（百分制）。
　　不是司明启智吗？
　　回复七月4：惭愧！又看到这样的要求，让我不知如何做答了。我自己把最近几年的上海中考卷都做过了一遍，但是我都不敢保证自己一定能得满分，差个两三分也是正常的。当然，尽量往高里冲也是人之常情，那就要在初三的时候强化训练，把非压轴题目尽快解决，把压轴题目都一小题不落地做出来。　　至于奥数，我感觉在初中阶段，与课程数学关系不大，与中考相距甚远。　　回mzrlxy：这是你对数学作用的总结吗？倒是有几分耐人寻味呢。
　　今天在备课，没有时间写新的，就把以前写的一点感悟放上来吧。　　我联想到了前天被选出的国家副主席。如此的高官显贵，竟然也有一段和我类似的经历。我是在听他的简历时才发现这一点。原来他也毕业于数学系。甚至是两次读数学系。一次在上师大(应该是指现在的华师大），毕业后他在卢湾工人业余学校教数学。卢湾是上海的一个区，现在已经撤销并入黄浦区。但是我家附近还有一所卢湾区看守所。　　而我现在在某区教育培训学校教数学。从名字上就很有相似性。他后来又考上了复旦大学数学系。我能理解他的想法。毕竟上师大的工农兵学员听上去不那么正规，在改革开放的新时代，可能会被边缘化。而其他的专业又不如数学那么驾轻就熟。于是他考了复旦大学数学系。当时他已经二十八岁。在一般人眼里，已经有一些晚了，已经走了一些冤枉路了，在他自己，也许学得也比较吃力。百废待兴的国家，合格的老师和教材都难以寻觅。但是他和他的四十多位同学都坚持下来了，坚持到了毕业。这时他已经三十二岁了。他再次做出一个重大的人生决定，就是放弃数学。这块敲门砖可以抛弃了。他走上了从政的道路，从学校团委到市团委到团中央到党中央，直到三十二年后，成为这个国家的副主席。而他的同学们，大部分还是从事数学的教学和应用（包括金融投资）。虽然都不是什么一流水平，但是也都衣紫腰黄，赫赫扬扬，不可一世。　　他们赶上了好时候。他们也没有辜负这好时候。不过，他们似乎也真的没有对他们的专业做出什么实质性贡献，说到底，只是把它做为一块敲门砖，而没有为它添砖加瓦。这样，他们在若干年之后，也就无声无臭了。这么一想，不禁叹息。让我为前人叹息，再让后人为我们叹息吧。
　　好看，继续写。
　　我想，数学的本质只是思维的游戏，它在科技上的作用只是“无意插柳柳成荫”
　　回飞的青鸟：谢谢鼓励！　　回simpleyqqw：思维的游戏，很有趣的想法！但是为什么人们这么讨厌游戏呢？
　　思维的游戏是英国数学家哈代的观点，他讲到数学或科学的意义就象做爱，不是为了别的目的，它本身就是目的，人可以从中得到快乐。至于科技成果人类文明等只是副产品。　　所以现代数学80%都是无用的数学（即不能用于生产生活），不错，随着时代发展，一部分无用的会变为有用的，但同时也会产生更多无用的。所以，总会大于80%　　从这意义上讲，科学艺术的性质一样，都是人的精神家园。　　尼采说：科学是把自然中人的思想拿出来，艺术是把你曾拿出来的东西再放进去
　　前天上奥数时，讲了这么一道题目：　　10个小朋友排一排编上号，然后从1开始，每隔一个“刷”下去一个。第1轮刷掉1、3、5、7、9，第2轮刷掉2、6、10，，问最后剩下的是几号？　　答曰：8号。为什么，因为它是这10个数中，2的因数最多的，有3个之多。也就是说，最“二”的。　　呵呵，2还不算2，8才是最2的。所以呀，类似这样的题目，做起来也很简单，就是找其中最二的数。　　但是，如果不是排一排，而是排一个圈，从1开始，隔一刷一，最后剩下几呢？　　不再是8了，而是4。这又有什么规律呢？　　10改成11，在纸上画一画，剩下的是几？是6.　　改成12呢？剩下的是8.　　规律找到了，总数减去刚才说的最“二”的数，再乘以2.　　为什么会这样呢？可以这样考虑：　　如果是8人排成一圈，剩下的还是8，跟排成一排没有区别，因为这种隔1刷1的操作相当于除以2看是否有余数。总数是8，刷了一轮下来，总数是4，还是偶数，就相当于排成一排的从头再来。　　如果是10人呢，可以在刷掉1和3后暂停。这时候，剩下的是8人了，将8人重新编号，马上要被刷的原5号重新编为1号，原6号新编为2号，直到原4号，新编为8号。　　参考上面的结论，所以剩下的就应该是原4号。它应该是总数减去最“二”的数后，差的两倍。
　　学习学习
　　回simpleyqqw：这种说法确实很有意思！我做数学的时候，就觉得那些做爱的人是在浪费时间。当我做爱的时候，又觉得那些做数学或读书的人是在浪费生命，呵呵。
　　回还是相忘于江湖：过奖！名字有韵味！　　总是对那些纯几何感到头疼，比如下面这题，用解析几何硬算并不困难，可是证出来后仍然无法让自己满意，可能是因为没有揭示出内蕴吧：　　
　　把六月写的一篇日志贴上来。　　周六是这一批毕业班学生的最后一次课。前几天我就想是不是用手机拍个照留个纪念。结果到了当天，被手机的闹钟叫醒，还有些迷迷糊糊的，匆匆赶到学校，手机也没有拿，还迟到了一两分钟。上了一节课后休息几分钟，我回到家搜寻手机，仍然没有找到。这让我感到恐慌和沮丧。这是所谓的天意吗？注定无法记录下这有意义的时刻？最后一课，联想到都德的同名小说，THE LAST LESSON，或者按法语，LA DERNIER ClASSE？可能有拼写错误。毕竟隔了那么久。　　手机当然最后还是找到了。原先设想的最坏的情况是到了下周闹钟再次响起时才能找到它。毕竟我关了机，而且手机是一周才闹一次铃。其实就在枕套里。枕套的边扣没有扣，枕边的手机不小心滑进去了，找寻时又把枕头掀到了一边。　　因为第一次结束课没有拍照，接下来的结束课也就都没有拍照。还有的学生本来有最后一课的，不知为什么转到别的老师那里上了。也许想换个口味？这样就不了了之了。另一个学生说这一次还不是结束，还有下一次的，但是她走后，针对我的疑问，班主任查询记录后说已经没有了。也就是没有当最后一课上，却成了最后一课。另一个高三学生安排了最后三次课，结果一来他就说，学校不放假，所以后两次取消了。不过这次的最后一课倒上得比他以前的课轻松惬意，感觉他心态调整得好了一些，没有那么多灰暗冷嘲，对几天后的高考也比较有信心。差不多四分之一的时间都是在闲聊，我从中也获得了不少高考资讯。他说他这三年没有在天黑之前回过家。每天最后一节总是考试。这样的生活终于要结束了。
　　六月写的另一篇日志：　　昨天辅导一位高三学生（最后一次课），复习到反三角函数，让她画一下反余切函数的图像，她画不出，余切函数的图像呢？也画不出。启发性地问她，可以选几个特殊值描点呀，比如cot(PI/2)是多少？我以为她会很快回答是０呀，结果她想不起来，去揿了一通计算器，说没有意义。我看了一下，她揿的是1/tan(PI/2)，显示的结果确实是说此式无意义。我对这种型号的计算器也不熟，问她能不能直接揿反余切？她说不能，没有这个键，而且学校学三角函数和反三角函数时也把余切跳过去了。我愣了愣，也不知道如何解释，加上因为自己不会用这种型号的计算器，也感觉有些尴尬，所以就把这个问题放过去了。　　这里面确实有许多矛盾。如果回到最开始引入三角函数的直角三角形，PI/2根本不能放在直角三角形里。如果用余切是正切的倒数，PI/2的正切也确实没有意义。这里面有函数的连续性的考虑，有尽量拓展定义域的数学思想，还有计算器的设计思路问题。就算我自己想清楚了，花时间给她讲清楚了，可是考试又不太可能会考，剩下的时间又这么宝贵，有必要吗？
　　顶，收藏
　　今年的上海高考题（理科）（六月份写的）　　让孩子做了一下今年的高考数学题，除了两道压轴题的最后一问，他基本全都做出来了。我估计我辅导的那几个高三学生，好的可能比他再稍微强一点，差的恐怕要差一大截。总体感觉，今年这题目容易了一些。压轴题的几个小问间有逻辑顺承关系，这是值得欣赏的。下面把几道大题的思路和答案写一下，权当抛砖引玉吧。　　19、BC`平行AD`，且BC`不在平面D`AC上，否则的话，BC`C就与D`AC重合，这样AD`也属于BC`C了。矛盾。距离为2/3.　　20、x的范围是[3，10]，第2小问x=6，最大利润为500.　　21、w的范围是（0，3/4].
b-a的最小值为(14+1/3)PI.　　22、（1）最容易想到的，x=-根号3.
　　（2）|kx|=|x|+1,所以|k|=1+1/|x|&1. y=kx与双曲线相交就必须在渐近线包围双曲线的部分之内，而渐近线的斜率是1/根号2.&1，所以原点不是。　　（3）反向延长|y|=|x|+1的四条射线，把平面分为九个区域。要证的圆在其中一个之中（与边界相切）。观察图形很容易得出结论。　　23、
（1）a2=2,a3=10+c.　　（2）就是要证2|an+c+4|&=|an+c|+c+an,当an+c&=0时成立，an+c&0时也成立。　　（3）存在。假设可以，承接上一小题的结论，这个数列严格递增，若干项之后全都为正，可以去绝对值得出公差为c+8.然后讨论a1.分三种情况去除绝对值，得到a1&=-c,或a1=-c-8.验证后都满足题意。
　　（还是六月份写的）　　教授的过程也是一个学习的过程。比如在教有关圆锥曲线的切线时，我才知道它们与光的反射定律之间的联系：在圆中，圆心到切点的连线垂直于切线，可以看成光线从圆心出发到切点后原路返回；在椭圆中，光线从一个焦点出发到切点，可以反射到另一个焦点；在双曲线中，光从一个焦点出发到切点后反射，反向延长线到另一个焦点；而在抛物线中，经过焦点的光线到切点后，反射线与抛物线的对称轴平行。最后一点是孩子提示我的，所以锅盖形天线都是抛物面的形状，也可以类比成抛物线在无穷远处还有一个焦点。　　附带说一句，孩子的教材是华师大出版社的，他们学校为了赶进度没有用此教材，我之前也没有看过，所以还是崭新的，昨天大致翻了一下，觉得编的不错，其中的一篇英文阅读材料，就是用最值法证明上述有关椭圆的切线性质的，很有启发性。总体感觉，这本教材与上海高考的思路是相当吻合的，不求怪求难，仔细研读后会很有收获。其中一道研究拓展题是关于追赶走私船的，其实是“到两定点距离之比为常数的点的轨迹是一个圆”的应用，编的也还不错。　　另外，我也是昨天才发现，y=kx+b与标准抛物线y^2＝2px相切，切点的纵坐标是2b！如此简单和显明的结论，我怎么一直不知道呢？
　　这几个月接触了几十个学生。感觉人与人的差别真是很大。经常听到人们说，现在的小孩子都很聪明，我看并不是那么一回事。比如数盲，这个概念是最近才知道的，以前也见过对数学完全无感的人，但是盲到这个程度，要上初三了仍然背不出九九乘法表，或者2+（-2）以及2-(-2)总是算错，而且还不是一个两个，倒是让我颇感惊讶。多动症人来疯也不罕见。而且在所谓的尖子生里，也明显可以分为两类，一种是自熟的，一种则是催熟的。一个女孩子，初中毕业生，少年老成的样子，总是对对对，是是是，课余时间还捧着本经济学的大部头，奔波于各名牌高中的自主招生考场，脸蛋已经红晕褪尽或接近褪尽，皱纹已经深刻或接近深刻。虽然我礼节地鼓励她，说她有无限美好的未来，可是我自己都不相信我的话，甚至是不自觉地产生了一丝担忧。
　　今天（12月16日）是值得高兴的一天。打开电视机，新闻里播送的是致嫦娥三号团队的贺电，而在我们家里，则是因为一则获奖消息而高兴：/News.aspx?id=186　　孩子获得了金钥匙决赛一等奖！　　一直以来，此竞赛一等奖意味着高考的20分加分。如果此政策能延续到明年，孩子离重点大学就很近了。　　孩子当时就欣喜得喊起来，我愣了一下，心中慢慢也涌起一些激动。到底还是走到了今天。当他初中时获此奖项的二等奖时，就隐隐地有一个盼望，盼望能在高中阶段再进一步。
　　@三不知_ 44楼
21:08:00　　今天（12月16日）是值得高兴的一天。打开电视机，新闻里播送的是致嫦娥三号团队的贺电，而在我们家里，则是因为一则获奖消息而高兴：/News.aspx?id=186　　孩子获得了金钥匙决赛一等奖！　　一直以来，此竞赛一等奖意味着高考的20分加分。如果此政策能延续到明年，孩子离重点大学就很近了。　　孩子当时就欣喜得喊起来，我愣了一下，心中慢慢也涌起一些激动。到底还是走到了今天。当他初中时获此奖......　　-----------------------------　　来祝贺，楼主的孩子好厉害。
　　回复阿棠哥：谢谢！还要再坚持一段时间。　　回复wndds2008：欢迎！
　　成都网友老李办了本杂志《教育家》，昨天看到新一期上他的文章《你就是体制》，写得很棒，转载一下：　　@教育家杂志　　你就是体制　　本刊记者 李亮臻
　　这是一组关于家长的报道，而我们给这篇按语起了个“你就是体制”的名。　　是的，你正是体制，如同我们也是体制一样。所以，说你或者说我们都是一样的。我们自成体制，我们又是一个个更大体制的组成部分。比如，在这本杂志上，我们得说，我们就是中国教育体制的一部分。而不论我们每一个个体多么细小，都是它的元素和要素。　　无数的家长在焦虑和困惑。他们在挣扎，透过各种各样的形式。他们大多只有一个孩子，这个孩子是他们血脉传承的唯一途径，是他们生命的唯一去向。你想想，唯一的，唯一的。他们牵着孩子，穿过时光，走在生命延续的道路上。望望前程，摩肩接踵。飞扬的尘土在阳光下盘旋，或在雾霾中弥漫，看不清楚前路。但每一个人都知道，前面，或近或远，有一座深广大门，门楼上写着“高考”两个字；每一个人又知道，即使进了那座门，也还是摩肩接踵。除非，对了，除非。在这座深广门楼下，并列着许多宽窄不一的小门。越狭窄的门后面，是越宽阔的路，看上去光线明亮。除非你把他/她送入了那扇最窄的门，并确认他/她面对了一条通衢大道，你才有可能放得开牵着的手。　　总是要放手的呀！你又没办法代替他走。无论你情愿不情愿，你都不可能不朽。　　可是，为什么非要走这条路呢？因为它是体制之路。体制之路的涵括度那么广阔，路上人那么多，你觉得会比较安全。所以，当你牵着你的孩子上路的时候，你自然而然地，就变成了体制的一分子；然后，你和体制相互作用。　　而个体的差异大得令人发指。轻功好的，踏着“凌波微步”，绝尘而去。脚步重的，踉踉跄跄，举步维艰。相当多的孩子也通过了那座叫“高考”的大门，迈过了那些宽窄不一的小门；然后，四年后，当他们从那城堡里出来，面对的是更清瘦的现实。他们的父母，就是你们，不得不支撑着渐渐衰老的身体，再次拉起他们的手。你们得拉下老脸，帮他们求关系，找工作，再帮他们付首付，甚至还得帮他们找对象。人生何其难！　　这到底是为什么？世界这么宽，路上为什么那么挤？只因为你变成了体制。从你牵着他的手，开始让你的孩子接受“教育”的那天起，你就成了体制的一部分，而无法割离。　　“拈花一笑”自觉走进了体制，一条生命的纵身一跳，让她警觉：年轻的、鲜活的生命在这个无比庞大的体制里面，实在太轻了，都不足一道了；除了叹息一声之外，再没有人愿意付出更多。姚曦，中年得子，给儿子起个名叫“顿”，多么有理想。但这个热爱户外的男人是猎户，本能地嗅出了危险；他走了另外一条路，那条路也有危险，也有景阳岗上的大虫；他也不敢放心去走。丁未不得已，她想自救，可是没有更多的路，于是选择了顺应；幸好，有个十一学校，有个把孩子“40岁时的成功”而不是“高考成功”当成理想的李希贵校长。纪现梅，体制里更牢固的一块基石，一个全国知名的优秀中学语文教师，为了她自己，也为了她的孩子而出走，从《春秋》里的莒国之地，迁居到花重锦官城的杜甫草堂，却仍然没有找到门前停泊的万里船。他们都在收摄脚步，变得谨小慎微。　　自己觉得看清了前路的，只是龙兆磊们。在龙兆磊眼前，大路开阔，堪称康庄。可是那些“大神”级的孩子有多少呢？能进北大清华的娃娃有多少呢？千万平方公里何等辽远，北大清华的针尖上，能站得几个人立得几棵松？政坛商界的高峰上，容得几个人？何况，高处不胜寒。　　家长们，就在这条路上，殚精竭虑，呕心沥血，披星戴月，披荆斩棘，万里长征都不比他们更遥远！可是，他们，也就是我们中的绝大多数，理想平庸到只为了孩子——我们唯一的后代——能得到一份相对稳定的工作，有一份比别人高一点的薪水，能够买得起房，娶得起媳妇。难道我们不知道，这样下去，孩子们还会悲催地步我们的后尘吗？难道我们真的愿意他们重复我们这样的日日夜夜为功为利夙兴夜寐的生活吗？　　黄明雨是华德福在北京的创始人。他说在中国，很多人误解了史代纳。史代纳的本义，是培养孩子做个“真正的人”，而在中国，许多人误会成要培养孩子做个“快乐的人”。而现在，在家长们的心里，快乐似乎只跟金钱和地位有关。在一个有阳光的下午，我和一位朋友喝茶聊天。这个曾经的文化人，曾经在一家房地产公司工作。他说，在房地产从业人员的眼里，世界上只有两个行业：房地产行业和其它行业。那里面的竞争太恐怖了，他们每天工作十四五个小时，用一半的时间来工作，再用另一半的时间来证明自己在工作，然后获得高薪，不停地置产。他说他们太没有安全感了。　　顺着这条路走下去，我们的孩子，会不会这样呢？　　我们实在是没有能力追问。这个题目很大，且里面充满了矛盾，局面异常复杂。我们身处这个体制之中，里面没有罪人，但人人都在受罪。上上下下，从国家的教育部，到学校，到校长到教师，到我们每一个家长，再到我们的孩子，这个体制内的几乎每一个部分每一个要素，都希望改变，而且一些改变也正在局部地有效地发生。然而，事情的复杂性在于，对原体制不满的人，也就是我们，同时也对改变不满。　　这次就让我们多关注一下家长吧。关注家长，就是关注我们自己。然后我们反省，意识到我们也是作俑者。让我们从自身开始，洗心革面，共同推动教育改革，给我们的孩子们创造更广阔的生路。这样，当我们放手的时候，他们可以稳健地行走在大地上，充满仁爱和真实。　　我们要留这样的后代给世界。　　——教育家2013年12月号。
　　楼主：@三不知_ 时间： 21:08:00　　今天（12月16日）是值得高兴的一天。打开电视机，新闻里播送的是致嫦娥三号团队的贺电，而在我们家里，则是因为一则获奖消息而高兴：/News.aspx?id=186　　孩子获得了金钥匙决赛一等奖！　　一直以来，此竞赛一等奖意味着高考的20分加分。如果此政策能延续到明年，孩子离重点大学就很近了。　　孩子当时就欣喜得喊起来，我愣了一下，心中慢慢也涌起一些激动。到底还是走到了今天。当他初中时获此奖项的二等奖时，就隐隐地有一个盼望，盼望能在高中阶段再进一步。　　-------------------------　　恭喜恭喜！
　　回平淡女子：多谢！　　教辅书怎么都是那么多错误。今天就在《高考完全解读——王后雄考案（数学理科）》中发现了两处。一处是P28的附加最新题型中，发现解答错误；另一处是在P31的考题8中，发现题目错误：对于任意x,f(x+1)=-1/f(x)；与x属于[－1，1]时f(x)=x的平方互相矛盾！
　　这几天的感悟，是教学相长。学生们冷不丁地提出一些怪问题，或者习题集上的怪题难题，都要让我想半天，甚至在个别情况下，能够发现我的欠缺的知识点。比如辅导初三学生，我才意识到，中考压轴题已经与一个叫“几何画板”的软件密不可分，几乎每个省市，都把运动中的不变量，以及分类讨论做为命题的法宝。我自己试着用几何画板画了些图，然后“扯皮拉筋”地拖动这些图形，也很容易地发现了其中隐藏的一些几何关系。这几天我的收获，就是通过它直观地发现了调和点列的一些规律。所谓调和点列，就是一条线上的四点A、B、C、D，满足1/AB+1/AD=2/AC。换句话说，就是AC是AB和AD的调和平均值（也叫倒数平均值）。一大类题目和知识，如完全四边形呀，圆锥曲线的切线呀，极点和极线呀，圆锥曲线的准线和焦点呀，射影几何呀，都在我拉动图形，观察计算和思考的过程中，融会贯通了。再加上方便的网络搜索，找到值得学习的好几篇类似主题的文章，仔细揣摩，不知不觉间，感觉自己也长进了不少。　　当然，这些学问仍然在生活和工作中找不到什么用处。
　　看来老话说“活到老学到老”真是没错的。今天下午我才弄清楚欧拉线是什么东西。原来三角形的外心、重心、垂心都是在一条直线上（所谓的欧拉线），并且前两者的距离是后两者距离的一半。这是个很漂亮的定理，但是并没有纳入到中学常规数学的教学中。我自己出于一种厌新的心理，小时候没有学过，看到了就直接无视跳过，直到今天下午在另一题里才懂得了它。　　看到欧拉这个熟悉的名字又出现在这个地方，不禁在脑海里浮现出他的样子。他坐在床上，头裹着头巾，病殃殃的，眼睛也坏塌了，还在坚持计算，寻找一切可能的等式和不等式，或者说数学公式和定理。这是个多么怪的人哪。简直是把计算当做了生命。或者说一种敬业精神：既然女王请他来做数学家，那他就要通过解数学题来证明自己值得那些薪水。
　　经常收到一些培训机构的单页，千篇一律。但是百里挑一，也有一两朵奇葩。比如一个叫PENG老师工作室的，写的那是感人肺腑啊：“在上个礼拜，短短一周我家里先后收到了10多封各个机构的各种形式的宣传信，您手中可能还有我们工作室的一封。都说自己的老师全是名校的在职老师，似乎一下子上海滩遍地是名师。”哈哈。　　PENG老师的上一封信也很有创意，是手写复印的，乍一看还以为是亲笔书写的呢。不过在落款时，这位PENG老师却龙飞凤舞，看不清楚。只说是上师大物理硕士。我在上师大也有熟人，有空时去打听打听。
　　（六月份写的）感觉网上关注的事情和大多数人的关注还是有一定偏差。比如前几天的《新闻联播》报道了多个地方高分考生大幅增加，分数线大幅提升，在网上我却没有看到相关的讨论。题目越容易，分数线越高，区分度就越小，存在的意义也就越低。也许再过几年高考就完全成了鸡肋，学校和学生都会把重点转到“自招”考。就我做过的上海理科数学卷来说，今年的难度至少低了十五分。
　　（还是六月份写的）今天是高考分数和分数线公布的日子。不知道我辅导的那几个学生考得怎么样。　　今天也是我在书城为孩子选书的日子。给他挑选了几本自主招生有关的书，都是华师大出版社出版的。选这家出版社，是因为前几天都在做这个出版社出的《高中数学竞赛题典》上的题目，而且做了之后颇有些收获。　　但是我并不推荐这本书，因为难度对80%以上的学生都不适合。而且编排体系也有些问题。比如关于圆的题目，你在代数里的“向量”章节里可以看到，在复数章节也可以看到，在几何里也有，在三角里也有。这样就有些凌乱（我的感觉。）当然可能也没有更好的办法。　　在书城我还重温了另一本书《培养高考尖子——一位高考家长对素质教育的深度思考》。这本书写的很棒，所以我几个月前浏览过之后一直萦绕在心，今天才有机会将它读完。向大家推荐它，读后必有收获。不过其中关于现在孩子的数学能力比以前提高一大截的说法我不太赞同。他用的是1984年高考题的例子。据我实验的结果，现在的学生仍然做不好那份偏难偏怪的试卷，而且那种考死记硬背概念和公式的考法真的不怎么样。昨天的感触是：今年理科数学的成绩，与我的估计有偏差。由我自己和孩子做题的情况，感觉比去年容易，但是参加孩子学校家长会得到的消息，却是普遍没有考好，从平均分来看，区重点是八九十分，市重点是一百分多一点。今年的一本线（理科）甚至比去年降了近二十分。　　这种差距不好用题目难还是容易来解释。看来只能用出题人思路和应试人训练的偏差来解释了。最后一道大题，就是绝对值的分类讨论，就是等差数列的基础知识，计算量和计算难度都非常小，但是对概念要非常清晰，能够用数学的思维方式去思考问题。
　　今天是12月22日。近两天的感触是：现代科技对孩子身体造成了很大的损害。特别是空调和雾霾。好几个孩子都呈现出感冒症状，一连几次课都这样。跟教室有空调暖气不通风有关，跟室外的雾霾可能也有关。以前没有在意，这一段时间，经过铺天盖地的PM2.5宣传，知道了是怎么一回事。大人们还好，毕竟适应了。肺呀气管呀咽喉呀都已经麻木了。孩子们还娇嫩，又缺乏锻炼，只好一次又一次地忍受折磨。
　　《初一的数学题》　　已知：mnp=4 ; m+n+p=3 ;
m2+n2+p2=7
　　求：分式1/（mn+3p)+ 1/（np+3m)+1/（mp+3n)的值　　出于职业兴趣，我花几分钟做了一下，结果发现这是道错题。如果m、n、p都是正数，显然不可能，因为（m+n+p）/3＝1，说明算术平均值为1；而mnp＝4，说明几何平均值大于1，这是违反平均值定理的。如果m、n、p中两负一正，那么那个正的应该大于3，它的平方大于9，三个数的平方也不可能为7，仍然不可能成立。所以这是一道错题。　　2012年中环杯选拔赛（八年级或九年级）的一道题也是这样，关于x的方程有x3-4x2+6x+c=0有三个根r,s,t，且1/(r2+s2)+1/(s2+t2)+1/(t2+r2),则c=?　　给出的答案直接用了三次方程的韦达定理，却全然没有考虑这个三次方程是否有三个实数根。我推导的结果是没有。
　　韦达定理需要实数根的前提吗？我记得二次方程是不需要的，虚根也满足定理。
　　回复simpleyqqw：呵呵，我的意思是，根据题意，先要确定有三个根（对初中数学来说就是三个实根），才好用韦达定理进行下面的推导。韦达定理本身确实与根是实数或虚数无关。
　　希望老师多些写，虽然我看不懂，但可以让儿子来开开眼界
　　回香香的沙枣花：谢谢夸奖！名字好听！
　　家长接待日那天，听孩子的语文老师讲了一个观点，就是文科思维和理科思维不一样的，只要言之成理，言之有据，以情动人，就有它的一席之地，就能够得高分。这一观点得到我的赞同。我甚至联想到了前些年我的一篇游戏之作，不妨录在这里，聊以一笑：　　借你一匹马　　作者：三不知　　小时候我做过许多趣味数学题，现在大多忘记了，但有一道题，因为怪里怪气，莫名其妙，至今还记得很清楚。　　说是一家有个老人，临终前把三个儿子叫到身边，交待下他的遗嘱：咱们家值钱的东西不多，也就是养的那十几匹马了。我决定这样分遗产：老大得二分之一，老二得三分之一，老三得九分之一。　　说完老人就仙逝了。三个儿子忙乱过一阵子后，开始讨论分遗产的事，盘点过后，才发现这是个完全不可解的问题，因为总共是十七匹马。十七匹马哪能分成二分之一、三分之一、九分之一呢？亲爱的小朋友，你说说看，这个遗产该怎么分？　　我当然不知道怎么分，我觉得题目有问题。可是怀着巨大的怀疑看过答案后，又觉得这个答案很妙，无懈可击。说是老人很要好的朋友骑马奔丧来了，慰问三个愁眉不展的儿子，儿子们把眼前的困境告诉了他，他一时也不知道怎么办，只是说，我们去养马场，看看现场能给人什么提示。到了马场，数来数去，忽然触景生情，灵机一动，对儿子们说，我牵的这匹马借你们好了。　　于是问题迎刃而解。现在有了十八匹马，大儿子得二分之一，就是九匹；二儿子得三分之一，就是六匹；三儿子得九分之一，就是两匹。九加六加二，为十七匹，剩下还有一匹，正好归还给借马的老友。一切都很圆满，皆大欢喜。　　现在做为一个成人的我，想借题发挥，谈谈爱情。这个题原先不可解，是因为老人的遗嘱有两个错误：首先，是十七不能被二、三和九除；其次，这三个分数加起来的和，并不是整数一。然而，因为有了老友这么一借，将错就错，事情竟圆满解决了。人们活在世上，其实就是两件大事，一是生存，二是繁衍。在有些人看来，活着就是一个错误，繁衍又是一个错误，两个错误叠加，求生不能，求死不甘，导致整个人生根本就无解。但是造化创造了爱情，把它借给我们，问题竟然迎刃而解了！你看，生存，是因为我们还期盼和眺望着爱情；繁衍，是因为我们要为爱情留一个纪念，铸一个结晶。　　但是爱情真是我们的财富吗？不是，它只是一匹借来的马。我们不能指望它带着我们狂奔驰骋，也不能指望它为我们分担重负。连它是真马还是木马我们也不能确定，甚至完全可以是一匹想象的马，虚拟的马，随口添出，信笔抹去。借去还来，也并一定要有什么交接过程、隆重仪式，只是心领神会，瞬息完成。而老友的慷慨相借，也是因为毫不吃亏的精心算计已经成竹在胸。　　就这样，我们因爱情而盲目，因盲目而爱情，只是待到尘埃落定，才怅然若失：爱情呢，它来也匆匆，去也匆匆，怎么忽然之间，就消失得无影无踪？仿佛就象一曲虚无缥缈、若有若无的音乐，此曲只应天上有，人间哪得几回闻。　　好吧，黯然神伤、悲观失望者当然有他们的道理，但事物自有其另外的一面。难道仙逝的老人真的是老糊涂了，临终遗嘱犯下了双重错误，好不容易才被老友的将错就错、急中生智所补救？可是仔细想来，却不是这样，因为二、三、九的最小公倍数，就是十八；而三个分数与整数一的差，又是十八分之一；这两个错误构造得如此巧妙，以至于老友的方法其实是呼之欲出、唯一可行的方法。这样，我们就应该承认，老人其实已经预测到老友将骑马前来吊唁，以这种善意的玩笑，布置下一个精巧的难题，让亲人和朋友沉浸于其中，领略动脑筋的快乐，忘却死亡带来的悲痛和沉重，而只记住他的幽默和天真。　　人生也是这样，我们常常陷入到看似无解的困境中，但是奇妙之处就在于：办法总是比困难多。没有山穷水尽的焦灼，也就没有柳暗花明的欣喜。而机缘凑巧时，爱情它就来了，让奇迹不经意地发生，让事件顺利演绎，然后它又会毫发无损地绝尘而去，这样，它才会万古常新，永不磨灭，值得人们回味和追寻。　　（发表于《女性大世界》，转载于《文苑（文摘版）》）
　　（六月份写的）昨天的感触是：今年理科数学的成绩，与我的估计有偏差。由我自己和孩子做题的情况，感觉比去年容易，但是参加孩子学校家长会得到的消息，却是普遍没有考好，从平均分来看，区重点是八九十分，市重点是一百分多一点。今年的一本线（理科）甚至比去年降了近二十分。　　这种差距不好用题目难还是容易来解释。看来只能用出题人思路和应试人训练的偏差来解释了。最后一道大题，就是绝对值的分类讨论，就是等差数列的基础知识，计算量和计算难度都非常小，但是对概念要非常清晰，能够用数学的思维方式去思考问题。
　　@三不知_ 57楼
10:24:00　　《初一的数学题》　　已知：mnp=4 ; m+n+p=3 ; m2+n2+p2=7　　求：分式1/（mn+3p)+ 1/（np+3m)+1/（mp+3n)的值　　出于职业兴趣，我花几分钟做了一下，结果发现这是道错题。如果m、n、p都是正数，显然不可能，因为（m+n+p）/3＝1，说明算术平均值为1；而mnp＝4，说明几何平均值大于1，这是违反平均值定理的。如果m、n、p中两负一正，那么那个正的应该大于3，它的平方大于9，三个数的平方也不可能为7，仍......　　-----------------------------　　有意思，让抄下来让儿子做下，看他能不能发现
　　回青青草浪：好呀！
　　谢谢楼主，昨天平安夜，给弄忘了。给他做的主要目的，是希望他不要再那么迷信权威迷信教材迷信老师。想当年我可是以能够质疑老师为光荣的，有极强的打破沙锅问到底的精神，这小子一点没遗传。
　　比如，学了参照物，我问老师，如果以天上某一星球为参照物，我们就有巨大的加速度，那么我们就该承受巨大的力量，为什么不会死？那会没有科普书看，仅教课书，不清不楚的地方实在多。　　我认为我之所以很不用功还能保持不错的理科成绩，全因为一个“钻”字，不知楼主认不认同？
　　说说我对数学的理解：数学是一门语言，而且是人类世界目前最严谨的语言，是真正的世界语。　　人类的语言，从人表达自己的情绪情感开始，逐渐走向成熟的交流工具。在此过程中，主观性和客观性，两者具备。同时人群的历史习惯，形成了各地不同的语言。语言作为人类交流的平台，本身也会自产生阻碍人类交流实现的特征。巴别塔是一例。文化生活习惯的差异，导致对相同表达内容的不同理解（歧义），也是一例。语言中的情绪和主观成份，导致的误读，更是比比皆是。　　相比其他语言，数学也是一种表达，更接近书面语。它有几个特征：1、客观，无情绪情感等人的主观成份；2、规则明确，必须合乎逻辑。3、有效率，条件和结论之间的过程不发散。　　换言之，数学的特征，也就意味着数学训练对于一个人思维塑造的影响。到目前为止，数学都是人类理性思维外在最高表现的唯一代表，是自然科学皇冠上的明珠。我们很难想象，自然科学理论用其它语言平台来表述，会是怎样。多多加强数学训练，对于一个人思维的客观性、严谨性和效率，都有极大帮助，对于一个人学习自然科学理论，效用无限。　　也说说数学语言的现实局限。　　1、数学只能承担人类语言交流的一部分职能；　　2、过于逻辑理性，可能会约束一个人感性思维的发展成熟；　　3、数学语言的学习，尤其是反复训练，对于大多数人来说，太枯燥。　　4、数学语言的发展太快，如同自然科学，现代人已经很难对数学各个分支都具备较强的理解力。　　5、数学非常抽象，学习难度高。对于数学源头的给定条件，比如定义公理公设等前提基础，人们往往不求甚解。　　6、数学本身的学习（理论）与数学的运用（实践），这两者的关系，是今天数学语言学习的真正难点。
　　回复青青草浪：对呀，我也非常看重钻劲。数学要学得好，必须要钻，越钻越深，越钻越广。　　回T生：说得太好了！简直可以说，是我心里所有，笔下所无，想表达表达不清的看法！尤其是您关于它的局限性的论述，非常透彻。
　　@T生 70楼
09:42:00　　说说我对数学的理解：数学是一门语言，而且是人类世界目前最严谨的语言，是真正的世界语。　　人类的语言，从人表达自己的情绪
开始，逐渐走向成熟的交流工具。在此过程中，主观性和客观性，两者具备。同时人群的
习惯，形成了各地不同的语言。语言作为人类交流的平台，本身也会自产生阻碍人类交流实现的特征。巴别塔是一例。文化生活习惯的差异，导致对相同表达内容的不同理解（歧义），也......　　-----------------------------　　佩服，笔记了。　　论坛事，不禁感叹，当真是假作真时真亦假啊
　　作者：@T生 时间： 09:42:00　　说说我对数学的理解：数学是一门语言，而且是人类世界目前最严谨的语言，是真正的世界语。　　人类的语言，从人表达自己的情绪情感开始，逐渐走向成熟的交流工具。在此过程中，主观性和客观性，两者具备。同时人群的历史习惯，形成了各地不同的语言。语言作为人类交流的平台，本身也会自产生阻碍人类交流实现的特征。巴别塔是一例。文化生活习惯的差异，导致对相同表达内容的不同理解（歧义），也是一例。语言中的情绪和主观成份，导致的误读，更是比比皆是。　　相比其他语言，数学也是一种表达，更接近书面语。它有几个特征：1、客观，无情绪情感等人的主观成份；2、规则明确，必须合乎逻辑。3、有效率，条件和结论之间的过程不发散。　　换言之，数学的特征，也就意味着数学训练对于一个人思维塑造的影响。到目前为止，数学都是人类理性思维外在最高表现的唯一代表，是自然科学皇冠上的明珠。我们很难想象，自然科学理论用其它语言平台来表述，会是怎样。多多加强数学训练，对于一个人思维的客观性、严谨性和效率，都有极大帮助，对于一个人学习自然科学理论，效用无限。　　也说说数学语言的现实局限。　　1、数学只能承担人类语言交流的一部分职能；　　2、过于逻辑理性，可能会约束一个人感性思维的发展成熟；　　3、数学语言的学习，尤其是反复训练，对于大多数人来说，太枯燥。　　4、数学语言的发展太快，如同自然科学，现代人已经很难对数学各个分支都具备较强的理解力。　　5、数学非常抽象，学习难度高。对于数学源头的给定条件，比如定义公理公设等前提基础，人们往往不求甚解。　　6、数学本身的学习（理论）与数学的运用（实践），这两者的关系，是今天数学语言学习的真正难点。　　-------------------　　学习了解！
　　（七月份写的）昨天夜里得到报喜的短信，辅导的一位中考考生数学考到148，总分607分。这个消息让我感慨激动了一番。那天她在为上师大自荐没有录取而沮丧时，我就安慰她，这学校说好不好说差不差，就算录了你到时候也不一定愿意上。她点头称是。安慰的话虽然这样说，但是还是悬了心，不知道她到底能不能正常发挥。结果出来了，真心觉得这孩子不错，真棒。她就是我前文讲过的自然熟而不是催熟的孩子，能够自己摸索自己归纳，心态也越来越稳，班上名次从三十名的波动范围缩小到三名，用数学的术语叫快速收敛。相信她有一个光明的前途。
　　（还是七月份写的）昨天在书城调换了光盘。高考英语听力的光盘。这件事很让人纠结，是因为上周周末买了听力书和光盘后，回家发现光盘只能拷贝一半文件，另一半读写出错。想去调换，偏偏一周都很热，直到昨天才在降雨之后凉快下来，又不得不准备雨具，以免挨淋。幸好是阴天。　　调换之后想找光驱试读一下，以免白跑一趟，结果他们都说没有光驱或光驱已坏。好不容易在二楼音像部找到了一台DVD，也能读出光盘中的MP3，要检验后面几个文件时，却没有遥控器或遥控器已坏，面板上也没有下翻键。　　这让我很有些感慨。CD、DVD、碟片、光盘、光存储，这就是我原先公司的主业，也是我做为研发工程师的主攻方向，在我刚到上海时还红红火火，没有想到，如今竟是这样一幅日薄西山的光景。　　以上这部分其实跟我这个帖子的主题无关，但是想到有网友问及我到教辅机构当数学老师之前的情况，不妨略做说明：我在过去近十年时间内一直是中科院下属的光盘技术研发中心的项目经理和软件工程师。因为行业原因，中心关闭，我回家休息了近一年，今年年初转为某机构的专职数学教师。同时，我更为看重的身份，是烤爸（这是昨天在书城看到一本关于高三家长的书里的用语），陪孩子度过高三这一年，迎接人生中最重要的一次考试。
　　*（仍然是七月份写的）我看一本讲高三家长的书，里面就提到，学生的一模二模都是不准的，有的很高的到了高考就跌下来，有的很低的却涨上去了。所以对模考太在意实在没有必要。对上文中607分可能要去上中的孩子，我觉得她真是一分耕耘一分收获，她的美好前途已经注定，对她本人和她的父母来说，悬着的心可以放下了。　　这几天又收到几封机构的宣传单。一张上面赫然列着，蒙ZJ，82年出生，中高考研究专家，毕业于清华大学，中科院硕士。这个姓氏很少见，不免搜索了一下，在水木清华BBS上，还真有人提到过他，在中科院的优秀研究生里，也确实有这么个人。但在IDTAG网站（基于全国公民姓名数据库的查询系统），却发现年龄没有和他对得上的。这让我感到一丝蹊跷。　　高中开始，数学就显现出它的“狰狞”面目，千头万绪一团乱麻。到了大学里，情况就更糟了。不是吗？剑桥大学的怀尔斯证明费马大定理的论文，在数以万计的数学家中，有多少人看过？不过几十人吧。而这几十人，又都没有发现怀尔斯证明中的漏洞，还是他自己发现又自己弥补的。到底补牢了没有，也没有百分百的把握。　　说这些，主要是觉得，数学给我的感觉真的不是很好。当然有人说，解出了一道题目，会感到很高兴。但是如果这是道没有什么难度的，或有点难度但给了你许多提示的，解出来又算什么呢。而难一些的题目，在百思不得其解过程中的那个郁闷，可能要远远超过最后的那种得意吧。　　职业和兴趣，在数学这门学科上有差别，但我觉得这种差别还算是小的。数学家嘛，从这个词的本意来说，其实就是数学工作者，当然成果和造诣有高低之分。要出大的成果，肯定是需要有深厚的兴趣和持久的努力。就象张益唐，因为博士论文的纰漏，几十年都郁郁不得志，在三流大学做编外讲师，还送外卖打小工，还是坚持到破解孪生素数猜想的这一天。无论如何，他都是一个真正的数学家。　　昨天与我们机构的明星教师D老师交流了一下，她也有同样的困惑，就是为什么现在上海的孩子数学都这么差。她辅导的几个艺考生，数学成绩都从平时的六七十分上升到一百多分，而那些文科生，平时在一百多分的，这次也还是一百多分。而理科分能上九十分就已经超过了一半人了。按说没有这么难吧。看不到有什么偏难怪题目，学生们也是这样反映，就是拿不到高分。　　不光是数学，其他几门如语文，物理，化学，英语，好像都有这样的问题。题目谈不上有什么难度，也并不古怪，高分却非常罕见，三四百分就可以上二本甚至一本。　　这两天的感悟是，出试卷的人也不容易。今年的物理试卷给孩子做了，别的题目都没有什么问题，就是有一道多选题（题号是20），说是两船拖另一船，被拖船的方向是不是在两船夹角之中。我和孩子都选的“是”，但考试院的标准答案不是。纯粹从数学角度，这个方向是可以在两船夹角之外，但是考虑到物理规律，很难让人信服。看了看网上对此题的讨论，也引起了争议。这让我联想到两个月前辅导某高三学生时，他就说过某年因为一道选择题出错了，考试院被弄得很狼狈。没有想到，这样的事情似乎又要重演。
　　昨日把那题给小孩做了，快倒是挺快，我几次提示他想想，他坚定地说没错就是1/11，于是把楼主的理论给他看了，这时才说，难怪感觉有点怪。我乘机告诉他，要敢于质疑，要会自已钻，不放过任何一个疑点和不明白的地方才能学好数理化。　　但愿能领悟一点点。
　　@青青草浪 77楼
07:44:00　　昨日把那题给小孩做了，快倒是挺快，我几次提示他想想，他坚定地说没错就是1/11，于是把楼主的理论给他看了，这时才说，难怪感觉有点怪。我乘机告诉他，
　　但愿能领悟一点点。　　-----------------------------　　青青草浪为什么不“要敢于质疑，要会自已钻，不放过任何一个疑点和不明白的地方”　　这个题作为初一的题肯定不合适，但作为数学题还是不错的。上面楼主的证明是实数范围内有矛盾，但扩大到复数这个矛盾就不存在了。　　而且在运算过程中实数就够了　　楼上没有仔细看看孩子究竟是哪一步算错了吗？我算的结果是-13
　　我什么都没看，初一题的话，应该是考整体代入法这个知识点，那么烦锁，实在没兴趣做，只是想告诉他，学数学应该相信逻辑，而不是相信人。
　　回青青草浪和simpleyqqw:很奇怪呀，我的结果与你们给出的都不一样呢。我的是-6.　　过程如下：　　因为mnp=4 ; m+n+p=3 ; m2+n2+p2=7;所以(m+n+p)2=9,得到：mn+pn+mp=1;然后(mn+pn+mp)2=1,展开后有：m2n2+p2n2+m2p2+2mnp(m+n+p)=1,所以m2n2+p2n2+m2p2=-23;　　又因为mnp=4 ; m+n+p=3 ;mn+pn+mp=1;　　据韦达定理可写出方程：x3-3x2+x-4=0,　　m、n、p就是上面方程的三个根，该方程除以x,得到：x2+1=4/x+3x,　　这样1/（mn+3p)=1/(4/p+3p)=1/(p2+1),所以要求值的原式就变为：　　1/(p2+1)+1/(m2+1)+1/(n2+1),通分后得到：　　(p2m2+p2n2+m2n2+2(p2+n2+m2)+3)/(p2m2n2+p2n2+n2m2+p2m2+m2+n2+p2+1),　　分子为-23+2*7+3=-6,分母为16+(-23)+7+1=1,所以结果为-6.
　　直觉是楼主对，对称的式子，一般会有对称的结果吧
　　楼主算的对。　　mn+3p=mn+（m+n+p）p=1+p2　　这样既不用韦达定理，适合初一水平，也简便得多
　　我上面说这个题不适合初一，主要是讲m2n2+p2n2+m2p2=-23这个式子，但只要学生只管硬着头皮写，最后还是能得到正确答案的。　　这使我想起虚数的产生过程：在解三次方程的过程中，有人得到负数的开方，从而停下来。而有人只管硬着头皮往下算，不管这个结果在当时看来多么荒谬，而最后，他得到了一个正确的实数，从此，虚数诞生了。　　打破权威，打破一切束缚，只要前面的推理正确，只管往前走，车到山前必有路嘛
　　回青青草浪：呵呵，有道理！　　回simpleyqqw：你的方法确实不错，简单明了。就是一般人想不到，这相当于先化简为繁，当然第二步就简单了。　　确实，有许多路都是硬着头皮走出来的。
　　@三不知_ 　　楼主，你好。我也辅导过初高中的数学，有一个感受特别深：其实很多孩子智力完全达到了，但是这些孩子对数学的感情是可有可无，甚至没有才好，被动地因为要考才学习数学，所以……，一切结果都很自然。　　学生也时常问我这个问题：老师，我为什么要学数学？我的迷茫同你一样，因为考试吗？这个不足以给学生以动力，甚至让学生无奈和反感。因为以后搞科研需要用吗？那似乎离孩子们太远，大多数人都是过普通人的生活，不足以说服他们。问了很多人，都没有答案。　　先抛开那些问题不说，今天想和你交流探讨的是：如何调动学生们学习数学的积极性？你是怎么做的呢？可以说一说吗？
　　@sunny楼
08:24:00　　@三不知_　　楼主，你好。我也辅导过初高中的数学，有一个感受特别深：其实很多孩子智力完全达到了，但是这些孩子对数学的感情是可有可无，甚至没有才好，被动地因为要考才学习数学，所以……，一切结果都很自然。　　学生也时常问我这个问题：老师，我为什么要学数学？我的迷茫同你一样，因为考试吗？这个不足以给学生以动力，甚至让学生无奈和反感。因为以后搞科研需要用吗？那似乎离孩子们太远，大多数......　　-----------------------------　　为什么要学数学？我想，当越来越多的人对这个问题产生疑问的时候，可能一场大变革就会开始了。就象越来越多的人对皇帝的新衣产生疑问一样。　　中国学习五经四书2000年，大家都认为天经地义（应该有人质疑过，但只能是私下），清末才发现不学这个也无关紧要，于是才有了新学。　　所以，人类很可能不需要全体去学数学。
　　楼主新年快乐
　　回sunny405070：是呀。这个问题也一直困扰我。也许只能归结为孩子的两心：好奇心和好胜心？如果这两心都很微弱，要学好数学也太难了。　　回simpleyqqw：一百多年前在西方，古希腊语古拉丁语都是必修课，现在都没有了。一百多年前在中国，四书五经，毛笔字打算盘也是必修的，现在也没有了。将来谁知道呢。　　回wndds2008：谢谢！也祝大家元旦快乐！
　　（2013年7月份写的）最近的关注点：一个命题如何拓展。广度和深度。逆命题否命题，充要条件，这些都是拓展命题的辅助手段。比如我最近让孩子做的几道题目都可以拓展。一道物理题（其实是数学题）是：三个人ABC处在等边三角形的三个顶点，速度大小都一样，互相追逐，何时才能追上？我把它命名为“追逐问题”。这个问题很容易拓展到正四边形和正N边形上。但是拓展到一般三角形或直角三角形又会如何？　　昨天让孩子做的一道题目：半径分别为3、3、2、2的四个球，相互外切，再添一个球，与它们都外切，半径是多少？做出来是6/11。那么如何拓展这道题目呢？最直观的一个拓展角度，就是研究为什么这个结果是个有理数。在计算过程中，不可避免地会用到勾股定理，也就不可避免地用到开方运算。为什么结果会是分数呢？如果把四个球的半径改为a、a、b、b（a&＝b）,结果又会怎么样呢。解出的结果果然回答了我的疑问：a*b/(a+b+(6a*b)^1/2),当6ab是平方数时，就会得出有理数。在后面的这个计算中，还要注意舍去增根并讲清理由。
　　（还是2013年7月份写的）　　今天给一名新高二的女生上课，探讨立体几何和向量方法。对学生来说，是一节学习新知识新概念和新方法的课程，对教师来说，如何引入立体几何的各种概念，也是一次考验。重点放在空间与平面各种关系的异同。首先举的例子，是平面上最多有几个圆可以互相外切，而这道题搬到空间里，变成几个球可以互相外切，就涉及到异面直线。由此入手，介绍异面的概念，空间里长度和角度的概念。然后由平面向量入手，介绍向量的兜圈子的特性，通过几道小题目见识一下向量求法或证法的特性。布置的作业是一道四点共球条件下，求两点间球面距离的题。　　TOP　　110楼 三不知 (也应有泪流知己，只恐无心对俗人。) 发表于
只看此人　　前几天给一位小学生讲课时，让她做一道趣味题，把妈妈的年龄乘以100加上她自己的年龄，结果告诉我（题目本质上是这么回事，只是多绕了几道弯儿）。她说3511。我说你妈妈是35岁，你是11岁。她感到很惊讶。感觉好像我有魔法似的。她的惊讶让我也很惊讶。　　还有，我最近看到一篇文章，说大多数美国小学数学老师说不清为什么除以3等于乘以1/3。我想了想，我也说不清，或者说，至少没有一种简单明了的方式，让小学生懂得这后面的互逆运算的原理。
　　（还是2013年7月写的）有的人说：对小学低年级学生讲到这个时，只能这么说，然后说记下来练熟就行了，别多想了，别钻牛角尖，这是规定，这是定义，这是最终解释。我也基本上认同。　　不过对教师，对大人，对喜欢钻研的大孩子，我私下认为，也不妨谈一谈域的概念，谈一谈公理体系，谈一谈数学中体现了人类自由创造力的部分。平面几何中的第五公设不也被人们研究了一两千年吗？公设公理并不意味着不证自明，也不意味着最终解释和终极规定。
　　日。昨天给学生讲了向量。向量的特性让他们觉得困惑。AB+BC怎么能等于AC，难道不应该大于AC吗？　　我考虑了一下这个问题，觉得有些意思。我把这种差异归结到两种世界观的差异。普通的加法，是要考虑过程的，要考虑路径的，要考虑各种约束和限制的。而向量加法不考虑这些，比较理想化，只考虑结果，只在乎起点和终点，中间的过程和路径不予以考虑。或者说，是甲方和乙方的区别。甲方只管你捉到老鼠没有，而乙方则要考虑成本问题等各种问题，再决定是派黑猫还是白猫，或者干脆自己扮猫。　　从普通算术到向量算术，也反应了人类的进步。从必然王国到自由王国的飞跃。从依葫芦画瓢到自由创造的飞跃。这种飞跃的前提是，充分认识到了本质性的东西，而忽略掉非本质的东西。交换律结合律分配律，单位元，封闭性唯一性。至于是自然数还是实数，是字母还是向量，是加法还是乘法，都可以忽略掉。越来越抽象，越来越本质。
　　楼主，坚持写！　　
　　回复天海奇：谢谢鼓励！　　就在上周，得知辅导的一个学生在中环杯数学竞赛获得二等奖。真有些出乎意料。看上去他有些调皮，心不在焉，有些消极应付。以往的各次竞赛都没有进入决赛。当初他妈妈找到我，就是希望我能推他一把，让他在决赛中拿个奖，对中考自招有些好处。辅导了这么多次，我感觉效果并不明显。但是他还是得奖了。　　偶然还是必然？不管怎么样，讲了那么多题目，那么多套路，总有一星半点的帮助吧。我这样对自己说。
　　昨天帮孩子解一道题目。是双曲线和抛物线交点的问题。虽然我解出来了，但是实际上是蒙的。弄出了一个四次方程，观察知2*(3^0.5)是它的唯一可能解。这也太那个吧。怎么会有这样的题呢？不久，孩子说他也解出来了，答案一样，但是只是个二次方程。　　原来我用的是tanA＝4/3，他用的是cosA=3/5。虽然这两者是等价的，但是在解此题时，难度相差十万八千里。用tanA就要用到y1-y2，这个没有办法直接求，只能用平方后开方的法子，结果就出现了根号，平方后就变成了四次方程。而cosA为点乘和模积之比，模是距离，根据勾股定理，本来也有根号，但是恰好这里是抛物线，到焦点的距离等于到准线的距离，就是x1+0.5p，没有根号。　　所以一旦选错方法，后果就是灾难性的。不过这种题目都有几个小问，前面的小问其实暗示了后面题目的路径。
　　马克一个，下次好找。　　向量是必修-4的内容。　　孩子数学总犯迷糊，愁人~
　　回复今世钱生：好有趣的名字。犯迷糊是难免的。
　　谢谢楼主！我家儿子的数理我也想请一个像楼主这样的老师推一把，如今他面临3个问题:1.思路狭窄，方法少。他没有学过奥数，竞赛题学校老师有提及但要求不高，平时难题也能解出来，难度不太大且时间宽裕的考试发挥很好，可难度大点时间紧张就不能解出，方法不对导致计算繁杂，难以在规定时间算出来；2.考试发挥，早上他思维不太活跃，其它时间好些，一般中午或下午的考试发挥好很多；3.自学问题，他完全依赖老师，缺乏自主扎实的学习精神，下学期就要进入高中了，得想办法纠正了；4.考试草稿从不规划，乱七八糟，势必影响计算结果。老师请您多多建议，不胜感激！　　
　　4个问题呢　　
　　回复天海奇：不好意思，这几天有些事情，比较忙，没有顾得上到这里看。　　你提的四个问题，确实很值得思考。现在我觉得，数学真的不太容易学，我自己感觉，心情一浮躁，就连很容易的问题也解不出来了。这是我自己最近的一些感受，可能也与时间段有关，人在一天当中并不是什么时候都适合学数学的，象你的孩子，中午或下午好很多，这也不错呀，因为现在中高考都是在下午教数学（以上海为例，别的地方似乎也差不多）。自学，从我的经验看，对初中生甚至大部分高中生都很难。文科还好些，理科自学，简直不可思议。还是要合适的老师点拨一下比较好。　　至于草稿规范问题，解题思路问题，想了想，好像泛泛而谈也谈不到点子上。让我再想想？
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