求幂函数e的x次方在x=0处的幂级数展开式,并确定它收敛于该函数的区间_作业帮
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求幂函数e的x次方在x=0处的幂级数展开式,并确定它收敛于该函数的区间
求幂函数e的x次方在x=0处的幂级数展开式,并确定它收敛于该函数的区间
这是最基本的公式：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+.收敛域为Rfx=（e^x+e^-x）/2展开成x的幂级数.为什么n为奇数的项都被抵消了?_作业帮
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fx=（e^x+e^-x）/2展开成x的幂级数.为什么n为奇数的项都被抵消了?
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e^x幂级数展开,e^x=a0+a1*（x-x0）+……+an*（x-x0）^n;e^-x幂级数展开,e^-x=a0+a1*-（x-x0）+……+an*-（x-x0）;奇数相大小相等符号相反,所以就相抵消了11.4_函数展开成幂级数_百度文库
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11.4_函数展开成幂级数
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1、求f(x)=1/(4-x)在x0=2处的幂级数展开式；2、将函数y=ln(1-x-2x^2)展开成x的幂级数,并指出其收剑区间.
1、求f(x)=1/(4-x)在x0=2处的幂级数展开式；2、将函数y=ln(1-x-2x^2)展开成x的幂级数,并指出其收剑区间.函数展开成幂级数70
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函数展开成幂级数70
第四节函数展开成幂级数；一、泰勒级数；前面讨论了这样一个问题，对于给定的幂级数，求出其；在第三章中我们已经学过；泰勒公式：若函数f?x?在点x0的某一邻域内具有；f?x??f?x0??f??x0??x?x0??；f???x0??x?x0?2??；2!；(1)；f?n??x0??x?x0?n?Rn?x??；n!；成立，其中Rn?x?为拉格朗日型余项；f?n?1
函数展开成幂级数一、泰勒级数前面讨论了这样一个问题，对于给定的幂级数，求出其收敛域并确定其和函数的性质，并在可能时求出和函数的表达式。这节我们讨论该问题的反问题：给定函数f?x?，要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，即是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数f?x?。（如果能够找到这样的幂级数，就说f?x?在该区间内可展开成幂级数。）解决这个问题有很重要的应用价值，因为它给出了函数f?x?的一种新的表达方式，并使我们可以用简单函数――多项式来逼近一般函数f?x?。在第三章中我们已经学过泰勒公式：若函数f?x?在点x0的某一邻域内具有直到?n?1?阶的导数，则在该邻域内f?x?的n阶泰勒公式：f?x??f?x0??f??x0??x?x0??f???x0??x?x0?2??2! (1) f?n??x0??x?x0?n?Rn?x?
?n!成立，其中Rn?x?为拉格朗日型余项。 f?n?1?????x?x0?n?1
Rn?x??n?1! （?在x0与x之间）如果令x0?0，就得到马克劳林公式： f???0?2f?n??0?nf?x??f?0??f??0?x?x???x?Rn?x?2!n!（2）201此时，f?n?1???x?n?1Rn?x??xn?1!（0???1）公式说明，任一函数只要有直到?n?1?阶的导数，就可等于某个n次多项式与一个余项的和。下列幂级数 f???0?2f?n??0?nf?0??f??0?x?x???x??2!n!（3）我们称为马克劳林级数。那么它是否以函数f?x?为和函数呢？ 若令马克劳林级数（3）的前n?1项和为sn?1?x?，即 f???0?2f?n??0?nsn?1?x??f?0??f??0?x?x???x2!n!那么，级数（3）收敛于函数f?x?的条件为 limsn?1?x??f?x?n??由马克劳林公式与马克劳林级数的关系，可知 f?x??sn?1?x??Rn?x?n??n??于是，当limRn?x??0时，有limsn?1?x??f?x?。 反之，若limsn?1?x??f?x?，必有limRn?x??0。n??n??这表明，马克劳林级数（3）以f?x?为和函数的充要条件，是马克劳林公式（2）中的余项Rn?x??0（当n??时）。这样，我们就得到了函数f?x?的幂级数展开式： f???0?2f?n??0?nf?x??f?0??f??0?x?x???x??2!n!（4）202它就是函数f?x?的幂级数表达式。也就是说，函数的幂级数展开式是唯一的。事实上，假设函数f?x?可以表示为幂级数 f?x???anxn?a0?a1x?a2x2???anxn??n?0?（5）那么，根据幂级数在收敛域内可逐项求导的性质，再令x?0（幂级数显然在x?0点收敛），就易得到： f???0?f?n??0?，?，an?，? a0?f?0?，a1?f??0?，a2?2!n!将它们代入（5）式，所得与f?x?的马克劳林展开式（4）完全相同。综上所述：如果函数f?x?在包含零的某区域内有任意阶的导数，且在此区域内的马克劳林公式中的余项以零为极限（当n??时），那么，函数f?x?就可展开成如（4）式的幂级数。当然，幂级数：f???x0?f?n??x0?2?x?x0?????x?x0?n??f?x??f?x0??f??x0??x?x0??2!n! 称为泰勒级数。二、函数展开成幂级数 将一个函数展开成泰勒级数的基本方法是由系数公式计算系数an，然后证明泰勒公式的余项当n??时趋于零。
我们先来得到几个基本初等函数的幂级数展开式 例1
解： 因此f?n?将函数f?x??e展开成x的幂级数。x所给函数的各阶导数为f?n??x??ex（n?1,2,?）?n?，这里f?0??f?0?。于是得级数 ?0??1（n?1,2,?） x2xn1?x??????，2!n!203 它的收敛半径R???。对于任何有限的数x、?（?在0和x之间），余项的绝对值为xe?xn?1Rn?x??x?e?n?1!n?1!因exn?1有限，而xn?1n?1!是收敛级数?n?1!的一般项，所以当n??时，n?0?xn?1e?xxn?1n?1! ?0，即当n??时，有Rn?x?0。于是得展开式： x2xne?1?x??????2!n!x（???x???）（6）例2
解： 将函数f?x??sinx展开成x的幂级数。 所给函数的各阶导数为???f?n??x??sin?x?n?? （n?1,2,?）2??， f?n??0?顺序循环地取0,1,0,-1,?（n?0,1,2,3,?）于是得级数 x3x5x2n?1n?1x???????1???，2n?1!3!5!它的收敛半径R???。对于任何有限的数x、?（?在0和x之间），余项的绝对值 当n??时的极限值为零：?n?1????sin???n?1?x2??xn?1?Rn?x???0 （n??）n?1!n?1!因此得展开式： 204 x3x5x2n?1n?1（7） sinx?x???????1??? （???x???）2n?1!3!5!这种运用马克劳林公式将函数展开成幂级数的方法，运算常常过于烦琐，因此人们普遍采用下面比较简便的展开法。在此之前我们已经得到了函数1x，e及sinx的幂级数展开式，运用这几个1?x已知的展开式，通过幂级数的运算，可以求得许多函数的幂级数展开式。这样做不但计算简单，而且可以避免研究余项。这种求函数的幂级数展开式的方法称为间接展开法。 例3
将函数cosx展开成x的幂级数。 解： 本题可按例2直接方法展开。但如果应用间接方法，则比较简便。事实上，对展开式（7）逐项求导得：2nx2x4nxcosx?1???????1??? （???x???）2n!2!4! 例4
解：将函数f?x??ln?1?x?展开成x的幂级数。 注意到ln?1?x???111，而函数的展开式可通过的幂级数01?x1?x1?xx展开式中的x改写成?x得到。 1n?1?x?x2?????1?xn??
1?x（?1?x?1）将上式两边同时积分得： n?11213nxln?1?x??x?x?x?????1???23n?1因为幂级数逐项积分后收敛半径不变，所以上式右端级数的收敛半径仍为R?1；而当x??1时该级数发散，当x?1时，该级数收敛。故收敛域为?1?x?1。 我们还可以得到二项展开式（当m为正态数时，即二项式定理）：?1?x?m?1?mx?m?m?1?2m?m?1???m?n?1?nx???x??2!n!（?1?x?1）证明这里从略。关于1mx，e，sinx，cosx，ln?1?x?和?1?x?的幂级数展开式，以后可1?x以直接引用。205包含各类专业文献、各类资格考试、外语学习资料、文学作品欣赏、应用写作文书、幼儿教育、小学教育、第四节
函数展开成幂级数70等内容。　
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