高等数学第六版下册和初等数学的区别与联系

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-07-09 07:20 标签： 高等数学
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高等数学在初等数学中的应用　　　　文献综述
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3秒自动关闭窗口经常在知乎看到有人说“初等数学和高等数学有本质的差别”，我就想问问这个差别到底是怎样的。如果有例子那就最好了。
初等和高等并没有明显的分水岭，其实都是数学发展的过程产物之一研究对象一直是从具体到抽象，从狭义到广义，不断扩大的过程但是这也不意味着数学家喜欢作无意义地推广数学家总是喜欢研究有一定研究价值的公理系统所界定的数学子学科就如导数作为某个可微函数的“规律”原则上有无穷种从拓扑上建立分析的方法，但是起源我们都知道是牛顿和莱布尼兹从力学和几何上建立的，也就是我们所在的这个世界的特定研究对象所引入的，这个只代表了数学的早期溯源实际上非标准分析的建立（可以把无穷大当做一个具体的运算元素）泛函分析的建立（可以将运算对象从数转化为了函数）比如作为常人思维的自然推广：分数阶导数理论的建立就发展得不是很广大（因为不是良定义的，即定义上有矛盾）但是值得注意的是，当数学严格公理化后，可以视为数学的一个分水岭高中的数学本质上在思维上都是存在盲区的比如大家对实数的连通性并不了解对有理数和无理数的本质并不了解，etc.说到大学数学，这可要分很多领域了诸如：分析 代数 代数几何 几何 拓扑 微分方程 矩阵论 数论 组合 概率 最优化 博弈论等等，只能挑一些有代表性的说一下严格地讲，代数是一门更本质的学科（此处略去公理化数学的介绍），代数从初中和大学所研究的 多项式 方程组 的解转为了研究它们如数和矩阵的代数运算下蕴含的代数结构因为代数运算是一个更一般的东西数学家于是对它进行了推广，而推广后的代数对象往往是未知的，所以也就是抽象的，数学家更在乎的是这些抽象对象在满足一些条件下有哪些良好的性质，这就是现代代数本质与初等代数的差别严格地来讲，大学数学系的几何学和高等代数中的多项式的不涉及本质的研究，在现代数学上看来都是初等的只是线性代数本身作为一种具体的代数对象，在群表示等等领域对研究抽象的代数结构有重要的工具意义而一直存在着实际上，现在的数学已经走入了 拓扑为材，分析（微积分）为刃，代数为招的时代，而几何与数论比作竞技场，组合深藏其中但是我觉得下面的谈论也许会更对题主的胃口一些，也就是说初等数学和高等数学在思维上也并没有本质上的差别与断层高考中的数列递归有技巧，在大学的离散动力系统也有这样的技巧，甚至在一些偏难险怪的习题集，如周民强老师的“臭名昭著”的习题演练中的数列极限与数项级数章节就将类似的初等技巧体现得淋漓尽致解析几何和高中的也是一脉相承，比如尤承业老师的解析几何书里就有几道特别难算而且计算量颇大的习题如果问的是平面几何与立体几何，嗯，这个和射影几何的思想方法关系还是比较大的（相对于解析几何而言，当然我们指的不是代数几何级别的射影几何，仅仅是初等的那种）当然，作为应用，射影几何大多都用解析几何的方法来写了，在师范类学校，所谓的高等几何就是射影几何，专门让中学老师用来指导初等几何的至于概率，排列组合，统计，这些自然是一脉相承了，自不多说
分析上，一个分水岭就是对极限的研究，中学数学要建立函数，对应的概念，可能会讲导数，那都算高考难题了；而高等数学中求极限是基础，在这个基础上再进一步研究代数上，初等数学建立了方程，未知数的概念，研究的颠峰是二次方程求根公式；在大学数学里，这个是域扩张的最最源头几何上，well，初等数学的几何也不能叫几何了，平面几何主要是建立公理化数学的概念，方便以后研究各种公理化数学不觉得困难而向量那一堆东西，在高等数学中研究的是它的代数抽象而不是几何抽象，因为欧氏空间在高等数学眼中实在是太好了，它的几何就显得有点平凡总结一下，初等数学讲述的大多是高等数学中特例的特例（的特例……）它的主要目的是在学习者脑海中建立数学的抽象概念，为以后打下基础。初等数学也很有意思，比如平面几何，比如初等数论，但是执拗于此而不能看到更广袤的天空，那就不好玩了不知道题主的数学水平，问出这样的问题目测微积分应该还没学过，所以例子就不举了（打完问题才发现高等数学中很多东西在初等数学里都学不到它的源头，实在是吾辈数学教育的悲哀）
知乎处女答。我是数学系的，zero的答案已经很全面了，不过我猜非数学专业的应该不懂神马是域扩张，所以我跑上来补充一个栗子：
我们就用数钱来举个栗子好不好？
假设我给了题主很多张软妹币，开心的题主决定数一数自己到底收到了多少钱。
如果题主只学过初等数学，那么数钱的方式是这样的：1+1+1+……+1=100；
如果题主刚接触高等数学，那么他应该会用微积分（其实就是黎曼积分）的办法数钱：5+10+5+10+10+50+10=100；（积分可以看做“求和”；黎曼积分就是对函数的定义域进行分割并进而求和，可以看做是按顺序数钱）；
如果题主学过了高等数学中的实变函数，那么他应该会用勒贝格积分的办法数钱：5*2+10*4+50*1=100；（勒贝格积分对函数的值域进行分割，进而求和，科看做是将相同面值的钞票放在一起数）；
为什么要用后一种办法数钱？因为黎曼积分关于极限不是封闭的，此时极限与积分不一定可以交换。
如果题主接着往后研究，你还会发现更多的数钱方法：
比如当你的钱是随机收到的，这时你需要伊藤（Ito）积分。
我还能接着举例子，不过我想已经足够了。数学就是这样一门来源具体，形式抽象的基础学科，它没有初等高等之分，只有模型应用的广泛程度与精准度。如果一个模型对有些情况无能为力，数学家们就会研究出下一个模型或者方法，用来解决这个问题。这就好像整数不能描述两个半汉堡，于是我们发明了小数一样。所以数学是很美好很实用的，请大家不要黑它！
最后，祝题主早日拥有用自己名字命名的数学定理！

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