古代数学著作还有哪些，除了《九章算数》_百度知道
古代数学著作还有哪些，除了《九章算数》
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《缀术》）现《缀术》已经失传、拉普拉斯的《概率的分析理论》等等、阿基米德的《抛物线的求积》、《张丘建算经》。秦九韶的《数书九章》、《孙子算经》、杨辉的《详解九章算法》、李冶的《测圆海镜》和《益古演段》：欧几里得的《几何原本》《算经十书》（包括《周髀算经》、《日用算法》、牛顿的《自然哲学之数学原理》、阿耶波多（古印度）的《阿耶波多历算书》、《五曹算经》、《海岛算经》、《缉古算经》。国外的有、《论求和圆柱》，《夏侯阳算经》也为找到真本、《夏侯阳算经》、《群牛问题》：笛卡尔的《几何学》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》、《算法本源》、程大位的《算法统综》等、《五经算术》。近现代的有、《圆之度量》、欧拉的《无穷小分析引论》、婆罗摩笈多的《莉拉沃蒂》、《婆罗摩笈多正体系》、《论螺线》、莱布尼茨的《一种求极大与极小值和求切线的新方法》、《九章算术》、花拉子米（古阿拉伯）的《印度计数法》和《还原与对消》、《杨辉算法》
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太给力了，你的回答完美地解决了我的问题，非常感谢！
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&lt：《测圆海镜》——开元术随着高次方程数值求解技术的发展。“开元术”与现代代数中的列方程法相类似，注明“贾宪用此术”：〈〈黄帝九章算经细草〉〉中国古典数学家在宋元时期达到了高峰，先后在湖北，金代真定栾城人;圆周率&lt，约于1050年左右完成〈〈黄帝九章算经细草〉〉。李冶（）原名李治《张丘建算经》《张丘建算经》三卷，1654年为法国数学家 B·帕斯卡重新发现，号松庭。贾宪三角在西方文献中称“帕斯卡三角”，其中最杰出的数学创作有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）：〈〈数书九章〉〉秦九韶（约）。这就是著名的“贾宪三角”;3，北宋人。他早年在杭州“访习于太史，所失弥少。南北朝时期人。《测圆海镜》李冶： 《海岛算经》 《九章算术注》 《九章重差图》263年左右，便辞官回家，割之又割，以至于不可割，遂隐居治学，号敬斋、“垛积法”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）《黄帝九章算经细草》贾宪，字道吉,生平不详.1415926&lt，六会发现当圆内接正多边形的变数无限增加时，则与圆周合体而无所失矣。在传世的宋元数学著作中，因能传世。贾宪。〈〈数书九章〉〉全书共18卷，原书佚失，1232年钧州被蒙古军所破，记载了他计算圆周率的方法、杨辉、赋役，使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位。其最重要的数学成就——“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术”（高次方程数值解法），“以数学名家周游湖海二十余年”。祖冲之。重差法是测量数学中的重要方法。杨辉〈〈详解九章算法〉〉（1261）载有“开方作法本源”图，影响了朝鲜，相当于“设x为某某”。李冶还有另一部数学著作《益古演段》（1259），81题。〈〈详解九章算法〉〉同时录有贾宪进行高次幂开方的“增乘开方法”，科学家,北魏时清河(今山东临清一带)人，四川安岳人，首先系统阐述开元术的是李冶的《测圆海镜》、天时、安徽，分九大类（大衍，字汉卿。写书《缀术》，即后来的《海岛算经》。13世纪意大利斐波那契《算经》、等差数列各元素互求以及“百鸡术”等是其主要成就，比西方领先了1500年.张丘建。秦九韶与李冶。1248年撰成《测圆海镜》，被元世祖忽必烈聘为翰林学士，仅一年：（公元429年─公元500年）是我国杰出的数学家、无限趋近，即所谓“割之弥细，又尝从隐君子受数学”、钱谷。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，1247年写成著名的〈〈数书九章〉〉、15世纪阿拉伯阿尔·卡西&lt、测望。《算学启蒙》是一部通俗数学名著、军旅、市易）;7的约率，不过已经失传;算术之钥》等著作中均出现有相同的问题，也是讲解开元术的，这就是所谓“开元术”。《数书九章》秦九韶.1415927)。《九章重差图》刘徽，其主要目的就是说明用开元术列方程的方法，并得出355&#47，字文远;113的密率，“踵门而学者云集”、“内外夹逼”的思想，可以说是符号代数的尝试，寓居燕山（今北京附近），列方程的方法也相应产生，1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），据钱宝琮考，但其主要内容被杨辉（约13世纪中）著作所抄录。“百鸡术”是世界著名的不定方程问题、江苏、朱世杰并称宋元数学四大家，内容是测量目标物的高和远的计算方法。他当时就把圆周率 精确到小数点后7位(3。朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303），不久死于任所，“立天元一为某某”。《四元玉鉴》朱世杰（1300前后）、营建。”刘徽采用了以直代曲、日本数学的发展，曾流传海外，22&#47，创立了“割圆术”《重差》原为《九章算术注》的第十卷，汉族人，这一发展的序幕是“贾宪三角”（二项展开系数表）的发现及与之密切相关的高次开方法（“增乘开方法”）的创立、浙江等地做官，或称“杨辉三角”，曾任钧州（今河南禹县）知事、田域，多边形的面积则可无限逼近圆面积，约成书于公元466～485年间。最小公倍数的应用
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《缉古算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五经算术》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五曹算经》：《周髀算经》《算经十书》、《缀术》
周髀算经，缉古算经，张丘建算经，夏侯阳算经，孙子算经，五曹算经，海岛算经，数术记遗。
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6706【比较数学史丛书】中国数学典籍.在朝鲜半岛的流传与影响
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商品已成功添加到收藏夹！的无理性并证明正方形的—边与对角线之比不能用有理数表示，但没有明显的证据。宗教学园停办后，他们同P1aton学派合作，推动了希腊数学的发展。
与 Pythagoras学派齐名的是意大利的埃利亚(E1ea)学派，特别是其中的Zenon
(公元& 前490?一429?)，他的悖论†是一种归缪法的推论。自古以来，对此议论很多，但这个学派的特点是它注重逻辑性。特别是归缪法的发现应功于这个学派。也有人认为，从这里可以看出理论数学的诞生[3]．Zenon& 曾经参与连续性、无理数等的研究，虽然很难确定其准确的年代，但是对于“原子论”的诞生似乎有所推动。Demokritos
(公元前460?一370?) 计算角锥体积(分割成“原子”薄片计算)和Antiphon (公元前430年左右) 用细分法计算圆面积，都是在 Zenon以后不久出现的。
公元前480年以后，雅典成为希腊的政治文化中心。三等分角、倍立方、化圆为方是当时的三大问题，诡辩学家们
(实际上为Pythagoras学派?) 进行了研究。伊利斯 (E1is) 的Hippias (公元前420年左右)。俄斯 (Chios) 的
Hippokrates (公元前470?一430?)、塔拉斯 (Taras)的Archytas (公元前430?一365?)，Menaikhmos (公元前375—325) 以及他的兄弟Deinostratos&
(公元前350年左右) 等， 利用割圆曲线 (quadratrix，方程为 y＝xcot(πx／2) 的超越曲线) 以及圆锥曲线，解决了“三大问题”。
从公元前400年左右开始，雅典在政治上衰落了，但仍然是希腊的文化中心。这时，Platon
(公元前427—347) 学园 (Akademeia) 也重视数学，它同Pythagoras 学派及埃利亚学派似乎有密切关系。上述的Archytas，
Menaikhomos 和Deinostratos 属于或接近于P1aton学派。这个学园最初五十年的主要功绩是：数学的乃至一般科学的方法论 (dialectics，analysis，synthesis)；用几何方法重新建立美索不达米亚代数学；与其相应的无理数论(P1aton的老师昔兰尼(Cyrene)的Theodoros(公元前五世纪末)，后来还有雅典的Theaitetos
(公元前415—369) 也参加过这种研究)和一般比例论(克尼多斯(cnidos)的 Eudoxus(公元前408？一355？))、穷举法(method
of exhaustion) (eudoxus)等。除上述三大问题外，还研究过正多面体(P1aton的立体)和圆锥曲线等。在这学园内，mathema(ta) 这个术语不是指一般“学科”，而己变为指“数学”了，西欧科学界尊重数学的传统，就是从这个学园开始的。
这个时期，首先亚历山大里亚的Eukleides(Euclid，约公元前300年，经历不明)，把学园派的数学成果，用公理方法总结成《几何原本》(Storicheia)十三卷，成为后世科学著作的典范
(例如SPinoza的《伦理学》、Newton的《原理》都是模仿它写成的)。虽然通常认为Euclid公理方法来自Aristoteles (公元前384—322)的方法论，但也有人认为，公理方法的真正起源是埃利亚学派，而Eukleides的《几何原本》的某些部分，是Oenpides
(生活在Zenon时代) 的工作和Hippokrates (见前) 等人对《几何原本》的再整理。Aristoteles出身于学园派，后来独立出来，成为同P1aton主义相抗衡的一个科学传统的鼻祖。
公元前三世纪，是希腊数学的黄金时代。& 叙拉古 (Syracuse) 的Archimedes
(公元前287?一 212) 是古代最伟大的数学家、力家学和技术专家。他在数学上的最大功绩也许是对抛物线等的精密求积法。根据他的著作《Ephodos》(方法)所载，他用力学实验测出数值，然后用穷举法给予理论证明。还有Л值的计算、螺线及其他曲线、球与圆柱的研究，对十七世纪的影响极大。此外，对静力学、光学等的理论与应用也作出了贡献，对后来的数学家产生了深远影响。珀加
(Perga) 的Apollonios (公元前250年左右) 编著《圆锥曲线》(konikon biblia) 八卷 (其中缺第八卷)，其理论结构同现在基本上没有多大区别，也对十七世纪数学的发展产生了巨大影响。此外，还有Eratosthenes
(公元前275—194) (测算地球以及创造求素数的筛法) 和 Hipparchos (公元前150年前后) (天文学之父，编制“正弦表”)等。
希伦化时代随着希腊被罗马吞并 (公元前146年) 而告终。亚历山大里亚在政治、文化上的地位逐渐崩溃，特别是缪司学园的大图书馆于公元前48年被烧毁 (后又重建)，造成了极大损失。当时的学者中，有亚历山大里亚的Heron（推测在60年前后），Menelaos
(98前后) (著有《球面学》(Sphaerica))，稍后还有士麦那 (Smyrna) 的Theon (125年左右)、& Pto1emaios (Ptolemy) (85?—165?) (《大汇编(A1magest)
的作者》，Nikomachos (50一150?)& (《算术引论》(Arithmetike
eisagore)的作) 等。研究不定方程的Diophantus，经历不明，估计是公元前205年左右的人，他的著作《算术》(Arithmetike) 共十三卷，现尚存六卷，对P．de& Fermat有影响。Pappus (300年前后) 是亚历山大里亚最后一位富有创造性的数学家，他的《数学汇编》
(Synagoge) 现存八卷，是珍贵的史料，对R．Descartes 有影响。
不久，罗马对希腊文化的压迫开始了。在缪司图书馆第二次被破坏(398)的时代，亚历山大里亚的Theon
(390年前后) 及其女儿Hypatia& (370?一415) 等编有经典数学著作的注释。接着Proklos
(见前) 编写了几何学史，但它不过是Eukleides的《几何原本》第一卷的注释。以Aristoteles的注释者Simplikios为最后园长的学园，被依查士丁尼(Justnianus)皇帝封闭了
(529)，亚历山大里亚城也陷入阿拉伯入之手 (641)，希腊科学仅有的传统，转移到东罗马帝国首都君土坦丁堡，直到东罗马帝国灭亡 (1453)，才盼来了新时代的黎明。
[参] [1]T．L. Heath，A history of Greeke
mathematics I,II,Clarendon Press,1921 [2] M．B．Cantor，Vorlesungen über
Geschichte der Mathematike I，Teubner，第三版，1907； [3] B．L．van& der Waerden， zenon und& die& Grundlegenkrise&
der& Griechischen& Mathematik, Math. Ann．，117(1940)，141—161；
[4] B．L.van& der& Waerden& Science，awakening，Noordhoff，1954； [5]& A'szabó，Anf?nge des Euklidischen
Axiomensystes，Arch. History Exact Sci.,I，37(1960)，37—106；& [6]& J．L．Heiberg&&& (ed.). Euclidis& opera omnia I-XIII&
and& suppl.leipzig, ；
[7]& T．L.&&&& Heath，The thirteen& books& of Euclid's Elements I，II,III, Cambridge& Univ.Press，1908& (Dover，1956)；& [8]& P． Ver
Eecke (trans.)，Les oeuvres& complètes
d'Archimède Desclée& de& Brouwer& ＆ Cie,1921 (B1anchard，1961)； [9] P．Ver Eecke(trans．)，Proclus
Diadochus，les& commentaires& sur& le& premier& livre& des&& Eléments,
d'Euclide，Desclée& de Brouwer ＆ Cie，1948& (B1anchard，(1959)；&& [10] P. Tannery，Le& géométrie& grecque,&
comment& son& histoire& nous& est& parvenue& et& ce& que& nous& en& savons, Paris,1887；&&& [11]&&& M． C1agett，Greek&&&& science& in& antiquity，Ahelard-Schumen， 1955； (Co11ier， 1963)；&&& [12]& O．Becker&&&&&&& (ed.)，zur& Geschichte& der&
griechischen& Mathematik&& Darmstadt, 1965；& [13] &A'Szabó,Anf?nge&
der griechischen Mathematik Oldenbourg, 1969；&& [14]&&
R．C.Archibald,Outline of the history of mathematics, Mathematical& Association of America, 第六版1949；&&& [15]& N.Bourbaki,Eléments d'histoire des mathématiques,
Hermann, 第二版， 1969&&& [16]&& M.B. cantor,Vorlesungen& über Geschichte der Mathematik
I-IV,Teubner, 第二版，；&&
[17]&& E．Montucla,Histoire
des mathétikques I-IV, Paris,新版，，&& [18]& D．E．Smith,A.source
book in mathematics,McGraw-Hill,1929(Dover 1959)；&&& [19]&&
D.J. Struik, A concise history of mathematics,Dover,第三版，1967.
[摘自《数学百科词典》　日本数学会编& 北京：科学出版社，
1984年7月。在此向日本数学会和科学出版社致谢]
=O，o÷a=O。对于a÷0， Brahmagupta 认为“不能用O去除”，在算术里禁止用0去除，但在代数里，他把a÷o
称为 taccheda。而 Bh&skara 则把它称为 khahara，使得它具有与无穷大相似的作用。有的历史学家认为，无限大和无限小的概念，在印度数学中早就有了。另外，印度的进位制记数法产生的原因之一，也有学者认为：是由于印度的数字，每位都有不同的名称。印度的记数法在文艺复兴时期经阿拉伯传人欧洲，对数学发展产生了极大的影响。
发展。随着生产力的不断提高，各种科学和技术也不断向前发展。农业生产要求更精确的历法，大约在战国时代的晚期，人们就已经掌握了设定每年日数为365上日的“四分历”．随着天文学的发展，数学知识也不断丰富。流传到现在的一部最早的数学著作，同时也是天文学著作——《周辨算经》，正是在这样历史条件下出现的。
《周辨算经》包括了&&&
之类的复杂的分数计算，还包括了利用勾股定理来进行测量的一些计算。
&现传本的《局髀算经》是经过后人增补过了的。据考证，它成书的年代大致是公元前一世纪。《周髀算经》的出现说明中国古代数学已经发展到相当高的水平。
但是，同一时期出现的另一部数学著作却更为重要。它就是举世闻名的《九章算术》。
《九章算术》的作者和准确的成书年代都已不可考。它是以长时期积累起来的数学知识为基础，又经过许多修改和补充才最后完成的。大概到了公元一世纪的时候，《九章算术》的内容就和现在流传下来的本子基本相同了。《九章算术》是采取问题集的形式编写的。这部书一共收有246个问题，分为九章，即九大类。其中第一章“方田”：各种形状的田地面积计算；第二章“粟米”：各种粮食谷物间的按比例交换；第三章“衰分”：按比例分配问题；第四章“少广”：开平方、开立方；第五章“商功”：体积计算问题；第六章“均输”：按比例摊派赋税和徭役；第七章“盈不足”：根据两次假设求解问题；第八章“方程”：求解一次方程组；第九章“勾股”：有关勾股测量的各种问题。可以看出其内容非常丰富，几乎包含了当时社会生活的各个方面。
从数学成就上看，在《九章算术》中记载了当时世界上最先进的分数四则和比例算法。各种面积和体积的计算以及关于勾股测量的各种计算也比较先进。《九章算术》中最重要的成就是在代数方面，在“方程”章中所引入的负数的概念以及正、负数加、减法法则，在世界数学史上都是最早的记载。其中，关于一次方程组的解法，和现代中学讲授的方法基本相同，比西方同类结果要早一千五百多年．
&& 《九章算术》的出现标志着中国古代数学体系的形成。它对以后的中国数学发展的影响，& 正如同Euclid《几何原本》对西方数学的影响一样，是非常深刻的。在一千几百年之间，《九& 章算术》一直被当作教科书。东方的朝鲜和日本也曾拿它作为教科书。其中的某些算法，例如分数和比例，很可能先传人印度再经阿拉伯国家而传人欧洲；“盈不足”算法在阿拉伯和早& 期的西方数学著作中，被称为“中国算法”。
作为一部世界科学名著，《九章算术》现在已经被译成许多种文字。[中国古代数学的进一步发展：魏晋一南北朝一隋唐]中国古代数学到了魏晋南北朝时期又有了新的发展，这突出地反映在著名数学家刘徽和祖冲之的工作之中。
刘徽的工作主要是为《九章算术》所作的注释和《海岛算经》。根据《隋唐·律历志》的记载，他注《九章算术》的时间是公元263年(三国时代曹魏的景元四年)。
在刘徽为《九章算术》所作的注释中，包含了许多天才的创见，在一定程度上，可以把刘徽的注释看作是对《九章算术》中许多算法的一些证明。
刘徽的最主要成就之一是他提出了计算圆周率的科学方法——“割圆术”。他从圆的内接正六边形算起，依次将内接正多边形的边数加倍，计算了圆内接正12边形、24边形、48边形、直到96边形。如设圆的半径为r，内接正 n边形一边之长为n，边数加倍后2n边形一边之长为2n(如图1，n＝PQ，2n＝PR)，刘徽由n算得2n的步骤可以归纳为下列公式：
&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
又，我们同时假设圆的面积为S，内接n边形面积为Sn,2n边形面积S2n，则刘徽已经得出圆面积S满足下列不等式：
S2n＜S＜S2n十(S2n一Sn)；
而S2n可以由下列公式给出：,其中。
π=（355/113）也可达到小数点后六位准确，是一个很好的分数近似值。在欧洲，直到十六世纪方才被德国数学家Otho得到，这比祖冲之晚了一千多年。
祖冲之的儿子祖*也是一位有名的数学家。他推进了刘徽关于球体体积计算方面的成果，得出了正确的公式。在这一工作中，祖*应用了如下的一个公理：“两个立体，如果等高处的截面积相等，则二立体的体积相等”(幂势既同则积不容异)。过去一般认为这一公理是意大利数学家Cavalieri()首先引用的。但是祖*早在此前一干年就已用它来解决球体积的计算。在唐代数学家李淳风的《九章算术》注中，详细地记述了祖*的这项成果。所以，Cavalieri公理应该改称祖*公理。
祖氏父子同时也是著名的天文学家。祖冲之编制的《大明历》是当时较好的一部历法。祖冲之为申诉《大明历》的正确，和朝廷中的权贵所进行的那场辩论，更为古往今来的科学工作者所赞许。“原闻显据，以窍理实”，“浮词虚贬，窃非所惧”，祖冲之写下的这两句名言，充分实现了一个科。学家不畏权贵、追求真理和实事求是的崇高品质。
中国古代数学到了隋唐时代，由于有了汉唐之间干余年的不断发展，以《九章算术》为中心的体系更加完备。《汉书·艺文志》中记载的数学书籍还只有两种，《隋书·经籍志》已增至十九种，《新唐书·艺文志》更增加到35种。其中以唐代数学家李淳风奉命注释的“十部算书”最为有名。除上面已经论及的《周髀》、《九章》、《海岛》之外，流传至今的还有《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《缉古算术》等等。迟冲之曾著有《缀术》一书、也是“十部算书”之一，可惜已经失传了。
在“十部算书”中也记述了汉唐之间的一些数学成就。例如《孙子算经》就记述了关于求解联立一次同余式的著名的“孙子问题”。运用现代的数学符号，“孙子问题”可叙述为：设N为未知数，但知N以P i为模与ai同余，即
其中i＝1，2，3，…，且诸Pi两两互素，求N。“孙子问题”和当时历法计算中关于“上元积年”的计算有密切联系。《孙子算经》中只记述了数据比较简单的一个特例，更深入的研究出现在后来南宋数学家秦九韶的著作之中。
唐初数学家王孝通所著《缉古算术》，从开挖运河和修筑堤坝的具体问题出发，提出并解决了三次方程的解法问题(各项系数均不得为负数).
&隋唐时代的天文学家，在编制历法的过程中(刘焯《皇极历》，600年；一行《大衍历》，727年；徐昂《宣明历》，822年)应用了二次的内插法。内插法的应用在宋元时期有更大的发展。
从隋代开始，在教育制度上，开始在国家的学校(国子监)中设立数学的专门科目，并且规定了招生、学习、毕业和考试等制度，指定“十部算经”等为教科书。这种制度在唐宋两代都曾有所继续，并曾流传到朝鲜和日本。
[中国古代数学的兴盛时期：宋、元；计算工具的演进：明]&& 中国古代数学到了宋、元时期又有了重大的发展。在明代中叶珠算广泛流传之前。中国古代数学一直是以筹算为主要的计算工具，并以此为中心形成了在世界数学史上独具一格的特色。宋、元数学，可以说是这种以算筹为主要计算工具的中国古代数学的极盛时期，出现了秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰等著名的数学家和他们所编著的数学著作。这些著作包括：《数书九章》(秦九韶，1247年)、《测圆海镜》、《益古演段》(李冶，年)、《详解九章算法》、《日用算法》、《杨辉算法》(杨辉，，年)
、《算学启蒙》、《四元玉鉴》（朱世杰，年）等等。
&宋、元数学取得了很多具有世界意义的成就。首先应该叙述的就是高次方程的数值解& 法。这一方法是在古代开平方、开立方和求解二次、三次方程(在中国古代被称为“开带从平& 方”“开带从立方”)方法的基础上发展而来的。根据杨辉书中的记载，大约在十一世纪时贾宪就掌握了通常人们称之为Pascal三角形†的开方作法本源图(如图2，这张数表对开高次方来说是必需的)，同时贾宪也掌握一种和现在通常称之为Horner方法完全相同的开方的方法，虽然他举出的例题还只是限于开三次方。
到了十三世纪，在秦九韶的《数书九章》中更把贾宪的开高次方的新方法(“增乘开方法”)推广到求解一般高次方程的一种普遍的数字解法。演算的步骤和Horner方法(1819年)全然相同，但比这位英国数学家却早了近七百年。
用算筹来表示一个方程，如李冶的《益古演段》和秦九韶的著作中所表示的，通常用在常数项系数旁记一“太”字或在一次项旁记一“元”字，并用常数项在上，一次项在下，依次把二次、三次以至高次的系数向下，用一个由算筹摆(或记)成的竖式来表示一个方程或多项式的。在这种表尔方法的基础上，宋、元数学家建立了世界上最早的多项式代数运算，并用这种方法列出方程。在欧洲数学中，要到十六、十七世纪才做到了这一点；当然，欧洲数学家采用了新的数学符号，这要比宋、元数学家优越得多。
宋、元数学家很快就把只能处理一个未知数的“天元术”扩展到二元、三元和四元情况中去。他们用天、地、人、物来代表我们现在表示未知数时经常用的；并且如表1所示，元代数学家朱世杰用平面上各方格的相应位置摆出四元多项式或一个四元方程来，而或是之类的各项则放在交界夹缝处。由于表示方法的限制，使它不能多于四元，所以，可以把朱世杰所著《四元玉鉴》中记述的四元高次方程解法看成是中国筹算代数学的最高峰。朱世杰的成果比西方同类结果，要早五百年。
，使满足：
其中M是诸的乘积，则：&
就是问题的解，其中K为自然数，适当地选取K，可以得到满足条件的N的最小正整数。在求时秦九韶用了和辗转相除相类似的方法。
现在可以证明：秦九韶的方法是严谨无误的。秦九韶的工作比欧洲同类结果早五百余年，因此在西方经常把孙子问题的解法称之为“中国剩余定理”，即孙子剩亲定理(Chinese remainder theorem)。
宋、元数学家在高阶等差级数求和招差法方面也有突出的贡献。元代天文学家郭守敬在编制《授时历》(1280年)时曾用到三次差的内插原理。在朱世杰《四元玉鉴》中对各种高阶等差级数的求和问题都有所探讨，较重要的成果是他求得了如下公式：
朱世杰求得当＝1，2，…，6时的一系列公式。朱世杰在解决具体应用问题时，还用到了四次差的招差法，相当于列出了公式：&
由于朱世杰正确地指出了上述招差公式中各项系数恰好依次等于前述一串高阶等差级数求和& 公式的结果，因此可以认为他已经掌握了任意高次差的招差公式。这比欧洲同类结果也早五& 百余年。
&& 宋、元数学的这些杰出成果，使中国数学在当时的世界上处于遥遥领先的地位。西方科学& 史家在评论宋、元数学的成就时说：这些著作不仅是中国的，而且也是世界中世纪最杰出的& 著作。中国古代数学，经过汉唐宋元近一千五百年的发展取得了硕果累累的成就，这些成果& 不仅在东方对朝鲜、日本产生影响，而且经过印度和中世纪伊斯兰国家，传人西方，对世界数学的发展作出了贡献。
&&& 由唐代中叶开始，特别是由于宋代以来经济的迅速发展，需要对计算工具进行改进。经& 过长时期的演进，到了元明之际，便完成了由筹算到珠算的转变。到了明代中叶，珠算已经在全国普遍使用。珠算携带方便，和口诀相配合可以作到计算迅速。在世界同类计算工具中，可以说珠算是最好的。
由于珠算的流行，筹算几乎绝迹，建立在筹算基础上的古代数学传统也逐渐失传。尤其是明代八股取土的科举考试制度和主观唯心论哲学思想的长期泛滥，认为一切专门学问都是“奇技淫巧”。到明清之际西方数学开始传人我国的时候，国家的司天台已经很少有入可以掌握历法的编制工作了。
[西方数学的传人时期：明末清初
一1919年]&&&
在中国数学长期停滞不前的时候，西方国家却在十六、十七世纪由于资本主义生产方式的产生和发展，包括数学在内，科学和技术有了很大的发展。从十六世纪上半叶开始，西方国家便开始到远东来寻找原料和海外市场。
1581年耶苏会传教土利玛窦(Matteo
Ricci)来我国传教．之后又有一批传教土陆续前来我国。为了在中国站稳脚根，他们建议用西洋方法来改革当时已很不准确的历法。作为改历准备之用，他们翻译了一些天文数学书籍．
&&& 1606年Matteo Ricci()和我国的徐光启合作共同翻译了古希腊著名的数学著作《几何原本》(只译了前六卷)。当时还编译了《同文算指》(一部介绍西方算术知识的书)等书。
入清以后，传教士仍然受到清王朝的信任继续进行改历工作。在十六、十七两个世纪传人我国的数学知识有：笔算、初等代数学、几何学、三角学和三角函数表、对数以及一部分圆锥曲线学说等等。
到了清雍正年间，由于管朝政府采取了闭关自守政策，西方数学知识的传人停顿了百余年。由于乾嘉学派的兴起，一部分学者又转向古代数学的研究；另外也有一部人对前阶段输入的数学知识进行整理和研究。他们在整数论、方程论、级数、三角学、对数等方面也都有些成果。这些成果虽然已落后于西方，但也还都可以算是他们独立研究的成果。
1840年的鸦片战争，打开了清王朝闭关自守的大门，西方资本主义列强对中国的侵略日益加深。西方数学的传人也开始了第二个阶段。解析几何学和微积分学等开始传人我国。李& 兰善(年)、华蘅芳(年)等人在介绍近代西方数学知识方面作了不少工作。
与此同时，传教土和教会在中国开办了许多学校，到了十九世纪末，中国自己也废除了科举考试，改革学制，兴办新式学堂。到了二十世纪初，各类学校所用数学教科书，大致上已和世界各国相同。到外国专攻数学的留学生日渐增多，到了二十世纪二十年代初，中国数学家已经在现代数学研究领域内开始作出成绩。
新中国成立之后，中国数学更走上了蓬勃发展的新时期。
[摘自《数学百科词典》　日本数学会编& 北京：科学出版社，
1984年7月。在此向日本数学会和科学出版社致谢]
此外，还得出三角法公式及近似公式，以此计算了11位的三角函数表。他协助关孝和工作，汇编《大成算经》二十卷。还著有可以说是和算方法论的《不休缀术》，其中π的值计算到小数点后42位。
久留岛义太(?一1757)，受建部学生中根元圭()的影响，是一个有独特见解& 的学者。他从推广建部所得的弧线近似公式开始，发展了关于圆理的极数术(极大极小问题)；& 改进了行列式的理论，对方程和公式的分类整理等进行了研究。例如：不使用Bernoulli数，& 得到 &&；
中消去，得到,,,的关系式。他在L.Euler以前发现了Euler函数，在P．S．Laplace以前得到了行列式的Laplace展开定理。用圆理写成的重要著作《方*算经(松永良弼()著)中就有久留岛的贡献，该书中值计算到小数点后50位。
经过建部、中根、久留岛、松永等人，关派在江户(东京的旧称)逐渐形成巩固学派，成为和算的中心。山路主任()得到中根、久留岛、松永三人的秘传。他的学生有马赖童()在《拾*算法》中最先发表关派的成果。和算家又把他们解决的数学问题刻在书简上，献给神社、佛堂，这种作法，以后特别盛行。
安岛直* ()也是山路的学生，他作了很多独创的工作：改良圆理，简化它的理论，扩大它的应用范围；研究相当于二重积分的求体积问题；导出指数为1／n的二项式定理；编制14位对数表；讨论不定方程等。论证几何学在和算体系中是看不到的。但是，安岛和他的学生通过考虑彼此相切的几个圆，处理了一些几何问题，例如Malfatti问题。
和田宁()就学于安岛的学生日下诚()，他作出包含100个以上定积分的表，例如健表& ，&&&&& 鬼表& &
等，他还进一步改进了圆理。但即使在这时期，也没有确切证据认为那时已经知道了微积分学的基本定理。
关派以外，与关同时代的田中吉真()及其同派的井关知辰等是引入注目的人物。田中在幻方、行列式等方面同关几乎是齐名的人物，但他的著作现存的很少，井关对于行列式有世界最早的著作《算法*挥》(1690)。稍后，在大胶有宅间派。伊能忠敬()曾因画出第一张日本精确地图而闻名，他的老师高桥至时()曾向宅间派学过，并且属于这派。到安岛时代，会田安明()是这派的最上流人土，曾同关派的藤田贞资()相抗衡。
到幕府末期，和算学者对几何图形的研究盛行起来。日下的学生长谷川宽()的极形术，日下另一学生内田五观()的弟子法道寺善()的算变法出现了后者所用的方法相当于现今的反演†法。长谷川著有《算法新书》，其中也有圆理的解释，读者广泛。
除了天文学、历法和对数表以外，西洋算法对和算的影响几乎没有看到。但在幕府末期，一些和算学家和海军人士一起积极地引进洋算，这对奠定以后日本的数学基础作出了贡献。
明治以后，以菊池大麓()、林鹤一()、藤原松三郎()等为主，设法保存和算文献，而且为了阐明其内容作出了很大的贡献。这项工作直到今日还没有完成。
[摘自《数学百科词典》　日本数学会编& 北京：科学出版社，
1984年7月。在此向日本数学会和科学出版社致谢]
和都是Leibniz开始使用的。他在巴黎逗留期间()，同Pascal所在的修道院Port Royal的神父A．Arnauld()以及留在巴黎的荷兰物理学家C．Huygens()等有交往，学习了Descartes，Pascal的成果。Leibniz关于微积分学的最早论文于1684年在他创办和编辑的杂志“Acta
Eruditorum”上发表。他创立的微积分学为Bernoulli一家和L.Euler()等数学家继承，发展成为后来的解析学。
综上所述，本世纪的数学是沿着超越希腊传统的潮流而成长起来的(认识到数的重要性超过图形，积极地使用“无限”概念等)。由于重视与实验相结合，因此确立了数学在自然科学方法中的地位。数学成为科学研究的推理根据。
再者，在日本，由观孝和(1642？—1708)等人亲自创立的和算，虽然在这个世纪有所发展，但它缺乏在希腊数学中见到的那种传统和逻辑性，所以后来它的发展不能同西方的数学相比(IL日本的数学)。&
[摘自《数学百科词典》　日本数学会编& 北京：科学出版社，
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&&十八世纪，是文化史上称为启蒙时期的时代。分析学自十七世纪出现以后，在稳步地向前发展。它在理论物理等方面得到大量的应用，促进了理性主义思想的产生。在十七世纪晚期和十八世纪初期，使分析学飞跃发展的中心人物是I．Newton†和G．W.&& 1eibniz†。继Newton之后，虽然在英国苏格兰出了C．Maclaurin()，但是对本&&& 世纪数学作出巨大贡献的，再也没有出现象NewLon那样的人物了。Newton和Leibniz之&&& 后，英国数学家和大陆数学家分裂成两派，冲突激烈。英国派没有改进Newton的微积分学中&& 不方便的记法，这是本世纪英国解析学不兴旺的原因。在大陆，Bernoulli
一家和后来的L．Euler†，继承Leibniz的传统，微积分学及其应用在他们手里得到蓬勃发展，解出了各种&&& 类型的微分方程，还创立了变分学†。F．Viète†把分析学(analysis)理解为启发式的代数学，但Newton则理解为无限小的代数。在本世纪，分析学终于脱离几何学和原来的代数学，成为独立的学科。分析力学是由Euler开始建立，而由J．L．Lagrange†
()和P.S.LaPlace† ()继承和发展起来的。特别是Laplace，他建立了天体力学和概率论的体系，显示分析学的重要作用。接着，A．M.Legendre研究椭圆积分，为下一世纪即十九世纪C．F．Gauss†等开辟道路。自从大革命以来，法国建立了工科大学(Ếcole& Poytechnique)， 特别是Naapo1eon一世对该校尽力支持，所以从这个世纪的后半期到末期，法国数学的发展最为惊人。上述的Lagrange，Laplace，Legendre都是这时期活跃在巴黎的数学家。S．D．Poisson
和J．B．J Fourier†也对分析学做出了显濒贡献，特别是Fouier，由于他的热传导理论，引出分析学的重要问题，成为以后调和分析的基础和数学发展的重大原因。Poisson，Fourier物主要目的是根据分析学来说明自然，而G.
Monge，L．N．Carnot和J．V．Poncelet，则是由于对纯粹几何学的兴趣而发展了射影几何学和画法几何学。另外，Monge对微分几何学也留下了先驱者的业绩。
本世纪数学尽管在分析学、几何学、物理学以及它们的应用方面各自取得辉煌的成果，但它的根本观点和方法完全同上世纪一样，以致缺乏批判精神。兼之在这时期忙于追求成果，对方法的严密性没有反复思考。因此，对数学基础的重新考虑、重新建立，只有留到下一世纪即十九世纪去进行了。
[1]& M．B．Cartonr,vorlesungen
ϋber Geschichte der
Mathematik III，Teubner，1898；& [2]& D．J。
Struik，A Concis history of methematics，Dover，1948；第三版1967．
[摘自《数学百科词典》　日本数学会编& 北京：科学出版社，
1984年7月。在此向日本数学会和科学出版社致谢]
&&&[英1na?hema；Cs inl9th曲。& tury法math占matiques aul9‘si6dc德Ma·& thematik iml9．工ah山underr& 恢血1eMa谰脏19ro sex：日19世耙O数学] 十九世纪，在数学史上，是一个具有特色的时代。在这个时代，数学取得了前所末有的飞跃发展，它的成果一直继续到二十世纪。自由思想使人们从传统。的束缚下解放出来。由于文化对社会上更广泛阶层的浸润，促使人才辈出。特别是伴随着大学的兴起，多数专家的合作与竞赛，促进了科学研究。数学史上把十九世纪大体上分为三个时期：头三十年为新数学的兴旺期，次二十年为中继期，后五十年为成熟昌盛期。
十九世纪初期(1801)，青年数学家C．F．Gauss†
()的巨著《算术研究》(Disquisitiones &arithmeticae)完成了，它包含系统的数论，开创了数学的新时代。法国在革命中创办的工科大学(Ecole Polytechnique)培养出许多著名数学家，其中最杰出的是A．L．Cauchy†& ()。由于他给出极限、收敛概念的精确定义，使得微积分在产生一百五十年后才具有牢固的理论基础，这是他的功绩．N．H．Abel†()和C．G．J．Jacobi†
()同时发现椭圆函数†，轰动一时。Gauss 首先严格地证明了代数方程在复数域内根的存在，Abel证明了五次以上一般代数方程不可能用代数方法求解，ẾGalois†
()创立了他的代数方程的理论，为代数学开辟了新领域。J．V．Poncelet()毕业于法国的工科大学，他沿着G．Monge()的方向，发展了射影几何学。在德意志，A．F．& M&bius(1790——1868)，J．Steiner(1791——1863)，& J．Plϋckcr()等继承他的研究，特别是Steiner，运用综合法研究代数曲线和代数曲面。Plϋcker引入射影坐标，从而扩大了解析法在几何上的运用。在十九世纪最初的三十年间获得的这些划时代的成就，都是由二十多岁的青年数学家完成的。
三十至四十年代的新几何学，是由德国的& K.G．C．von& staudt()和法国的 M．Chasles()发展的。到四十年代，产生了与几何有关的不变式理论。在这个& 领域，英国的A．Cayley()和J．J．Sylvester()是突出人物，P．G．L.Dirichlet†()努力简化Gauss的数论，他把分析学的方法，用于二元二次型类数的计算，引入所谓Dirichlet级数†。还有，他对J.B．J．Fourier†()由热传导理论引出的任意函数可展成三角级数这一结论给出严密的证明，开始了三角级数理论的研究。在这一时期，J．Bolyai()和H．И.оδачеВсКИЙ()独立地几乎同时发现非Euclid几何†，是一盛事。发现原因之一是改变公理的性质，所以引起哲学界的兴趣。W．R．Hamilton()的四元数和H．G．Grassmann的扩张论(Ausdehnungslehre)，以及G．Boole()的逻辑代数等几乎是同时发表的，但它们却没有得到科学界的深切理解和支持。应该说，它们是由时代精神的力量压出来的早产儿。
在五十年代，由于B．Riemann†
()和K.Weierstrass† ()的出现，揭开了十九世纪数学新阶段的序幕。前者具有非凡的天才和丰富的创造力；后者大器晚成，由于他的批判精神，他们都给十九世纪数学带来巨大的影响。Reimann接连发表复变函数论、Abel函数论、三角级数论，还有几何学基础、素数的分布及&C函数等，建立了划时代的功勋。逝世时，年仅四十岁(1866)。另一方，Weierstrass从乡村中学受聘到柏林(1864)，好容易获得柏林大学教授的职称，当时已49岁。在二十年代由Cauchy开创的解析函数论，正是由于这些入的贡献才以椭圆函数的形式得到完成。Reimann在微分方程、代数几何学等方面．的影响也是很大的。Weierstrass改造了变分法†，他的批判方法产生了所谓“病态函数”，例如处处不可微的连续函数，以及能填满平面一部分的Peano曲线等，以此为开端，同时产生了实变数函数论，而G．Cantor()的集合论则是它的重要基础。另外，在基础理论方面有Cantor，M．Méray和J．W．R.Dedekind()等建立的无理数理论，有Dedekind，G．Peano()完成的自然数理论。这些结果形成了数学的“算术化”(arithmetization)理论，它们与二十世纪的数学基础†是有关系的。
Cayley和F．Klein†
()认为在射影几何学中引进度量(德Metrik)就得到了非Euclid几何学。到十九世纪末，D. Hilbert† ()
在《几何基础》一书中探讨了平行公理以外的合同公理、连续公理的作用，因而开始一般公理系 （德 Axiomatik） 的研究。&
& 七十年代以来，由C．Jordan()，G．Frobenius()， W．S．Burnside
() 等发展了群†论，特别是有限群论。
M．S．Lie† () 把无穷小变换应用到微分方程上，Klein把线性变换群应用到几何学上。 Klein和H．Poincare† () 发现了自守函数†，这是由群论得到的重大收获。Gauss开始研究的代数数论，经过E．E．Kummer()
的理想数 (德& idealZahlen),最后发展为 Dedekind
的理想†论。L.Kronecker() 崇拜 Abel的工作，致力于代数方程的研究，他发现有理数域的每一个 Abel扩张都包含在割圆域里面，他相信在椭圆函数具有复数乘法的模方程与虚二次域的
Abel 扩张之间也有类似的关系，并且宣布这一著名的猜想，称为他的“青春之梦”。
最后应该载入史册的，是最早的女数学家 C．B．Ковадевская& ()。她曾向Weierstrass 学习过．1884年以后，G．M．MittagLeffler
() 聘请她在斯德哥尔摩 (Stockholm) 大学任教授，一直到她逝世。
到十九世纪末期，数学研究的种类繁多，每个分支下面又产生更专门化的分支，彼此隔绝的分支发生了意外的联系，关系极为复杂。想纵览全部数学几乎是不可能的。在此情况下，1898年，由 F．Meyer 首先提倡，在格廷根 (G&ttingen)、柏林和维也纳科学院支持下，计划编纂数学百科全书
(德 Enzyklop&die der mathematischen Wissenschaften)。经过二十多年的岁月，始告完成。可以说，它是十九世纪数学的鸟瞰图。到本世纪末，以世界各国大多数数学研究工作者之间的往来和研究的交流为目的，召开了国际数学家会议(International
Congress of Mathematicians)。在第一次世界大战前，曾在苏黎世(Zürich)(1896)、巴黎(1900)、海德尔堡(Heidelberg)(1904)、罗马(1908)、美国的剑桥(1912)相继举行。各国的数学学会也很多，其中规模较大的，若以创办的时间为序，则有：伦敦数学学会
(London Mathematical Society)(1865)、法国数学学会(La société mathématique &de &France)(1872)、美国数学学会(American Mathematical Society)(1888)、德国数学学会(Deutsche
&Mathematiker-Vereinigung)(1907) 等，日本数学学会(创建于1946年，由日本数学物理学会分出)
的前身是东京数学学会，创建于明治十年(1877)。
日本到明治时期，在改革教育制度 (1872) 以后的第五年，即1877年(明治十年)设立东京大学。在初期，菊池大麓 () 和藤*利喜太郎 () 两教授在该校数学系任教，以希腊传统为基础的欧洲式的数学研究从此在日本开始了。1897年，创立京都帝国大学；1911年创立东北帝国大学。进入二十世纪后，就获得独立的研究成果。研究成果发表机构除日本数学物理学会记事、各大学纪要以外，1911年林鹤一创办东北数学杂志。1920年，高木贞治
() 的类域论†在东京帝国大学理学部纪要上发表，确立了日本数学在国际上的卓越地位。
&&& [参]&&& [1]&
F．Klein，Vorlesungen& über die Entwicklung der
Mathematik im l9．Jahrhundert，Springer，I， 1926； II，1927；&&& [2]& 高木贞治，近世数学史谈，共立出版，1933，河出，1942；&&& [3]& 小崛*，数学史，朝仓，1955；&&&& [4]& D. J． Struik，A concise history of mathematics,
Dover，1948；第三版，1967；&&
[5]& N．Bourbaki，Les éléments d’histoire& des &mathématiques，Hermann，第二版，1969；&&& [6]&
Enzyklop&die& der mathematischen &Wissenschaften &mit Einschluss ihrer &Anwendungen& Teuhner，；&
[7] Encyclopédiie des& sciences& mathé matiques pnres et& appliqyées& ([6]的法译本) Paris，.
[摘自《数学百科词典》　日本数学会编& 北京：科学出版社，
1984年7月。在此向日本数学会和科学出版社致谢]
& 湖南农业大学信息科学系2002&