考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（1）若a=2，b=1，求出函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系即可求f（x）在（0，+∞）内的极值；（2）①若a＞0，b＞0，根据函数单调性和导数之间的关系，即可证明f（x）在区间[1，2]上是增函数；②若f（2）＜0，f（-2）＜e-2，且f（x）在区间[1，2]上是增函数，建立不等式关系，利用数形结合即可求出由所有点（a，b）形成的平面区域的面积．
解：（1）若a=2，b=1，则f（x）=（2+1x）ex，则f′（x）=（x+1）（2x-1）?exx2，由f′（x）＞0，得x＞12，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，得0＜x＜12，此时函数单调递减，则当x=12时，f（x）取得极小值，f（12）=4e．（2）f′（x）=（ax2+bx-b）?exx2，设g（x）=ax2+bx-b，①证明：若a＞0，b＞0，则二次函数g（x）的图象开口向上，对称轴x=-b2a＜0，且g（1）=a＞0，∴g（x）＞0，对一切x∈[1，2]恒成立，又exx2＞0，∴f（x）＞0恒成立．即f（x）在区间[1，2]上是增函数；②若f（2）＜0，f（-2）＜e-2，则(a+b2)e2＜0(a-b2)e-2＜e-2，即2a+b＜02a-b＜2，（?），∵f（x）在区间[1，2]上是增函数，∴f′（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，即g(1)=a＞0g(2)=4a+b≥0，（??），在（?），（??）的条件下，b＜0，且1＜-b2a≤2，且g（-b2a）=-4ab-b24a=-b(4a+b4a)≥0恒成立，综上求由所有点（a，b）满足的约束条件为a＞0，b＜02a+b＜04a+b≥02a-b＜2，则不等式组对应的平面区域为△OAB，其中A（13，-43），B（12，-1），C（1，0），则形成的平面区域的面积S=S△OAC-S△OBC=12(43-1)=16．即△OAB的面积为16．
点评：本题主要考查函数极值的求解，函数单调性的应用，以及线性规划的基本应用，综合性较强，要求熟练掌握导数的应用．
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科目：高中数学
已知函数f（x）=x+2x，g（x）=x+lnx，h（x）=x+的零点分别为x1，x2，x3，则它们的大小关系为（　　）
A、x1＜x2＜x3B、x2＜x1＜x3C、x1＜x3＜x2，D、x3＜x2＜x1
科目：高中数学
现从3名语文老师，4名数学老师中选派3人组成一个“支教讲学团”，且这两个学科都至少有1人，则不同的选派方法共有种（用数字作答）．
科目：高中数学
已知关于x的方程x2+x+1=mx，x∈[，3]只有一个实数根，求m的取值范围．
科目：高中数学
定义：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以2+b2为半径的圆O为椭圆C：2a2+2b2=1（a＞b＞0）的“准圆”．已知椭圆C：2a2+2b2=1的离心率为，直线l：2x-y+5=0与椭圆C的“准圆”相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作斜率存在且不为0的两条不同的直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆都相切，试判断l1与l2是否垂直？并说明理由．
科目：高中数学
已知椭圆C：2a2+2b2=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的两倍，以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为π．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆相交于A，B两点，设直线OA，l，OB的斜率分别为k1，k，k2（其中k＞0）．△OAB的面积为S，以OA，OB为直径的圆的面积分别为S1，S2，若k1，k，k2恰好构成等比数列，求1+S2S的取值范围．
科目：高中数学
已知直线&l：（1+λ）x-（3-2λ）y-（+3λ）=0（λ∈R），一定经过椭圆C（中心在原点，焦点在x轴上）的焦点F，且椭圆C上的点到焦点F的最大距离为2+．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且kOA、k、kOB成等差数列，点M（1，1），求S△ABM的最大值．
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已知椭圆C1的中心为原点O，离心率e=，其一个焦点在抛物线C2：y2=2px的准线上，若抛物线C2与直线l：x-y+=0相切．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）若点T满足：=+2+，其中M，N是C1上的点，直线OM与ON的斜率之积为-，试说明：是否存在两个定点F1，F2，使得|TF1|+|TF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．
科目：高中数学
抛物线y2=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧，F为抛物线的焦点，并且|FA|=2，|FB|=5．（1）求直线AB的方程；（2）在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求最大面积．（其中O为坐标原点）概率答案_百度文库
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已知函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）．（1）当a=e时，g（x）=mx2（m＞0，x∈R），①求H（x）=f（x）g（x）的单调增区间；②当x∈[-2，4]时，讨论曲线y=f（x）与y=g（x）的交点个数．（2）若A，B是曲线y=f（x）上不同的两点，点C是弦AB的中点，过点C作x轴的垂线交曲线y=f（x）于点D，kD是曲线y=f（x）在点D处的切线的斜率，试比较kD与kAB的大小．
提问者采纳
（1）①H（x）=f（x）g（x）=mx2ex，则H'（x）=mxex（x+2）＞0得x＞0或x＜-2，所以H（x）=f（x）g（x）的单调增区间为（0，+∞），（-∞，-2）．②当m＞0时，曲线y=f（x）与曲线y=g（x）的公共点个数即方程ex=mx2根的个数．&由ex=mx2得2ex设2ex，x，所以在R上不间断的函数2ex在（-∞，0）上递减，在（0，2）上递增，在（2，+∞）上递减，又因为2，h(4)=16e4，h(-2)=4e2，所以当时一公共点，解得2≤m＜e24，当或时两公共点，解得24或416，当时三公共点，解得24＜m≤e416；（2）设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2）则AB=f(x2)-f(x1)x2-x1，kD=f′(x1+x22)，则AB-kD=ax2-ax1x2-x1-ax1+x22?lna=x2+x12x2-x1[ax2-x12-ax1-x22-(x2-x1)lna]，设2-x12=t＞0，L（x）=at-a-t-2tlna，则L'（x）=lna（at+a-t-2），①当a＞1时，at＞1，lna＞0，则L'（t）=（lna）（at+a-t-2）＞0，所以L（t）在（0，+∞）递增，则L（t）＞L（0）=0，又因为x1+x22x2-x1＞0，所以x1+x_2x2-x1?[ax2-x12-ax1-x22-(x2-x1)lna]＞0，所以kAB-kD＞0；②当0＜a＜1时，0＜at＜1，lna＜0则L'（t）=lna（at+a-t-2）＜0，所以L（t）在（0，+∞）递减，则L（t）＜L（0）=0，又因为x2+x12x2-x1＞0，所以x2+x12x2-x1[ax2-x12-ax1-x22-(x2-x1)lna]＜0，所以kAB-kD＜0，综上：当a＞1时kAB＞kD；当0＜a＜1时kAB＜kD．
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设p：f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，q：m≥-5，则p是q的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
题型：单选题难度：偏易来源：江西
由题意得f′（x）=ex+1x+4x+m，∵f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，∴f′（x）≥0，即ex+1x+4x+m≥0在定义域内恒成立，由于1x+4x≥4，当且仅当1x=4x，即x=12时等号成立，故对任意的x∈（0，+∞），必有ex+1x+4x＞5∴m≥-ex-1x-4x不能得出m≥-5但当m≥-5时，必有ex+1x+4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件故选B．
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据魔方格专家权威分析，试题“设p：f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，q：m≥-5，则p是q的..”主要考查你对&&充分条件与必要条件，函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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充分条件与必要条件函数的单调性与导数的关系
1、充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可推出q，记作，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件； 2、充要条件：一般地，如果既有，又有，就记作，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。 概括的说，如果，那么p与q互为充要条件。 3、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件： ①充分不必要条件：如果，且pq，则说p是q的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果pq，且，则说p是q的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果pq，且pq，则说p是q的既不充分也不必要条件。导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
发现相似题
与“设p：f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，q：m≥-5，则p是q的..”考查相似的试题有：
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