科学家们如何提出独创性理论？有什么非常关键、值得学习的思路？
翻以前的量子力学笔记，看到记过的一句话，"Bohr noted that the Planck's constant h has the same dimensions as angular momentum." 再加上他一直有的量子化思想，就猜测角动量mvr=n[hBar]，然后几步轻松推出氢原子能级公式。我觉得注意到角动量和普朗克常数的量纲一样，然后就去写个等式，这一点还蛮妙的。事后分析虽然很trivial，当时却没人想到。大家还遇到过哪些？应该有超多例子。--我觉得回顾这些东西还蛮有用，可能知识点都学会了，但是思考的思路却是对任何时候的研究都有意义的。（也许以后做一个合集写进专栏里？）
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今天因为要查找一点细节，重读了旧文章。读了一部分之后激动得满地乱跑，恨不得挂在镜子上以后每天早上刷牙之前拜三拜。从前根本就没懂精妙之处，忍不住来回答自己从前的问题。因为文章模型相对复杂，今天只提一点动机。或许以后会把完整的一些值得注意的事整理在专栏里。String-net condensation: A physical mechanism for topological phases，是Levin-Wen模型建立的那一篇文章。我相信这个动机部分一定是文老师写的，因为照常是和朗道的对称性破缺理论对比。One way to reveal the gaps in our understanding is to compare with Landau’s theory of symmetry breaking phases. Landau theory is based on (a) the physical concepts of long range order, symmetry breaking, and order parameters, and (b) the mathematical framework ofgroup theory. These tools allow us to solve three important problems in the study of ordered phases. First, they provide low energy effective theories for general ordered phases: Ginzburg-Landau field theories [24]. Second, they lead to a classification of symmetry-breaking states.For example, we know that there are only 230 different crystal phases in three dimensions. Finally, they allow us to determine the universal properties of the quasiparticle excitations (e.g. whether they are gapped or gapless). In addition, Landau theory provides a physical picture forthe emergence of ordered phases - namely particle condensation.Several components of Landau theory have been successfully reproduced in the theory of topological phases. For example, the low energy behavior of topological phases is relatively well understood on a formal level: topological phases are gapped and are described by topologicalquantum field theories (TQFT’s).[25] The problem of physically characterizing topological phases has also been addressed. Ref. [2] investigated the “topological order” (analogous to long range order) that occurs in topological phases. The author showed that topological order is characterized by robust ground state degeneracy, nontrivial particle statistics, and gapless edgeexcitations.[3, 13, 26] These properties can be used to partially classify topological phases. Finally, the quasiparticle excitations of topological phases have been analyzed in particular cases. Unlike the symmetry breaking case, the emergent particles in topologically ordered (ormore generally, quantum ordered) states include (deconfined) gauge bosons[27, 28] as well as fermions (in three dimensions) [29, 30] or anyons (in two dimensions) [31]. Fermions and anyons can emerge as collective excitations of purely bosonic models.Yet, the theory of topological phases is still incomplete. The theory lacks two important components: a physical picture (analogous to particle condensation) that clarifies how topological phases emerge from microscopic degrees of freedom, and a mathematical framework (analogousto group theory) for characterizing and classifying these phases.有多少人在学朗道对称性破缺和序的理论时候，能够这样去概括：“数学框架是群论，物理概念是长程序，对称性破缺和序参量”？平日学习习惯好思考得多的同学怕也想得到。那么接着，又有多少人能意识到这个模型所解决的问题：“低能有效理论、对称破缺态的分类、准粒子激发”？这一点怕是要有研究经历的人才做得到，且得是目光长远的研究者。这是朗道的旧故事。当你听了一个故事，学到一个理论，概括了它的特征，深入地了解它解决的问题之后，还有什么呢？还有“它没有解决什么问题”。朗道理论失效的地方，是拓扑物态。当你碰到一个新问题，你该如何着手切入？你在过去的学习中进行的总结和思考，又如何应用到这个新问题上来？我想他的这段文字做了很好的解答。文章提到，针对拓扑物态，上述低能有效理论、对称破缺分类、准粒子激发都已经（在一定程度上）获得了解决。然而，真正的物理概念和数学框架仍然缺失，所以他们那篇文章就来填补缺失。首先我欣赏这种类比，因为它说明作者有一个够清晰的逻辑，知道重要的问题还是这些，知道这些在拓扑物态里对应什么。其次我欣赏这种有野心的选题。这里所谓填补缺失，填补的是“物理图景”和“数学框架”，多么“空泛”的词，背后就要有多少细节来支撑。知道重要的问题是什么，还敢去解决这最重要最难的问题，还提出了一种解决。难道不值得惊叹么。……我以为我是个很会表达的人，却觉得没说清楚，只写了一点非常粗的动机就没法写下去了，而文章后面数学上物理上的动机和思路当真漂亮。想感叹，日常中要进行多少积累和思考，要养成怎样好的习惯，有多大的勇气，有多少的直觉和耐心，才能做出好的工作。知易行难，只能宽慰自己一句来日方长，然后一点一点去学罢。
想稍微纠正一下主贴里关于Bohr的例子。事实上，历史上Bohr量子化氢原子的思路要比教科书上展现给学生的精巧得多，现在原论文可以在网络上找到：而教科书经常使用的推导方式只是Bohr在大篇幅论证过量子化并得到了氢原子能级之后，当做玩具式的、顺手为之的一个推导，在原文中只占了极小的篇幅，而Bohr本人也没有对这个推导赋予太多的涵义。我想，如果Bohr给出的推导仅仅是我们在今天的教科书中看到的那种，恐怕当年没人会重视他的理论，甚至可能连发表的资格都没有。Bohr这份工作的核心依赖于两点：1. 能级量子化存在的实验事实；2. 量子现象在量子数极大的情况下应当趋于经典物理（这里主要指辐射理论），即后来被命名为correspondence principle的原理。依据这两点，Bohr给出了氢原子能级量子化相对令人信服的论证，并且沿着correspondence principle这条线索，才发展出后来更精巧的semiclassical/Bohr-Sommerfeld/phase space量子化方案。相反，如果简单粗暴地把“轨道角动量=nhbar”当做出发点，是很难得到更有用的知识的， 而且很可能是个解释力很弱的“孤证”：如果一个理论只能解释一类实验现象，我们是很难称之为“知识”的。总的来说，Bohr在氢原子量子化的工作中已经初步显示了一个大物理学家的思考深度，而且这绝不是一份“灵机一动”式的科学发现。我在读教科书的推导的时候，大概也曾经产生过“生不逢时”、“彼可取而代之”的错觉，读过了原文之后才知道错的有多远。（还有一个经常被教科书屠杀式地简化的是薛定谔方程的推导。）至于题主的原问题“科学家们如何提出独创性理论？有什么非常关键、值得学习的思路？”，我没有答案，甚至不知道是否真的存在一个答案。我一直对物理学史保持着一定的兴趣，但是不同物理学家之间的风格和思路是如此不同，以至于根本无从着手归纳，唯有一句老掉牙的“厚积薄发”似乎还没被历史证伪，Bohr的例子正是一个旁证。
谢邀。玻尔的思路就很值得学习。科学允许人们质疑一切未经证明之事。包括存在了数千年的日心说、又统治了数百年的经典力学，以及屡受质疑的哥本哈根诠释。科学也允许人们相信一切未经证伪之事。包括所有宗教甚至飞天拉面大神。这两条反向的思路确保了自然科学可以不断地自我更新，可以不断地发展下去。那些颇具创造性的理论也是在这两种思维的引导下形成的。大多数时候，科学家都的思维都是在这两种极端过渡区间，并且有选择性地在质疑和相信中来回徘徊。对理论经过反复的发展和敲打，最后还能留下来的东西就是思考的精华所在。质疑一切：质疑一切未完全证明的理论，找出漏洞，哪怕是最微小的瑕疵。通过微小的瑕疵找出最本质的问题。相信一切：相信自己的思路，尽可能去尝试一切可能的思路。比如说题主的例子，玻尔猜出了mvr=n[hBar]，结果和实验相符合，于是拿到了诺奖。不仅如此，他相信描述水滴的模型也可以描述原子核的状态，于是稍加修改就得到了可以描述原子核能级的原子核“液滴模型”。我本科的导师就对玻尔的思维方式推崇备至。0）庄子.秋水
鱼之乐先借一个大家很熟悉的故事直观地感受一下，质疑一切和相信一切为什么可以给科学家留下个人选择的自由。大家可以看看这个故事中庄子和惠子代表的两种极端状态。当他们谁也说服不了谁的时候，就说明，我们有选择相信任何一方和质疑另外一方的思维的自由。之上。庄子曰：“儵鱼出游从容，是鱼之乐也。”惠子曰：“，安知鱼之乐？”庄子曰：“子非我，安知我不知鱼之乐？”惠子曰：“我非子，固不知子矣；子固也，子之不知鱼之乐，全矣。”庄子曰：“请循其本。子曰‘汝安知鱼之乐’云者，既已知吾知之而问我，我知之也。”译文：和漫步在的桥上。：“鲦鱼游弋得很从容，这鱼很快乐啊。”惠子说：“您不是鱼，怎么知道鱼的快乐？”：“您不是我，怎么知道我不知道鱼的快乐？”惠子说：“我不是您，当然不知道您的感知吗；您原本不是鱼，您不知道鱼的快乐，那就肯定了。”：“请找到原本。您说‘你怎么知道鱼的快乐’这话所表明的是，就是（您）已经知道了我所感知的然后才问我，我是在上知道鱼的快乐的。【这句诡辩请忽略，拉低了这个故事的品位。】所以鱼到底快乐么？并没有确凿的证据支撑或反对“鱼快乐”。所以，庄子相信“鱼快乐”是他的自由，惠子质疑“鱼快乐”也是他的自由。（但他们想说服对方相信自己的理论时，则必须要拿出经得起质疑的证据。)在科学事实没有给出定论的时候，即使相反的结论也可以且应该被讨论。科学都是在旷日持久的争论下慢慢演化的。1）质疑在提出独创性的新理论时，我们往往以及有一个还不错的旧理论了。所以最关键的第一步就是通过步步紧逼又逻辑严密的质疑来找出旧理论的缺陷。伽利略是实验科学的先驱。靠的就是发现亚里士多德理论中的漏洞，然后不说废话，直接用实验一个个地打脸。牛顿力学的弱点呢，牛顿大神自己就认识到了，所以还想了一个水桶实验来支持绝对时空观。牛顿观点的本质是：根据圆周运动的特性，真空中的水球，如果是椭球体，那么能够推出水球在转动；如果是正圆球体，那么可推论水球没有转动。可是运动是相对的，茫茫太空（真空）中一个变扁的水球，是在相对于什么参照物转动？牛顿认为是相对于绝对的空间。后来马赫认为旋转水桶水面的爬升/水球的椭圆化是因为相对于天体的运动。马赫是对的。这个观点后来也启发了爱因斯坦。所以，首先却不少了毫不留情的质疑，即使是牛顿说的，只要证据不充分科学家就可以选择质疑。2）相信玻尔是哥本哈根学派的领袖。他选择相信自己创造的对世界的新的理解，并把它表述成了哥本哈根诠释。而爱因斯坦和玻尔旷日持久的论战所关注的就是哥本哈根诠释。爱因斯坦始终认为哥本哈根诠释是一派胡言。于是不断地在会议、在论文上质疑玻尔的观点。还提出了诸多实验，还有著名的EPR佯谬，结果爱因斯坦用亲自预言的”幽灵般的超距作用“证明了玻尔的观点。到目前为止，所有的实验都支持哥本哈根诠释，上帝掷筛子，物理学定律有非定域性（nonlocality）。玻尔在爱因斯坦的质疑下继续相信并巩固自己的结论，才能使得哥本哈根成为量子力学的圣地。恰巧玻尔的思考习惯是，用一天时间提出最疯狂的假设和理论，尽可能地信任各种理论的可能性。第二天则用最严苛的态度来质疑自己第一天的理论。如此反复。玻尔的这种在质疑和相信中不断变换的思维方式就是科学家的楷模。
看到Bohr的这个例子觉得很有意思，想说两句。 说的不错，“发现”这个过程和我们现在理解它的形式是不同的。有可能一开始完全没有跟这个问题相关的思路，但想着想着莫名其妙就到了这个点子上了，而且还能找到一条更短的通向这个点子的途径（比如提到的阉割式证明）。事实上我想起了Einstein最早提出质能关系的短文章（Ann. d. phys. 18 (1 ）。这篇文章是他著名的“论动体的电动力学”（Ann. d. phys. 17 ( ）的后续。Einstein并没有像之后的论述或者教科书或者我们熟知的那样推导出所谓的“质能关系”。他考虑的模型是一个发出平面光波的物体，并使用之前推导的结果得到相对于某坐标系这个物体的动能的变化，从而得出“发射体和吸收体之间辐射传递着惯性”这一结论。这个质能关系事实上是忽略了下式的高阶小量得到的。而关于这一结果的更深入的阐述则是之后的事情了。掘掘坟...（最后请教一下知乎怎么插入 LaTeX...）
我的导师算是开辟了一个领域的科学家，他经常说 “There is no first in science, history just like to repeat itself" 告诉我要善于从过去的知识中发现新鲜的事物。恩，最近正好有个非常棒的例子，从高分子活性聚合中获得灵感，将其应用到超分子自组装中。详情请阅读我的专栏文章：
对于普通科学家（牛顿、高斯这种摆明了文曲星下凡的人不算），想创新有且只有三条路。1、自下而上：从一个领域的基础方法做起，然后在实践中发现其不足，并提出方法完善。能做到这一点已经很不容易，因为你要知道，在你之前已经有不知多少人尝试过不知多少种方法来完善，你也不知道自己会失败多少次，即使成功，也可能由于你的方法过于简洁（数学性不强）而依然是屌丝之作。2、平行结合：简单来说，就是把两种方法合二为一。比如有一种方法可以加速计算过程，另一种方法可以应用于某特定场合，两者结合，就变成了应用于某特定场合的快速计算方法。这是创新难度最低、最保险的途径，一般我国科研人员的论文99%都是这一类。3、自上而下：此方法是牛逼之中的牛逼，大屌之中的巨屌，是我等人民群众眼中的独孤九剑。简而言之，就是将数学思想套用于其它学科。听起来很简单，但背后要求的是极扎实的数学功底，所谓扎实，就是理解数学某方向的主干知识、并能随时扩展相关知识。而极扎实，就是不仅理解这些知识，还要理解其背后的思想和应用背景。一般数学专业出身的博士，以及应用学科极优秀的博士可以做到这一点，然后他们下天山，开始拯救我们这些失足少年。。。当然，对于数学出身的人来说，在他们练成独孤九剑之前，还得花几年时间掌握应用学科的全套基础知识和经典方法，并跟进某方向的方法至第一线。所以，成本极高。能做到第三种的，基本为当代大牛。能把第一、二种发挥到极致的，拿到美国前30的faculty基本没有问题。比如带我的博后，这个美丽且强大的意大利娘们儿～～～
量纲分析确实是很重要的东西。其他的还有比如't hooft提出的：一个无量纲的系数如果特别大或特别小，那么背后可能有深刻的物理。具体的，如果一个无量纲系数很小时，我们把它设为0，如果系统的对称性增加了，我们认为是正常的，但如果对称性没增加，那么我们该考虑我们的理论是否有问题了。
我的回答着眼于物理学, 粗略总结物理学中理论提出的思路. 基于对实验现象的敏锐观察. 典型的是凝聚态物理中的例子. 从 Mott insulator 到 Anderson localization 甚至到 Kondo Effect, 这些深刻理论的提出最初都是源于物理学家们对实验体系具有敏锐的直觉. Mott insulator 有氧化镍的电阻率难题, Anderson localization 有自旋扩散的难题, Kondo Effect 是低温电阻率的反常.
Mott, Anderson, Kondo 分别看出了这些现象来源于电子-电子相互作用, 杂质的随机性, 磁性散射, 因此水到渠成地写出了自己的模型, 提出了以自己名字命名的理论. 相关问题: 基于对理论体系本身自洽或者漂亮的追求. 典型的是 Dirac 方程和 Einstein 的广义相对论. Dirac 自己说过: I was not interested in bringing the spin of the electron into the wave equation, did not consider the question at all and did not make use of Pauli’s work. The reason for this is that my dominating interest was to get a relativistic theory agreeing with my general physical interpretation and transformation theory. 我对于把电子的自旋引入波动方程并不感兴趣, 我根本没有考虑过这个问题, 也没有以任何方式利用过泡利的工作. 其原因在于, 我的主要兴趣是要获得一个与我的普遍的物理诠释和变换理论相一致的相对论性理论.在前人已有工作基础上的推广. 这与独创性并不矛盾. 这需要对已有的理论和现有的问题同时具有一定理解. 往前看, 杨振宁就很善于推广前人的工作, 比如他对 Bethe ansatz 的推广对于严格求解 Hubbard model 意义重大. Hubbard model 后来又成为了很多高温超导理论的基础. 往现在看, 自从 Anderson-Higgs mechanism 以后, 越来越多高能的理论渗透进了凝聚态物理中, 同时加深了人们对这两个领域的理解. 当代很多有名的凝聚态物理学家, 比如 Sachdev 都是靠这个起家的. 关于量纲分析的两点注记: 问题描述中, 角动量和 Planck 常数的量纲一致本身没有奇妙的地方, Planck 常数当然也可以以其他量纲的形式出现, 比如玻尔半径. 整件事情最妙的地方在于量子力学中有 intrinsic 的长度量纲. 这是在经典物理中不曾见到的. 有关于此更详细的介绍可以参考这篇专栏: . 另一个回答中说的: "一个无量纲的系数如果特别大或特别小，那么背后可能有深刻的物理". Quora 上的这个回答对此的阐释很精彩, 不在此赘述:
文章本天成，妙手偶得之。多了解一些别人的思路，对自己的问题充满解决的欲望，创造力也就自然涌现出来了。
独创性理论的提出离不开两点：1.知识的积累2.一时的灵感-----------在我看来最具有总结和概括性的例子是这里非常有名那那几张图片了。当然不该仅仅是博士。-----------其他非常有名的话，包括高中化学里面苯环结构那个家伙，说自己是做梦梦见的。另外还有搞PCR技术的，据说是开车拉着girl去幽会，半路上开着车，就想起来了。最近的张益唐证明孪生素数方面的一个猜想（原谅我搞不懂这个专业名词），看采访文章讲，他也是搞了好多年，然后给朋友的孩子教微积分的空余，在后院里散步休息时候突然有了灵感，然后花了半年时间写了证明。-----------那么最关键和值得学习的地方就是：养成思考的习惯，深入的持续的思考。然后就和买彩票一样，买了好多年就中了。当然有人一辈子也中不了彩票的，也有人只能中个小奖。
小生不才，现攻读工学博士中。对于如何提出创新理论，应用科学领域一般需要一下几步：1. 现实中确已发现，或预测到未来可能出现的需要解决的问题。2. 广泛的阅读，知识的积累，了解这一领域已有的知识体系，或解决问题1需要的知识体系。3. 根据专攻问题的独特性，提出改进现有知识体系的方法。比如本人专攻石油工程，近年来页岩气页岩油逐步成为关注焦点，也被誉为新型油藏未来发展重中之重。但开发页岩气藏需要攻克多重难关，这就促进了在这一领域的科研进程。通过广泛了解开发中可能遇到的问题，大量研读常规油藏，及其他非常规油藏（如煤层气）的有关理论，加以使用至页岩气藏。在这一过程中如何灵活得改变现有的理论，使之同样使用与页岩气，就成为了科研创新的一种途径。本人同时也粗略浏览了一下以上大牛的见解，感觉对
的回答更加感同身受。经验谈：以上三步看似简单，实际应用中却着实不易。所以，第一条建议就是保持平常心，同时踏实勤奋。我们存在于一个知识爆炸的年代，任何一个学科任何一个领域的知识发展已经有了相当的累计，而这些领域尚未解决的问题之所以悬而未决也定是由于这些问题本身不易被发觉，或者！相当难以攻克！所以我们要做好打硬仗的准备。第二，正因为各个领域知识的累计已经相当丰厚，想要全面了解这些领域就变成一个大工程。因而，步骤中的第二步也成为一个需要学者潜心专攻的过程。有了以上两步坚实的基础，第三步很大程度就是水到渠成了。当一个人的大脑储备了足够的知识、方法。面对问题是自然就会构筑出多种解决问题的思路！祝成功！
谢邀！这个问题的解答还是请科学界的大师回答比较好，他们有切身的体会和感悟。看了楼上各位的解答都集中在科学家个人应该具备什么样的素质或者精神上，我从另一个角度谈一下看法。科学家不是孤立的个体，也不是生下来就是的，他/她需要一个学习、成长和生活工作的环境。周围的环境是否有利于培养出杰出的科学家是非常重要的。这就好比干细胞和微环境的关系，干细胞的分化和增殖需要微环境提供的营养物质和细胞因子。没有合适的微环境，干细胞也不能定向的分化。科学大师是在一个科学的、公正的、自由的氛围中随机脱颖而出的。进行科学研究就是对规律的探索，而规律绝不是放之四海皆准的，而是有其适用条件的。随着其条件的变化，规律也会发生变化，所谓的创新无非就是发现了在一个新的条件下存在的规律，或者反之。公正就是保证每个人都能得到平等的接受科学教育和培养的机会，让科学大师的潜在者范围最大化。自由则是鼓励百家争鸣，鼓励不同的学术观点进行争论，真理是在争论中得到的。人无完人，每个人都有性格、智力上的特征，但是无法先去评价他/她的这些特征，再得出他/她是否能够作出创新性科学成绩的推断。我相信科学大师们都会有一些共性特征，但是这些共性特征并不是特异的，还有很多更重要的特征无法挖掘出来。曾经有过的少年大学班制度是最好的反例，追踪那些曾经被精心选出的具备某些特征的“神童”经过“定点”培养后几乎没有成为科学大师的，甚至有不少还不如普通人。而很多诺贝尔奖获得者在青少年时期和普通人没有差别。所以个人认为，只要维护好了这个培养科学家的“微环境”，具有创新能力的科学家自然会层出不穷的涌现出来。
来讲一个微分几何的例子。直线（平面）弄弯变成曲线（曲面），为了微分性质，我们规定曲线（曲面）三次连续可微，即是正则的。//说白了就是“好的”用微分的方法研究几何，既要选取合适的标架及参数系进而使用微分的方法，又要让性质脱离标架使之独立，才可以称之为内蕴性质。我们先看看曲线的参数选取。对于一条正则曲线，我们任取一个参数系，其方程r=r(t)，弧长是不变量即不变//这里dt应该是正体，不过我不会调还是来张图图中折线是曲线的一个分割，让这个分割无限小（即微分思想），我们就选好了弧长参数。图中折线是曲线的一个分割，让这个分割无限小（即微分思想），我们就选好了弧长参数。可以证明，弧长参数与坐标系选取无关，在保定向参数变换（可以理解成好的参数变换）下保持不变。选择了一个好的参数系，我们开始研究曲线细致的性质。弧长参数下的曲线记为r=r(s)。把直线弯成曲线，区分在于弯曲程度，很自然的，我们先着手于刻画曲线的弯曲程度。说白了，沿着曲线走拐得越快的地方越弯，微分上，表述为曲线一点方向向量（即该点切向量）转动快慢，即曲线二阶导数。由弧长参数选取我们知道//这里从弧长公式得到又//这里有对常数的求导即我们得到了两个垂直的向量，把单位化，单位化的向量再与曲线方向向量做外积，这样我们就得到了三个两两垂直的单位向量！这样我们在空间曲线局部一点建立了一个标架，即我们找到了曲线的附属标架，这个标架与曲线本身坐标系选取无关，这就是Frenet标架。然后看“参数曲面片”的定义。//可以理解为一个正则曲面的定义它指从二维空间到三维空间的连续映射(u,v)→(x,y,z)，这样“参数曲面片”的方程写为x=f(u,v);y=g(u,v);z=h(u,v);其中f、g、h为三次连续可微的。//这里为了通俗牺牲了一些严谨来张图这样就把曲面和平面建立起了对应，减少了参数量。这样就把曲面和平面建立起了对应，减少了参数量。同样的，我们为了研究曲面局部性质，也要建立局部标架，来“脱离”本身参数系。很自然的，由参数曲面片的定义，平面上的横线和竖线就是曲线上一个天然的“网”，网（可以看作曲线）的方向向量就是两个彼此垂直的向量，做个外积（和之前方法一样）我们也得到了曲面的附属标架。实际上，曲线和曲面的研究是分不开的，之前两种附属标架的选取都只照顾了一个，我们是否可以找到兼顾两者的标架场呢？答案是肯定的。曲线我们取其单位方向向量，曲面我们取单位法向量（即曲面讨论中做外积得到的向量），再来个外积！这样就把平面曲线论推到了曲面曲线论，还得到了测底线测地曲率等内蕴性质。因为单位正交标架场与曲面的参数系只保持松弛的关系，标架场沿曲面的微分变得尤为重要，因此现代微分几何学者又研究出了活动标架与外微分法，这里知识比较多就不提了。这里我们可以看到，把握本质运用细节思考很重要，学过一遍觉得很自然，不过微分几何从欧拉1736年提出内在坐标弧长参数，到高斯1827年提出Gauss曲率测底线测地曲率，也有近百年。在上面的介绍中没有加入变换这一重要概念，还有很多细节和定理，哎，这东西，还是定理证明比较有趣，另附参考文献：陈维桓. 微分几何初步[M]. 北京大学出版社, 1990.
我觉得跨学科的思维挺重要的，知识相互迁移就有创新了，思考角度会多一些。
谢邀！本人不是科学家，但是对理论创新有些体会，总结为下面几条：0. 爱我自己的体会是这一点是最重要的前提。对理论研究要有爱，要牵挂它，要不时地想起它。如果有爱，那么我们就能够对它持续的付出（比如苦读关于它的一切），甚至我们的感官/大脑，在日常生活中也会下意识的搜集素材灵感。（并列）1. 巨人的肩膀有了爱，也就有了方向。下一步就是在这个方向上寻找巨人的肩膀。这方面的例子很多啦，比如牛顿。怎么找？阅读文献（人类知识的主要载体）。推荐我前两天看到的一篇博客：另外，文献的发表人大都也是“站在巨人肩膀上”的人，所以阅读的时候要判断甄别文献里面的论点/结果。（并列）1. 问对问题寻找巨人肩膀的过程往往是艰苦的，漫长的，没有趣味的。在这个过程中我们主要应用了自己学习的能力，但是没有发挥创造的能力，对于一个对创造有爱的人，这是不可忍受的。所以，我想说，没有站在巨人肩膀上也要创造，要在寻找巨人肩膀的过程中创造。（不要害怕重复造轮子，如果在你的思想世界里还没有轮子，那么自己去创造一个也是“原创”。这么做的好处还是很多的，成本却不高。）怎么创造？从理论的角度看，就是“问对问题”。 The scientific mind does not so much provide the right answers as ask the right questions. --Claude Lévi-Strauss (b. 1908) French anthropologist 这样的例子也举不胜举的。牛顿的例子就很有意思：“苹果会掉下来，为什么月亮不会？”。这个时候牛顿也许已经站在了巨人的肩膀上，所以我再举一个自己的例子。本人搞计算的。学过不少计算机编程语言，学习过计算理论的课程，阅读过不少高性能计算的论文，自己也动手编写过一些高性能计算的应用程序。在这个过程中体会到了现在编程技术的一些缺点，结合自身经历，开始考虑“编程效率”的问题，感觉找到了爱。然后就是进一步阅读文献，同时开始“问问题”。一些问题成为了我的博士研究课题。还有很多其他的问题。其中一个是：“基于汉字的编程究竟有没有效率？”。搜集了这方面的资料，研究一些现有的中文编程语言，看一些讨论中文计算化的论文（有很多有意思的东西，o(^▽^)o）。直到问出了这个问题：“汉字的特点在于每一个字的信息量很大，那么利用这个优点能不能提高编程的效率？”。继续寻找巨人的肩膀，找到了 - Ken Iverson， 还是通过知乎找到的：有相同想法的人
。2. 多交流这也是我还做得不好但是正在努力的一点。牛人们的例子很多啦，比如题主举得波尔和普朗克的例子。我贴一个戏剧化的图片好了：这是1927年Fifth Solvay International Conference on
and 的与会者合影，里面有：普朗克，波尔，居里夫人，薛定谔，泡利，爱因斯坦，海森堡。与会的共29人，其中的17人后来获得了诺贝尔奖。
厚积薄发。对前人的成果有了总体的把握后才能更好的去反驳去质疑。
我觉得首先得对所研究领域的理论知识要有积累，在研读中要不断提问题解问题的过程，很多创新点也是在这个过程中发现的。
谢邀。创新性研究诚然需要楼上所论述的那些诸如厚积薄发、穿插交流等特质。但我想说：不得不承认，有些人终其一生也毫无建树、有些人却貌似“不费吹灰之力”就能打开某个领域的阀门。勤能补拙我相信，但是如果说，在顶尖层面灵感可靠努力获得，我不太信；如果说，上帝没有在掷骰子，我不太信。爱迪生说过：那1%的灵感比另外的99%重要。虽然很让人伤感，但这是事实。
谢谢邀请，但是我不知道答案
通过大量的阅读前人研究成果，然后进行实验，在不断探索，和同事，朋友的交流之后，才能有一些较新的想法。
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