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大学高等数学公式汇总大全(珍藏版)
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高等数学在中国大陆，理工科各类专业的学生（数学专业除外，数学专业学数学分析），学的数学较难，课本常称“高等数学”；文史科各类专业的学生，学的数学稍微浅一些，课本常称“”。理工科的不同专业，文史科的不同专业，深浅程度又各不相同。研究变量的是高等数学，可高等数学并不只研究变量。至于与“高等数学”相伴的课程通常有：（数学专业学高等代数），与（有些数学专业分开学）。
初等数学研究的是常量与匀变量，高等数学研究的是非匀变量。高等数学（它是几门课程的总称）是理、工科院校一门重要的基础学科，也是非数学专业理工科专业学生的必修数学课,也是其它某些专业的必修课。作为一门基础科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的性和广泛的应用性。性和计算性是数学最基本、最显著的特点，有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用的规则，遵循思维的规律。所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。尤其是到了现代，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科学领域。
简介/高等数学
梯度高等数学比“高等”的数学。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的、以及简单的集合论逻辑称为，作为小学初中的初等数学与本科阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是将简单的，与，以及深入的，，以及他们之间交叉所形成的一门基础学科，主要包括微积分学，其他方面各类课本略有差异。初等数学研究的是和匀变量，高等数学研究的是匀变量。常见的“高等数学”课本通常有这样一些内容：微积分，高等代数，概率论与数理统计。（数学专业在外）的，深一些；的，浅一些。理工科的不同专业，文科的不同专业，深浅程度又各不相同。研究变量的是高等数学。可高等数学并不只研究变量。高等数学是高等学校工科本科有关专业学生的一门必修的重要基础课。通过这门课程的学习，使学生获得向量代数与、微积分的基本知识，必要的基础理论和常用的运算方法，并注意培养学生的运算能力和初步的抽象思维、逻辑推理及空间想象能力，从而使学生获得解决实际问题能力的初步训练，为学习后继课程奠定必要的数学基础。高等数学（也称为微积分）是理、工科院校一门重要的基础学科。作为一门科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性，复杂的计算性和广泛的应用性。抽象性是数学最基本、最显著的特点--有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。复杂的计算性是高等数学有繁多的计算对象，众多的定理，多样的计算和证明方法，实际应用中复杂的计算量。所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。尤其是到了现代，的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科学领域。因此，学好高等数学对我们来说相当重要。然而,很多学生对怎样才能学好这门课程感到困惑。
学习要领/高等数学
首先，理解概念。数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质,弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。其次，掌握定理。定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到。第三，在弄懂例题的基础上作适量的习题。要特别提醒学习者的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法法在理解例题的基础上作适量的习题。作题时要善于总结----不仅总结方法，也要总结错误。这样，作完之后才会有所收获，才能举一反三。第四，理清脉络。要对所学的知识有个整体的把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。高等数学中包括和立体解析几何，和。其中尤以微积分的内容最为系统且在其他课程中有广泛的应用．微积分的理论是由和完成的．（当然在他们之前就已有微积分的应用，但不够系统）和的概念微积分的基本概念但理解有很大难度。高等数学有两个特点：1.等价代换。在极限类的计算里，常等价代换一些因子（这在量的计算中是不可理解），但极限是阶的计算。2.如果原函数形式使计算很困难，可使用原函数的积分或微分形式，这是化简计算的思想。这三个函数之间的关系就是微分方程。
历史发展/高等数学
一般认为，16世纪以前发展起来的各个数学学科总的是属于初等数学的范畴，因而，17世纪以后建立的数学学科基本上都是高等数学的内容。由此可见，高等数学的范畴无法用简单的几句话或列举其所含分支学科来说明。19世纪以前确立的、、三大数学分支中，前两个都原是初等数学的分支，其后又发展了属于高等数学的部分，而只有分析从一开始就属于高等数学。分析的基础——微积分被认为是“变量的数学”的开始，因此，研究是高等数学的特征之一。原始的变量概念是物质世界变化的诸量的直接抽象，现代数学中变量的概念包含了更高层次的抽象。如数学分析中研究的限于实变量，而其他数学分支所研究的还有取复数值的复变量和向量、张量形式的，以及各种几何量、代数量，还有取值具有偶然性的随机变量、模糊变量和变化的（概率）空间——范畴和随机过程。描述变量间依赖关系的概念由发展到泛函、变换以至于函子。与初等数学一样，高等数学也研究空间形式，只不过它具有更高层次的抽象性，并反映变化的特征，或者说是在变化中研究它。例如，曲线、曲面的概念已发展成一般的流形。按照埃尔朗根纲领，几何是关于图形在某种变换群下不变性质的理论，这也就是说，几何是将各种形式置于变换之下来来研究的。进入数学，这是高等数学的又一特征。现实世界的各种事物都以有限的形式出现，无穷是对他们的共同本质的一种概括。所以，无穷进入数学是数学高度理论化、抽象化的反映。数学中的无穷以潜无穷和实无穷两种形式出现。在极限过程中，变量的变化是无止境的，属于潜无穷的形式。而值的存在又反映了实无穷过程。最基本的极限过程是和的极限。数学分析以它为基础，建立了刻画函数局部和总体特征的各种概念和有关理论，初步成功地描述了现实世界中的非均匀变化和运动。另外一些形式上更为抽象的极限过程，在别的数学学科中也都起着基本的作用。还有许多学科的研究对象本身就是无穷多的个体，也就说是无穷集合，例如群、环、域之类及各种抽象空间。这是数学中的实无穷。能够处理这类无穷集合，是数学水平与能力提高的表现。为了处理这类无穷集合，数学中引进了各种结构，如代数结构、序结构和拓扑结构。另外还有一种度量结构，如抽象空间中的范数、距离和测度等，它使得个体之间的关系定量化、数字化，成为数学的定性描述和定量计算两方面的桥梁。上述结构使得这些无穷集合具有丰富的内涵，能够彼此区分，并由此形成了众多的数学学科。数学的计算性方面。在中甚至占了主导的地位。它在高等数学中的地位也是明显的，高等数学除了有很多理论性很强的学科之外，也有一大批计算性很强的学科，如微分方程、计算数学、统计学等。在高度抽象的理论装备下，这些学科才有可能处理现代科学技术中的复杂计算问题。
除了数学基础、集合论、数理逻辑这样一些基础性学科之外，数学分为初等数学与高等数学两大部分。它们有共同的基础，而彼此之间并没有严格的界限。它们都是人类文明在不同发展阶段的产物，但并不像某些事物那样，后发展起来的可以代替古老的，随着人类文明的进步，数学中某些局部的、繁琐的成果或工作可能被淘汰，而其总体仍然是有用的，并必将向着更加综合和抽象、结构更多样化的方向发展下去。
分类/高等数学
一、函数极限连续二、一元函数微分学三、一元函数积分学四、向量代数与空间解析几何五、多元函数微分学六、多元函数积分学七、无穷级数八、常微分方程
主要包括/高等数学
一、函数与极限分为常量与变量函数函数的简单性态反函数初等函数数列的极限的极限无穷大量与无穷小量无穷小量的比较函数连续性连续函数的性质及初等函数函数连续性二、导数与微分导数的概念函数的和、差求导法则函数的积、商求导法则复合函数求导法则反函数求导法则高阶导数隐函数及其求导法则函数的微分三、导数的应用微分中值未定式问题函数单调性的判定法函数的极值及其求法函数的最大、最小值及其应用曲线的凹向与拐点四、不定积分不定积分的及性质求不定积分的方法几种特殊函数的积分举例五、定积分及其应用定积分的概念微积分的公式定积分的换元法与分部积分法广义积分六、空间解析几何空间直角坐标系方向余弦与方向数平面与空间直线曲面与空间曲线七、多元函数的微分学多元函数概念二元函数极限及其连续性偏导数全微分复合函数的求导法多元函数的极值八、多元函数积分学二重积分的概念及性质二重积分的计算法三重积分的概念及其计算法九、常微分方程微分方程的基本概念可分离变量的微分方程及齐次方程线性微分方程可降阶的高阶方程线性微分方程解的结构二阶常系数齐次线性方程的解法二阶常系数非齐次线性方程的解法十、无穷级数
导数的概念/高等数学
有关导数在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下中的的问题。例：设一沿x轴运动时，其位置x是时间t的，y=f(x)，求质点在t0的瞬时速度？
数学我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量
数学这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的为;若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度，即：质点在t0时的瞬时速度=数学为此就产生了的定义，如下：导数的定义设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量数学若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为y=f(x)在x0处的导数。记为：数学还可记为：数学函数f(x)在点x0处存在导数简称函数f(x)在点x0处可导，否则不可导。若函数f(x)在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数f(x)在区间(a,b)内可导。这时函数y=f(x)对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数y=f(x)的导函数。注：导数也就是差商的极限左、右导数前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。若极限数学存在，我们就称它为函数y=f(x)在x=x0处的左导数。若极限数学存在，我们就称它为函数y=f(x)在x=x0处的右导数。注：函数y=f(x)在x0处的左右导数存在且相等是函数y=f(x)在x0处的可导的充分必要条件
万方数据期刊论文
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高等数学微积分公式大全一、基本导数公式 ⑴ ? c ?? ? 0 ⑵ x ? ? ? x ? ?1四、基本初等函数的 n 阶导数公式 （1） x ⑶ (3) a? ?n? n?? n!（2） e?ax ?b?? n?? a n ? eax ?b? ?x? n?? a x ln n a? n?? sin x ?? ? cos x⑷ ? cos x ?? ? ? sin x ⑸ ? tan x ?? ? sec x2(4) ? ?sin ? ax ? b ?? ? ⑹?? ? ? a n sin ? ax ? b ? n ? ? 2? ?(5)? cot x ?? ? ? csc2 x⑺ ? sec x ?? ? sec x ? tan x ⑻? ?cos ? ax ? b ? ? ?? 1 ? (6) ? ? ? ax ? b ?? ?ln ? ax ? b ? ? ?? n??? ? ? a n cos ? ax ? b ? n ? ? 2? ?? ? ?1?n?n?an ? n!? csc x ?? ? ? csc x ? cot x⑼ ex? ax ? b ?n ?1(7)? ?? ? e1 xx⑽ ax? ?? ? a? n?xln a⑾? ? ?1?n ?1a n ? ? n ? 1? !? ax ? b ?n? ln x ?? ?五、微分公式与微分运算法则1 x ? ⑿ ? log a ? ? x ln a⒁ ? arccos x ?? ? ?⒀? arcsin x ?? ?1 1 ? x2⑴ d ?c? ? 0 ⑶ d ?sin x ? ? cos xdx ⑷ d ? cos x ? ? ? sin xdx? ? ?1 ⑵ d x ? ? x dx? ?1 1 ? x21 ⒃ ? arc cot x ?? ? ? ⒄ 1 ? x2⑸ d ? tan x ? ? sec xdx21 ⒂ ? arctan x ?? ? 1 ? x2⑹ d ? cot x ? ? ? csc xdx2? x ?? ? 1 ⒅ ?? x ??1 2 x⑺ d ? sec x ? ? sec x ? tan xdx⑻d ? csc x ? ? ? csc x ? cot xdx二、导数的四则运算法则? u ? v ?? ? u? ? v?? u ?? u ?v ? uv? ? ? ? v2 ?v?三、高阶导数的运算法则 （1） ? ?u ? x ? ? v ? x ? ? ?? n?? uv ?? ? u?v ? uv?x x ⑼ d e ? e dx? ?x x ⑽ d a ? a ln adx? ?⑾ d ? ln x ? ? ⑿ d log a1 dx x⒀ d ? arcsin x ? ??x1 dx ? ? x ln a1 1 ? x2dx? u ? x?? n?? v ? x?? n?（2）⒁ d ? arccos x ? ? ? ⒂ d ? arctan x ? ?1 1 ? x2dx⒃? ?cu ? x ? ? ?? n?? cu ? n ? ? x ?? n?（ 3 ） ? ?u ? ax ? b ? ? ??a un? n?? ax ? b ?（ 4 ）? ?u ? x ? ? v ? x ? ? ?? n?k ? ? ? cn u k ?0nn?k ?? x ?v( k ) ? x ?1 dx 1 ? x2 1 d ? arc cot x ? ? ? dx 1 ? x2六、微分运算法则 ⑴ d ?u ? v ? ? du ? dv ⑵d ? cu ? ? cdu⑶ d ?uv ? ? vdu ? udv ⑷?1 x ?a2 2dx ? ln x ? x 2 ? a 2 ? c九、下列常用凑微分公式 积分型 元公式 换? u ? vdu ? udv d? ?? v2 ?v?七、基本积分公式 ⑴ kdx ? kx ? c? f ? ax ? b ?dx ? a ? f ? ax ? b ?d ? ax ? b ?x ? ?1 ⑵ ? x dx ? ?c ? ?1?? ? ? f ? x ?x?11u ? ax ? b?dx ?⑶?dx ? ln x ? c x⑸f ? x ? ?d ? x ? ? ? ?1u ? x?u ? ln xax x ?c ⑷ ? a dx ? ln a? e dx ? exx?c? f ? ln x ? ? x dx ? ? f ? ln x ?d ? ln x ?⑹1? f ? e ? ? e dx ? ? f ? e ?d ? e ?x x x xu ? exx? cos xdx ? sin x ? c⑺? f ? a ? ? a dx ? ln a ? f ? a ?d ? a ?x x x1u ? axu ? sin x? sin xdx ? ? cos x ? c12⑻? f ? sin x ? ? cos xdx ? ? f ? sin x ?d ? sin x ? ? f ? cos x ? ? sin xdx ? ?? f ? cos x ?d ? cos x ? ? f ? tan x ? ? sec ? f ? cot x ? ? cscxdx ? ? f ? tan x ?d ? tan x ? xdx ? ? f ? cot x ?d ? cot x ?x 1 ? ? csc2 xdx ? ? cot x ? c ⑼ ? 2 sin x 1 ? 1 ? x 2 dx ? arctan x ? c⑾? cosdx ? ? sec 2 xdx ? tan x ? cu ? cos xu ? tan xu ? cot x⑽22?1 1 ? x2dx ? arcsin x ? c? f ? arctan x ? ? 1 ? x12dx ? ? f ? arc ta n x ?d ? arc ta n x ? u ? arctan xu ? arcsin x dx ? ? f ? arcsin x ?d ? arcsin x ?八、补充积分公式? tan xdx ? ? ln cos x ? c ? cot xdx ? ln sin x ? c ? sec xdx ? ln sec x ? tan x ? c ? csc xdx ? ln csc x ? cot x ? c1 1 x ? a 2 ? x 2 dx ? a arctan a ? c? f ? arcsin x ? ?1 1? x2十、分部积分法公式n ax ax n ⑴形如 x e dx ，令 u ? x ， dv ? e dx n n 形如 x sin xdx 令 u ? x ， dv ? sin xdx n n 形如 x cos xdx 令 u ? x ， dv ? cos xdx n n ⑵形如 x arctan xdx ，令 u ? arctan x ， dv ? x dx n n 形如 x ln xdx ，令 u ? ln x ， dv ? x dx???1 1 x?a ? x2 ? a2 dx ? 2a ln x ? a ? c??x dx ? arcsin ? c a a ?x2 21?ax ax ⑶形如 e sin xdx ， e cos xdx 令 u ? eax ,sin x,cos x??均可。 十一、第二换元积分法中的三角换元公式 (1) (3)（212）lima0 x n ? a1 x n ?1 ? x ?? b x m ? b x m ?1 ? 0 1a ?x22x ? as i n t (2)a ?x2x ? at a n t（系数不为 0 的情况）? a0 ?b 0 ? an ? ? ??0 ? bm ? ? ? ? ?n?m n?m n?mx2 ? a2 x ? a sect1 ? 3 （2） sin ? （ 3 ） sin ? 6 2 3 2【特殊角的三角函数值】 （1） sin 0 ? 0 （4） sin十三、下列常用等价无穷小关系（ x ? 0 ）?sin xxxarctan x?2tan x x 1 2 1? c o x s x 2arcsin xx? 1 ） （5） sin ? ? 0ln ?1 ? x ?xex ?1 xa x ? 1 x ln a（1） cos 0 ? 1 （4） cos? 1 3 （2） cos ? （ 3 ） cos ? 3 2 6 2??1 ? x ??? 1 ?x?2? 0 ） （5） cos ? ? ?1（2） tan十四、三角函数公式 1.两角和公式sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B（1） tan 0 ? 0 （4） tan?6?? 3 （ 3 ） tan ? 3 3 3s i nA (? B ? )s iA ncB o?sc Ao s Bs i n?2不存在 （5） tan ? ? 0cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B（1） cot 0 不存在 （2） cot （4） cot?6? 3 （ 3 ） cot?3??2? 0 （5） cot ? 不存在（2）lim ?1 ? x ? x ? ex?0 1十二、重要公式 （1）limsin x ?1 x ?0 xlim n a (a ? o) ? 1n ??tan A ? tan B 1 ? tan A tan B tan A ? tan B tan( A ? B) ? 1 ? tan A tan B cot A ? cot B ? 1 （3） cot( A ? B ) ? cot B ? cot A cot A ? cot B ? 1 cot( A ? B) ? cot B ? cot A tan( A ? B) ?3 3c o sA (? B ? )co AscB o?sA s i n Bs i n（ 4 ） lim n n ? 1n ??（ 5 ） lim arctan x ?x ???2.二倍角公式（6） lim arc tan x ? ?x ????22sin 2 A ? 2sin A cos Acos 2 A ? cos2 A ? sin 2 A ? 1 ? 2sin 2 A ? 2cos2 A ?1（ 8 ） lim arc cot x ? ?x ???（ 7 ） lim arc cot x ? 0x ??tan 2 A ?2 tan A 1 ? tan 2 A（9） lim e ? 0x x ???3.半角公式（10） lim e ? ?x x ???x ?1 （11） lim ?x x ?0sinA 1 ? cos A ? 2 2 A 1 ? cos A ? 2 2cos常量与变量A 1 ? cos A sin A 变量的定义 tan ? ? 2 1 ? cos A 1 ? cos A我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同a 2 tan 2 tan a? a 1? t a 2 n 27.平方关系A 1 ? cos A sin A cot ? ? 量； 有的量在过程中是变化的， 也就是可以取不同的数值， sin 2 x ? cos2 x ? 1 2 1 ? cos A 1 ? cos A我们则把其称之为变量。的量， 其中有的量在过程中不起变化， 我们把其称之为常4.和差化积公式a?b a ?b 2 2 sin a ? sin b ? 2sin ? cos 它的变化相对于所研究的对象是极其微小的， 我们则把它 csc x ? cot x ? 1 2 2 a?b a ?b 8.倒数关系 看作常量。 sin a ? sin b ? 2 cos ? sin tan x ? cot x ? 1 2 2 变量的表示 a?b a ?b sec x ? cos x ? 1 cos a ? cos b ? 2 cos ? cos 2 2 如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化 cs c x ? sin x ? 19.商数关系注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是sec2 x ? ta n 2 x ? 1cos a ? cos b ? ?2sina?b ? sin 2 2在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。范围。 a ?bsin ? a ? b ? tan a ? tan b ? cos a ? cos b5.积化和差公式sin x cos x cos x cot x ? sin x tan x ?十五、几种常见的微分方程 1. 可 分 离 变 量 的 微 分 方程 ：区 间 区间 区间在数轴上的表示的 区间的满足的不等式 的记 1 sin a sin b ? ? ? cos ? a ? b ? ? cos ? a ? b ? ? ? ? 名 号 2 称dy ? f ? x? g ? y? dx，f1 ? x ? g1 ? y ? dx ? f2 ? x ? g2 ? y ? dy ?2. 齐 次 微 分 方 程 ：cos a cos b ?1 闭 cos ? a ? b ? ? cos ? a ? b ? ? ? ? ? 2 区 a≤x≤b间[a， b]sin a c obs ?1 ? 2? 1 ? 2?s ? ? b? 开 ? ?? b ? ian ? s ian ?区 间a＜x＜b（a， b）dy ? y? ? f? ? dx ?x?3.一阶线性非齐次微分方程：cos a s ib n ?6.万能公式s ? ? b? 半 ? ?? b ? ian ? s ian ?开 区 间（a， [a， b）a＜x≤b 或 a≤x＜b b]或dy ? p ? x? y ? Q ? x? dx为：解a 2 sin a ? 2 a 1 ? tan 2 a 1 ? tan 2 2 cos a ? a 1 ? tan 2 2 2 tan以上我们所述的都是有限区间， 除此之外， 还有无限区 间： [a， +∞)： 表示不小于 a 的实数的全体， 也可记为： a≤x ＜+∞； (-∞，b)：表示小于 b 的实数的全体，也可记为：-∞ ＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作&负无穷大&和&正无穷 大&,它们不是数,仅仅是记号。? p y?e ?高等数学在线教程 一.函数与极限函 数例：直角坐标系中，半径为 r、圆心在原点的 圆用图示法表示为：函数的定义 如果当变量 x 在其变化范围内任意取定一个数值 时， 量 y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应， 则 称 y 是 x 的函数。 变量 x 的变化范围叫做这个函数的定 义域。通常 x 叫做自变量，y 叫做因变量。 注：为了表明 y 是 x 的函数，我们用记号 y=f(x)、 y=F(x)等等来表示.这里的字母&f&、&F&表示 y 与 x 之 间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的 字母来表示的. 注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时， 函数只有一个确定的值和它对应， 这种函数叫做单值函 数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 函数的表示函数的简单性态a)： 解析法： 用数学式子表示自变量和因变量之间的 对应关系的方法即是解析法。 例：直角坐标系中，半径为 r、圆心在原点的 圆的方程是：x +y =r2 2 2函数的有界性 如果对属于某一区间 I 的所有 x 值总有│f(x)│≤M 成立，其中 M 是一个与 x 无关的常数，那么我们就称 f(x)在区间 I 有界，否则便称无界。b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列 成表来表示函数关系的方法即是表格法。 例： 在实际应用中， 我们经常会用到的平方表， 三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)： 图示法： 用坐标平面上曲线来表示函数的方法即 是图示法。 一般用横坐标表示自变量， 纵坐标表示因变注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则 称为有界函数 例题：函数 cosx 在(-∞,+∞)内是有界的. 函数的单调性 如果函数 在区间(a,b)内随着 x 增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点 x1 及 x2，当 x1＜x2 时，有 ， 量。则称函数 如果函数在区间(a,b)内是单调增加的。 在区间(a,b)内随着 x 增大而减小， 反函数的定义 设有函数反函数即：对于(a,b)内任意两点 x1 及 x2，当 x1＜x2 时，有 ， 则称函数 例题：函数 在区间(a,b)内是单调减小的。 =x 在区间(-∞,0)上是单调减小2，若变量 y 在函数的值域内任取一值y0 时，变量 x 在函数的定义域内必有一值 x0 与之对应，即 ，那末变量 x 是变量 y 的函数. 这个函数用 函数. 来表示，称为函数 的反的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。 函数的奇偶性 如果函数 对于定义域内的任意 x 都满足 = 则 叫做偶函数； 对于定义域内的任意 x 都满足 =则 叫做奇函数。 ， ，注：由此定义可知，函数 的反函数。也是函数反函数的存在定理 若 在(a，b)上严格增(减)，其值域为 R，则它如果函数的反函数必然在 R 上确定，且严格增(减). 注：严格增(减)即是单调增(减) 例题：y=x ，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对 于 y 取定的非负值,可求得 x=± .若我们不加条件，由 y2注意：偶函数的图形关于 y 轴对称，奇函数的图形 关于原点对称。 函数的周期性 对于函数 系式 ，若存在一个不为零的数 l，使得关 要求 x≥0，则对 y≥0、x= 就是 y=x 在要求 x≥0 时的反2的值就不能唯一确定 x 的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函 数不是严格增(减)，故其没有反函数。如果我们加上条件，函数。即是：函数在此要求下严格增(减).对于定义域内任何 x 值都成立， 则叫做周期函数，反函数的性质 在同一坐标平面内， 于直线 y=x 对称的。 例题：函数 与函数 互为反函数，则它 与 的图形是关l是的周期。注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。 例题： 函数 是以 2π 为周期的周期函数；函数 tgx 是以 π 为周期的周期函数。 们的图形在同一直角坐标系中是关于直线 y=x 对称的。如右 图所a):不论 x 指 数 函 示： 复合函数的定义 a):其图形 若 y 是 u 的函数： ，且 ，而 u 又是 x 的函数： 的定义 总位于 y 轴 右侧,并过 (1,0)点 b):当 a＞ 对 复合函数，记作 ，其中 u 叫做中间变量。 数 函 注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更 多函数构成。 例题： 函数 一个函数的。 因为对于 的定义域(-∞,+∞)中的任何 与函数 是不能复合成 数 1 时,在区 间(0,1)的 值为负；在 区间 (-,+∞)的 值为正；在 定义域内单 调增. x 值所对应的 u 值（都大于或等于 2）， 令 a=m/n 使 都没有定义。 a):当 m 为 偶数 n 为奇 数 为何值,y 总为正数; b):当 x=0 时,y=1.的函数值的全部或部分在域内，那末，y 通过 u 的联系也是 x 的函数，我们称后一个 函数是由函数 及 复合而成的函数，简称初等函数幂 基本初等函数 我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、 对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。 下面我们用表格来把它们总结一下： 函 数 名 称 函数的记号 函数的图形 函数的性质 函 数 这里只画出部分函数 图形的一部分。 a 为任意实数数时,y 是 偶函数; b):当 m,n 都是奇数 时,y 是奇 函数; c):当 m 奇 n 偶时,y 在 (-∞,0)无意义. a):正弦函 数是以 2π 为周期的周 三 角 函 数 (正弦函数) 期函数 这里只写出了正弦函 数 b):正弦函 数是奇函数 且双曲函数 在应用中我们经常遇到的双曲函数是：(用表格来描述)函 数 的 函数的表达式 名 称 a)：其定义域 为:(-∞,+∞)； b)：是奇函数； c)：在定义域内 是单调增 a)：其定义域 函数的图形 函数的性质双 曲 a):由于此 函数为多值 函数,因此 反 三 角函数) 函这里只写出了反正弦 数函数 [-π /2,π / 2]上,并称 其为反正弦 函数的主 值. 初等函数 由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次 的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等 函数. 例题： 是初等函数。 双 曲 正 切 我们再来学习一下工程技术中常用的函数――双曲函数 及反双曲函数 双 曲 余 弦 (反正弦 我们此函数 值限制在 正 弦为:(-∞,+∞)； b)：是偶函数； c)：其图像过点 (0,1)； a)：其定义域 为:(-∞,+∞)； b)：是奇函数； c)：其图形夹在 水平直线 y=1 及 y=-1 之间； 在定双曲函数及反双曲函数域内单调增；我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别：双曲函数的性质三角函数的性质若按照一定的法则，有第一个数 a1，第二个数 a2，?，依 次排列下去，使得任何一个正整数 n 对应着一个确定的数 an，shx 与 thx 是奇函数，chx sinx 与 tanx 是奇函数，cosx 是偶函数 是偶函数那末，我们称这列有次序的数 a1，a2，?，an，?为数列. 数列中的每一个数叫做数列的项。 第 n 项 an 叫做数列的一 般项或通项. 注：我们也可以把数列 an 看作自变量为正整数 n 的函数，它们都不是周期函数都是周期函数 即：an= ，它的定义域是全体正整数双曲函数也有和差公式： 极限 极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。 例：我们可通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的面积。 设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为 A 1； 再作圆的内接正十二边形，其面积记为 A2； 再作圆的内接正二十四边形，其面积记为 A3； 反双曲函数 依次循下去(一般把内接正 6×2 边形的面积记为 An) 双曲函数的反函数称为反双曲函数. 可得一系列内接正多边形的面积：A1，A2，A3，?，An，?， a)：反双曲正弦函数 域为：(-∞,+∞)； b)：反双曲余弦函数 域为：[1,+∞)； 其定义 其定义 它们就构成一列有序数列。 我们可以发现，当内接正多边形的边数无限增加时， An 也无限接近某一确定的数值(圆的面积)，这个确定的数值 在数学上被称为数列 A1，A2，A3，?，An，? 当 n→∞(读作 n 趋近于无穷大)的极限 c)：反双曲正切函数 为：(-1,+1)； 其定义域 注：上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世 纪)的割圆术。n-1数列的极限数列的极限一般地，对于数列来说，若存在任意给定的正数 ε (不论其多么小)， 总存在正整数 我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。 数列 N，使得对于 n＞N 时的一切 不等式都成立， 那末就称常数 a 是数列 收敛于 a . 记作： 或的极限， 或者称数列定理：若数列收敛，那末数列一定有界。注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的 必要条件，但不是充分条件。 例：数列 1，-1，1，-1，?，(-1) ，?n+1是有界的，注： 此定义中的正数 ε 只有任意给定， 不等式 才能表达出 与 a 无限接近的意思。但它是发散的。且定义中的正整数 N 与任意给定的正数 ε 是有关的， 它是随着 ε 的给定而选定的。 注：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它函数的极限前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特 的一个几何解释，以使我们能理解它。 殊的函数，即自变量取 1→∞内的正整数，若自变量不再限 数列 极限为 a 的一个几何解释： 在数轴上用它们的对应 于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们 来学习函数的极限. 函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变 量无限接近某一定点 x0，如果在这时，函数值无限接近于某 一常数 A，就叫做函数存在极值。 我们已知道函数的极值的情况， 那么函数的极限如何呢将常数 a 及数列点表示出来，再在数轴上作点 a 的 ε 邻域即开区间(a-ε ， a+ε )，如下图所示：?下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念! 函数的极限(分两种情况) 因不等式 故当 n＞N 时，所有的点 与不等式 都落在开区 等价， a):自变量趋向无穷大时函数的极限 定义： 设函数 间以外。 注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里 我们不作讨论。 么小)，总存在着正数 X，使得对于适合不等式 切 x，所对应的函数值 都满足不等式 的一 ，若对于任意给定的正数 ε (不论其多间(a-ε ，a+ε )内，而只有有限个(至多只有 N 个)在此区数列的有界性 对于数列 │ ，若存在着正数 M，使得一切 都满足不等式 作： 下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下： 那末常数 A 就叫做函数 当 x→∞时的极限，记│≤M，则称数列 是无界的。是有界的，若正数 M 不存在，则可说数列数列的极限的定义函数的极限的定义 存在函数 与常数 A1 有多接近， 或说：只要 找到一个 δ ，当就与 2 有多接近. 与 2 只差一个微量 ε ，就一定可以 ＜δ 时满足 ＜δ存在数列与常数 A任给一正数 ε ＞0 总可找到一正数 X定义： 设函数 在某点 x0 的某个去心邻域内有定义， 且存在任给一正数 ε ＞0 总可找到一正整数 N 对于 n＞N 的所有 都满足 则称数列 记： ＜ε对于适合 一切 x 都满足的数 A，如果对任意给定的 ε (不论其多么小)， 总存在正数 δ ，当 0＜ 则称函数 ＜δ 时， ＜ε当 x→x0 时存在极限， 且极限为 A， 记：当 x→∞时收敛于 A 函数 当 注：在定义中为什么是在去心邻域内呢？ 这是因为我们只讨论 x→x0 的过程， 与 x=x0 出的情况无 记： 关。 此定义的核心问题是： 对给出的 ε ， 是否存在正数 δ ， 使其在去心邻域内的 x 均满足不等式。 有些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 A，x→∞时的极限为 A从上表我们发现了什么？？试思考之其证明方法是怎样的呢？ a):先任取 ε ＞0；b):自变量趋向有限值时函数的极限 我们先来看一个例子. b):写出不等式 例：函数 如何？ d):则对于任给的 ε ＞0， 总能找出 δ ， 当 0＜ 函数在 x=1 处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上 任何一个有限的范围内，都有无穷多个 点，为此我们把 x→1 时函数值的变化趋势用表列出, 如下图: δ 时， 则 ＜ε 成立，因此 ＜ ，当 x→1 时函数值的变化趋势 ＜ε ； ＜δ ，若能；c):解不等式能否得出去心邻域 0＜下面我们来学习函数极限的运算法则和函数极限的存在准函数极限的运算规则从中我们可以看出 x→1 时，→2.而且只要 x 与前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作 为一类特殊的函数，故函数极限的运算规则与数列极限的运 解答： 算规则相似。 注：通过此例题我们可以发现：当分式的分子和分 函数极限的运算规则 母都没有极限时就不能运用商的极限的运算 若已知 x→x0(或 x→∞)时， . 规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的 则： 情形，然后运用规则求之。函数极限的存在准则推论：学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右 的概念。在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数 化为若干个简单的函数来求极限。我们先来看一个例子：例：符号函数为 例题：求 解答： 对于这个分段函数,x 从左趋于 0 和从右趋于 0 时函数 极限是不相同的. 为此我们定义了左、右极限的概念。 定义：如果 x 仅从左侧(x＜x0)趋近 x0 时，函数 量 A 无限接近，则称 A 为函数 例题：求 的左极限.记： 此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不 如果 x 仅从右侧(x＞x0)趋近 x0 时，函数 存在.我们通过观察可以发现此分式的分子 量 A 无限接近，则称 A 为函数 和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？下面我们 的右极限.记： 把它解出来。 注： 只有当 x→x0 时， 函数 的左、 右极限存在且相等， 当 时 与常 当 时 与常方称在 x→x0 时有极限无穷大量和无穷小量函数极限的存在准则 准则一：对于点 x0 的某一邻域内的一切 x，x0 点本身可以 无穷大量 除外(或绝对值大于某一正数的一切 x)有 我们先来看一个例子： ≤ ≤ ，且 ， 已知函数 那末 存在，且等于 A 我们把这种情况称为 为此我们可定义如下： 准则二：单调有界的函数必有极限. 注：有极限的函数不一定单调有界 两个重要的极限 设有函数 y= ，在 x=x0 的去心邻域内有定义， ， 当 x→0 时， 可知 趋向无穷大。 ，注：此准则也就是夹逼准则.对于任意给定的正数 N(一个任意大的数)，总可找到正 数 δ ，当一： 注： 其中 e 为无理数， 它的值为： e=2.045...时， 成立，二： 则称函数当 注：在此我们对这两个重要极限不加以证明. 注：我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经 常用到它们. 记为： 没有极限的） 同样我们可以给出当 x→∞时， 例题：求 义： 解答：令 则 ，则 x=-2t，因为 x→∞，故 t→∞， 设有函数 y= ，当 x 充分大时有定义，对于任 无限趋大的定 （表示为无穷大量，实际它是 时为无穷大量。意给定的正数 N(一个任意大的数)， 总可以找到正数 M， 当注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向 情况，象 x→∞时，若用 t 代换 1/x，则 t→0. 成立，时，则称函数当 x→∞时是无穷大量，记为：是当 之亦成立。(或 x→∞)时的无穷小量，反定理二：无穷小量的有利运算定理 a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小 量； b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量； 无穷小量 以零为极限的变量称为无穷小量。 定义：设有函数 ，对于任意给定的正数 ε (不 通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及 乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的 (或 ) 的一切 x，所对应的函数值满足不等式 则称函数 量. 当 ， 商会是怎样的呢？ 好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两 个无穷小量的比较。 c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量.无穷小量的比较论它多么小)，总存在正数 δ (或正数 M)，使得对于适 合不等式(或 x→∞)时 为无穷小定义：设 α ，β 都是时的无穷小量，且 β 在 x0的去心领域内不为零， 记作： (或 ) a)：如果 ，则称 α 是 β 的高阶无穷小注意： 无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量， 不是常量，只有 0 可作为无穷小量的唯一常量。 无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，或 β 是 α 的低阶无穷小；b)： 如果 后者有界，前者发散，后者收敛于 0. 无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的. 关于无穷小量的两个定理 定理一：如果函数 极限 A，则差 在 (或 x→∞)时有 c)：如果 小；， 则称 α 和 β 是同阶无穷，则称 α 和 β 是等价无穷小，记作：α ∽β (α 与 β 等价)例：因为，所以当 x→0 时，x 与 3x 是同阶无 穷小；注： 注：从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代 换式中的某一项，不能只代换某个因子。因为，所以当 x→0 时，x 是 3x 的高阶无 穷小；2函数的一重要性质――连续性因为 ，所以当 x→0 时，sinx 与 x 是等 价无穷小。 等价无穷小的性质 在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等 都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是 设 ，且 存在，则 函数的连续性 . 注：这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及 分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质 来简化求极限问题。 在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念――增 量 设变量 x 从它的一个初值 x1 变到终值 x2，终值与初值的 差 x2-x1 就叫做变量 x 的增量，记为：△x 即：△x=x2-x1 增量△x 可正 可负. 例题：1.求 解答：当 x→0 时，sinax∽ax，tanbx∽bx，故： 我们再来看一个例子：函数 在点 x0 的邻域内有定义，当自变量 x 在领域内从 x0 变到 x0+△x 时，函数 y 相 应地从 变到 ，其对应的增量为：例题： 2.求 解答： 这个关系式的几何解释如下图： 现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当△x 趋向 于零时，函数 y 对应的增量△y 也趋向于零， 即：那末就称函数 续在点 x0 处连函数的间断点函数连续性的定义： 设函数 在点 x0 的某个邻域内有定义，如果有定义：我们把不满足函数连续性的点称之为间断点. 它包括三种情形： a)： b)： c)： 等于 在 x0 无定义； 在 x→x0 时无极限； 在 x→x0 时有极限但不 ；称函数 且称 x0 为函数的在点 x0 处连续， 的连续点.下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函 数左、右连续的概念： 下面我们通过例题来学习一下间断点的类型： 设函数 在区间(a,b]内有定义，如果左极限 存在且等于 即： = ， 在 例 1： 正切函数 在 处没有定义，所以点， 那末我们就称函数是函数的间断点，点 b 左连续. 设函数 在区间[a,b)内有定义，如果右极限 存在且等于 即： = ， 在 例 2： 函数 在点 x=0 处没有定义； 故当 x→0 时， 因 的无穷间断点； ，我们就称 为函数， 那末我们就称函数点 a 右连续. 一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续， 若又在 a 点右连续，b 点左连续，则在闭区间[a，b]连续， 如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。 注：一个函数若在定义域内某一点左、右都连续，则称 函数在此点连续，否则在此点不连续. 注：连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。 通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了，同时我 们可以想到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形 呢？ 接着我们就来学习这个问题：函数的间断点函数值在-1 与+1 之间变动无限多次，我们就称点 x=0 叫做函数 点；的振荡间断例 3：函数 ，右极限当 x→0 时，左极限 ，从这我们可以看出函数左、右极限虽然都存在，但不 相等，故函数在点 x=0 是不存在极限。我们还可以发现在点 x=0 时，函数值产生跳跃现象， 为此我们把这种间断点称为跳跃间断点；数； b)： 有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的 函数；我们把上述三种间断点用几何图形表示出来如下:c)： 两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数 (分母在该点不为零)； 反函数的连续性 若函数 那末它的反函数 在某区间上单调增(或单调减)且连续， 也在对应的区间上间断点的分类 我们通常把间断点分成两类：如果 x0 是函数 断点，且其左、右极限都存在，我们把 x0 称为函数 的间单调增(单调减)且连续例：函数 的 故它的反函数 第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二在闭区间上单调增且连续，在闭区间[-1,1]上也是单调增且连续的。 类间断点. 可去间断点 复合函数的连续性 设函数 的间断点，但极限 存在，那 当 x→x0 时的极限存在且等于 a，即：若 x0 是函数 末 x0 是函数.而函数 那末复合函数 于 .在点 u=a 连续， 当 x→x0 时的极限也存在且等的第一类间断点。 此时函数不连续原因是：不存在或者是存在但 ，则可使函数 这种间断点 x0 称为可去间断点。≠。我们令在点 x0 处连续，故即：例题：求连续函数的性质及初等函数的连续性解答： 连续函数的性质 注：函数 函数的和、积、商的连续性 我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则， 可得出以下结论： a)： 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函 设函数 在点 x=x0 连续，且 ，而函数 复合而成，且函数 因此可得出上述结论。 在点 u=e 连续， 可看作 与在点 u=u0 连续，那末复合函数 在点 x=x0 也是连续的 初等函数的连续性 通过前面我们所学的概念和性质，我们可得出以下结论：的任何值。二.导数与微分导数的概念在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的； 一切初等函 数在其定义域内也都是连续的. 例：设一质点沿 x 轴运动时，其位置 x 是时间 t 的函数，，求质点在 t0 的瞬下面我们再来学习一下――闭区间上连续函数的性质 我们知道时间从 t0 有增量△t 时，质点的位置有增量闭区间上连续函数的性质，这就是质点在时间段△t 的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为： 闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连 续，右端点左连续.对于闭区间上的连续函数有几条重要的 性质， 下面我们来学习一下： 最大值最小值定理 .若质点是匀速运动的则这就是在 t0 的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不 时的瞬时速度。我们认为当时间段△t 无限地接近于 0 时，此平均速度会无限地接近于质点 t0 时的瞬在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。 (在此不 作证明) 即：质点在 t0 时的瞬时速度=为此就产生了导数的定义，如下： 例：函数 y=sinx 在闭区间[0，2π ]上连续， 则在点 x=π /2 处，它的函数值为 导数的定义 1，且大于闭区间 [0，2π ]上其它各点出的函数值； 设函数在点 x0 的某一邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有增量△x(x+△x 也则在点 x=3π /2 处，它的函数值为-1，且小于闭区 时，相应地 间[0，2π ]上其它各点出的函数值 介值定理 ， 在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的 函数值间的任何值。 即： 在[a，b]间一定有一个 ξ ，使 函数 推论： 若函数 在区间(a,b)内每一点都可导， 就称函数 在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间 对于区 在点 x0 处存在导数简称函数 在点 x0 处可导，否则不可导。 若△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在，则称这个极限值为 ，μ 在 α 、β 之间，则 记为： 还可记为： ， 函数有增量在 x0 处的导数。在区间(a,b)内可导。 这时函的每一个确定的 x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数， 的导函数。这个函数为原来函数例题：已知 解答：，求也就是差商的极限函数的积的求导法则 有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因 存在，我们就称它为函数 子的导数。用公式可写成： 在 x=x0 处的左导数。存在，我们就称它为函数在 x=x0 处的右导数。 例题：已知 ，求 在 x0 处的可导的充分必要条件在 x0 处的左右导数存在且相等是函数函数的和、差求导法则解答： 注：若是三个函数相乘，则先把其中的两个看成一项。导法则函数的商的求导法则法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子 个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差). 在除以分母导数的平方。用公式可写成： 。其中 u、v 为可导函数。公式可写为：知，求例题：已知 解答：，求知，求复合函数的求导法则函数的积商求导法则在学习此法则之前我们先来看一个例子! 例题：求 =? 这个解答正确吗?积的求导法则解答：由于 ，故 求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式 这个解答是错误的，正确的解答应该如下：错误的原因是是对自变量 x 求导，而不是对 2x 求导。 注：通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数的倒数。 注：这里的反函数是以 y 为自变量的，我们没有对它作记号变换。给出复合函数的求导法则导规则即： 是对 y 求导， 是对 x 求导 个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量 例题：求 的导数. 解答：此函数的反函数为 ， ，故 则：式表示为：中间变量 例题：求 的导数. ，故 则：知 ,则，求 可分解为 ,解答：此函数的反函数为 因此高阶导数后解题中，我们可以中间步骤省去。我们知道，在物理学上变速直线运动的速度 v(t)是位置函数 s(t)对时间 t 的导数，即知，求， 而加速度 a 又是速度 v 对时间 t 的变化率，即速度 v 对时间 t 的导数：反函数求导法则，或这种导数的导数 为单调连续函数，则它的反函数 的导数叫做 s 对 t 的二阶导数。下面我们给出它的数学定义： 仍然是 x 的函数.我们把数的定义，函数,它也是单调连续的.定义：函数 可给出反函数的求导法则，如下(我们以定理的形式给出)： 是单调连续的，且 ，则它的反函数在点 x 可导，且有： 的导数叫做函数 的二阶导数，记作一般地， 如果方程 F(x,y)=0 中， 令 x 在某一区间内任取一值时， 相应地总有满足此方程 或 ，即： 则我们就 说方程 F(x,y)=0 在该区间上确定了 x 的隐函数 y. . 把一个隐函数化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。 的一阶导数 .或 的导数 叫做函数把二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数，叫做四阶导数，?，一般地 注：有些隐函数并不是很容易化为显函数的，那么在求其导数时该如何呢？ (n-1)阶 下面让我们来解决这个问题！ 隐函数的求导n 阶导数.：，，?，或，，?，若已知 F(x,y)=0，求时，一般按下列步骤进行求解：阶以上的导数统称高阶导数。a)：若方程 F(x,y)=0，能化为的形式，则用前面我们所学的方法进行求导，求高阶导数就是多次接连地求导，所以，在求高阶导数时可运用前面所学的求导方法。 b)：若方程 F(x,y)=0，不能化为 ，求 =a，故 =0 的 n 阶导数。 例题：已知 ， ， ， ，求 函数 ，的形式，则是方程两边对 x 进行求导，并知为用复合函数求导法则进行。对数函数解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法 . ， 两边对 x 进行求导，般地，可得隐函数及其求导法则用解析法表示函数，可以有不同的形式.故 = 可以用含自变量 x 的算式表示，像 y=sinx，y=1+3x 等，这样的函数叫显函数.前面我们所 注：我们对隐函数两边对 x 进行求导时，一定要把变量 y 看成 x 的函数，然后对其利 导法则进行求导。显函数. 例题：求隐函数 ，在 x=0 处的导数边对 x 求导 例题：已知 ，求此题可用复合函数求导法则进行求导，但是比较麻烦，下面我们利用对数求导 解答：先两边取对数x=0 时，y=0.故再两边求导 在求导数时，若对其直接求导有时很不方便，像对某些幂函数进行求导时，有没有一种比呢？再来学习一种求导的方法：对数求导法对数求导法因为，所以函数的微分学习函数的微分之前，我们先来分析一个具体问题：则一块正方形金属薄片受温度变化的影响时， 其边长由 x0 变到了 x0+△x， 则此薄片的面积 数求导的方法，对某一函数先取函数的自然对数，然后在求导。法特别适用于幂函数的求导问题。解答：设此薄片的边长为 x，面积为 A，则 A 是 x 的函数：薄片受温度变化的影知x＞0，求变量，可以看成是当自变量 x 从 x0 取的增量△x 时，函数 A 相应的增量△A，即： 题若对其直接求导比较麻烦，我们可以先对其两边取自然对数，然后再把它看成隐函数进 从上式我们可以看出，△A 分成两部分，第一部分 第二部分 即图中的黑色部分，较简便些。如下是△x 的线性函数，即下图两边取对数：看成隐函数，再两边求导，所以当△x→0 时，它是△x 的高阶无穷小，表示为：们可以发现，如果边长变化的很小时，面积的改变量可以近似的用地一部分来代替。 下面我们给出微分的数学定义： 函数微分的定义示，我们把这一性质称为微分形式不变性。 例题：已知 ，求 dy某区间内有定义，x0 及 x0+△x 在这区间内，若函数的增量可表示为 其中 A 是不， 解答：把 2x+1 看成中间变量 u，根据微分形式不变性，则赖于△x 的常数， 叫做函数是△x 的高阶无穷小，则称函数 在点 x0 可微的。 通过上面的学习，我们知道微分与导数有着不可分割的联系，前面我们知道基本初等 在点 x0 相应于自变量增量△x 的微分，记作 dy， 即： = 式和导数的运算法则，那么基本初等函数的微分公式和微分运算法则是怎样的呢？的学习我们知道： 微分是自变量改变量△x 的线性函数， dy 与△y 的差 是关于△x 下面我们来学习―――基本初等函数的微分公式与微分的运算法则 的高阶无穷小量，我们把 dy 称作△y 的线性主部。 于是我们又得出：基本初等函数的微分公式与微分的运算法则当△x→0 时，△y≈dy. 基本初等函数的微分公式 导数的记号为： 由于函数微分的表达式为：，于是我们通过基本初等函数导数的公式可等函数微分的公式，下面我们用表格来把基本初等函数的导数公式与微分公式对比一下： ， 微分公式可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x 导数公式 看成 dx,即: 定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。 微分形式不变性 什么是微分形式不边形呢？ 设 ，则复合函数 的微分为： ， 由于 ，故我们可以把复合函数的微分写成 微分运算法则由函数和、差、积、商的求导法则，可推出相应的微分法则.为了便于理解，下面我们 分的运算法则与导数的运算法则对照一下： 的微分 dy 总可以用 与 du 的乘积来表，不论 u 是自变量还是中间变量，函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则 角度看一个问题，如下：设有连续函数， a 与 b 是它定义区间内的两点(a＜b)，假定此函数在(a,b)处处可导，也就是在(a,b)内的函 数图形上处处都由切线，那末我们从图形上容易直到，的微分法则就是前面我们学到的微分形式不变性，在此不再详述。 差商 ，求 对 x 的导数3就是割线 AB 的斜率，若我们把割线 AB 作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割 线最远的一点 P(x=c)处成为曲线的切线，而曲线的斜率为 ，由于切线与割线是平行的，因此据微分形式的不变性成立。 注：这个结果就称为微分学中值定理，也称为拉格朗日中值定理 示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我 拉格朗日中值定理 如果函数 的近似值。 在闭区间[a,b]上连续，在开区间分来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用.(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点 c，使们发现用计算的方法特别麻烦，为此把转化为求微分的问题成立。这个定理的特殊情形，即： 尔定理。描述如下： 若的情形，称为罗近似值为 1.025(精确值为 1.024695)三.导数的应用在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导， ， 那末在(a,b)内至少有一点 c， 使微分学中值定理且 成立。 在给出微分学中值定理的数学定义之前，我们先从几何的 注：这个定理是罗尔在 17 世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。答案： 对于函数 ,,来说， 当 x→a(或 x→∞)时，注：在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问， 函数 请参考相关书籍都趋于零或无穷大则极限 下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的 定理――柯西中值定理 柯西中值定理 如果函数 (a，b)内可导，且 ， 在闭区间[a，b]上连续，在开区间 把式子可能存在，也可能不存在，我们就称为未定式。分别记为型我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用&商 的极限等于极限的商&这个法则来求解的，那么我们该如何求≠0，那末在(a，b)内至少有一点 c， 这类问题的极限呢？ 下面我们来学习罗彼塔(L'Hospital)法则，它就是这个问使 例题：证明方程 个实根成立。 题的答案 在 0 与 1 之间至少有一 注：它是根据柯西中值定理推出来的。 罗彼塔(L'Hospital)法则 证明：不难发现方程左端 的导数： 大，在点 a 的某个去心邻域内(或当│x│＞N)时， 函数 在[0，1]上连续，在 ，由罗尔定理 ， 则： = 都存在， ≠0，且 存在 与 是函数 当 x→a(或 x→∞)时，函数 , 都趋于零或无穷(0,1)内可导，且可知，在 0 与 1 之间至少有一点 c，使 即这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法， 也就是：方程 有一个实根 注：它是以前求极限的法则的补充，以前利用法则不好求 在 0 与 1 之间至少 就是所谓的罗彼塔(L'Hospital)法则未定式问题的极限，可利用此法则求解。问题：什么样的式子称作未定式呢？例题：求解答：容易看出此题利用以前所学的法则是不易求解的， 不存在时， 了罗彼塔法则存在的条件破列。 因为它是未定式中的 面所学的法则了。 型求解问题，因此我们就可以利用上 也不存在，此时只是说明函数单调性的判定法函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的 增减性呢？ 例题：求 我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间内 解答：此题为未定式中的 则来求解 型求解问题，利用罗彼塔法 函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在 此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数 的正负来判定函数的增减性. 判定方法： 另外，若遇到 、 、 、 、 等型， 设函数 通常是转化为 型后，在利用法则求解。 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导. ＞0，那末函数 在a)：如果在(a,b)内 [a,b]上单调增加； b)：如果在(a,b)内 [a,b]上单调减少.例题：求 解答： 此题利用以前所学的法则是不好求解的， 它为＜0，那末函数在型，故可先将其转化为型后在求解， 例题：确定函数 的增减区间.解答：容易确定此函数的定义域为(－∞,＋∞)其导数为： 当 x＞0 时， ＋∞)； 当 x＜0 时， 存在，则 存在且二者的极限相同；而并不是 (-∞,0)；，因此可以判出： ＞0，故它的单调增区间为(0,注：罗彼塔法则只是说明：对未定式来说，当＜0，故它的单调减区间为注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的。右侧邻近值时， 则函数＜0， 在 x0 点取极大值。 ＜0，当 x 取 x0函数的极值及其求法情况一：若当 x 取 x0 左侧邻近值时， 在学习函数的极值之前，我们先来看一例子： 设有函数 ，容易知道点 x=1 右侧邻近值时， 则函数 ＞0， 在 x0 点取极小值。及 x=2 是此函数单调区间的分界点，又可知在点 x=1 左侧附 近，函数值是单调增加的，在点 x=1 右侧附近，函数值是单 调减小的.因此存在着点 x=1 的一个邻域,对于这个邻域内,任 何点 x(x=1 除外)， ＜ 均成立，点 x=2 也有类似的注：此判定方法也适用于导数在 x0 点不存在的情况。 用方法一求极值的一般步骤是： a)：求 b)：求 c)：判断 数的极值。 例题：求 解答：先求导数 极值点 ； 的全部的解――驻点； 在驻点两侧的变化规律，即可判断出函情况(在此不多说),为什么这些点有这些性质呢？ 事实上，这就是我们将要学习的内容――函数的极值， 函数极值的定义 设函数 在区间(a,b)内有定义，x0 是(a,b)内一点.若存在着 x0 点的一个邻域，对于这个邻域内任何点 x(x0 点 除外)， 则说 ＜ 是函数 均成立， 的一个极大值； 再求出驻点：当 时，x=-2、1、-4/5 判定函数的极值，如下图所示 除外)， 则说 ＞ 是函数 均成立， 的一个极小值.若存在着 x0 点的一个邻域，对于这个邻域内任何点 x(x0 点函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极 值的点称为极值点。 我们知道了函数极值的定义了，怎样求函数的极值呢？ 学习这个问题之前，我们再来学习一个概念――驻点 凡是使 的 x 点，称为函数 的驻点。 方法二： 设函数 . 设函数 在 x0 点的邻域可导，且 . 则：a)：当 情况一：若当 x 取 x0 左侧邻近值时， ＞0，当 x 取 x0 b)：当 ＞0，函数 在 x0 点取极小值； ＜0，函数 在 x0 点取极大值； 在 x0 点具有二阶导数，且 时判断极值点存在的方法有两种：如下 方法一：c)：当 定.=0，其情形不一定，可由方法一来判解答：在此区间处处可导， ， 故 x=±1，先来求函数的极值 例题：我们仍以例 1 为例，以比较这两种方法的区别。 解答：上面我们已求出了此函数的驻点，下面我们再来再来比较端点与极值点的函数值，取出最大值与最 小值即为所求。求它的二阶导数。因为 ， ，故此时的情形不确定，我们可由方法一 来判定； 。 ＜0，故此点为极大值点； 故函数的最大值为，，，函数的最小值为例题：圆柱形罐头，高度 H 与半径 R 应怎样配，使同样容 ＞0，故此点为极小值点。 积下材料最省？ 解答：由题意可知： 面积 为一常数，函数的最大值、最小值及其应用在工农业生产、工程技术及科学实验中，常会遇到这样一 类问题：在一定条件下，怎样使&产品最多&、&用料最省&、& 成本最低&等。 这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值、最小值 的问题。 怎样求函数的最大值、最小值呢？前面我们已经知道了， 函数的极值是局部的。要求 在[a,b]上的最大值、最小故在 V 不变的条件下，改变 R 使 S 取最小值。值时，可求出开区间(a,b)内全部的极值点，加上端点 的值，从中取得最大值、最小值即为所求。 例题：求函数 最大值、最小值。 ，在区间[-3，3/2]的故：时，用料最省。曲线的凹向与拐点通过前面的学习，我们知道由一阶导数的正负，可以判定 出函数的单调区间与极值，但是还不能进一步研究曲线的性态，为此我们还要了解曲线的凹性。 定义： 对区间 I 的曲线 作切线，如果曲线弧在所有切线连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐 点。 拐定的判定方法 如果 列步骤来判定 (1)：求 ； =0，解出此方程在区间(a,b)内实根； 在 在区间(a,b)内具有二阶导数，我们可按下 的拐点。的下面，则称曲线在区间 I 下凹，如果曲线在切线的上面， 称曲线在区间 I 上凹。 曲线凹向的判定定理 定理一：设函数 在区间(a,b)上可导，它对应曲(2)：令线是向上凹(或向下凹)的充分必要条件是： 导数 减)。 定理二：设函数 在区间(a,b)上可导，并且具有 在区间(a,b)上是单调增(或单调(3)：对于(2)中解出的每一个实根 x0，检查x0 左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相 同，则不是拐点。例题：求曲线的拐点。一阶导数和二阶导数；那末： 解答：由 若在(a,b)内， 对应的曲线是下凹的； 判断 若在(a,b)内， 对应的曲线是上凹的； ＜0，则 在[a,b] 两点皆是曲线的拐点。 在 0，2/3 左、右两侧邻近的符号，可知此 ＞0，则 在[a,b] 令 =0，得 x=0，2/3 ，四.不定积分例题：判断函数 的凹向不定积分的概念解答：我们根据定理二来判定。 原函数的概念 因为 义域(0,+∞)内， ＜0， ，所以在函数 的定 已知函数 f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在函数 F(x)，使得在该区间内的任一点都有 dF'(x)=f(x)dx， 则在该区间内就称函数 F(x)为函数 f(x)的原函数。 拐点的定义 例：sinx 是 cosx 的原函数。故函数所对应的曲线时下凹的。关于原函数的问题 函数 f(x)满足什么条件是， 才保证其原函数一定存在呢？ 这个问题我们以后来解决。若其存在原函数，那末原函数一 共有多少个呢？ 我们可以明显的看出来：若函数 F(x)为函数 f(x)的原函 数， 即：F&(x)=f(x)， 则函数族 F(x)+C(C 为任一个常数）中的任一个函数一定 是 f(x)的原函数，换元法 换元法（一）：设 f(u)具有原函数 F(u)，u=g(x)可导，那 末 F[g(x)]是 f[g(x)]g'(x)的原函数. 即有换元公 式: 例题：求 解答：这个积分在基本积分表中是查不到的，故我们要利 用换元法。 设 u=2x，那末 cos2x=cosu，du=2dx，因此：换元法（二）：设 x=g(t)是单调的，可导的函数，并且 故：若函数 f(x)有原函数，那末其原函数为无穷多个. 不定积分的概念 函数 f(x)的全体原函数叫做函数 f(x)的不定积分， 记作 。 式: 例题：求 解答：这个积分的困难在于有根式，但是我们可以利用三 角公式来换元. F(x)+C. 即: 例题：求： . =F(x)+C 设 x=asint(-π /2&t&π /2)，那末 ，dx=acostdt,于是有： g'(t)≠0，又设 f[g(t)]g'(t)具有原函数 φ (t)， 则 φ [g(x)]是 f(x)的原函数.(其中 g(x) 是 x=g(t)的反函数） 即有换元公由上面的定义我们可以知道：如果函数 F(x)为函数 f(x) 的一个原函数，那末 f(x)的不定积分 就是函数族解答：由于 不定积分的性质，故=关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法则的基础上得来 的，我们应根据具体实例来选择所用的方法，求不定积分不 象求导那样有规则可依，因此要想熟练的求出某函数的不定 积分，只有作大量的练习。 分部积分法 这种方法是利用两个函数乘积的求导法则得来的。 设函数 u=u(x)及 v=v(x)具有连续导数.我们知道，两个函 数乘积的求导公式为： (uv)'=u'v+uv'，移项，得 uv'=(uv)'-u'v，对其两边求不定 积分得：1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和； 即： 2、求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到 积分号外面来， 即：求不定积分的方法， 这就是分部积分公式例题：求 解答：这个积分用换元法不易得出结果，我们来利用分部 积分法。 设 u=x，dv=cosxdx，那末 du=dx，v=sinx，代 入分部积分公式得：例题：求 解答： 关于三角函数的有理式的积分的问题 任何三角函数都可用正弦与余弦函数表出，故变量代换 u=tan(x/2)对三角函数的有理式的积分应用，在此我关于分部积分法的问题 在使用分部积分法时，应恰当的选取 u 和 dv，否则就会南 辕北辙。选取 u 和 dv 一般要考虑两点： (1)v 要容易求得； (2) 容易积出。们不再举例。 简单无理函数的积分举例例题：求 解答：设 分为： ，于是 x=u +1，dx=2udu，从而所求积2几种特殊类型函数的积分举例有理函数的积分举例 有理函数是指两个多项式的商所表示的函数，当分子的最 高项的次数大于分母最高项的次数时称之为假分式， 反之为真分式。 在求有理函数的不定积分时，若有理函数为假分式应先利 用多项式的除法，把一个假分式化成一个多项式和一个真分 式之和的形式，然后再求之。 我们先来看一个实际问题―――求曲边梯形的面积。 设曲边梯形是有连续曲线 y=f(x)、x 轴与直线 x=a、x=b 所 围成。如下图所示：五.定积分及其应用定积分的概念例题：求 解答： 现在计算它的面积 A.我们知道矩形面积的求法，但是此图 形有一边是一条曲线，该如何求呢？ 我们知道曲边梯形在底边上各点处的高 f(x)在区间[a,b] 上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间 的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时， 关于有理函数积分的问题 有理函数积分的具体方法请大家参照有关书籍，请谅。 三角函数的有理式的积分举例 三角函数的有理式是指由三角函数和常数经过有限次四 则运算所构成的函数。 高的变化也无限减小。因此，如果把区间[a,b]分成许多小区 间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个 小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式， 即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边 梯形的近似值。 显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精 确值。为此我们产生了定积分的概念。定积分的概念 设函数 f(x)在[a,b]上有界， 在[a,b]中任意插入若干个分 点 a=x0&x1& &xn-1&xn=b 把区间[a,b]分成 n 个小区间 [x0，x1]， [xn-1,xn], 在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξ i(xi-1≤ξ i≤xi),作 函数值 f(ξ i)与小区间长度的乘积 f(ξ i)△xi， 并作出和 ， 存在。... ...微积分积分公式积分上限的函数及其导数 设函数 f(x)在区间[a,b]上连续，并且设 x 为[a,b]上的一 点.现在我们来考察 f(x)在部分区间[a,x]上的定积分 ,我们知道 f(x)在[a,x]上仍旧连续，因此此定积分 如果上限 x 在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函 数，记作 φ (x): 注意：为了明确起见，我们改换了积分变量（定积分与积如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点 ξ i 怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和 S 总趋于确定的 极限 I， 这时我们称这个极限 I 为函数 f(x)在区间[a,b]上的定积 分， 记作 即： 关于定积分的问题 我们有了定积分的概念了，那么函数 f(x)满足什么条件时 才可积？ 定理 （1） ： 设 f(x)在区间[a,b]上连续， 则 f(x)在区间[a,b] 上可积。 （2）：设 f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间 断点，则 f(x)在区间[a,b]上可积。 定积分的性质 性质(1)：函数的和(差)得定积分等于它们的定积分的和 (差）. 。分变量的记法无关） 定理(1)：如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限 的函数 在[a,b]上具有导数， 并且它的导数是 （a≤x≤b) (2)：如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续，则函数 就是 f(x)在[a,b]上的一个原函数。 注意：定理（2）即肯定了连续函数的原函数是存在的，又 初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。 牛顿--莱布尼兹公式即： 性质(2)：被积函数的常数因子可以提到积分号外面. 即： 性质(3)：如果在区间[a,b]上，f(x)≤g(x)，则 注意：此公式被称为牛顿-莱布尼兹公式，它进一步揭示了 ≤ （a&b) 性质(4)：设 M 及 m 分别是函数 f(x)在区间[a,b]上的最大 值及最小值，则 m(b-a)≤ ≤M(b-a) 定积分与原函数(不定积分）之间的联系。 它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于 它的任一个原函数再去见[a,b]上的增量。因此它就 给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。 例题：求 解答：我们由牛顿-莱布尼兹公式得： 定理(3)：如果函数 F(x)是连续函数 f(x)在区间[a,b]上的 一个原函数，则性质(5)：如果 f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间 [a,b]上至少存在一点 ξ ，使下式成立： =f(ξ )(b-a) 注：此性质就是定积分中值定理。上式即为定积分的分部积分公式。 例题：计算 注意：通常也把牛顿--莱布尼兹公式称作微积分基本公式。 解答：设 ，且当 x=0 时，t=0；当定积分的换元法与分部积分法x=1 时，t=1.由前面的换元公式得： 再用分部积分公式计算上式的右端的积分。设 定积分的换元法 我们知道求定积分可以转化为求原函数的增量，在前面我 们又知道用换元法可以求出一些函数的原函数。因此，在一 定条件下，可以用换元法来计算定积分。 定理：设函数 f(x)在区间[a,b]上连续；函数 g(t)在区间 [m,n]上是单值的且有连续导数；当 t 在区间[m,n]上变化时， x=g(t)的值在[a,b]上变化，且 g(m)=a,g(n)=b；则有定积分 的换元公式: 在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间，或 者被积函数在积分区间上具有无穷间断点的积分，它们已不 属于前面我们所学习的定积分了。为此我们对定积分加以推 例题:计算 解答:设 x=asint,则 dx=acostdt,且当 x=0 时，t=0；当 x=a 时，t=π /2.于是： 广，也就是―――广义积分。 一：积分区间为无穷区间的广义积分 设函数 f(x)在区间[a,+∞)上连续，取 b&a.如果极限 存在， 则此极限叫做函数 f(x)在无穷区间[a,+∞）上的广义积 分， 记作： 即： = 计算不定积分有分部积分法，相应地，计算定积分也有分 部积分法。 此时也就是说广义积分 收敛。如果上述即先不 发散， 此时虽然用同样的记号， . ， 故： u=t,dv=e dt,则 du=dt,v=e .于是：t t广义积分注意：在使用定积分的换元法时，当积分变量变换时，积 分的上下限也要作相应的变换。 定积分的分部积分法设 u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续导数 u'(x)、v'(x)， 存在， 则说广义积分 则有(uv)'=u'v+uv',分别求此等式两端在[a,b]上的定积分， 但它已不表示数值了。 并移向得：类似地，设函数 f(x)在区间(-∞，b]上连续，取 a&b.如果极限 存在， 则此极限叫做函数 f(x)在无穷区间(-∞，b]上的广义积 分， 记作： 即： = . 此时也就是说广义积分 存在，就说广义积分 如果广义积分 和 收敛。如果上述极限不 ， = ， 这时也说广义积分 就说广义积分仍然记作： 即：.收敛.如果上述极限不存在， 发散。 .取类似地，设 f(x)在[a,b)上连续，而 ε &0，如果极限存在， 发散。 则定义 都收敛，则称上述两 = ； 否则就说广义积分 记作： 即： 敛， = 上述广义积分统称积分区间为无穷的广义积分。 + 例题：计算广义积分 否则就说广义积分 解答： 例题：计算广义积分 (a&0) 发散。 . 则定义： = ， 发散。广义积分之和为函数 f(x)在无穷区间(-∞,+∞)上的广义积 分，又，设 f(x)在[a,b]上除点 c(a&c&b)外连续，而 .如果两个广义积分 和 都收解答：因为 二：积分区间有无穷间断点的广义积分，所以 x=a 为被积函数的无穷间断点，于是我们有上面所学得公式可得： 设函数 f(x)在(a,b]上连续，而 如果极限 存在，则 极限叫做函数 f(x)在(a,b]上的广义积分， .取 ε &0，六.空间解析几何空间直角坐标系空间点的直角坐标系 为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与 有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来 实现。 过定点 O，作三条互相垂直的数轴，它们都以 O 为原点且 一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做 x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把 x 轴和 y 轴配置 在水平面上，而 z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手 规则，即以右手握住 z 轴，当右手的四指从正向 x 轴以 π /2 角度转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是 z 轴的正向，这样 的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点 O 叫做坐标 原点。（如下图所示） 坐标为 x,y,z 的点 M 通常记为 M(x,y,z). 这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点 M 和 有序数组 x,y,z 之间的一一对应关系。 注意： 坐标面上和坐标轴上的点， 其坐标各有一定的特征. 例：如果点 M 在 yOz 平面上，则 x=0；同样，zOx 面上的 点，y=0；如果点 M 在 x 轴上，则 y=z=0；如果 M 是原点， 则 x=y=z=0，等。 空间两点间的距离 设 M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，为了用两点的坐 标来表达它们间的距离 d 我们有公式：例题： 证明以 A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角 形△ABC 是一等腰三角形. 解答：由两点间距离公式得： 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的 三个平面统称坐标面。 取定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间的点与有序 数组之间的对应关系。 例：设点 M 为空间一已知点.我们过点 M 作三个平面分别 垂直于 x 轴、y 轴、z 轴，它们与 x 轴、y 轴、z 轴的交点依 次为 P、Q、R，这三点在 x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为 x、y、 z.于是空间的一点 M 就唯一的确定了一个有序数组 x,y,z.这 组数 x,y,z 就叫做点 M 的坐标，并依次称 x,y 和 z 为点 M 的 横坐标，纵坐标和竖坐标。(如下图所示） 解析几何中除了两点间的距离外，还有一个最基本的问题 就是如何确定有向线段的或有向直线的方向。 方向角与方向余弦 由于 ，所以△ABC 是一等腰三角形方向余弦与方向数设有空间两点， 若以 P1 为始点，只需要确定一条空间直线的方位(一条直线的两个方向均确 定着同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知另一点 P2 为终点的线段称为有向线段.记作 作一与其平行且同向的有向线段 .将.通过原点 与 Ox,Oy,Oz 三道与方向余弦成比例的三个数就可以了。这三个与方向余弦 成比例且不全为零的数 A，B，C 称为空间直线的方向数，记 作：{A，B，C}.即：个坐标轴正向夹角分别记作 α ,β ,γ .这三个角 α ,β ,γ 称 为有向线段 的方向角.其中0≤α ≤π ,0≤β ≤π ,0≤γ ≤π . 关于方向角的问题 若有向线段的方向确定了，则其方向角也是唯一确定的。 ， 方向角的余弦 应的有向线段的方向余弦。 设有空间两点 可表示为： ，则其方向余弦 称为有向线段 或相 ， 其中：根式取正负号分别得到两组方向余弦，它们代表两 个相反的方向。 关于方向数的问题 空间任意两点坐标之差就是联结此两点直线的一组方向 数。 两直线的夹角 设 L1 与 L2 是空间的任意两条直线，它们可能相交，也可 能不相交.通过原点 O 作平行与两条直线的线段 线段 的夹角称为此两直线 L1 与 L2 的夹角. .则 据此我们可得到方向余弦与方向数的转换公式：若知道 L1 与 L2 的方向余弦则有公式为： 从上面的公式我们可以得到方向余弦之间的一个基本关 系式： 其中：θ 为两直线的夹角。 若知道 L1 与 L2 的方向数则有公式为： 注意：从原点出发的任一单位的有向线段的方向余弦就是 其端点坐标。 方向数 方向余弦可以用来确定空间有向直线的方向，但是，如果 两直线平行、垂直的条件两直线平行的充分必要条件为：平行于 x 轴的平面方程的一般形式为： By+Cz+D=0.两直线垂直的充分必要条件为：平行于 y 轴的平面方程的一般形式为： Ax+Cz+D=0. 平行于 z 轴的平面方程的一般形式为：平面与空间直线3、通过坐标轴Ax+By+D=0.通过 x 轴的平面方程的一般形式为： 平面及其方程 By+Cz=0. 我们把与一平面垂直的任一直线称为此平面的法线。 通过 y 轴和 z 轴的平面方程的一般形式为： 设给定点为 Po(x0,y0,z0),给定法线 n 的一组方向数为 {A,B,C}A +B +C ≠0，则过此定点且以 n 为法线的平面方程可 4、垂直于坐标轴 表示为： 垂直于 x、y、z 轴的平面方程的一般形式为： Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0. 直线及其方程 注意：此种形式的方程称为平面方程的点法式。 例题： 设直线 L 的方向数为{3， -4， 8}， 求通过点(2,1,-4) 且垂直于直线 L 的平面方程. 解答：应用上面的公式得所求的平面方程为： 任一给定的直线都有着确定的方位.但是,具有某一确定 方位的直线可以有无穷多条,它们相互平行.如果要求直线再 通过某一定点,则直线便被唯一确定，因而此直线的方程就可 由通过它的方向数和定点的坐标表示出来。 设已知直线 L 的方向数为{l,m,n}，又知 L 上一点 即 我们把形式为： Ax+By+Cz+D=0. 称为平面方程的一般式。其中 x,y,z 的系数 A，B，C 是平 面的法线的一组方向数。 几种特殊位置平面的方程 1、通过原点 其平面方程的一般形式为： Ax+By+Cz=0. 2、平行于坐标轴 这就是直线方程的一般式。 平面、直线间的平行垂直关系 上式就是直线 L 的方程，这种方程的形式被称为直线方程 的对称式。 直线方程也有一般式，它是有两个平面方程联立得到的， 如下： Po(x0,y0,z0),则直线 L 的方程可表示为：2 2 2Ax+Cz=0，Ax+By=0.对于一个给定的平面，它的法线也就可以知道了。因此平 面间的平行与垂直关系，也就转化为直线间的平行与垂直关 系。平面与直线间的平行与垂直关系，也就是平面的法线与 直线的平行与垂直关系。 总的来说，平面、直线间的垂直与平行关系，最终都转化便是它们的交线方程。 两类常见的曲面 1、柱面 设有动直线 L 沿一给定的曲线 C 移动，移动时始终与给定 的直线 M 平行，这样由动直线 L 所形成的曲面称为柱面，动为直线与直线的平行与垂直关系。在此我们就不列举例题了。 直线 L 称为柱面的母线，定曲线 C 称为柱面的准线。曲面与空间曲线2、旋转面 设有一条平面曲线 C，绕着同一平面内的一条直线 L 旋转 一周，这样由 C 旋转所形成的曲面称为旋转面，曲线 C 称为曲面的方程 我们知道，在平面解析几何中可把曲线看成是动点的轨 迹.因此，在空间中曲面可看成是一个动点或一条动曲线(直 线)按一定的条件或规律运动而产生的轨迹。 设曲面上动点 P 的坐标为(x,y,z)，由这一条件或规律就 能导出一个含有变量 x,y,z 的方程：旋转面的母线，直线 L 称为旋转面的轴。 下面我们再列举出几种常见的二次曲面二次曲面的名称 椭球面 单叶双曲面 双叶双曲面二次曲面的方程如果此方程当且仅当 P 为曲面上的点时，才为 P 点的坐标 所满足。那末我们就用这个方程表示曲面，并称这个方程为 曲面的方程，把这个曲面称为方程的图形。 空间曲线的方程 我们知道，空间直线可看成两平面的交线，因而它的方程 可用此两相交平面的方程的联立方程组来表示，这就是直线 方程的一般式。 一般地，空间曲线也可以象空间直线那样看成是两个曲面 的交线，因而空间曲线的方程就可由此两相交曲面方程的联 立方程组来表示。 设有两个相交曲面，它们的方程是，那末联立方程组： ，椭圆抛物面 双曲抛物面七.多元函数的微积分多元函数的概念我们前面所学的函数的自变量的个数都是一个， 但是在实际 问题中，所涉及的函数的自变量的个数往往是两个，或者更 多。例：一个圆柱体的体积 关。`与两个独立变量 r,h 有我们先以二个独立的变量为基础，来给出二元函数的定义。 二元函数的定义设有两个独立的变量 x 与 y 在其给定的变域中 D 中，任取 一组数值时，第三个变量 z 就以某一确定的法则有唯一确定 的值与其对应，那末变量 z 称为变量 x 与 y 的二元函数。 记作：z=f(x,y). 其中 x 与 y 称为自变量，函数 z 也叫 做因变量，自变量 x 与 y 的变域 D 称为函数的定义域。 关于二元函数的定义域的问题 我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间. 二元函数的定义域通常是由平面上一条或几段光滑曲线所围 成的连通的部分平面.这样的部分在平面称为区域.围成区域 的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界 在内的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域。 如果一个区域 D(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不 超过某一常数 M，则称 D 为有界区域；否则称 D 为无界区域。 常见的区域有矩形域和圆形域。如下图所示：二元函数的极限及其连续性在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函 数的极限。对于二元函数 z=f(x,y)我们同样可以学习当自变 量 x 与 y 趋向于有限值 ξ 与 η 时，函数 z 的变化状态。 在平面 xOy 上，(x,y)趋向(ξ ,η )的方式可以时多种多样 的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果当点 (x,y)以任意方式趋向点(ξ ,η )时，f(x,y)总是趋向于一个 确定的常数 A， 那末就称 A 是二元函数 f(x,y)当(x,y)→(ξ ,η )时的极 限。 这种极限通常称为二重极限。 下面我们用 ε -δ 语言给出二重极限的严格定义： 二重极限的定义 如果定义于(ξ ,η )的某一去心邻域的一个二元函数 f(x,y)跟一个确定的常数 A 有如下关系：对于任意给定的正 数 ε ，无论怎样小，相应的必有另一个正数 δ ，凡是满足的一切(x,y)都使不等式 例题：求 的定义域. 成立， 解答：该函数的定义域为：x≥ 二元函数的几何表示 把自变量 x、y 及因变量 z 当作空间点的直角坐标，先在 xOy 平面内作出函数 z=f(x,y)的定义域 D； 再过 D 域中得任一 点 M(x,y)作垂直于 xOy 平面的有向线段 MP,使其值为与(x,y) 对应的函数值 z； 当 M 点在 D 中变动时，对应的 P 点的轨迹就是函数 z=f(x,y)的几何图形.它通常是一张曲面， 其定义域 D 就是此曲面在 xOy 平面上的投影。 ,y≥0. 那末常数 A 称为函数 f(x,y)当(x,y)→(ξ ,η )时的二重极 限。 正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法 则： 二重极限的运算法则 如果当（x,y)→(ξ ,η )时，f(x,y)→A，g(x,y)→B. 那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B； (2)：f(x,y) g(x,y)→A B； (3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中 B≠0. .像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数 连续的定义： 二元函数的连续性 如果当点(x,y)趋向点(x0,y0)时， 函数 f(x,y)的二重极限等 于 f(x,y)在点(x0,y0)处的函数值 f(x0,y0)，那末称函数 f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果 f(x,y)在区域 D 的每一点都 连续，那末称它在区域 D 连续。设有二元函数 z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域 D 内一点. 把 y 固定在 y0 而让 x 在 x0 有增量△x，相应地函数 z=f(x,y)有增量(称为对 x 的偏增量) △xz=f(x0+△x)-f(x0,y0). 如果△xz 与△x 之比当△x→0 时的极限存在， 如果函数 z=f(x,y)在(x0,y0)不满足连续的定义，那末我们 就称(x0,y0)是 f(x,y)的一个间断点。 关于二元函数间断的问题 二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元 函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有 间断线。 二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数 仍是连续函数。 记作：f'x(x0,y0)或 关于对 x 的偏导数的问题 函数 z=f(x,y)在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0 看成常数后，一元函数 z=f(x,y0)在 x0 处的导数 同样，把 x 固定在 x0,让 y 有增量△y,如果极限 那末此极限值称为函数 z=f(x,y)在(x0,y0)处对 x 的偏导 数。例题：求下面函数的间断线 在， 解答：x=0 与 y=0 都是函数 的间断线。存那末此极限称为函数 z=(x,y)在(x0,y0)处对 y 的偏导数.偏导数偏导数的求法 在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对 于二元函数我们同样要研究它的&变化率&。然而，由于自变 量多了一个，情况就要复杂的多.在 xOy 平面内，当变点由 (x0,y0)沿不同方向变化时，函数 f(x,y)的变化快慢一般说来 时不同的，因此就需要研究 f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向 的变化率。 在这里我们只学习(x,y)沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两 个特殊方位变动时 f(x,y)的变化率。 偏导数的定义记作 f'y(x0,y0)或当函数 z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0)与 f'y(x0,y0)都存在时， 我们称 f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y)在域 D 的每一点均可导， 那末称函数 f(x,y)在域 D 可导。 此时，对应于域 D 的每一点(x,y)，必有一个对 x(对 y)的 偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数， 称为 f(x,y)对 x(对 y)的偏导函数。简称偏导数。 例题：求 z=x siny 的偏导数2解答：把 y 看作常量对 x 求导数，得我们已经学习了一元函数的微分的概念了，现在我们用类 似的思想方法来学习多元函数的的全增量，从而把