第二类曲线积分分，如图例9:最后一步划线的地方是平面在第四象限的面积？那几个数具体是怎么算的？谢谢

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-08-26 03:15 标签： 曲线积分

第二十章 曲线积分 教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。 教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。 教学时数：10学时 § 1 第一型曲线积分 一. 第一型线积分的定义: 1.????????? 几何体的质量: 已知密度函数 , 分析线段的质量 2.????????? 曲线的质量: 设 是半圆周 , . . P200例1 例2 设 是曲线 上从点 到点 的一段. 计算第一型曲线积分 . P200例2? 空间曲线 上的第一型曲线积分: 设空间曲线 ,. 函数 连续可导, 则对 上的连续函数 , 有 . 例3???????? 计算积分 , 其中 是球面 被平面 截得的圆周 . P201例3 解 由对称性知 , , = . ( 注意 是大圆 ) § 2 第二型曲线积分 一.??????????? 第二型曲线积分的定义: 1.??????力场沿平面曲线从点A到点B所作的功: 先用微元法 , 再用定义积分的方法讨论这一问题 , 得 , 即 . 2. 稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ). 设有流速场 . 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E . 设曲线AB上点 处的切向量为 , ( 是切向量方向与X轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段上的流量 . , 因此 , . 由 , 得 . 于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为 . 3. 第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法. 按这一定义 , 有 力场 沿平面曲线 从点A到点B所作的功为 . 流速场 在单位时间内通过曲线AB从左侧到　 右侧的总流量E为 .　 第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有,因此,定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例. 可类似地考虑空间力场 沿空间曲线AB所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分 .? 4. 第二型曲线积分的性质: 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关于函数或积 分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.? 二. 第二型曲线积分的计算: 曲线的自然方向: 设曲线L由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向. 设L为光滑或按段光滑曲线 , L : . A , B ; 函数 和 在L上连续, 则沿L的自然方向( 即从点A到点B的方向)有 . (证略) 例1 计算积分 , L的两个端点为A( 1, 1 ) ,

2。公式成立的条件 根据Gauss 公式，用三重积分来计算曲面积分 是比较方便的，但Gauss 公式同时也说明，可用 曲面积分来计算三重积分 例1 解 二、简单的应用 (利用柱面坐标得) 解 空间曲面在 面上的投影域为 曲面?不是封闭曲面, 为利用高斯公式 故所求积分为 注 ① 应用Gauss 公式计算曲面积分时，要求 曲面必须是封闭曲面，若不封闭，则需要添加 一辅助曲面使其封闭，而在所添加的曲面上， 曲面积分应是容易计算的，用Gauss 公式计算 三重积分，最后减去所补曲面上的积分值，往往 可使计算简化 ② Gauss 公式要求曲面取外侧这一点也不容 忽视，尤其是对非封闭曲面的曲面积分，所添加的辅助曲面的侧一定要和所给曲面的侧相容，若不满足外侧的要求，可利用反向性予以调整 （相差一个负号） ③可以证明在特殊情况下， Gauss 公式就是 公式得 而曲顶柱体的体积（用柱坐标） 或用先重后单法 三、沿任意闭曲面的曲面积分 为零的条件 对空间区域 G , 若 G 内任一闭曲面 所围成的区域全属于G ，则称G 为空间二维单连域 与沿任意闭曲线的曲线积分为零的问题相类似 有下述结论 定理 设G 是空间二维单连域 , P, Q ,R 在G内具有 连续的一阶偏导数，则曲面积分 沿G内任意闭曲面的曲面积分为零的充要条件是 在G内除点M0 （x0 , y 0, z0 ) 外连续 称为奇点 则G内任意包含M0 的同侧闭曲面的曲面积分相等 四、物理意义----通量与散度 1. 通量的定义: 2. 散度的定义: 存在条件: 组合形式: 物理意义: 性质: 由定义可知对坐标的曲面积分具有与 对坐标的曲线积分相类似的性质 1。 可加性 2 。 反向性 四、对坐标的曲面积分的计算法 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. 这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式 概括为： 代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数 投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy） 中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面） 定号： 由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号 一代、二投、三定号 注 积分曲面的方程必须表示为单值显函数 否则分片计算，结果相加 ②确定正负号的原则： 曲面取上侧、前侧、右侧时为正 曲面取下侧、后侧、左侧时为负 例1 计算 所截得的在第一卦限的部分的前侧 解 解 例2 例3 计算 平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 所围成的 空间区域的整个边界曲面的外侧 o x y z 解 分成四个部分 左侧 下侧 后侧 上侧 同理 同理 注 对坐标的曲面积分的对称性 被积表达式具有轮换对称性，即将被积 表达式中的所有字母按 x y z 顺序代换后原式不变 积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面 在各坐标面上的投影区域均相同，且配给 的符号也相同 五、两类曲面积分之间的联系 两类曲面积分之间的联系 向量形式 例4 解 注 此例的解法具有普遍性 六、小结 1、物理意义 2、计算时应注意以下两点 曲面的侧 “一投,二代,三定号” 思考题 思考题解答 此时 的左侧为负侧， 而 的左侧为正侧. 练 习 题 练习题答案 Gauss 公式 前面我们将 Newton-Lebniz 公式推广到了平面 区域的情况，得到了Green 公式。此公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。下面我们再把Green 公式做进一步推广，这就是下面将要介绍的Gauss 公式，Gauss 公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，同时Gauss 公式也是计算曲面积分的一有效方法。 一、 Gauss 公式 定理 o x y z 证明 首先假设穿过 内部且平行于坐标轴的直线与 的边界曲

内容提示：大学数学习题册微积分习题及答案 第10章_习题_曲线积分与曲面积分

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