1.设有一个面薄板(不计其厚度)占有xOy面上的闭区域D,薄板上分布有面密度为 (x,y)的电荷且 (x,y)在D上连续,试用二重积分表达该板上的全部电荷Q.
解用一组曲线将D分成n个小闭區域 i其面积也记为 i(i 1,2, ,n).任取一点
( i, i) i,则 i上分布的电量 Q ( i, i) i.通过求和、取极限,便得到该板上的全部电荷为
由二重积分的几何意义知I1表示底为D1、顶为曲面z (x2 y2)3的曲顶柱体 1的
体积;I2表示底为D2、顶为曲面z (x2 y2)3的曲顶柱体 2的体积.由于位于D1上方的曲面z (x2 y2)3关于yOz面和zOx面均对称,故yOz面和zOx面将 1分成四个等积的部汾其中位于第一卦限的部分即为 2.由此可知I1 4I2.
(其中 为D的面积);
,D1、D2为两个无公共
证(1)由于被积函数f(x,y) 1故由二重积分定义得
(3)因为函数f(x,y)在闭区域D上可积,故不论把D怎样分割积分和的极限总是不