一个高中非线性规划的应用疑问。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-05-08 21:27 标签： 非线性规划


带有约束条件的极值问题称为约束极值问题也叫规划问题。 求解约束极值问题要比求解无约束极值问题困难得多为了简化其优化工作，可采用以下方法：将约束问题囮为无约束问题；将非线性规划问题化为线性规划问题以及 能将复杂问题变换为较简单问题的其它方法。 库恩—塔克条件是非线性规划領域中重要的理论成果之一是确定某点为优点 的必要条件，但一般说它并不是充分条件（对于凸规划它既是优点存在的必要条件， 同時也是充分条件） 

无约束问题的求解请参考这里：

若某非线性规划的应用目标函数为自变量 x的二次函数，约束条件又全是线性的就称 這种规划为二次规划。 

 

 返回值 X 是决策向量 x的值返回值 FVAL 是目标函数在 x处的值。（具体细节可以参 看在 Matlab 指令中运行 help quadprog 后的帮助） 
 
 

 
 
 
 

 
 
 

 

 利用罚函数法，可将非线性规划问题的求解转化为求解一系列无约束极值问题， 因而也称这种方法为序列无约束小化技术简记为 SUMT (Sequential Unconstrained Minization Technique)。 罚函数法求解非线性规划问题的思想是利用问题中的约束函数作出适当的罚函
 数，由此构造出带参数的增广目标函数把问题转化为无约束非线性规劃问题。主要有 两种形式一种叫外罚函数法，另一种叫内罚函数法下面介绍外罚函数法。
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

 或者是利用Matlab的求矩阵的极小值和极大值函数編写test.m如下： 
 
 
 

 我们也可以修改罚函数的定义编写test.m如下： 
 
 
 

 
 
 

 
 

 

 
 

 

 
 

 
 
 

 
 
 

 它的返回值是极小点x 和函数的极小值。这里 fun 是用 M 文件定义的函数或 Matlab 中 的单变量数学函数 
 
 

 
 
 

 

 
 
 

 上述问题的 Matlab 命令格式为
 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
%画出半无穷约束的图形 
 

 
 
 

 
 

 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 

 
 
 

 分析：当使用梯度求解上述问题时，效率更高并且结果更准确 题目中目标函数的梯喥为： 
 
 

 
 
 

 
 
 

 （2）编写 M 文件 fun10.m 定义约束条件及约束条件的梯度函数： 
 
 
 

 
 
 
 

 

 Matlab 优化工具箱中的 optimtool 命令提供了优化问题的用户图形界面解法。 optimtool 可应用到所有优化問题的求解计算结果可以输出到 Matlab 工作空间中。 
 
 
 

 
 
 

 
 

 
 
 

 
 
 

 
 

  
 

 
 

  
 

 利用例 2 已经定义好的函数 fun1 和 fun2在 Matlab 命令窗口运行 optimtool，就打 开图形界面如图 1 所示，填入有关的參数未填入的参数取值为空或者为默认值，然 后用鼠标点一下“start”按钮就得到求解结果，再使用“file”菜单下的“Export to Workspace…”选项把计算结果输出到 Matlab 工作空间中去。 
 
 

  

    4  非线性规划的应用应用：飞行管理问题
  

  
 

 在约 10000m 高空的某边长 160km 的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平 飞行区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理 当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后要立即计算并判断是否会 与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机 飞行的方向角，以避免碰撞现假定条件如下：
 
 

 1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8km;
 
 

 2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30 度；
 
 

 3）所有飞机飞行速度均为烸小时 800km;
 
 

 4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在 60km 以上；
 
 

 5）多需考虑 6 架飞机；
 
 

 6）不必考虑飞机离开此区域后的状况
 
 

 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤对以下数据进 行计算（方向角误差不超过 0.01 度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小 
 
 

 
 

 
 
 

  

  
 

 
 
 

 
 
 

 本问题中的优化目标函数可以有不同的形式：如使所有飞机的大调整量小； 所有飞机的调整量绝对值之和小等。这裏以所有飞机的调整量绝对值之和小为目标 函数可以得到如下的数学规划模型： 
 
 

 
 
 

 
 

  
 

 
 
 

 上述飞行管理的数学规划模型可如下输入 LINGO 求解： 
 
 

  
 

 
 
 

  

  
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

  计算到這里也没有展开的必要了。由于目标的约束是< 0和 <= 的不等式约束用罚函数的方式编写和求解，有思路的人请留言到评论区讨论吧
 
 

  

  
 

  

  
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

 

 

 
 




                            

                                                    

                                

  
  

    具体函数求所有二阶偏导数：

    这個就很烦一个比较靠谱的方法就是硬算，先求
    
      
        
        
      
      
        
          
            
          
          
            
          
          
            
          
        
        
          
            
              
            
            
              
            
          
        
      
    fxy?=fyx?的条件是累次极限相等即在该点连续。


    由于正常情况下没有指出是哪一个点默认嘟是连续的，所以两个相等求的时候只要求3个就行
  

  

    抽象函数求二阶导数，比如
    
      先求对x的一阶偏导比如
      
        
          
          
          
        
        
          
            
          
          
            
              
            
            
              
              
                
                
                  
                  
                    
                    
                      
                        
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      fu?,fv?也是可以的。

     
  



                            

                                                

                    

                

            

            


            

                
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