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江苏省苏北三市2018届高三第三次模拟考试数学试题
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学年江苏省苏北三市（连云港、徐州、宿迁）高三数学下第三次模拟考试试题
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在 答题卡相应位置上． 1. 已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为____．
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连云港市学年度高三第三次调研考试数学Ⅰ参考公式：锥体的体积公式：，其中是锥体的底面面积，是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合A={x|x=2k+1，k∈Z}，B={x|0b>0)上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M，N是椭圆C上的两点，且四边形POMN是平行四边形，求点M，N的坐标．18．（本小题满分16分）经市场调查，某商品每吨的价格为x(10)；月需求量为y2万吨，y2=-x2-x+1．当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）若a=，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格．若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．19．（本小题满分16分）已知函数f(x)=，g(x)=ax-2lnx-a（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）求f(x)的极值；（2）若在区间上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g(x1)=g(x2)=f(x0)，求a的取值范围．20．（本小题满分16分）在数列{an}中，已知a1=1，a2=2，an+2=(k∈N*)．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求满足2an+1=an+an+2的正整数n的值；（3）设数列{an}的前n项和为Sn，问是否存在正整数m，n，使得S2n=mS2n-1?若存在，求出所有的正整数(m，n)；若不存在，请说明理由．连云港市学年度高三第三次调研考试数学Ⅱ（附加题）注意事项本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题，共4题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．A．(选修4―1：几何证明选讲)如图，是圆的直径，弦，的延长线相交于点，过作的延长线的垂线，垂足为．求证：．B．(选修4―2：矩阵与变换)已知矩阵，向量，计算．C．(选修4―4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，直线的极坐标方程为（R）．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）．求直线与曲线交点的直角坐标．D．(选修4―5：不等式选讲)已知，R，，（其中e是自然对数的底数），求证：．[必做题]第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．22．（本小题满分10分）已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出的4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若连续摸奖2次，求获奖次数的分布列及数学期望．23．（本小题满分10分）在集合1，2，3，4，…，中，任取（，，N*）元素构成集合．若的所有元素之和为偶数，则称为的偶子集，其个数记为；若的所有元素之和为奇数，则称为的奇子集，其个数记为．令．（1）当时，求，，的值；（2）求．高三第三次调研考试数学参考答案与评分标准一、填空题1．2．3．14．5．36．7．8．9．10．11．12．13．14．二、解答题15．（1）因为，所以．………………2分所以，………………6分在△中，由正弦定理得．………………8分（2）因为，所以．………………10分在△中，由余弦定理，得，解得，………………12分所以．………………14分16．（1）因为直三棱柱，所以底面，因为底面，所以．………………2分又因为为中点，且，所以．又，平面，平面，所以平面．……………4分又因为平面，所以平面平面．……………6分（2）取中点，连结，，，．由于，分别为，的中点，所以且，故且．则四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．……………9分由于分别为，的中点，所以．又，分别为，的中点，所以．则．又平面，平面，所以平面．……………12分由于，所以平面平面．由于平面，所以平面．……………14分自注：1）取中点，连结，，设，则，．2）延长，，设，可证与平行且相等，故．3）设，，可得，，．17．（1）由题意知，，．……………2分解得，，所以椭圆的方程为．……………4分（2）设，，则的中点坐标为，的中点坐标为．因为四边形是平行四边形，所以即………………6分由点，是椭圆的两点，所以………………8分解得或………………12分由得由得所以，点，；或点，．………………14分18．（1）若，由，得．解得．………………3分因为，所以．设该商品的月销售额为，则………………5分当时，．………………7分当时，，则，由，得，所以在上是增函数，在上是减函数，当时，有最大值．……………10分（2）设，因为，所以在区间上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数在区间上有零点，………12分所以即解得．……………15分答：（1）若，商品的每吨价格定为8百元时，月销售额最大；（2）若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，实数的取值范围是．……16分19．（1）因为，所以，………………2分令，得．………………3分当时，，是增函数；当时，，是减函数．所以在时取得极大值，无极小值．………………5分（2）由（1）知，当时，单调递增；当时，单调递减．又因为，，，所以当时，函数的值域为．………………7分当时，在上单调，不合题意；………………8分当时，，，故必须满足，所以．………………10分此时，当变化时，，的变化情况如下：0+单调减最小值单调增所以，，，．所以对任意给定的，在区间上总存在两个不同的，，使得，当且仅当满足下列条件即………………13分令，，，由，得．当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．所以，对任意有，即对任意恒成立．由，解得．综上所述，当时，对于任意给定的，在区间上总存在两个不同的，，使得．……………16分20．（1）由题意，数列的奇数项是以为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以为首项，公比为3的等比数列．………………1分所以对任意正整数，，．所以数列的通项公式N*．………………3分（2）①当为奇数时，由，得，所以，令（），由，可知在上是增函数，所以，所以当且仅当时，满足，即．………………6分②当为偶数时，由得，即，此式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立．综上，满足的正整数的值只有1．………………8分（3），N*．．………………10分假设存在正整数，，使得，则，所以，（*）从而，所以，又N*，所以1，2，3．………………12分①当时，（*）式左边大于0，右边等于0，不成立．②当时，（*）式左边等于0，所以，，所以．……14分③当时，（*）式可化为，则存在，N*，，使得，，且，从而，所以，，所以，，于是，．综上可知，符合条件的正整数对只有两对：，．………………16分附加题答案21A．连接，因为为圆的直径，所以．又，则，，，四点共圆，所以．……………5分连接，则△∽△，所以，即．所以．……………10分B．因为，由，得或．……………3分当时，对应的一个特征向量为；当时，对应的一个特征向量为．设，解得………………6分所以．………………10分C．直线的普通方程为，①………………3分曲线的直角坐标方程为，②………………6分联立①②解方程组得或根据x的范围应舍去故P点的直角坐标为(0，0)．………………10分D．证明：因为，，所以要证，只要证，只要证．（因为）………………4分取函数，因为，所以，当时，，所以函数在上是单调递减．所以，当时，有，即．…………………10分22．（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件，则．…………………4分（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件，则获得一等奖的概率为；获得三等奖的概率为；所以．…………………8分由题意可知的所有可能取值为0，1，2．，，．所以的分布列是所以．…………………10分23．（1）当时，集合为．当时，偶子集有，，奇子集有，，，，；当时，偶子集有，，奇子集有，，，，，，；…………………3分当时，偶子集有，，奇子集有，，，，．…………………4分（2）当为奇数时，偶子集的个数，奇子集的个数，所以，．…………………6分当为偶数时，偶子集的个数，奇子集的个数，所以．…………7分一方面，，所以中的系数为；…………………8分另一方面，，中的系数为，故．综上，………………10分
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江苏省2016届高三三模填空题压轴题总汇.doc 11页
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一、苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟
11.已知点分别是曲线与直线上的动点，则线段长的最小值为
12.已知是同一平面内的三个向量，其中是互相垂直的单位向量，且，则的最大值为
13.已知对满足任意正实数，都有，则实数的取值范围为
14.已知经过点的两个圆都与直线相切，则这两个圆的圆心距等于
二、南京市2016届高三.在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为
．13．设函数f(x)＝g(x)＝f(x)－b．若存在实数b，使得函数g(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围为
(2015·北京理·14)：设函数
①若，则的最小值为
；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是
变题2：(2015·天津理·8)已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是
14．若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为
变题：（2015·盐城南京·一摸）若实数满足，且，则的最小值为
都是正数，且满足，则的最小值是
变题2（苏州市五市三区2013届高三期中考试试题第14题）
已知，则的最小值为
11.已知点分别是曲线与直线上的动点，则线段长的最小值为
解析1：设，点到直线的距离为得，则
因为，所以当，即时，取得最小值为
解析2：不难得到，当直线平移到和曲线相切时，切点到直线的距离中较小的应是的最小值.
令，得，所以切点为或，点到直线的距离分别为和，所以的最小值为
12.已知是同一平面内的三个向量，其中是互相垂直的单位向量，且，则的最大值为
解析1：(坐标化，几何法)
设，则可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆，表示原点到此圆上动点的距离，所以的最大值为
解析2：（借用线性规划知识，几何法）
由解法1得，即
所以，转化为在约束条件下，求的最大值问题，利用规划知识求解（设，当直线与圆相切时，取得最值，下略）.
解析3：（判别式法）
由解法2，设，代入圆方程，消，转化为关于的一元二次方程有实根（下略）.
解析3：（三角换元法）
由解法1得，实施三角换元，
所以的最大值为.
13.已知对满足任意正实数，都有，则实数的取值范围为
解析：由得，解得，恒成立，由得，等价于恒成立
设，则在为增函数，所以，
所以的取值范围为.
14.已知经过点的两个圆都与直线相切，则这两个圆的圆心距等于
解析：设圆心坐标为，由于圆与直线、都相切
根据点到直线距离公式得：，解之得，易知圆心只能在上.
则圆的方程分别为、
将代入得、，
所以方程，即的两根，
二、南京市2016届高三.在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为
．＋－＞．考点：两圆的位置关系判断、轨迹方程、圆上任意一点与圆外一点距离的最小值何时取得等.
13．设函数f(x)＝g(x)＝f(x)－b．若存在实数b，使得函数g(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围为
解析：如右图，对于函数
在处取得极大值，.
所以函数g(x)恰有3个零点，只需函数f(x)的图象与垂直于轴的直线有三个交点，故，且，即.
考点：考察综合运用导数作函数图象的能力、
零点判断、逆向思维能力等.(2015·北京理·14)：设函数
①若，则的最小值为
；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是
【答案】(1)1，(2) 或.
考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想.
变题2：(2015·天津理·8)已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是
（A） （B） （C）（D）
试题分析：由得，
,所以恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.
考点：求函数解析式、函数与方程、数形结合.
14．若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为
解析：因为2x2＋xy－y2=（2x－y）(x+y）， x－2y=（2x－y）－(x+y），5x2－2x
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