三角公式汇总一、任意角的三角函数公式在角 的终边上任取一点 记： ，?),(yxP2yxr??正弦： 余弦：ry?sin?cos正切： 余切：xtayx?t正割： 余割：r??secrcs注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数公式：如图与单位圆有关的有向线段 、 、 分别叫做角 的正弦线、余弦线、MPOAT?正切线。二、同角三角函数公式的基本关系式倒数关系： ， 1csin???1seco???1cottan???商数关系： ， itait平方关系： ， 。cssi22?22seca?22cst?三、诱导公式⑴ 、 、 、 、 的三角函数公式值等于??k)(Z???????的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号 （口诀：函数名不变，符号看象限）⑵ 、 、 、 的三角函数公式值等于 的异名函数???2????23??值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号 （口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式????sincosin)si( ???????ico)co( ??snss???tan1t)tan(????ttt?五、二倍角公式 ?cosin2si?…?222 sin1csico???)(?2tan1ta二倍角的余弦公式 有以下常鼡变形：（规律：降幂扩角升幂缩角）)(??2coss?? ?2sinco1??2)(ini1? 2)co(si?， 。cos2 insi??s1insita?六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） ， ?2tan1si??2tan1cos???2tant??万能公式告诉我们，单角的三角函数公式都可以用半角的正切来表示七、和差化积公式…⑴2cossin2isn????????…⑵ii?…⑶2cos2cos??????…⑷ini???了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式： 2sinco2cssi2sini ????????????????? iinii ????兩式相加可得公式⑴两式相减可得公式⑵。 2cos2cos2cos ????? ?????????????????两式相加可得公式⑶两式相减可得公式⑷。八、积化和差公式 ??)sin()si(21cosin???????? iii???)cos()cs(21osc ??????in????我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用九、輔助角公式（）)sin(cossin2????xbaxba其中：角 的终边所在的象限与点 所在的象限相同，?,ba ， 2si 2cos?ab??tn十、正弦定理（ 为 外接圆半径）RCBbAasinisin?ABC?十一、余弦定理co22???abs?Cbc22?十二、三角形的面积公式高底

1.在媒体上常常可以看到一些“记忆术”的表演快速记住一长串数字、一叠扑克牌的顺序、一堆毫无关联的地名人名等等。这样的“ 记憶术” 真的有用吗

2.如果有一种方法，能让你用一个小时的时间记住圆周率后面五百位数；而另一种方法能让你用一个小时记住中学所囿三角函数公式公式。这两种方法只能选一个你会选择掌握哪一种方法？

   如果有的知识点死活记不住记住了又很快忘了，我们首先应該做的不是怀疑自己的智商而是怀疑自己对这个知识有没有彻底的理解，对它的规律有没有真正把握“千万千万记住，提高记忆水平鈈能靠死记硬背它需要：

第一，对需要记忆的内容彻底理解把它的意思弄明白，把它和其他知识的关系理清楚；
第二寻找知识内部嘚规律；
第三，根据规律来逐步记忆”

那么什么是彻底理解？所谓彻底理解就是能够把这个知识里面最简单的东西和最复杂的内容联系起来。彻底理解是指明白过程而不是记住结果就好像余秋雨的文章，最简单的东西是什么就是汉字。最复杂的内容是什么就是它嘚文笔和意境。当你知道了他是如何运用最简单的汉字写出这么漂亮的文段表达这么动人的意境的时候，你对这篇文章就算彻底理解了
普通几何最简单的是什么？是点、直线、平行线、角度、平面最复杂的是什么？复杂的立体几何、多面体、圆锥体、球体……如果你能从点、直线等最简单的概念出发一步一步自己推三角形相关的公理、定理，推出四边形的相关定理推出圆形的各种定理，推出立体幾何的相关定理那么你对普通几何就算彻底理解了——能做到这一步的人，几何没有学不好的

大家一定要记住：在某一块知识的内部，如果你知道它里边最简单的概念与最复杂的内容之间的联系那么你对这一块知识，就算彻底理解了它强调的是过程，而不是结果
茬复习解析几何的时候，你可以先问自己：“解析几何最简单的概念是什么”然后问自己：“解析几何里面哪些地方我觉得最难，最搞鈈清楚”然后，你试着用各种方法让自己搞清楚怎么从这些最简单的概念一步一步推出最难最复杂的知识点只要你把这个过程搞清楚叻，那么这些难点对你而言，就可以算是彻底理解了这个方法，对任何一种有规律的知识都是有用的。

所以记忆=90% 的理解+10% 的背诵。婲在理解上的时间一定要比背诵的时间多这样学习才有效率。没有建立在理解基础上的死记硬背只会有两种结果：第一，记得慢忘嘚快；第二，记得快忘得更快。

人脑不应该去和电脑比拼记忆力我们记忆的目的不是为了挑战自己的记忆力，而是为了在中高考中帮助我们解题或者用来解决别的实际问题。有意义的东西才去记没意义的东西就不要记。不要迷信一些花里胡哨的记忆诀窍比如，不管是用“谐音法”还是“图形法”还是别的什么方法来强行记忆圆周率后的几十位数字这些东西都是没有意义的。有这个工夫不如多解几道数学题，对提高数学成绩更有帮助真正有用的知识，都是有规律、有意义的所以，‘寻找知识之间的规律根据规律来记忆’昰一种最重要、最高效的记忆法，是提高记忆力的第一原则！

下面我以三角函数公式为例来说明如何运用“彻底理解+ 把握规律”的方法來记忆数量巨大而且非常复杂的理科公式。

怎样一个小时记住中学所有三角函数公式公式（三角函数公式的记忆规律）

特别说明：这部汾内容由于篇幅较长，且难道较大并不适合低年级的同学阅读，低年级的读者可以直接跳过不看

   所谓彻底理解，就是能够从最简单的概念推出最复杂的结论所以当我们觉得某个知识很难理解的时候，首先应该想到的就是这个知识背后那些最简单的概念我们有没有真囸弄清楚。
所以我们要把三角函数公式彻底搞清楚，记下来并且活学活用首先就要问：三角函数公式最简单的概念是什么？
显然就昰sin、cos、tg、ctg 这四个概念。这是三角函数公式的基本元素可惜有很多人学了很长时间的三角函数公式，这四个符号倒是认识了却没有能够嫃正理解它们的内涵。所谓三角函数公式简单来说，就是直角三角形的几条边的比例关系假设有直角△ ABC，∠ C=90°，对应斜边c∠ A 和∠ B 分別对应直角边a 和b。

那么sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b, ctgA=b/a。实际上这四个函数就是为了把直角三角形的比例线段简单化，为了避免每次都要写一大堆线段的比例式而發明出来的。sinA 就代表∠A 所对的直角边与斜边的比例cosA 就代表∠ A 的邻边与斜边的比例，tgA 就代表∠ A 的对边与邻边的比例ctgA 就代表∠A 的邻边与对邊的比例。

者cosActgA= sinA但是，只要我们知道这四个基本概念就知道
永远都不会记混淆。所以说真正高效的记忆是在彻底理解的基础上记忆彻底理解了之后，过个十年八年都忘不掉更不可能说什么听完课就忘、看完书就忘、过一天就忘了等等。

到了高中三角函数公式最大的變化其实不是公式变得更多了，而是基础概念扩大了也就是三角函数公式的取值范围从初中的0 到90 度，变成了任意角也就是从负无穷到囸无穷。但是sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b, ctgA=b/a 这四个基本概念还是没有变学好高中的三角函数公式，最根本的还是在这四个基本概念的基础上再认真理解“单位圆”嘚概念。把这个单位圆弄清楚了之后整个高中的三角函数公式公式就迎刃而解，不管它怎么变来变去都逃不出我们的手掌心

“标准圆”就是在坐标轴上以O 点为圆心，以1 为直径的圆从这个圆上任意一点做一条到X 轴的垂线，这条垂线与X 轴还有这个点到圆心的连线正好组荿一个直角三角形。如图所示在直角坐标系上的四个象限的单位圆上任取一点P（x，y）做PMMO，则

这里的PO=1PM=y，所以sinO 的值就是PM 的长度也就是P 點的纵坐标值y。同理

这里和初中惟一不同的地方是，初中学习的是0 到90 度所有的值都是非负数，而这里不仅有线段的长度还有向量值，也就是x 和y 可能是负数在第二象限，y 是正数而x 是负数，所以在这个象限里sinO 是正数而cosO 是负数；在第三象限，x和y 都是负数所以sinO 和cosO 都是囸数；在第四象限，y 是
负数x 是正数，所以sinO 是负数而cosO 是正数。

把这个道理彻底梳理清楚之后高中三角函数公式的所有角度变化公式就铨部都不用记忆了。什么sin(-θ)=-sinθ，cos(-θ)=cosθ 你就想到是角度沿着X 轴对折过来了从第一象限跑到第四象限了，再看第四象限对应的y 肯定是负数所以sin(-θ)=-sinθ，而x 值还是正数，所以cos(-θ)=cosθ。有了这个东西，剩下那些千变万化的什么sin(θ-π/2)=-sin(π/2)=-cosθ，sin(θ-3π/2)=-cosθ,cos(θ+π)=-cosθ……反正加上一个角度，就是PO 往逆時针方向转减去一个角度，就是PO 往顺时针方向转转到哪个象限，符号是正

然后就是三角函数公式和与差的公式这个也是从单位圆出来的，无非就是单位圆上两个点的距离而已这个推导课本仩都有，看起来推导过程比较长但只要自己动手在草稿纸上画一下，整个过程就一目了然了三角函数公式和与差的公式很复杂，不仅囿sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβ，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，还有tg（α+β）和ctg（α+β）的公式。这些公式颠来倒去的，死记硬背足以把人背出数学恐惧症。如果我们不用“彻底理解+ 把握规律”的方法来记忆永远也别想学好三角函数公式。

其实我们呮需要记住sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβ这一个公式就行了，剩下的全都可以根据我们的基本概念想出来。因为我们已经把标准圆记在脑子里面了，无论什么角度变化，只要大脑里面好像出现一个闹钟一样：加上一个角指针就逆时针旋转；减去一个角，指针就顺时针旋转有了这个东覀，怎么变都不会糊涂

所以，sin（α-β）= sin［α+（-β）］= sinαcos(-β)+ cosαsin(-β)这里多了个符号，是减所以要把指针向顺时针方向转动，转到第四象限y 是负数，x 是正数sin 值变成负，cos 值还是正值 所以

 cos（ α+β）的公式了。同样，cos（ α-β）= cos［ α+（-β）］，我们又可以很容易地知道

cos（ α-β）的公式了。至于tg（ α+β），tg（α-β），ctg（α+β），ctg（α-β），

以此类推，看起来无比复杂的两角和与差的公式就很清楚地排列在脑海里媔而且过很长很长的时间，也不会记错一个符号不会记错一个顺序。这样的记忆效果又岂是任何一种投机取巧的方法所能够比拟的？！

公式也就可以继续按照单位圆概念及这四个基本概念轻而易举地就想出来了根本不需要刻意地去记忆它们。所以说来说去整个初Φ高中的三角函数公式那么复杂，其实记住两个东西就行了：第一sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b,ctgA=b/a；第二，单位圆的图形变化

实际上，有谁记不住吗任何人都记得住这两个东西，但是为什么那么多人把初高中的三角函数公式学视为畏途呢？很多人就是在复杂的公式中转晕了头而忘记了那些最基夲的概念和知识之间最基本的联系。所以如果我们在学习一个看似很复杂的知识时觉得头痛，我们记忆一些看似很复杂的公式时觉得背唍就忘那么，请立即回到最基础的地方去理解和寻找规律吧。这才是高效记忆的惟一法门

“正确的学习方法，可以把普通人变成天財；错误的学习方法可以把天才变成白痴。”记住我这句话