洛必达法则求极限！！

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 我们知道,在洛必达法则求极限时,瑺会遇到两个无穷小之比的极限或两个无穷大之比的极限这些极限有的存在,有的不存在。通常称这类极限为"未定式"利用第一章的方法求未定式的极限通常是困难的,本节介绍一种简单而有效的方法——洛必达(L'Hospital)法则。
 1型未定式的极限求法若当()时,与均趋于0,则称相应的极限为型未定式。洛必达法则I若与满足:(1),;(2)在点的某去心邻域内,与均存在,且;(3)存在(或为),则有(1)法则I的证明从略注法则I是对时的型未定式给出的,对于()时的型未定式同样适应。
 例1求下列极限:(1);(2)解(1)该极限为型,故。(2)由于时,,故此极限为型因此。在利用洛必达法则洛必达法则求极限时,若仍为型未定式,且函数与满足法则I的条件,则可再使用该法则但在连续应用洛必达法则时,应注意每一步检验是否仍为未定式,不是未定式时不能再用该法則。
 例2求解。在利用洛必达法则洛必达法则求极限时,还要注意尽量将式子化简以利于求导例3洛必达法则求极限(1);(2)。解(1)原式;(2)原式2。型未萣式的极限求法若当()时,与均趋于,则称相应的极限为型未定式洛必达法则II若与满足:(1),;(2)在点的某去心邻域内,与均存在,且;(3)存在(或为),则有。
 注法则II對于()时的型未定式同样适应例4洛必达法则求极限。解原式例5设,求。解当时,对数函数于幂函数()均为增函数且趋于原极限为型未定式。由例5可知,当时,对数函数的增长速度比幂函数慢。例6设,求解由于,指数函数和幂函数当时均为增函数,且当时均趋于。
 故由例6可知,当时,指數函数的增长速度比幂函数快。在使用洛必达法则求未定式极限时,必须注意一个问题:当不存在时,不一定不存在例7求。解此极限为型未定式若用洛必达法则,则得极限。由于为周期函数,上式的极限不存在,也不为但是,即原极限存在。
 一般当用洛必达法则求不出未定式的极限時,要想其他办法洛必达法则求极限某些极限可以先化为型或型未定式,再用洛必达法则洛必达法则求极限。3型和型未定式例8求下列极限:(1);(2)。解(1)这是型未定式,将其变形为则当时视为型未定式,因此(2)这是型未定式,可先通分化为型,再洛必达法则求极限。
 例9洛必达法则求极限:(1);(2)。解(1)原式(2)原式=3。*4型未定式例10求下列极限:(1);(2)。解(1)这是型未定式,将其变形为则当时视为型未定式,因此(2)这是型未定式,可先通分化为型,再洛必达法則求极限。例11洛必达法则求极限(1);(2);(3);(4)。
 解(1)原式注。(2)原式===1(3)原式=1。(4)原式

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