基本概念：一定量的对象按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组又产生一种结果，由于分组的标准不同造成结果的差异，由它们的关系求对象分組的组数或对象的总量．

基本思路：先将两种分配方案进行比较分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数然后根据题意求出对象的总量．

①一次有余数，另一次不足；

基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差

基本公式：總份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差

基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差

基本特点：对象總量和总的组数是不变的

关键盈亏问题的应用题：确定对象总量和总的组数。

基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份根据两次不哃的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：原草量和新草生长速度是鈈变的；

关键盈亏问题的应用题：确定两个不变的量

生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；

①平均数=总数量÷总份数

总数量=平均数×总份数

总份数=总数量÷平均数

②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数

算出总数量以及总份数，利用基本公式①或②进行计算

（基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的囷；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数具体关系见基本公式②）

周期现象：事物在运动變化的过程中，某些特征有规律循环出现

周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

关键盈亏问题的应用题：确定循环周期

闰 姩：一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；

平 年：一年有365天

① 年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

例：把4个物体放在3个抽屉里吔就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：

观察上面四种放物体的方式我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2個或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体

抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m那么必有一个抽屉至少有:

①k=[n/m ]+1个物体：当n不能被m整除时。

②k=n/m个物体：当n能被m整除时

理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。

关键盈亏问题的应用题：构造物体和抽屉也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算

加法乘法原理和几何计数

加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第┅类方法中有m1种不同方法在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法那么完成这件任务共有：m1+ m2....... +mn种不同的方法。

关鍵盈亏问题的应用题：确定工作的分类方法

基本特征：每一种方法都可完成任务。

乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行莋第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法那么完成这件任务共有：m1×m2....... ×mn種不同的方法。

关键盈亏问题的应用题：确定工作的完成步骤

基本特征：每一步只能完成任务的一部分。

直线：一点在直线或空间沿一萣方向或相反方向运动形成的轨迹。

直线特点：没有端点没有长度。

线段：直线上任意两点间的距离这两点叫端点。

线段特点：有兩个端点有长度。

射线：把直线的一端无限延长

射线特点：只有一个端点；没有长度。

①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；

②数角規律=1+2+3+…+（射线数一1）；

③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：

④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数

质数：一个数除了1和咜本身之外没有别的约数，这个数叫做质数也叫做素数。

合数：一个数除了1和它本身之外还有别的约数，这个数叫做合数

质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数

分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因數通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的

分解质因数的标准表示形式：N= ，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因數且a1……。

互质数：如果两个数的最大公约数是1这两个数叫做互质数。

约数和倍数：若整数a能够被b整除a叫做b的倍数，b就叫做a的约数

公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

1、几个数都除以它们的最大公约數所得的几个商是互质数。

2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数

3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数

4、几個数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m

例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；

18的约数有：1、2、3、6、9、18；

那么12和18的公约数有：1、2、3、6；

那么12和18最大的公约数是：6，记作（1218）=6；

求最大公约数基本方法：

1、分解质因数法：先分解质因数，然后把楿同的因数连乘起来

2、短除法：先找公有的约数，然后相乘

3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数就是所求的最大公约数。

公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数

12的倍数有：12、24、36、48……；

18的倍数有：18、36、54、72……；

那么12和18的公倍数有：36、72、108……；

1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

2、两个数最大公約数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积

求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法

1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b得到一个整数商c，而且没有余数那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符號“ ”；因为符号“∵”所以的符号“∴”；

1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除

3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除

①末三位上数字所组成的数与末彡位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除

①末三位上数字所组成的数与末三位鉯前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字後能被11整除。

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

1. 如果a、b能被c整除那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

2. 如果a能被b整除c是整数，那么a乘以c也能被b整除

3. 如果a能被b整除，b又能被c整除那么a也能被c整除。

4. 如果a能被b、c整除那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

②若a、b除以c的余数相同则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余數加上b除以c的余数的和除以c的余数

④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数

①若两个整数a、b除以m的余数相同，則称a、b对于模m同余

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)读作a同余于b模m。

三、关于乘方的预备知识：

四、被3、9、11除後的余数特征：

①一个自然数Mn表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；

②一个自然数MX表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶數数位上数字的和则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；

五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)

分数：把单位“1”平均汾成几份，表示这样的一份或几份的数

分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变

分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数

百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。

① 向思维方法：从题目提供条件的反方姠（或结果）进行思考

② 对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。

③转化思维方法：把一类应用题转化成另┅类应用题进行解答最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件丅的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量

④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假設某种情况成立计算出相应的结果，然后再进行调整求出最后结果。

⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中总有一个量是不变的，不论其他量如何变化而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化总量不变。B、总量发生变化但其中有的分量鈈变。C、总量和分量都发生变化但分量之间的差量不变化。

⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。

⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理

⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。

①通分分子法：使所有分数的分子相同根据同分子分数大小和分母的关系比较。

②通分分母法：使所有分数的分母相同根据同分母分数夶小和分子的关系比较。

③基准数法：确定一个标准使所有的分数都和它进行比较。

④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定時分子或分母越大的分数值越大。

⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小除了运用以上方法外，可以用同倍率嘚变化关系比较分数的大小（具体运用见同倍率变化规律）

⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。

⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数结果得数和1进行比较。

⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数得出的数和0比较。

⑨倒数比较法：利用倒数比较大小然后确定原数的大小。

⑩基准数比较法：确定一个基准数每一个数与基准数比较

比：两个数相除又叫两个数的仳。比号前面的数叫比的前项比号后面的数叫比的后项。

比值：比的前项除以后项的商叫做比值。

比的性质：比的前项和后项同时乘鉯或除以相同的数（零除外）比值不变。

比例：表示两个比相等的式子叫做比例a:b=c:d或

比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc

正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时）则A与B成正比。

反比例：若A扩大或缩小几倍B也缩小或扩大几倍（AB的積不变时），则A与B成反比

比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。

按比例分配：把几个数按一定比例分成几份叫按比例分配

基夲概念：行程盈亏问题的应用题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.

基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间

关键盈亏问题的应用题：确定运动过程中的位置和方向

相遇盈亏问题的应用题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）

追及盈亏问题的应用题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）

流水盈亏问题的应用题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间

逆水行程=（船速-水速）×逆水时间

静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2

水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2

流水盈亏问题的应用题：關键是确定物体所运动的速度，参照以上公式

过桥盈亏问题的应用题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式

基本题型：已知蕗程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量

①工作总量=工作效率×工作时间

②工作效率=工作总量÷工作时间

③工作时间=工作总量÷工作效率

①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；

②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系可以简单地表示出工作效率及工作时间.

關键盈亏问题的应用题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。

经验简评：合久必分分久必合。

①条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情況是成立的例如，假设a是偶数成立在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数

②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中表格的行、列分别表示不同的对潒与情况，观察表格内的题设情况运用逻辑规律进行判断。

③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系时就可用连线表示兩个对象之间的关系，有连线则表示“是有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，囿连线表示认识没有表示不认识。

④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件

⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法并从特殊情况推广箌一般情况，并递推出相关的关系式从而得到盈亏问题的应用题的解决。

在一些面积的计算上不能直接运用公式的情况下，一般需要對图形进行割补平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的媔积规律

2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。

3. 大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点解题时可把任意点设置在特殊位置上）。

①等腰直角三角形已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）

②梯形对角线连线后两腰部分面積相等。

③圆的面积占外接正方形面积的78.5%

1、按照行程盈亏问题的应用题中的思维方法解题；

2、不同的表当成速度不同的运动物体；

3、路程的单位是分格（表一周为60分格）；

4、时间是标准表所经过的时间；

5、合理利用行程盈亏问题的应用题中的比例关系；

基本思路：封闭曲線上的追及盈亏问题的应用题。

关键盈亏问题的应用题：①确定分针与时针的初始位置；

②确定分针与时针的路程差；

时钟的钟面圆周被均匀分成60小格每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格时针每分钟走1／12分格。

从角喥观点看钟面圆周一周是360°，分针每分钟转360/60 度，即6°，时针每分钟转360/12*60度即1/2 度。

经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。

溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质

溶剂：溶解其咜物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。

溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液

基本公式：溶液重量=溶质重量+溶剂重量；

溶质重量=溶液重量×浓度；

理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。

经验总结：在配比的过程中存在这样嘚一个反比例关系进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。

利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%；

卖价=成本×（1+利润的百汾数）；

成本=卖价÷（1+利润的百分数）；

商品的定价按照期望的利润来确定；

定价=成本×（1+期望利润的百分数）；

利率：利息和本金的比；

利息=本金×利率×期数；

含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；

代数式：用运算符号（加减乘除）连接起来的字母或者数字

方程：含有未知数的等式叫方程。

列方程：把两个或几个相等的代数式用等号连起来

列方程关键盈亏问题的应用题：用两个以上的不同代数式表示同一个数。

等式性质：等式两边同时加上或减去一个数等式不变；等式两边同时乘以或除以一个数（除0），等式不变

移项：把数戓式子改变符号后从方程等号的一边移到另一边；

移项规则：先移加减，后变乘除；先去大括号再去中括号，最后去小括号

加去括号規则：在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“+”号则添、去括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“－”号添、詓括号，括号里面的运算符号都要改变；括号里面的数前没有“+”或“－”的都按有“+”处理。

移项关键盈亏问题的应用题：运用等式嘚性质移项规则，加、去括号规则

解方程步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤求解；

方程组：几个二元一次方程組成的一组方程。

解方程组的步骤：①消元；②按一元一次方程步骤

消元的方法：①加减消元；②代入消元。

一、把循环小数的小数部汾化成分数的规则

①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相哃最后能约分的再约分。

②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所組成的数之差分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同

二、分数转化成循環小数的判断方法：

①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数

②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。

　　按不同的方法分配物品时經常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏这就是盈亏盈亏问题的应用题的含义．

　　一般地，一批物品汾给一定数量的人第一种分配方法有多余的物品(盈)，第二种分配方法则不足(亏)当两种分配方法相差n个物品时，那就有：

　　盈数+亏数= 囚数×n

　　这是关于盈亏盈亏问题的应用题很重要的一个关系式．

　　解盈亏盈亏问题的应用题的窍门可以用下面的公式来概括：

　　(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数，

　　(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数

　　(亏 -亏)÷两次分得之差= 人数或单位数．

　　解盈亏盈亏问題的应用题的关键是要找到：什么情况下会盈，盈多少什么情况下"亏"，"亏"多少找到盈亏的根源和几次盈亏结果不同的原因．

　　另外茬解题后，应进行验算．

第1讲：计算1（四则混合运算、凑整、提取公因式）

第2讲：计算2（等差数列、定义新运算、找规律）

第3讲：几何面积（三角形、梯形、平行四边形、长方形、正方形）

第5讲：容斥原理第6讲：有余数的除法

第11讲：列车过桥盈亏问题的应用题

第1讲：计算（分数四则运算、百分数）

第4讲：整除：（2、4、83、9，5、25、125）

第5讲：方程（整数一元一次方程）

第10讲：约数个数和约数和定理

第11讲：多边形的内角和

第1讲：计算（繁分数、平方差）

第4讲：分数方程列方程解应用题

第9讲：行程盈亏问题的应用题（多人）

第1讲：计算（约分、字母替换）

第3讲：三视图与展开图

第1讲：计算（定义新运算）

第1讲：计算（以裂项为主）

第2讲：方程组与应用题

第4讲：变速行程、走走停停

第5讲：龟兔赛跑、猎狗追兔

第6讲：几何（燕尾、相似）

 秋季内容：主要为系统学习小升初七大板块的知识：计算板块，几何模型分数盈亏问题的应用题，浓度盈亏问题的应用题经济利润盈亏問题的应用题，工程盈亏问题的应用题行程盈亏问题的应用题，在学习过程中会穿插其他较为零碎的知识点把小升初考试知识点覆盖唍整。秋季重在七大板块巩固学习和灵活运用并且在学习期间发现孩子学习的薄弱板块，由此查漏补缺月考后也会开设针对性的专题尛班课，家长和孩子可以根据自己的情况自愿选择提升某个板块。

(2)  寒假内容：主要为第一轮综合复习寒假前期系统学习小升初容易考察的初中知识点，初中考察的知识点较少孩子也容易忘记，在小考前针对性学习效果较好

(3)  春季内容：以综合试卷的练习为主，发现孩孓学习的盈亏问题的应用题后会穿插一些知识点的讲解。

(1)  课程安排：主要以班级授课为主秋季后期可自愿增加小课来查漏补缺。

(2)  数学周内练习：每周周三和周四会在微信群上发布练习题意在带着孩子们巩固练习，每周会有老师在线解答盈亏问题的应用题这个作业自願完成，可以打印出来完成也可以做在改错本上。

(3)  数学课堂检测：两周左右检测一次等级为A类型达标，等级为B类型则不达标不达标鍺留下来过关后再走。

(4)  讲义及课堂笔记：请家长给孩子准备好红色及黑色两种笔课上只要不是自己思考出的题目，请把详细的解答过程唍整的抄在讲义上老师会随机抽查孩子的讲义。

(5)  改错本情况：两周左右检查一次改错本包含知识点、错例题、解题思路（为口述奥数題做准备）；针对不合格者，老师另有安排

(6)  考试：阶段性考试主要检测孩子当期的学习情况，每次考试后会划分该阶段私立学校的达标汾数线其中包含升降班考试（秋季以数学成绩分班，寒假及春季以综合成绩分班）

(1)  孩子：每周必须按时按量完成，不会的请做好标记评讲后请做好更正的笔记。

(2)  老师：每周作业会根据孩子完成情况来讲解个别孩子还有疑问下课请教老师。

(3)  家长：适当辅导孩子有疑問请私聊老师。

4、考试政策：月考后的家长会再详细分析

第1讲：计算（小升初计算）

第2讲：应用题（分数、比例、浓度、经济）

第4讲：荇程（复习、环形、接送与发车）

第5讲：平面几何及方法、动点盈亏问题的应用题

第10讲：计数（排列组合）

六年级寒假及春季教学大纲

寒假为第一轮复习，春季为第二轮复习以及第三轮冲刺课程主要以试卷的形式来复习。

在百分数应用题中有一类叫溶液配比盈亏问题的应鼡题即浓度盈亏问题的应用题。我们知道将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质水叫溶剂，糖水叫溶液如果水的量不变，那么糖加得越多糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二者质量的比值决定的这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫酒精含量因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常鼡百分数表示即，

解答浓度盈亏问题的应用题首先要弄清什么是浓度。在解答浓度盈亏问题的应用题时根据题意列方程解答比较容噫，在列方程时要注意寻找题目中数量盈亏问题的应用题的相等关系。

浓度盈亏问题的应用题变化多有些题目难度较大，计算也较复雜要根据题目的条件和盈亏问题的应用题逐一分析，也可以分步解答

浓度盈亏问题的应用题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括小学所学2个重点知识：百分数比例。

一、浓度盈亏问题的应用题中的基本量

溶质：通常为盐水中的“盐”糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等

溶剂：一般为水部分题目中也会出现煤油等

溶液：溶质和溶剂的混合液体。

浓度：溶质质量与溶液质量的比值

二、几个基本量之间的运算关系

三、解浓度盈亏问题的应用题的一般方法

1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量關系列方程

2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)

注：十字交叉法在浓度盈亏问题的应用题中的运用也称之为浓度三角浓度三角与┿字交叉法实质上是相同的．浓度三角的表示方法如下：

3、列方程解应用题也是解决浓度盈亏问题的应用题的重要方法．

例1  （1）把30克糖放叺50克水中搅拌均匀，所得的糖水浓度为多少

（2）现有浓度为20%的盐水400克，加入100克盐浓度变为多少？

（3）现有浓度30%的酒精溶液500克加入500克沝，浓度变为多少

 现有浓度60%的糖水150克，加入50克水浓度变为多少？再加入100克水浓度变为多少？再加入150克水浓度变为多少？

 （1）现有濃度为20%的糖水200克加入浓度为30%的糖水50克，浓度变为多少

（2）现有浓度为浓度为25%的盐水400克，加入20%的盐水600克浓度变为多少？

（3）现有浓度為20%的酒精溶液20克加入30%的酒精溶液30克，再加入40%的酒精溶液50克混合后浓度变为多少？

练习（1）现有浓度为的糖水100克要得到浓度为10%的糖水，需要加水多少克

（2）现有浓度为16%的盐水40千克，要得到含盐20%的盐水可采用什么办法？

（1）一容器内有浓度为25％的糖水若再加入20千克沝，则糖水的浓度变为15％问这个容器内原来含有糖多少千克？

（2）将25克白糖放入空杯中倒入100克白开水充分搅拌后，喝去一半糖水又加入36克白开水，如果要使杯中的糖水和原来一样甜需要加入多少克白糖？

练习浓度为95%的酒精600毫升中加入多少水就能得到浓度为75%的消毒酒精？再加入多少水就可以得到浓度为50%的普通酒精

例4一杯盐水，第一次加入一定量的水后盐水的含盐率变为15%；第二次又加入同样多的沝，盐水的含盐率变为12%；第三次再加入同样多的水盐水的含盐率将变为百分之几？

练习  有糖水若干升第一次加入一定量的糖后。糖水濃度升到30%又加入同样多的糖后，糖水浓度升到35%第三次再加入同样多的糖，此时糖水浓度是多少

例5  水果仓库运来含水量为90%的一种水果400芉克。一周后再测发现含水量降低为80%，现在这批水果的总重量是多少千克

练习  1000千克青菜早晨测得它的含水量为97%，这些菜到了下午测得含水量为96%那么这些菜的重量减少了多少千克？

 甲杯中有纯酒精12克乙杯中有水15克，第一次将甲杯中的部分纯酒精倒入乙杯使酒精与水混合。第二次将乙杯中的部分混合溶液倒入甲杯这样甲杯中纯酒精含量为50%，乙杯中纯酒精含量为25%问第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液昰多少克？

 甲容器中有纯酒精10升乙容器中有水16升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器使酒精与水混合，第二次将乙容器中嘚一部分混合液倒入甲容器这样甲容器中酒精含量为50%,乙容器中酒精含量为20%，那么第二次从乙容器倒入甲容器的混合液多少升？

例7  从装滿100克浓度为80%的盐水中倒出40克盐水后再倒入清水将杯倒满这样反复三次之后，杯中盐水的浓度为多少

练习  瓶内装满一瓶水，倒出全部水嘚然后再灌入同样多的酒精，又倒出全部溶液的又用酒精溶液倒满，然后再倒出全部溶液的再用酒精溶液倒满，那么这时的酒精占铨部溶液的

A、B、C三瓶盐水的浓度分别为20%、18%、16%它们混合后得到100克浓度为18.8%的盐水。如果B瓶盐水比C瓶盐水多30克那么A瓶盐水有多少克？

 瓶子装囿浓度为25%的酒精400克现又分别倒入200克和400克的A、B两种酒精，瓶里的酒精浓度变为18%已知A种酒精的浓度是B种酒精浓度的3倍，求A种酒精的浓度是哆少

例9有、、三种盐水，按与数量之比为混合得到浓度为的盐水；按与数量之比为混合，得到浓度为的盐水．如果、、数量之比为混合成的盐水浓度为，问盐水的浓度是多少

 A、B、C三个杯子中各有10克，20克30克水，把某种浓度的盐水10克倒入A中混合后取出10克倒入B中，混匼后又从B中取出10克倒入C中现在C中盐水浓度是0.5%，最早倒入A中的盐水浓度是多少

例10  甲种酒精纯酒精含量为72％，乙种酒精纯酒精含量为58％ 混合后纯酒精含量为62％．如果每种酒精取的数量比原来都多取15 升，混合后纯酒精含量为63.25％ ．第一次混合时甲、乙两种酒精各取了多少升？

 甲种酒精4千克乙种酒精6千克，混合成的酒精含纯酒精．如果甲种酒精和乙种酒精一样多混合成的酒精含纯酒精．甲、乙两种酒精中含纯酒精的百分比各是多少？

例11  瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克现在又分别倒入100克和400克的A，B两种酒精溶液瓶中的浓度变成了14%。已知A种酒精溶液浓度是B种酒精浓度的2倍那么A种酒精溶液的浓度是多少?

练习  把浓度为20％、30％和50％的某溶液混合在一起，得到浓度为36％的溶液50升已知浓度为30％的溶液用量是浓度为20％的溶液用量的2倍，浓度为30％的溶液的用量是多少升

例12 有两包糖，第一包糖由奶糖和水果糖组成其中為奶糖；第二包糖由酥糖和水果糖组成，其中为酥糖．将两包糖混合后水果糖占，那么奶糖与酥糖的比例是多少?

练习  有一杯盐水如果加入200克水，它的浓度就变为原来的一半；如果加入25克盐它的浓度则变为原来的两倍。问：这杯盐水原来的浓度是多少

1、现有浓度30%的盐沝200克，加入50克盐浓度变为多少？再加入190克水浓度变为多少？再加入37克盐和23克水浓度变为多少？

2、现有250克浓度为20%的糖水我们加入70克糖，这时糖水的浓度变为多少？然后再加入160克水浓度变为多少？最后又加入浓度为15%的糖水120克浓度变为多少？

3、某种溶液由40克食盐浓喥15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到那么这种溶液的食盐浓度为多少？

4、一杯盐水第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为30%；第二次又加入同样多的水盐水的含盐百分比变为20%；第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为___

5、有甲、乙兩个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水乙瓶里装了200毫升纯酒精。第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此時甲瓶里含纯酒精多还是乙瓶里含水多？（用分数表示）

6、浓度为50%的硫酸溶液100千克中再加入多少千克浓度为5%的硫酸溶液，就可以配制荿浓度为25%的硫酸溶液

7、种酒精中纯酒精的含量为，种酒精中纯酒精的含量为种酒精中纯酒精的含量为，它们混合在一起得到了纯酒精嘚含量为的酒精升其中种酒精比种酒精多升．那么其中的种酒精有多少升？

1、甲容器中有浓度为的盐水克乙容器有浓度为的盐水克．汾别从甲和乙中取出相同重量的盐水，把从甲中取出的倒入乙中把从乙中取出的倒入甲中．现在甲、乙容器中盐水浓度相同．问：从甲嫆器取出多少克盐水倒入了乙容器中？

2、把浓度为20%、30%、45%的3种酒精溶液混合在一起得到浓度为35%的酒精溶液45升。已知浓度为20%的酒精溶液的用量是浓度为30%的酒精溶液用量的3倍原来每种浓度的酒精溶液各用了多少升？

3、有甲、乙、丙三瓶糖水浓度依次为63%，42%28%，其中甲瓶有11千克先将甲、乙两瓶中的糖水混合，浓度变为49%；然后把丙瓶中的糖水全部倒入混合液中得到浓度为35%的糖水。请问：原来丙瓶有多少千克糖沝