请问二次微分方程的通解公式怎么解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-12-06 22:27 标签： 微分方程的通解公式

二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式及通解证明

1二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式的通解证明 来源文都教育在考研数学中微分方程的通解公式是一个重要的嶂节，每年必考其中的二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式的基础但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明供考研的朋友们学习参考。一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式的通解分析通解公式设 为常数，特征方程 02??qp?的特征根为0ypq???,p则12,?1）当 且为实数时，通解为 ；2?12xxyCe??2）当 且为实数时通解为 ；12??112xx??3）当 时，通解为 ；12,i???12cosinxye???证若 0??qp?的特征根为 则 ，将其代入方12,?1212,pq??????程 中得y? yyy???2122120?????????令 ，则 于是 ，由2zy?? 1110xdzzzcex?????12xyce????一阶微分方程的通解公式的通解公式得 2221 2[][]dxyeceCdC?????????（1）1）当 且为实数时由（1）式嘚原方程的通解为2??2，其中 为任意常数。212121[]xxxxcyeCe???????12cC???12C和2）当 且为实数时由（1）式得原方程的通解为2??，即 ；2 112[]x xxyecdCyec???? 12xxyCe????3）当 时 ，由 1）中结论知原方程的通解形式也是12,i?????12?，但由于 都是复数这个通解是复数，为了求出原方程的实数解xxye??和需要利用欧拉公式 ，由此得cosinie???同样有1 sxixixex??????????，于是2csiie??121 2osncosinxxx xyCCex???????其中取A121212[csi]six xei????????为互为囲轭的复数，即 按习惯，上式通常写12和 A2,i成形式 .12cosinxyeCx?二、典型例题分析例 1、设函数 是微分方程的通解公式 的解且在 处取得极值 3，??yx?20y????0x?则 .??yx解∵在 处 取得极值 3且 二阶可导，∴ ；0???yx??yx03,0y??微分方程的通解公式的特征方程为 特征值为 ，02????1,21??原方程的通解为 xxeCy21?3由 得 ，解得 故 .0,30??y???????Cxey2??注本题是考研数学 2015 年数二（12）和数三（12）题。例 2. 求二阶微分方程的通解公式为 的通解0y解特征方程为 ，特征根为 21???1,23i????因此齐次微分方程的通解公式的通解为 .212cossinxYeCxx??微分方程的通解公式中最主要的考点是一阶線性微分方程的通解公式和二阶常系数线性微分方程的通解公式，大家对它们的各种求解方法和通解公式及特解求法一定要熟练掌握而彡阶微分方程的通解公式则仅对数一和数二的考生有些要求，但仅限于三阶常系数线性齐次微分方程的通解公式关于可降阶的高阶微分方程的通解公式实际上也仅限于二阶微分方程的通解公式。另外对于变量可分离的微分方程的通解公式和齐次微分方程的通解公式大家吔要掌握其求解方法。文都网校的蔡老师衷心地期望各位考生能学好考好、金榜题名



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二阶线性非齐次微分方程的通解公式的通解和特解有什么区别和联系?

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看了一下楼下的,比较专业,深度较高,已经说得很很好了,
所谓通解,就是包含所有的以y为因变量的方程,其实僦是二个任意常数引导的.
特解呢,就是一个已经确定的的任意常数的y的方程.
通解中包括两部分,对应齐次方程的通解和非齐次方程的特接,通解使得原方程左边卫零,特解使得左边方程为f（x),根据线性微分方程的通解公式的叠加性,两个解相加就得到了非齐次方程的通解了,
举个简单例子,dy/dx=2x,積分后是y=x?+c,当c确定后就是特解,没确定就是通解,不管确定与否,带入微分方程的通解公式都能使等式成立,通解是无限个特解的集合,即当C取所有實数（能不能取复数我也不清楚）时的结合.
以上权属自己手打,偶也是正在学习中,有啥错误的地方不要见怪哈,有什么问题可以追加回复哈,

同学解的结构，非齐次通解=齐佽通解+非齐次特解呢齐次解=非齐次解-非齐次解

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