解微分方程经典例题程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-12-17 07:33 标签： 微分方程经典例题

第五章 线性微分方程经典例题程組5-1 考虑方程组（1）xA)(td?其中 是区间 上的连续 矩阵它的元素为 ，)(tAba?n?njitaij ,21,)(L?1）如果 是（1）的任意 个解那么它们的朗斯基行列式)(,)(,21ttnxL满足下面的一阶線性微分方程经典例题程])(,[2WtWn?（2） 。从公式中可以看出线性齐)(tr ?tdsreWt0)()(A次方程组（1）的 个解构成的朗斯基行列式 或者恒为零，或者恒不为零n5-2 设 為区间 上连续的 实矩阵， 为方程 的基本)(tAbta?n?)(tΦxA)(t??解矩阵而 为其一解。试证：φx?1） 对于方程 的任一解 必有 常数；yy)(tT?? )(tψ?)(tTφ2） 为方程 嘚基本解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵 )(tΨA C使 。CΦ?T证 1） 由于 为方程 TT ΦΦ???????)()(ttttTAΨ??（零矩阵） 。0所以 （常数矩阵） 而 和 都是基本解矩阵，因而 还为非CΨ)(tT )(tt C奇异矩阵充分性。由于存在非奇异的常数矩阵 使，Φ?)(tT两边关于 求导数有t????)()()( ttdt TTT ΦΨΨ??? 0???)(tttA即 ，??)()(tTTΦ??而 是基本解矩阵，则 为非奇异矩阵故有t )(t，即)(TTAΨ??，两边再转置，得??)(tt??)(tT即证明了 为方程 的基本解矩陣。)(tΨyAy)(tT???评注：由证明过程可以看出方程 和 的解曲线之间满足)(tT? xA)(t??常数。)(tTφψ5-3 设 是 阶线性方程组)(tΦn（ 是 的常数矩阵）Ax?dt n?的标准基本解矩阵 （即 ）证明E)0()(01tt??Φ其中 为某一值。0t证 因 为基本解矩阵则有 )(tΦ，)()(tdtA?0)(de?t，)(00tt?Φ即，)()(00tdt??A所以 也是基本解矩阵)(0t?Φ由于线性齐次方程组任意两个基本解矩阵可以互相线性表示，故，CΦ)((0tt?由条件 得， 即得 ，所以有E) 231)sin3co(评注：此题主要是常数变易公式的应用常数 变易公式表明 线性非齐次方程的特解可以由对应齐次方程的基本解组的朗斯基行列式表示。当然此题中的 2）用待定系数方法求特解会更简单。5-5 给定方程)(78tfx???其中 在 上连续试利用常数变易公式，证明：)(tf???t01）如果 在 上有界则上面方程的每一个解在 上有界；ft ???t02） 如果當 时

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典型习题：巳知特解求线性微分方程经典例题程

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