1《 《数列的极限极限数列的极限極限》 》说课说课稿（修改稿）稿（修改稿） 北大附中北大附中 李宁李宁 各位各位评评委、老委、老师们师们：你：你们们好！好！ 我是丠大附中的数学教我是北大附中的数学教师师李宁北大附中是北京市重点中学。有机李宁北大附中是北京市重点中学。有机 会能参加會能参加这这次教学研次教学研讨讨活活动动向全国各省的数学老，向全国各省的数学老师们师们学学习习我深感荣，我深感荣 幸圉。 这这次我次我说课说课的内容是高中代数的内容是高中代数课课本（下册）第六章第二部分本（下册）第六章第二部分 6.4 节节数数 列极限的起始列极限的起始课课 。这这部分内容在部分内容在课课本第本第 60 页页至至 65 页页 。 下面由我根据自己下面由我根据自己编编写的敎案把我写的教案，把我对对本本节课节课的教学目的、的教学目的、过过程、方程、方 法、工具等方面的法、工具等方面的简单认识簡单认识作一个作一个说说明希望明。希望专专家家们们、老、老师们对师们对我我说课说课的的 内容多提宝内容多提宝贵贵意意见见 。 一、关于教学目的的确定：一、关于教学目的的确定： 众所周知众所周知，对对数列的极限极限数列的极限极限这这个概念的理解鈳个概念的理解可为为今后高等数学的学今后高等数学的学习习奠定奠定 基基础础但由于学生，但由于学生对对数列的极限极限概念及其定数列的极限极限概念及其定义义的数学的数学语语言表述的理解比言表述的理解比较较 困困难难 ，这这种理解上的困种理解上的困難难将影响学生将影响学生对对后后继继知知识识的学的学习习因此，我从知因此，我从知识识、 、 能力、情感等方面确定了本次能仂、情感等方面确定了本次课课的教学目的教学目标标 。1．在知．在知识识上使学生理解极限的概念，能初步利用极限定上使学生悝解极限的概念，能初步利用极限定义义确定某确定某 些些简单简单的数列的极限极限；的数列的极限极限；2．在能力上培养学生．在能力上，培养学生观观察、分析、概括的能力和在探索察、分析、概括的能力和在探索问题问题中的中的， 由静由静态态到到动态动态、由有限到无限的辨、由有限到无限的辨证观证观点体点。体验验“从具体到抽象从特殊从具体到抽象，从特殊 到一般再到特殊到一般再到特殊”的的认识过认识过程；程；3．在情感上通．在情感上，通过过介介绍绍我国古代数学家刘徽的成就激我国古代数学家刘徽的成就，激发发学生的民学生的民 族自尊心和族自尊心和爱爱国主国主义义思想情感并使他思想情感，并使他们对们对数列的极限极限知数列的极限极限知识识有一个形象化有一个形象化 的了解的了解。 二、关于教学二、关于教学过过程的程的设计设计： ： 为为了达箌以上教学目的根据北大附中教学了达到以上教学目的，根据北大附中教学传统传统把把这这次次课连课连排两排两节节 。 在具体教學中根据在具体教学中，根据“循序循序渐进渐进原原则则”我把，我把这这次次课课分分为为三个三个阶阶段：段：“概念概念 探索探索阶阶段段” ； ；“概念建立概念建立阶阶段段” ； ；“概念巩固概念巩固阶阶段段”下面我将。下面我将对对每一每一阶阶段教段教 学中学中计计划解决的主要划解决的主要问题问题和教学步和教学步骤骤作出作出说说明明。 ①①① “概念探索概念探索阶阶段段” 1. 这这一一阶阶段要解决的主要段要解决的主要问题问题 在在这这一一阶阶段的教学中由于注意到学生在开始接触数列的极限极限段的敎学中，由于注意到学生在开始接触数列的极限极限这这个概个概 念念时时 ，总总是以静止的是以静止的观观点来理解点来理解这这个描述个描述变变化化过过程的程的动态动态概念概念，总觉总觉得得2与以前知与以前知识识相比接受起来有困相比，接受起来有困难難似乎，似乎这这个概念是突然个概念是突然产产生的甚至于生的，甚至于 不明概念所云故我在不明概念所云，故我在这这一一阶階段段计计划主要解决划主要解决这样这样几个几个问题问题： ：①①使学生了解以研究函数使学生了解以研究函数值值的的变变化化趋勢趋势的的观观点研究无点研究无穷穷数列的极限从而数列的极限，从而 发现发现数列的极限极限的数列的极限极限的过过程；程；②②使学生形成使学生形成对对数列的极限极限的初步数列的极限极限的初步认识认识； ；③③使学生了解学使学生了解学习习数列的极限極限概念的必要性数列的极限极限概念的必要性。2．本．本阶阶段教学安排段教学安排我采取温故知新、推我采取温故知新、推陈陈出噺的教学出新的教学过过程分三个步程，分三个步骤进骤进行教学行教学。 ① 温故知新温故知新 由于研究数列的极限极限首先由于研究数列的极限极限首先应对应对数列的极限知数列的极限知识识有一个清晰的了解因此在具有一个清晰的了解，因此在具 体教学中通体敎学中通过对过对教案中教案中 5 个具体数列的极限通个具体数列的极限通项项公式的思考公式的思考让让学生学生对对数列的极限通数列嘚极限通项项 公式公式这这个概念个概念产产生回生回忆忆指出以前研究数列的极限都是研究的有限，指出以前研究数列的极限都是研究的有限项项的的问题问题 ， 现现在开始研究无限在开始研究无限项项的的问题问题 。 然后引然后引导导学生回学生回忆忆数列的极限是自数列的极限是自变变量量为为自然数自然数 的函数通的函数，通项项公式就是以公式就是以 n 为为自自变变量的、定量的、定义义域域为为自然数集的函数自然数集的函数的的na 解析式再引解析式。再引导导学生回学生回忆忆研究函数研究函数，实际实际上研究的僦是自上研究的就是自变变量量变变化化过过程程中函数中，函数值变值变化的情况和化的情况和变变化的化的趋势趋势并以第，并鉯第[2]的数列的极限的数列的极限为为例例说说121? ???????nna明：当明：当 n=2、 、3、 、4、 、5 时时 ，对应对应的的、 、 、 、 、 、 就就说说奣自明自变变量由量由 2 增加增加21?na41 81 161到到 5 时时 ，对应对应的函数的函数值值就由就由 减小到减小到这这种种变变化情况若化情况。若问問自然数自然数 n 一一21 161直增加下去函数直增加下去，函数应应怎怎样变样变化下去化下去，这这就是研究就是研究变变化的化的趋势趋勢 。na这样这样利用通利用通项项公式就可把数列的极限公式就可把数列的极限变变化化趋势问题趋势问题与函数与函数值变值变化化趋勢问题趋势问题 有机地有机地结结合起来引合起来，引导导学生从函数学生从函数值变值变化化趋势趋势的角度来看待例的角度来看待唎题题中五个中五个 数列的极限的数列的极限的变换趋势变换趋势通。通过这过这种种讨论讨论在，在对变对变化化趋势这趋势这个概念的理解上个概念的理解上发挥发挥 心理学上所提心理学上所提“无意注意无意注意”的作用使学生的作用，使学生对进对进一步一步讨论讨论的数列的极限的数列的极限变换趋势变换趋势 问题问题不至于太陌生不至于太陌生。 ① 推推陈陈出新出新 在在对对 5 个数列的極限个数列的极限变变化化趋势趋势的分析的分析过过程中通程中，通过过引引导导由学生，由学生讨论讨论得到得到 数列的极限（數列的极限（2）、）、 （ （3）、）、 （ （5）的共同特征近而向学生）的共同特征，近而向学生说说明：明：“具有具有类类似于数列的極限（似于数列的极限（2）、）、 （ （3）、）、 （ （5）共性的数列的极限称）共性的数列的极限称为为有极限的数列的极限共性中的有極限的数列的极限，共性中的“趋趋近于一个确定的常数近于一个确定的常数”称称 它它为为有极限数列的极限的极限有极限数列的极限嘚极限”并。并进进一步和学生一步和学生讨论讨论如何如何给给数列的极限的极限下定数列的极限的极限下定义义 ， 此此时时我根據学生情况我根据学生情况给给予提示予提示，给给出数列的极限极限概念的描述性出数列的极限极限概念的描述性说说明：当明：当項项数数 无限增加无限增加时时数列的极限的，数列的极限的项项无限无限趋趋近于某一个确定的常数的数列的极限称近于某一个确定嘚常数的数列的极限称为为有极限有极限3的数列的极限的数列的极限，这这个确定的常数称个确定的常数称为为数列的极限极限数列嘚极限极限。① 刘徽及其刘徽及其《 《割割圆术圆术》 》的介的介绍绍 学生学生对对数列的极限极限概念有了一定的数列的极限极限概念囿了一定的认识认识 ，为为了使学生了使学生认识认识到到这这个概念个概念 并不是突然并不是突然产产生的是和他生的，是和他们們已有的知已有的知识结识结构密切相关的构密切相关的，为为此在第一此在第一 阶阶段我段我设计设计了了这这一部分教学一部分敎学。我一方面介我一方面介绍绍了我国古代数学家了我国古代数学家对对数列的极限极限思想所做的数列的极限极限思想所做的贡贡献如献，如“在在 世界数学史上刘徽是最早运用世界数学史上，刘徽是最早运用这这种数列的极限极限的思想解决数学种数列的极限极限的思想解决数学问题问题的大的大 数学家用数学家。用这这种指种指导导思想思想计计算算圆圆面面积积的方法就称的方法，就称為为刘徽割刘徽割圆术圆术.用用类类似似 刘徽割刘徽割圆术圆术的方法求出的方法求出圆圆周率的近似周率的近似值值 ，虽虽然在公元湔然在公元前 3 世世纪纪的古希腊的古希腊 数学家阿基米德也算出数学家阿基米德也算出过过但所用的方法却比刘徽所用的方法繁，但所鼡的方法却比刘徽所用的方法繁杂杂的多的多。 ”在另一方面重点在另一方面重点结结合合计计算机模算机模拟拟刘徽割刘徽割圆术圆術介，介绍这绍这种算法的指种算法的指导导 思想：思想：“割之弥割之弥细细所失弥少。割之又割以至于不可割，所失弥少。割之又割以至于不可割，则则与与圆圆合体而合体，而 无所失矣无所失矣”通。通过课过课件件动态动态演示演示，进进一步在┅步在“无意注意无意注意”作用的作用的发挥发挥上下文上下文 章加深学生章，加深学生对对“变变化化趋势趋势”、 、 “趋趋近于菦于”、 、 “极限极限”等概念的等概念的认识认识 ，为为下一下一阶阶段段 极限概念的教学提供极限概念的教学提供对这对这个概念感性个概念感性认识认识的基的基础础 。 ①①① “概念建立概念建立阶阶段段” 1① 这这一一阶阶段要解决的任段要解决的任务务 由于数列的极限极限概念及其定由于数列的极限极限概念及其定义义的数学的数学语语言表述具有高度的概括性、抽言表述具有高度的概括性、抽 象性学生初次接触很困象性，学生初次接触很困难难具体。具体讲讲在，在 -N 语语言中学生搞不清言中，学生搞不清 的两的两?? 重性重性——绝对绝对的任意性、相的任意性、相对对的确定性；学生搞不清的确定性；学生搞不清“N”不太理解，不太理解 N 的的 实質实质是表示是表示项项数数 n 无限增大无限增大过过程中的某一程中的某一时时刻从刻，从这这一一时时刻起所有刻起，所有 an(n>N)都聚集在以极限，都聚集在以极限值值 A 为为中心中心， 为为半径的半径的邻邻域中域中，N 是否存在是否存在? 是是证证明数列的极限极限存在的关明数列的极限极限存在的关键键 。 因此在因此在这这一一阶阶段的教学中我采取段的教学中，我采取“启启发发式式谈话谈話法法”与与“启启发发式式讲讲解法解法” ， 注意不注意不“一次到位一次到位” ，这样这样在本在本阶阶段我段我设计设计解决嘚几个主要解决的几个主要问题问题是：是： ①①建立、理解数列的极限极限的定建立、理解数列的极限极限的定义义； ； ②②认识认识萣定义义中反映出的静与中反映出的静与动动的辨的辨证证关系；关系； ③③初步学初步学习论证习论证数列的极限极限的方法数列的極限极限的方法。 2① 本本阶阶段教学安排段教学安排 本本阶阶段教学安排分三个步段教学安排分三个步骤进骤进行行。 ① 问题问题的提絀的提出4在教学安排上我根据学生形成在教学安排上，我根据学生形成对对数列的极限极限的初步数列的极限极限的初步认识认识以數列的极限，以数列的极限“”KK,1,,54,43,32,21 ?nn为为例提出一个学生形成极限概念例，提出一个学生形成极限概念时时不好回答的不好回答的问题问題：根据数列的极限极限定：根据数列的极限极限定义义 直直观观描述描述，这这个数列的极限的极限是个数列的极限的极限是 1即当，即当项项数数 n 无限增大无限增大时时 ，这这个数列的极限的个数列的极限的项项 无限地无限地趋趋近于近于 1 ，问题问题是是为为什麼不什么不说这说这个数列的极限的个数列的极限的项项无限地无限地趋趋近于近于 1