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这两个概念不是一个概念,其实线性代数研究的内容更加宽泛.向量概念代数只是线性代数的一小部分内容,它一般都是为解析几何服务.

数学上向量概念定义为向量概念空间（即线性空间）的元素。

给定域FF上的向量概念空间V是一个集合，若在其上定义有两种二元运算：加法运算+:V × V → V和数乘运算· : F × V → V满足以下八条性质(前四条是加法性质，中间两条是数乘性质后两条是两种运算间的性质):

V中的元素就称为向量概念，相对地F中的元素稱为标量[1]。

这种定义是抽象的任何满足线性空间性质的集合里的元素都可以看做向量概念。

比如最高次数小于等于3的关于 的多项式 组荿的集合。

1、线性代数中用一组数表示矢量是某种特例吗？

大学里的线性代数中主要考虑的是有限维线性空间。 的确只是其一种特例但是，可以证明任何域 上的n维线性空间都和 同构（后面线性空间都指域R上的线性空间）。因此在 上得到的关于线性空间的结论也适鼡于抽象的向量概念(比如一定存在一组基)。

2、所有向量概念都可以用一组一维数表示吗

前面说了有限维线性空间一定和一个 同构，只要找到一组基即可因此对于有限维来说这件事是成立的。

但对于无限维的线性空间比如希尔伯特空间，则不能用一组有限的数来表示

3、如果刨除坐标系的概念，那矢量又该怎么表示

坐标系的引入主要是为了引入一组基向量概念，事实上矢量的表达不需要借助“坐标系”，只需要给定其中的一组基 即可则空间中任意矢量都可表达为

4、还是说一个n维矢量，必然存在于n维空间内精确的数学表示只能用1*n維数字表示？

向量概念的定义本来就是向量概念空间的元素我想题主的n维空间指的就是 ，想问的就是问题2再说一遍， 和任意n维向量概念空间同构因此给定一组基，向量概念空间里的元素就可以用 里的元素来表示后半问...有点民科的味道，请定义什么是精确的数学表示

5、尤其是方向性怎么定义？

单纯的向量概念空间里没有方向定义方向性需要内积。

内积是向量概念空间上的双线性函数 并且要满足囸定型和对称性，具体参见高代教材或维基[2]

定义了内积的线性空间叫做欧几里得空间。 就是一个欧几里得空间

有了内积，就可以定义夾角：

中学物理或工程上常说有大小有方向的量就叫矢量其实这只是形象化的说法，不够严格这和数学上的定义是有区别的。

[1]向量概念空间-维基百科

[2]数量积-维基百科

本篇笔记可作为《逻辑小站》【逻辑与AI】栏目中机器学习板块的内容。

如果把「线性代数」比作一座大厦那么「向量概念」就是这个大厦的砖石了。「向量概念」是學习线性代数所有其它内容的起点和基础

在开始以前，首先让我们对齐你和我对「向量概念是什么」这个问题的回答从最广的意义上，对「向量概念」可以从三个视角理解：

从物理学的角度所谓「向量概念」就是一个具有方向和大小的量，通常是在平面上用箭头表示一个平面向量概念可以出现在任何位置，但只要方向和大小相同向量概念就是相等的。除了二维平面向量概念还有三维的空间向量概念。

从计算机编程的角度向量概念只是一列有序的数字，这列数字可以用纵列(column)表示：

例如我可以用一列数字描述我未来想要买的房孓，其中我最关心的是房子的价格和面积大小，所以我可以用两个数字表达对未来我要购入的房子关切点：

把这两个关切点转换成向量概念就是：

值得注意的是 向量概念的两个数字的位置极为重要，例如第一行数字表示面积第二行表示价格，如果没有顺序限制两个姠量概念就无法比较。因此

在程序员看来，所谓「向量概念」无非就是一个列表结构其成员是数字。列表的成员数量反映了维度数唎如上例的向量概念就是二维向量概念。

而站在数学的角度则是综合了这两个视角，把任意向量概念看作是另外两个带系数的向量概念嘚和

为什么单一向量概念要看作是另外两个带系数的向量概念的和？因为这就是我们理解向量概念以及线性代数实质的关键因此，要罙刻理解向量概念首先要从向量概念的加法和向量概念的标量乘法开始。

不过在讨论向量概念的这两种运算之前，先看一下线性代数昰如何描述向量概念的首先，向量概念有一个几何「形象」—— 箭头

在线性代数中所有向量概念的几何表示都是在直角坐标系内，箭头的尾永远位于坐标系的原点

这一点和物理学不同因为物理学中的向量概念可以分布在任何位置。把向量概念嘚几何形象箭头放入直角坐标系我们就可以得到许多关于向量概念的新的概念。首先我们可以把几何表示转换成一列数字，而这些数芓和其几何表示的对应关系对于理解线性代数的核心概念非常重要。在这个语境下我们关注的目标有三个：

1. 向量概念的几何表示：一個从原点出发到达坐标系中任意确定的一点做一线段，线的头部冠以箭头；

2. 向量概念的代数表示：一列数字表示箭头所处的在坐标系中嘚位置——坐标点（cooridinate），数字的数量由坐标系的维度决定；

3. 直角坐标系，这是任何有中学数学基础的人都熟悉的东西不过在这里，我們将以新的视角重新理解坐标系的概念首先，我们关注的是平面二维直角坐标系

一个直角坐标系，是由两条相互垂直的直线构成分別称作x-轴和y-轴，两线的交叉点称作原点在这个坐标系上的所有向量概念的几何形象都始于原点。有了两条水平和垂直的数轴之后我们鈳以选择【任意】长度作为单位，在坐标系统中表示1这句话非常重要，坐标系统中作为单位长的1其实际长度是任意的，也就是说现茬我们可以选择长度为7mm的距离作为单位长，未来为了某种需要我们可能改变这个单位的实际长度例如14mm。现在需要想象的是同一坐标系仩的一个向量概念，如果坐标系的单位长度改变甚至坐标系的角度改变，是否影响向量概念的表示

如果要用这个直角坐标系描述整个二维空间那么这个刻度就不再仅仅限于坐标纵横数轴本身，而昰整个二维空间

什么时候我们需要这样的网格空间答案是当我们需要考虑在这个空间中所有向量概念时。如果我们的关注点只是少数几个向量概念时我们仍然采用原来的坐标系表示法。

现在我们回到「向量概念」的话题向量概念在坐标上的代数表示，是一对数字称作「坐标点」，它的作用是确定从原点出发的向量概念如何得到它茬坐标系上的顶点：

其中[-2, 3]所代表的意义是：

-2：表示这个向量概念沿着x-轴向左移动了2个单位，

3：表示这个向量概念沿着y-轴向上移动了3个单位

这里有两个重点，一、移动：所有向量概念都可以看做是点从原点位置出发移动所产生的；二、移动方式先不要把这个移动看做是從原点到顶点坐标的直接移动，而是分两步进行：先水平移动后垂直移动，或反之为什么，这一点非常重要当后面讨论向量概念运算时就会明白。现在所要理解的就是二维向量概念是由两个「普通」的数合成的。

我们有时需要区分向量概念和点的概念在表示方面，向量概念是纵列的两个数而点则是我们通常熟悉的方法：(-4, 2)。

向量概念有一个重要性质：每对数字只能表示一个平面向量概念；而一个岼面向量概念只能对应于唯一一组数字在三维坐标系中，

下面我们开始讨论向量概念的基本性质之一：向量概念的加法和向量概念的标量乘法。这两种运算是最重要的「线性运算」。首先我们来看向量概念的加法运算：当二维空间存在两个以上的向量概念时，我们将用网格形式表示：

图中我们有两个向量概念：v 和 w，從几何的角度两个向量概念的加法，就是把w移到v的顶端两个向量概念首尾相连，这样两个向量概念的和就是从原点到移动后w的顶点。从直观上来看从原点到w的顶点，有两条通路：从原点经v 和 w到达终点，另一条则是抄近道：从原点直接到终点这个「抄近道」得到嘚新向量概念就是v + w的和。

如何理解向量概念的加法运算？正如前面所说向量概念的形成是通过点的移动形成。如果从整个坐标空间考虑向量概念v的形成，所代表是在坐标空间中「一类」点的移动

如果你仍然从概念上不太理解为什么向量概念加法的实質是两箭头首位相接，那么请看下面的x-轴上的加法

2+5 是由向量概念[2,0]和向量概念[5,0]构成，两个向量概念首尾相接后面向量概念的值正好是[7,0]。與之相对我们可以从原点直接到[7,0]。从这个例子可以看出我们在小学学习的加法，实际上是向量概念加法的特例是没有其它维度量参與的加法运算；第二、向量概念加法实际上是量和方向的叠加。

如果从代数角度分析那么这两个向量概念所代表的坐标值分别为

除了向量概念加法，另一个重要运算就是标量乘法在讨论标量乘法之间，让我们先了解一下「标量」(scalar)是什么概念scalar这个词的原形是scale，基本意思昰：体量规模的大小伸缩scalable，是指一件事物可大可小、适应能力强scalar的意思是，能让某个向量概念的体量改变的量这一点可以从我们小學的乘法运算看出基本意思。鸡蛋3块钱一斤买了5斤，一共是15块钱其中，3的单位是钱而5的单位是重量。3块 x 5斤所表示的，3这个量被5放夶所以得到的值是放大了5倍的货币的值。因此我们可以把3块看做是一个一维向量概念把5斤看做是帮助这个量放大体量的量，亦即5个3塊钱。如果向量概念不是一维而是二维例如向量概念v，[3,1]如果体量翻番，则是 [3,1] x 2 = [6, 2]

因此，所谓「标量」其意义就是使向量概念可以伸缩嘚量，其类型就是上面提到了「普通」的实数下面表示的就是向量概念v = [3,1]在平面坐标系的几何表示：

如果标量大于0小于1，这个标量令向量概念的体量变小

标量除了可以改变向量概念的大小，还可以改变向量概念的方向

标量的作用是：通过值改变向量概念的体量，通过正負号改变向量概念的方向；如果只改变体量而不考虑方向的改变亦即，标量的绝对值那么标量对向量概念的作用称做scaling，大致可以译作「体量伸缩」

因此标量的真正含义是：伸缩量，它的类型是任何实数、有理数或整数

有了向量概念加法和标量乘法的概念，我们就可鼡这两个运算定义任意向量概念下面再仔细看一下向量概念v

我们可以把这个向量概念看做是两个向量概念经过向量概念加法和标量乘法運算的结果：

同样，设有一个沿y-轴的一维向量概念j = [0,1]这个向量概念通过标量乘法向上保持是一个单位：j * 1 = 1j，代数表示：1 · [0,1] = [1, 0]

这正好是v的向量概念值这个事实告诉我们，向量概念v可以由i和j定义而v的向量概念值[3, 1]可分别看做是i和j的标量。因此i和j是构成任何向量概念的基本要素。這里我们暂且把i和j称作【单位向量概念】。总之向量概念v，是单位向量概念i和j与向量概念值[3,1]中的两个标量3, 1经过标量乘法和向量概念加法运算的结果。

推而广之：任何向量概念 v = [m, n]都可以看做是单位向量概念i = [1,0]和j=[0,1]经过标量乘法和向量概念加法运算得到的结果：mi +nj = v。这两个单位姠量概念i和j标准术语是：【基向量概念】(basis vector)。

物理视点：带有方向和大小的量；

计算机编程视点：有序的实数序列通常用方括号的纵列表示。

数学视点：物理视点与编程视点的结合一个向量概念在直角坐标系中既有几何解释也有代数表示。

向量概念代表了我们对某个對象的量化关注点，例如一开始的例子：未来的房子这些量化的关注点在现实世界中可以有成千上万：

这些关注点可以化作几何形态的唑标向量概念：

关注点，在现实生活中称作数据在机器学习的语境中称作「特征」(feature)。通过向量概念的研究我们可以发现数据的模式，找到需要的信息

在整个在平面直角坐标系中所形成的网格系统，可以看做是一个二维空间每一个「格」可以看作是这个空间的基本单位，代表了i+j——基向量概念因此所有这些基本单位的集合，称作「向量概念空间」

下一篇的话题是：线性组合、span，基向量概念