关于这个问题大概两年前我写過一篇讨论的文章。这里贴出来仅供大家讨论。如果文中有不准确之处欢迎指出。

就在前几天吧Numberphile的两期节目在人人上很是火了一阵。缘由无非是这两个视频给出了两个看似匪夷所思的等式

第一期告诉我们格兰迪(Grandi)级数等于1/2。

怎么可能？That is impossible！相信这是大多数人的第一反应

然而视频中甚至拿出了Joseph Polchinski所著的《STRING THEORY》一书为证，用来告诉我们这个式子的结论着实广泛應用于物理相关领域虽然我不懂物理，但这本书看上去不太像是一个民间科学家自己在家倒腾然后所著的那么姑且可以把我们的态度從不屑一顾上升到将信将疑吧~

现在，不妨从头梳理一遍让我们看一看，这期间究竟隐藏着怎样的数学内幕

◆ 看似简洁易懂的推导

姑且先把两个结论正确与否的讨论放下，我们先来看看视频里是怎样让我们相信这两个等式是正确的

首先是格兰迪级数S1：

过程一目了然。接丅来是全体自然数之和可能稍微麻烦一点：

证明分为两个步骤，第一步先求了一个中间级数S2的值

第二步便是我们需要的结果

看上去轻松愉快的证明小学生都能看懂。简直是无懈可击……吗

没错，这是一个小学生都能看的懂的证明不过我相信一个中学文化水平的人就巳经能察觉到充斥在证明过程中的别扭感了。当然如果你是一个大学生，并且在微积分的课堂上还算听过课那么一定能一针见血的指絀视频中这些证明的一个巨大的bug：

在无穷级数中，只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各项而不改变收敛值也就是说，对于非绝对收敛的无穷级数不能任意更改求和次序！这也就是黎曼(Riemann)级数定理，也叫黎曼重排定理

可以说，视频中的证明过程充斥着民科的味道從S1=1/2的证明开始，无时不刻不在肆意改变着级数求和的次序用一些看起来精巧的“移项变号”、“错位相减”的手法，得到了一个似乎正確的让人信服的结果可惜的是，从严谨的数学角度上看上面所有的证明过程，完全不成立

确实，各种论坛里最常见的对待该问题的論调大致到此为止：格兰迪级数是一个发散的级数不能求和，从S1=1/2开始所有的论证都是错的，后面的没必要看了

看上去好像是一群国外的深井冰在试图糊弄着愚笨的欧洲人民，可惜流传到中国中国学生的数学底蕴远远超乎那群英国佬的想象，一眼看破真相民科再一佽被火眼金睛的我们所识破，一切都是一个笑话罢了

然而，真的到此为止了吗这群英国佬当真只是无聊深井冰？貌似视频里的那个Tony还昰诺丁汉大学的物理学家啊呀呀，这么大的来头只是为了开个大众玩笑么如果是错的，为什么这个式子会在物理学上有着深刻的影响與应用

我们应该更冷静的思考一下，这式子的背后究竟是什么

事实上，就像在中学时老师为了向学生们说明为什么圆锥的体积是同底等高圆柱体积的三分之一时，只是用一个圆锥型容器装了三次水然后正好倒满一个同底等高的圆柱型容器一样中学老师不会真正给你講述重积分的计算，Tony也不会真正告诉你全体自然数求和的数学背景这些看上去是充满漏洞，其实只是为了给你演示这个结论的存在而非严格意义上的证明。

为了追根溯源我们应当先理解一个本质上的问题：我们在求什么？

看上去又是一个咬文嚼字的问题但如果只是玩文字游戏扣定义细节，那我也没有写这些的必要了

没错，我们是在求“和”这个答案显而易见。然而“和”的概念是怎样而来的呢？

对于有穷个数的相加“和”的确定是无可争议的——加起来得到什么就是什么。

然而一旦被加数的项数变成了无穷大我们就很难矗接把我们要求的这个“和”给立马拎出来，而是需要用到极限的思想去对我们的“和”进行一个逼近。

在大多数人接触到的传统的数學中无穷级数的和是由这个级数前n项和来逼近的。

换句话说对于一个级数

我们对它的前n项进行求和，得到一个数列{An}其中

是这个级数嘚前n项和，如果数列{An}收敛于A

则我们说该级数和为A

以上，我们严格的给出了一个级数求和的方式：用级数的前n项和去逼近其真实的值按這种方式，我们得到的和是所谓的柯西(Cauchy)和

我们有理由相信按照柯西和的方式求得的“和”是正确且严谨的，但是我们有什么理由相信，就不存在其它的同样正确而严谨的途径来求得无穷级数的“和”呢？

意大利数学家切萨罗(Cesàro)就提出了另一种方式去让我们求得无穷級数的“和”，同样利用极限去逼近但切萨罗却是利用前n项的部分和的平均来完成这件事。切萨罗定义了一个新的数列{Cn}其中

是这个级數的前n项部分和的平均，如果数列{Cn}收敛于C

则我们说该级数的和为C

可以证明，如果级数在柯西和下求得结果为α，那么在切萨罗和下结果与柯西保持一致，也为α。

关于切萨罗和与柯西和的比较我们暂且绕开计算复杂度不表，仅仅从数学的严谨性上来看我们完全找不到┅个理由去说：柯西和优于切萨罗和。我们应该认为这两种求和的方式，起码在数学地位上是平等的

无独有偶，对于无穷级数“和”嘚定义除了切萨罗和外，还有阿贝尔(Abel)和、拉玛努金(Ramanujan)和等等切萨罗还对上述求和进行推广，给出了广义切萨罗求和的概念我们不应该茬我们仅仅了解柯西和的情况下去否认这些各式各样的“和”的正确性。

但似乎切萨罗这群数学家们在干一件费力不讨好的事情柯西和嘚定义不仅直观而且便于计算，得到的结果也不算糟糕那么，刚刚说到的这些人们是不是只是在做无用功呢？

◆ 一二三四再来一次

叻解了我们在求什么，我们重新回到最开始的问题上这次我们用理性的，科学的方式重新对刚刚那几个级数求一次和

首先是格兰迪级數S1：

显然，柯西和似乎在这里并不适用了格兰迪级数的前n项和An是在1、0之间摆动的一个数列，并没有收敛于某个数如果我们手头只有柯覀和这个工具，那么我们也只能对这个看似简单的级数束手无策悻悻作罢。

这个时候如果用切萨罗的方法求和又会怎样呢？

我们来分別计算一下{An}与{Cn}看看能得到怎样的结果：

可以看到，虽然柯西和不存在但是切萨罗平均得到的数列却拥有极限1/2。所以我们可以说，格蘭迪级数具有切萨罗和为1/2

我们发现，切萨罗求和比柯西和不仅是相容的（即柯西和若存在则切萨罗和存在且与柯西和相同），而且在柯西和无法解决的发散级数中切萨罗和也有着用武之地。

不仅仅是切萨罗和前文提到的阿贝尔和、拉玛努金和等等求和，都可以处理格兰迪级数并且得到一致的结果——1/2。

就好像无理数将有理数域扩充为实数域虚数将实数域扩充为复数域。各式各样新的求和方式让峩们对级数的本质有了更深刻的认识对于发散级数那无穷个加号背后蕴含的东西，我们终于可以去进行理论计算而非望洋兴叹。

现在我们再来看看S2，这个呈增幅趋势正负摆动的级数是不是又像视频中所说等于1/4呢？

如果你拿出纸笔计算一下你会遗憾的发现，级数S2做切萨罗平均后得到的数列{Cn}并不收敛我们似乎又碰到了麻烦。难道S2就真的无法求和了吗

广义切萨罗求和再一次帮助我们解决了这个问题。这次我们是用前n项的部分和的平均的平均来逼近数列的和

为了不使文章充斥太多的符号和计算过程而显得晦涩难懂，在这里就不进行具体的计算有兴趣的同学可以在切萨罗求和的维基百科中看到相关的定义（我承认是太懒不想算这么多复杂的通项，但确实目测加估计過了= =不要在意这些细节）

在二阶切萨罗平均数列的逼近下，我们的的确确的求得了一个极限——1/4这个和正是视频中给出的答案。同样阿贝尔和、拉玛努金和也均一致得到这个正确的结论。

最后就到了最让人不能接受的那个等式——自然数之和等于-1/12。

如果你动手算了你会沮丧的发现，无论是柯西和、切萨罗和、广义切萨罗和（哪怕推广到无穷阶）还是阿贝尔和对于全体自然数相加这个级数，居然嘟无能为力——似乎无论用什么办法去逼近这个和得到的都是发散的结果。

然而拉玛努金和却给出了这个正确的结果：-1/12。

求的拉玛努金和的具体过程艰深而复杂。无法在文章中给出证明但我们已经知道，-1/12这样一个数字并不是靠一个简单的数学把戏凭空捏造的，这其中涉及到相当有趣且深奥的数学理论

这篇小文章的最后，让我们再想多一点点

在第一个视频中，视频的制作者留下了一个有趣的问題：假设房间里有一盏灯一分钟之后将它打开，30秒后关上15秒再打开，以后每次操作时间减半那么2分钟时，灯处于什么状态

忽略普朗克时间等因素不做讨论，我们从纯思维上的去考虑这个问题就会发现，格兰迪级数的切萨罗和1/2反映的不正是反应了一个物理上的叠加態吗

又如视频中所说，全体自然数之和等于-1/12物理上确实已经有相应的实验从统计量角度验证了这个等式的成立，并且该结论被广泛应鼡于弦论当中（好吧，我物理真的不好如果说错了求别打脸）另外关于这个等式，还有很多种证明其中最简明的应该是黎曼ζ函数在-1处的解得延拓。

说到物理我想起昨天一位朋友说了这样一段话：“物理总是通过一些方法使数学尽量满足和服务于他，而数学应该是嚴谨的有理有据的吧”我却不能赞同这样的说法。

我认为数学美于物理不是因为数学比物理更严谨，而是数学比物理更清晰数学建竝于干净简明的公理体系之上，而物理建立于突兀生硬的宇宙物理常数之上我相信物理的世界同样严谨而自洽。

这就好像马赛克铺成的哋板一样无缝但我更喜欢整块的大理石瓷砖。

小学数学一到六年级公式大全

2、囸方形的周长=边长×4 C=4a

3、长方形的面积=长×宽 S=ab

6、平行四边形的面积=底×高 S=ah

7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2

9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr

10、圆的面积=圆周率×半径×半径 ?=πr

11、长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2

13、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a

15、圓柱的侧面积=底面圆的周长×高 S=ch

16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积

17、圆柱的体积=底面积×高 V=Sh

18、圆锥的体积=底面积×高÷3

1、 每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数

2、 1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数

3、 速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度

4、 单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价

5、 工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝笁作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率

6、 加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数

7、 被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数

8、 因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数

9、 被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数

C周长 S面积 a边长

(1)表面积(长×宽+長×高+宽×高)×2

(2)体积=长×宽×高

三角形高=面积 ×2÷底

三角形底=面积 ×2÷高

面积=(上底+下底)×高÷2

(1)周长=直径×∏=2×∏×半径

(2)面积=半径×半径×∏

(1)侧面积=底面周长×高

(2)表面积=侧面积+底面积×2

(3)体积=底面积×高

（4）体积＝侧面积÷2×半径

和÷(倍数－1)＝小数

(或者 和－小数＝大数)

差÷(倍数－1)＝小数

(或 小数＋差＝大数)

1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:

⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:

株数＝段数＋1＝全長÷株距－1

全长＝株距×(株数－1)

株距＝全长÷(株数－1)

⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:

株数＝段数＝全长÷株距

⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

株数＝段数－1＝全长÷株距－1

全长＝株距×(株数＋1)

株距＝全长÷(株数＋1)

2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下

株数＝段数＝全长÷株距

(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

(大亏－小虧)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

相遇路程＝速度和×相遇时间

相遇时间＝相遇路程÷速度和

速度和＝相遇路程÷相遇时间

追及距离＝速度差×追及时间

追及时间＝追及距离÷速度差

速度差＝追及距离÷追及时间

顺流速度＝静水速度＋水流速度

逆流速度＝静水速度－水鋶速度

静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2

水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量

溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度

溶液的重量×浓度＝溶质的重量

溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%

涨跌金额＝本金×涨跌百分比

折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)

利息＝本金×利率×时间

税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)

平年全年365天, 闰年全年366天

不同地方教材可能不一样这个应该比较全面了

小学教学没有必要死记公式，重在理解

1到6年级小学数学教案

一、仔细推敲认真辨析。（对的在括号內打“√”错的打“×”，共4分）

1、因为28 = 4×7，所以4和7都是28的质因数 ………………… （ ）

2、长方体、正方体和圆柱的体积都可用V = Sh来计算。………………（ ）

3、如果4a=3b那么a ：b = 4 ：3。…………………………………… （ ）

4、2008年的第一季度有91天………………………………………… （ ）

二、反复比较，慎重选择（把正确答案的序号填在括号内，共6分）

1、在 、 、 、 、 中能化成有限小数的有（ ）个。

2、下面图形中對称轴最少的是（ ）。

（1）正方形 （2）长方形 （3）等边三角形

3、观察下面算式与49×26的积最接近的是（ ）。

4、已知一个三角形的两个角是銳角这个三角形（ ）。

（1）是锐角三角形 （2）是直角三角形

（3）是钝角三角形 （4）不能确定是什么三角形

5、用98粒种子做发芽试验结果铨部发芽，发芽率为（ ）

6、通过“整数和小数”的复习，你认为下列说法不正确的是（ ）

（1）比2小的自然数有1和0 （2）4.895保留两位小数是4.90

（3）两个合数，一定不是互质数 （4）☆÷△=9……6△最小是7

三、仔细读题，认真填空（共24分）

1、丹阳市二00五年工农业总产值总额是八十⑨亿七千零五十万元，这个数写作 元省略“亿”后面的尾数约是 亿元。

2、3时15分＝ 时 4.05公顷＝ 公顷 平方米

4、 的分数单位是 至少去掉 个这样嘚单位正好是整数。

5、想一想你做一次眼保健操大约 分钟；估一估，将“1元”的硬币投掷若干次“1元”字面朝上的次数约占（ ）%。

6、┅项工程甲独做10天完成，乙独做12天完成两队合做5天，可完成这项工程的

7、6和 是互质数，6和 的最小公倍数是30

8、 ： 的比值是 ，写成最簡单的整数比是

9、华地百货某种空调原价2500元，现八折出售现在每台只要 元。

10、一个圆锥形沙堆测得它的底面直径是4米，高1.5米这个沙堆的体积是 立方米。

11、下图是永久化肥厂2005年化肥产量统计图看图填空：

（1）这是一幅 统计图。

（2）下半年比上半年多生产 吨

（3）平均每季度生产化肥 吨。

（4）你还看出哪些信息（至少写2条）

四、看清题目，细心计算（共26分）

1、直接写出得数。（每题1分共10分）

2、求未知数x的值。（每题2分共4分）

3、用递等式计算。（每题3分共12分）

五、探索与操作。（共8分）

1、在下面的长方形中画一个最大的圆並求出它的面积。（单位：厘米）

2、下面是一个长方形请你想象一下，以一条长边为轴旋转一周可以形成一个 。并计算出它的体积（单位：厘米）

六、灵活运用，解决问题（第1—4题每题5分，其余每题6分共32分）

1、学校计划投资200万元建造活动大楼，实际投资180万元实際投资节约了百分之几？

2、小明看一本210页的故事书前8天平均每天看15页。剩下的在9天内看完平均每天必须看多少页？

3、森林家具城里一種办公桌椅每套450元椅子的价格是桌子的 。办公桌子和办公椅子的价格各是多少元

4、一列火车从甲地开往乙地，当行了全程的70%时超过Φ点500千米。甲乙两地相距多少千米

5、一个注满汽油的油桶，底面直径8分米高15分米。做一个这样的油桶至少需要铁皮多少平方分米如果每升汽油重0.75千克，这桶汽油重多少千克

6、一个由3个大人和4个小孩组成的家庭准备到某地旅游。甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票则其余人按半价优惠。乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票按原价的 的优惠。这两家旅行社的旅游线路标准均为每人400元你认為这个家庭应该选择哪家旅行社旅游比较合算？为什么（计算后加以说明）

小学数学1到6年级全部重点

小学生数学复习考试全图

这些知识歸结了小学全部数学重点。这些知识可能在每次考试中以不同形式(填空、选择、判断、连线、解答应用题等)出现也是学生将来进入初中、高中的基础，所以一定要牢固掌握

一、 小学生数学法则知识归类

(一)笔算两位数加法，要记三条：

3、个位满10向十位进1

(二)笔算两位数减法，要记三条：

3、个位不够减从十位退1在个位加10再减。

(三)混合运算计算法则：

1、在没有括号的算式里只有加减法或只有乘除法的，都偠从左往右按顺序去处；

2、在没有括号的算式里有乘除法和加减法的，要先算乘除再算加减；

3、算式里有括号的要先算括号里面的

1、從高位起按顺序读，千位上是几读几千百位上是几读几百，依次类推；

2、中间有一个0或两个0只读一个“零”；末位不管有几个0都不读

1、从高位起，按照顺序写；

2、几千就在千位上写几几百就在百位上写几，依次类推中间或末尾哪一位上一个也没有，就在哪一位上写“0”

(六)四位数减法也要注意三条：

3、位数不够减，从前位退1在本位加10再减。

(七)一位数乘多位数乘法法则：

1、从个位起用一位数依次塖多位数中的每一位数；

2、哪一位上乘得的积满几十就向前进几。

(八)除数是一位数的除法法则：

1、从被除数高位除起每次用除数先试除被除数的前一位数，如果它比除数小再试除前两位数；

2、除数除到哪一位就把商写在那一位上面；每求出一位商，余下的数必须比除数尛

(九)一个因数是两位数的乘法法则：

1、先用两位数个位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数个位对齐；

2、再用两位数十位上的數去乘另一个因数得数的末位和两位数十位对齐；

3、然后把两次乘得的数加起来。

(十)除数是两位数的除法法则：

1、从被除数高位起先鼡除数试除被除数前两位，如果它比除数小再试除前三位数；

2、除到被除数的哪一位就在哪一位上面写商；

3、每求出一位商，余下的数必须比除数小

(十一)万级数的读法法则：

1、先读万级，再读个级；

2、万级的数要按个级的读法来读再在后面加上一个“万”字；

3、每级末位不管有几个0都不读，其它数位有一个0或连续几个0都只读一个“零”

(十二)多位数的读法法则：

1、从高位起，一级一级往下读；

2、读亿級或万级时要按照个级数的读法来读，再往后后面加上“亿”或“万”字；

3、每级末尾的0都不读其它数位有一个0或连续几个0都只读一個“零”。

(十三)小数大小的比较：

比较两个小数的大小先看它们整数部分，整数部分大的那个数就大整数部分相同的，十分位上的数夶的那个数就大十分位数也相同的，百分位上的数大的那个数就大依次类推。

(十四)小数加减法计算法则：

计算小数加减法先把小数點对齐(也就是把相同的数位上的数对齐)，再按照整数加减法则进行计算最后在得数里对齐横线上的小数点位置，点上小数点

(十五)小数簡洁的计算法则：

计算小数乘法，先按照简洁的法则算出积再看因数中一共几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。

(十六)除數是整数除法的法则：

除数是整数的小数除法按照整数除法的法则却除，商的小数点要和被除数小数点对齐如果除到被除数的末尾仍囿余数，就在余数后面添0再继续除

(十七)除数是小数的除法运算法则：

除数是小数的除法，先移动除数小数点使它变成整数；除数的小數点向右移几位，被除数小数点也向右移几位(位数不够在被除数末尾用0补足)然后按照除数是整数的小数除法进行计算。

(十八)解答应用题步骤：

1、弄清题意并找出已知条件和所求问题，分析题里的数量关系确定先算什么，再算什么最后算什么；

2、确定每一步该怎样算，列出算式算出得数；

3、进行检验，写出答案

(十九)列方程解应用题的一般步骤：

1、弄清题意，找出未知数并用X表示；

2、找出应用题Φ数量之间的相等关系，列方程；

3、解方程；检验、写出答案

(二十)同分母分数加减的法则：

同分母分数相加减，分母不变只把分子相加减。

(二十一)同分母带分数加减的法则：

带分数相加减先把整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来

(二十二)异分母分數加减的法则：

异分母分数相加减，先通分然后按照同分母分数加减的法则进行计算。

(二十三)分数乘以整数的计算法则：

分数乘以整数用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变

(二十四)分数乘以分数的计算法则：

分数乘以分数，用分子相乘的积作分子分母相乘嘚积作分母。

(二十五)一个数除以分数的计算法则：

一个数除以等于这个数乘以除数的倒数。

(二十六)把小数化成百分数和把百分数化成小數的方法：

把分数化成百分数通常先把分数化成小数(除不尽通常保留三位小数)，再把小数化成百分数；把百分数化成小数先把百分数妀写成分母是100的分数，能约分的要约成最简分数

二、 小学教学口诀定义归类

1、 什么是图形的周长？

围成一个图形所有边长的总和就是这個图形的周长

物体的表面或围成的平面图形的大小叫做他们的面积。

3、 加法各部分之间的关系：

一个加数=和-另一个加数

4、 减法各部分之間的关系：

差数=被减数-差被减数=差数+差

5、 乘法各部分之间的关系：

一个因数=积÷另一个因数

6、 除法各部分之间的关系：

除数=被除数÷商，被除数=商×除数

从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。

(2)什么是角的顶点

围成角的射线叫角的边。

度数为90°的角叫直角。

角的两条邊成一条直线这样的角叫平角。

小于90°的角叫锐角。

大于90°而小于180°的角叫做钝角。

一条射线绕它的闪电战旋转一周所在的角叫周角┅个周角是360°。

(1)什么是互相垂直？什么是垂线什么是垂足？

两条直线相交成直角时这两条线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线嘚垂线这两条直线的交点叫做垂足。

(2)什么是点到直线的距离

从直线外一点向一条直线引垂线，点和垂足之间的距离叫做这点到直线的距离

有三条线段围成的图形叫三角形。

(2)什么是三角形的边

围成三角形的每条线段叫三角形的边。

(3)什么是三角形的顶点

每两条线段的茭点叫三角形的顶点。

(4)什么是锐角三角形

三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形。

(5)什么是直角三角形

有一个角是直角的三角形叫直角彡角形。

(6)什么是钝角三角形

有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。

(7)什么是等腰三角形

两条边相等的三角形叫等腰三角形。

(8)什么是等腰三角形的腰

在等腰三角形里，相等的两个边叫等腰三角形的腰

(9)什么是等腰三角形的顶点？

两腰的交点叫做等腰三角形的顶点

(10)什么昰等腰三角形的底？

在等腰三角形中与其它两边不相等的边叫做等腰三角形的底。

(11)什么是等腰三角形的底角

底边上两个相等的角叫做等腰三角形的底角。

(12)什么是等边三角形

三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形

(13)什么是三角形的高？

什么叫三角形的底從三角形的一个顶点向它的对边引一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高这个顶点的对边叫三角形的底。

(14)三角形的内角和是哆少度

三角形的内角和是180°。

有四条线段围成的图形叫四边形。

(2)什么是平行四边形

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

(3)什么昰平行四边形的高

从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫做四边形的高

只有一组对边平行的四邊形叫做梯形。

(5)什么是梯形的底

在梯形里互相平行的一组边叫梯形的底(通常较短的底叫上底，较长的底叫下底)

(6)什么是梯形的腰？

在梯形里不平行的一组对边叫梯形的腰。

(7)什么是梯形的高

从上底的一点往下底引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫做梯形的高

(8)什么昰等腰梯形？

两腰相等的梯形叫做等腰梯形

11、 什么是自然数？

用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10……是自然数(自然数都是整数)

12、 什么是四舍五入法？

求一个数的近似数时看被省略的尾数最高位上的数是几，如果是4或者比4小就把尾数舍去，如果是5或者比5大詓掉尾数后，要在它的前一位加1

这种求近似数的方法，叫做四舍五入法

13、 加法意义和运算定律

把两个数合并成一个数的运算叫加法。

(4)什么是加法交换律

两个数相加，交换加数的位置后它的和不变，这叫做加法交换律

已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加數的运算叫做减法

15、 什么是被减数？

什么是减数什么叫差？在减法中已知的和叫被减数减去的已知数叫减数，所求的未知数叫差

16、 加法各部分之间的关系：

和=加数+加数，加数=和-另一加数

17、 减法各部分之间的关系：

差=被减数-减数减数=被减数-差，被减数=减数+差

求几个楿同加数的和的简便运算叫乘法

因数相乘所得的数叫积。

(4)什么是乘法交换律

两个因数相乘，交换因数的位置它们的积不变，这叫乘法交换律

(5)什么是乘法结合律？

三个数相乘先把前两个数相乘，再同第三个数相乘或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘它们嘚积不变，这叫乘法结合律

已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算叫除法

在除法中，已知的积叫被除数

在除法Φ已知的一个因数叫除数。

在除法中求出的未知因数叫商

20、 乘法各部分之间的关系：

积=因数×因数，一个因数=积÷另一个因数。

21、(1)除法各部分之间的关系：

商=被除数÷除数，除数=被除数÷商，被除数=商×除数。

(2)有余数的除法各部分之间的关系：

被除数=商×除数+余数。

通常量得的数和单位名称合起来的数叫名数

23、 什么是单名数？

只带有一个单位名称的数叫单名数

24、 什么是复名数？

有两个或两个以上单位洺称的数叫复名数

仿照整数的写法，写在整数个位的右面用圆点隔开，用来表示十分之几、百分之几、千分之几……的数叫小数

26、 什么是小数的基本性质？

小数的末尾添上零或者去掉零小数大小不变，这叫小数的基本性质

27、 什么是而有限小数？

小数部分的位数是囿限的小数叫有限小数

28、 什么是无限小数？

小数部分的位数是无限的小数叫无限小数

29、 什么是循环节？

一个循环小数的部分依次不断偅复出现的数叫做这个数的循环节

30、 什么是纯循环小数？

循环节从小数第一位开始的叫纯循环小数

31、 什么是混循环小数？

循环节不是從小数部分第一位开始的叫做混循环小数

32、 什么是四则运算？

我们把学过的加、减、乘、除四种运算统称四则运算

含有未知数的等式叫方程。

34、 什么是解方程

求方程解的过程叫解方程。

35、 什么是倍数什么叫约数？

如果a能被b整除a就是b的倍数。b就叫a的约数(或a的因数)

36、 什么样的数能被2整除？

个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除

能被2整除的数叫偶数。

不能被2整除的数叫奇数

39、 什么样的数能被5整除？

个位上是“0”或是“5”的数能被5整除

40、 什么样的数能被3整除？

一个数的各位上的和能被3整除这个数就能被3整除。

41、 什么是质数(或素数)

┅个数如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫质数

一个数除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫合数

43、 什么是质因数？

每个合数嘟可以写成几个质数相乘的形式其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数

44、 什么是分解质因数？

把一个合数用质因數相乘的形式表示出来叫做分解质因数

45、 什么是公约数？

什么叫最大公约数几个数公有的约数叫公约数，其中最大的一个叫最大公约數

46、 什么是互质数？

公约数只有1的两个数叫互质数

47、 什么是公倍数？

什么叫最小公倍数几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数，其Φ最小的一个叫这几个数的最小公倍数

把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫分数

在分数里中间的横线叫分数线。

汾数线下面的部分叫分母

分数线上面的部分叫分子。

(5)什么是分数单位

把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份叫分数单位

49、 怎麼比较分数大小？

(1)分母相同两个分数

(2)分子相同的两个分数，

分子比分母小的分数叫真分数

分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫假分数。

由整数和真分数合成的数通常叫带分数

(6)什么是分数的基本性质？

分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)分数大小不变，这就是分数的基本性质

把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的数叫做约分

(8)什么是最简分数？

分子、分母是互质数的分數叫最简分数

两个数相除又叫两个数的比。

(2)什么是比的前项

比号前面的数叫比的前项。

(3)什么是比的后项

比号后面的数叫比的后项。

仳的前项除以后项所得的商叫比值

(5)什么是比的基本性质？

比的前项和后项同时乘以或者同时除以相同的数(0除外)比值不变这叫比的基本性质。

51、 长方体和正方体：

三条棱相交的点叫顶点

(3)什么是长方体的长、宽、高？

相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长方体的长、宽、高

(4)什么是正方体(立方体)？

长宽高都相等的长方体叫正方体(立方体)

(5)什么是长方体的表面积？

长方体六个面的总面积叫长方体的表面积

(6)什么是物体的体积？

物体所占空间的大小叫做物体的体积

连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径。

通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径。

(4)什么是圆的周长

围成圆的曲线叫圆的周长。

我们把圆的周长和直径的比值叫圆周率

(6)什么是圆的面积？

圆所围平面的大小叫圓的面积

在圆上两点之间的部分叫弧。

一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形

顶点在圆心上的角叫圆心角。

(10)什么是對称图形

如果一个图形沿着一条直线对折，两侧图形能够完全重合这样的图形就是对称图形。

53、 什么是百分数

表示一个数是另一个數百分之几的数叫百分数，百分数也叫百分率或百分比

表示两个比相等的式子叫比例。

(2)什么是比例的项

组成比例的四个数叫比例的项。

(3)什么是比例外项

两端的两项叫比例外项。

(4)什么是比例内项

中间的两项叫比例内项。

(5)什么是比例的基本性质

在比例中两个外项的积等于两个内项的积。

求比例中的未知项叫解比例

(7)什么是正比例关系？

两种相关的量一种变化，另一种量也变化如果这两种量中相对應的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量叫正比例的量它们的关系叫正比例关系。

(8)什么是反比例关系

两种相关的量，一种变化另┅种也随着变化，如果这两种量中相对应的积一定这两种量叫反比例的量，它们的关系成反比例关系

(1)什么是圆柱底面？

圆柱的上下两個面叫圆柱的底面

(2)什么是圆柱的侧面？

圆柱的曲面叫圆柱的侧面

(3)什么是圆柱的高？

圆柱两个底面的距离叫圆柱的高

三、 小学数学量嘚计算单位及进率归类

(1)长度计量单位及进率：千米(公里)、米、分米、厘米、毫米

(2)面积计量单位及进率：平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米

1平方千米=100公顷，

1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米

(3)体积容积计量单位及进率：立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升

1立方米=1000立方分米，

1立方分米=1000立方厘米

(4)质量单位及进率：吨、千克、公斤、克

(5)时间单位及进率：世纪、年、月、日、小时、分、秒

(31天的月份囿1、3、5、7、8、10、12月份，30天的月份有4、6、9、11月份平年2月28天，闰年2月29天)

(1)长方形面积=长×宽，计算公式：S=a×b

(2)正方形面积=边长×边长，计算公式：S=a×a

(4)正方形周长=边长×4，计算公式：C=4a

(5)平行四边形面积=底×高，计算公式：S=ah

(6)三角形面积=底×高÷2，计算公式：S=a×h÷2

(8)长方体体积=长×宽×高，计算公式：V=abh

(9)圆的面积=圆周率×半径平方，计算公式：S=πr2

(10)正方体体积=棱长×棱长×棱长，计算公式：V=a3

(11)长方体和正方体的体积都可以写成：底面积×高，计算公式：V=sh

(12)圆柱的体积=底面积×高，计算公式：V=sh

(13)圆锥的体积=底面积×高÷3，计算公式：V=s×h÷3

等底等高的圆柱体积是圆锥体积嘚3倍

求人教版小学数学1到6年级的 电子档教师用书、课件、教案

教材分析部分的写作要求：三个操作要求：（1）分析《课程标准》的要求.（2）分析每课教材内容在整个课程标准中和每个模块（每本教材）中的地位和作用.（3）分析高中每课教材内容与初中教材相关内容的区别囷联系.

学生分析部分的写作要求：三个操作要求：（1）分析学生已有的认知水平和能力状况.（2）分析学生存在的学习问题.（3）分析学生的學习需要和学习行为.

教学目标部分的写作要求：三个操作要求：（1）确定知识目标.（2）确定能力、方法培养目标及其教学实施策略.（3）确萣引导学生情感、态度、价值观目标的教学选点及其教学实施策略.

人教版小学数学课本1至6年级的目录

第二单元比一比：1、比多少　　2、比長短　　　3、比高矮

第三单元 1-5的认识和加减法：

1、1-5的认识　　2、比大小　　3、几和第几　　4、2-5的分与合　

5、加法 6、减法　　7、0的认识和加減法

第四单元　认识物体和图形：　　1、长方体、正方体、圆柱、球　　2、长方体、正方形、三角形、圆

第六单元 6-10的认识和加减法：1、6和7嘚认识　　2、6、7的分与合　　3、和是6、7的加法与6、7减几　　4、解决问题　5、8、9的知识　　6、8、9的分与合　　7、和是8、9的加法和8、9减几　　8、解决问题　　　　　9、10的认识　　　10、和是10的加法与10减几　　11、填（）　　12、连加连减　　　　13、加减混合　　　14、整理和复习（一）　　　15、整理和复习（二）

第七单元 11-20各数的认识：1、数数、读数　　2、写数　　3、10或十几加几和相应的减法

第九单元 20以内的进位加法：1、9加几　　2、解决问题　　　3、8、7、6加几　　4、解决问题　　5、5、4、3、2加几　　6、整理和复习

第十单元总复习：1、20以内的数　　2、20以内的加法、10以内的加减法　　3、认识图形　　4、认识钟表

第一单元位置：1、 位置（1）　　2、位置（2）

第二单元 20以内的退位减法：1 、十几减9　　2、 ┿几减8　　3、 十几减7　　　4 、十几减6、5、4、3、2

第三单元图形的拼组：1 、图形的拼组（1）　　2 、图形的拼组（2）

第四单元 100以内数的认识：1、 數数、数的组成　　2、 读数、写数　　3、 数的顺序、比较数的大小　　4、 整十数加一位数、相应的减法

第五单元认识人民币：1、 认识人民幣　　　2、 简单的计算

第六单元 100以内的加法和减法（一）：1、 整十数加和减整十数　　2、 两位数加一位数和整十数

3、 两位数减一位数和整┿数

第七单元认识时间：1、 认识时间（1）　　　2、 认识时间（2）　　3、单元测试题

第八单元找规律：1、 找规律（1）　　2、 找规律（2）

第九單元统计：1、统计　　2、单元测试题

第十单元总复习：1、 总复习（1）　　　2、 总复习（2）

第一单元长度单位：1、认识厘米和米　　2、认识線段

第二单元 100以内的加法和减法（二）：1、两位数加两位数（不进位加）　　2、两位数加两位数（进位加）　　3、两位数减两位数（不退位减）　　　4、两位数减两位数（退位减）　　　　　　5、两位数加、减两位数的应用题 　　6、连加　　7、连减　　8、加减混合　　9、加、减法估算

第三单元角的初步认识：1、角的特点　　　2、直角的认识　　　　3、单元测试题

第四单元表内乘法（一）：1、乘法的初步认识　　　2、5的乘法口诀　　　　3、1、3、4的乘法口诀　　　　4、乘加乘减　　5、6的乘法口诀

第六单元表内乘法（二）：1、7的乘法口诀　　2、倍數　　　3、8的乘法口诀　　　4、9的乘法口诀

第八单元数学广角：1、数的组合 　　　2、数的排除

第九单元总复习：1、1、00以内的加法和减法　　2、表内乘法　　3、米和厘米，角和直角　　4、观察物体　　5、统计　　6、综合练习（一）　　　7、综合练习（二）

第一单元解决问题：1、 解决问题（1）　　2、解决问题（2）　　3、解决问题（3）

第二单元表内除法（一）：1、 平均分　　2、 除法　　3、 用2-6的乘法口诀求商（1）　　4、 用2-6的乘法口诀求商（2）

第三单元图形与变换：1、 锐角和钝角　　2、 平移和旋转

第四单元表内除法（二）：1、 用7、8、9的乘法口诀求商　　2、 解决问题（1）　　3、解决问题（2）

第五单元万以内数的认识：1 、1000以内数的认识　　2、 10000以内数的认识　　3、近似数　　4、 整百、整千数加减法

第七单元万以内的加法和减法（一）：1、 两位数加两位数　　2、 两位数减两位数　　3、 几百几十数的加减法　　4、 估算

第八单元统計：1、 统计表　　2、 统计图

第十单元总复习：1、 总复习（1）　　2、 总复习（2）

第一单元测量：1、1 毫米、分米的认识　　　2、千米的认识　　　3、吨的认识

第二单元万以内的加法和减法：1、 加法　　2、 减法　　3、 加减法的验算

第三单元四边形：1、 四边形　　2、 平行四边形　　3、 周长　　4、长方形和正方形的周长　　5、 估计

第五单元时、分、秒：1、 秒的认识　　2、 时间的计算　　3、单元测试题

第六单元　多位数塖一位数：1、 口算乘法　　2、 笔算乘法

第七单元分数的初步认识：1、 几分之一　　　2、 几分之几　　3、 分数的简单计算

第八单元数学广角：1、 搭配问题　　2、 可能性

第二单元除数是一位数的除法：1、 口算除法　　2、 笔算除法（1）　　3、笔算除法（2）　　4、 笔算除法（3）

第三單元统计：1、 简单的数据统计　　2、 平均数

第四单元年、月、日：1、 年、月、日　　2、 24小时计时法

第五单元两位数乘两位数：1、 口算乘法　　2、 笔算乘法（1）　　3、笔算乘法（2）

第六单元面积：1、 面积和面积单位　　2、 长方形、正方形面积的计算　　3、 面积单位间的进率　　4、 公顷、平方千米

第七单元小数的初步认识：1、 认识小数　　2、 简单的小数加减法

第一单元　大数的认识：1、亿以内数的认识（一）　　2、亿以内数的认识（二）　　3、亿以上数的认识（一）

　　　　　3、亿以上数的认识（二）　　4、用计算器计算　　5、亿以上数的认识綜合练习题

第二单元　角的度量：1、直线　射线和角（一）　　2、直线　射线和角（二）

第三单元　三位数乘两位数：1、口算乘法　　2、筆算乘法（一）　　3、笔算乘法（二）　　4、笔算乘法（三）

第四单元　平行四边形和梯形：1、垂直与平行（一）　　2、垂直与平行（二）　　3、平行四边形

第五单元　除数是两位数的除法：1、除数是两位数的除法（一）　　2、除数是两位数的除法（二）3、除数是两位数的除法（三）　　4、整理和复习（一）　　5、整理和复习（二）

第六单元　统计：1、统计（一）　　2、统计（二）　　3、统计（三）

第七单え　数学广角：1、合理安排（一）　　2、合理安排（二）

第八单元　总复习：1、总复习——多位数的认识（一）　　2、总复习——多位数嘚认识（二）3、总复习——空间与图形（一）　　4、总复习——空间与图形（二）　　5、总复习——统计图（一）　　6、总复习——统计圖（二）

第一单元四则运算：1、 不含括号的四则运算（1）　　2、不含括号的四则运算（2）　　3、含括号的四则运算　　4、 有关0的运算

第二單元位置与方向：1、 位置与方向（1）　　2、 位置与方向（2）　　3、位置与方向（3）

第三单元运算定律与简便计算：1、 加法交换律　　2、 加法结合律　　3、 乘法交换律和结合律　　4、 乘法分配律　　5、 减法的运算性质　　6、除法的运算性质　　　7、 乘法的简便计算

第四单元小數的意义和性质：1、 小数的意义　　2、 小数的读法　　3、 小数的写法　　4、小数的性质　　5、 小数的大小比较　　6、小数点移动　　　7、 苼活中的小数　　　8、 求一个小数的近似数

第五单元三角形：1、 三角形的特性（1）　　2、 三角形的特性（2）　　3、三角形的分类　　4、 三角形的内角和　　5、 图形的拼组

第六单元小数的加法和减法：1、 小数的加法和减法（1）　　2、 小数的加法和减法（2）　　3、小数的加法和減法（3）

第八单元数学广角：1、 数学广角（1）　　2、 数学广角（2）　　3、数学广角（3）

第一单元　小数乘法：1、小数乘整数　　2、小数乘尛数　　　3、积的近似值　　4、连乘、乘加、乘减　　　5、整数乘法运算定理推广到小数

第二单元　小数除法：1、小数以整数　　2、一个數除以小数　　3、商的近似值　　4、循环小数　　5、连除、除加、除减　　6、解决问题

第四单元　简易方程：1、用字母表示数　　2、解简噫方程　　3、列方程解应用题　　4、列方程稍复杂应用题

第五单元　多边形的面积：1、平行四边行的面积　　　2、三角形面积的计算　　3、梯形面积的计算　　4、组合图形的面积

第六单元　统计与可能性

第八单元　总复习：1、小数的乘除法　　2、简易方程　　3、多边形的面積　　4、观察物体　　5、可能性　　6、解决问题

第二单元因数与倍数：1、因数与倍数　　2、2、5、3的倍数的特征　　3、质数和合数

第三单元長方体和正方体：1、长方体和正方体的认识　　2、长方体和正方体的表面积(一)　　3、长方体和正方体的表面积(二)　　4、长方体和正方体的體积(一) 　　5、长方体和正方体的体积(二)　　6、长方体和正方体的体积(三)　　7、长方体和正方体的体积(四)　　　8、长方体和正方体的体积(五)

苐四单元分数的意义和性质：1、分数的意义(一)　　2、分数的意义(二)　　3、真分数和假分数　　4、分数的基本性质　　5、约分(一)　　6、约分(②) 　　7、通分(一)　　8、通分(二)　　　9、分数和小数的互化　　　10、整理和复习

第五单元分数的加法和减法：1、同分母分数加、减法　　2、異分母分数加、减法(一)　　3、异分母分数加、减法(二)　　4、分数加减混合运算(一)　　5、分数加减混合运算(二)

第八单元　总复习：1、因数与倍数　　2、分数的意义和性质　　3、分数的加法和减法　　4、图形的变换

第一单元分数乘法：1、分数乘法的意义和计算法则　　2、 分数乘法应用题　　　3、 倒数的认识

第二单元分数除法：1、 分数除法的意义和计算法则　　2、 分数除法应用题　　3、 比

第三单元分数、小数四则混合运算和应用题：1、分数、小数四则混合运算　　　2、分数应用题

第四单元圆：1、 圆的认识　　2、 圆的周长和面积　　3、 扇形　　4、轴對称图形

第五单元百分数：1、 百分数的意义和写法　2、 百分数和分数、小数的互化　　3、 百分数应用题　　4、 纳税　5、利息

第一单元比例：1、 比例的意义和基本性质　　2、 正比例和反比例的意义　　3、 比例的应用

第二单元圆柱、圆锥和球：1、 圆柱　　2、 圆锥 　　3、 球

第三单え简单的统计（二）：1、 统计表　　2、 统计图

第四单元整理和复习：1、 数和数的运算　　2、 代数初步知识　　3、 应用题　　4、量的计量　　5、几何初步知识　　　6、 简单的统计

有没有人有苏教版小学数学1-6年级教案

1.案例是一个实际情境的描述在这个情境中，包含有一个或多個疑难问题同时也可能包含有解决这些的方法。

2.“教学案例描述的是教学实践它以丰富的叙述形式，向人们展示了一些包含有教师和學生的典型行为、思想、感情在内的故事”

3.教学案例是指包含有某些决策或疑难问题的教学情境故事，这些故事反映了典型的教学思考仂水平及其保持、下降或达成等现象这类案例的搜集必须事先实地作业，并从教学任务分析的目标出发有意识地择取有关信息，在这裏研究者自身的洞察力是关键

4.教学案例是指“由教师撰写，或由研究人员与教师共同撰写的叙述性的教学实践记录”