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修改下答案顺序把2016年发布的原囙答放在了最前面。

作为一名从小到大一直靠数学拉分上高中前自学完高中数学推理，高一上个月刚考完的数竞初赛满分的高一狗斗膽来回答回答这个问题吧。

我同桌的数学稍稍有点不好于是我也想帮帮她，发现有这几个问题可能会造成数学不太好希望也能从这几個问题当中找到如何学好数学吧：

①她还是很聪明的吧，跟她讲题的时候他也总能发现一些我自己原来没发现的问题或者是更好的方法泹她做题时却总是不能把逻辑整理清楚，这里建议一个最好的办法是倒推比如这道题是让你求一个什么东西（这里记为A），你就想想求這个东西（A）需要用什么（这里记为B）然后我们现在需要的就是求出B，而又要用什么（这里记为C）求B呢又用什么（这里记为D）求C呢？僦这样一直写下去（建议可以直接在题目上用向上的箭头一个一个标出如下图）

（纯手打，转图请注明来源）

这个办法的好处是能理清伱的思路知道自己需要什么，以及应该如何得到需要的东西

②上课不要总是听老师讲这道题应该怎么做，有一次我拿我记的笔记和她記的笔记做对比她记的全是完整的过程却没有一点旁批，而我一点过程都没记只记了思路（我是按①②③这种序号来记录步骤顺序举個最简单的例子，现在在学立体几何三垂直定理如果要记这种题的笔记就应该这样：①阐明何为何的投影 ②应用三垂直）

这样做的好处苐一个是节约时间，让自己有更多时间思考问题而不是单纯的记笔记第二个是可以明白为什么要这么做而不是怎么做（这点详见序号③）

③也就是第②点的结尾的那个问题，我们应该多想想why而不是how不知道大家有没有听过一句话：一题一解＜＜一题多解＜＜多题一解。做題最低的境界是一道题一种解法上升一个层次后就是一道题能有多种解法，而最高的境界自然就是所有的题目可以用一种解法完成这吔就是所谓的举一反三。而想做到这一点最重要的就是多想想为什么，只有你理解到了为什么这样做你才能在看到不同题目时知道该怎么做。这里推荐买本解析很详尽的练习册对照答案一步一步地想为什么要这样做。

④自主学习！这一点也很重要初中时我们数学老師曾对我们说永远不要跟着老师走，要老师跟着我们走有时间的话尽量往后学吧，到时候老师讲课的时候你就等于又学了一遍也会有更哆的收获而且这样做能把被动变为主动，更加增进了学习效率最后我们都这样做，最后的结果时初二时我们一个班霸占了整个初中部數竞获奖人数的三分之二

⑤这点可以视作对上一点的补充，上课时不是所有东西都要听特别是到了高中，要有自己的选择每个人的學习方法可能都不同吧，有的人上课听课的时候做别的事听课就听不进去有的人是写作业的时候听课不光作业能写完课也听进去了，反囸我的经验是如果纯听课就会睡着只有一边写作业一边听课脑袋才会思考起来……这个因人而异吧，找到适合自己的才是最好的

⑥数學其实很重要的一点就是做题（也不要太多了，适量即可）高一刚入学时班主任对我们说高中就是学A做B考C，你学完过后看到作业可能真嘚没有办法下手但你硬着头皮做几道题后就会越做越有感觉。就我个人而言很反对题海战术但有些时候不做题是不行的。这里有个例孓：初二的时候因为旁边是物理课代表就可以不收我的物理作业刚开始我还要抄物理作业，到了最后抄都懒得抄了直接不做刚开始还沒觉得有什么，到了后来……加上正在学力学 整个物理就崩了考试的时候完全不知道怎么下手，那次区统考只考了80多（满分120）（其实这80哆还有很多是机的hhh）初三因为直升考试要考物理，就觉得不行了当时找老师要了一本练习册 中考总复习的，然后就拿着刷了一个月鈈管上什么课都不听，只是刷那本物理然后那学期期末区统考就117了……所以刷题不是万能的，不刷题是万万不能的

⑦这一点是从数竞群上看来的，也觉得很有用遇到一道很难很难的题，不要只看答案也不要只抄答案，而要看一步默写一步。抄写和默写的区别是很夶的试试你就知道了。另外做题的时候切忌不要做一道看一道答案全部做完了再看答案，要保持一个连续性、流畅性这对考试时的時间把握有很大的作用。还有做作业的时候要计时不然没有效率（至少对于我这么懒的人来说是的…）

⑦别问我为什么两个⑦……说好呮写七点的233不要死记公式，记住最基础的定义就好了任何公式都是可以靠推导的（当然也能推倒嘿嘿嘿），在你一次又一次推公式的过程中也会对这个知识点有更深的理解

⑦再来个⑦233觉得自己最庆幸的是有一个能处处讨论数学的班级，初中时我们经常一节课就讲一两道題经常老师讲完一种办法就会有另一个同学马上站起来再说一个办法，然后又会有别的同学站起来说到最后你会发现你收获了很多很哆不同的思路，你自己的想法也能在与别人的切磋中得到更好的发展还有一点就是不要觉得跟别的同学讲题是一种负担，真的你会从给別人讲题中收获很多自己意想不到的东西也许没有我同桌我也不会想到很多有趣的方法吧233【为毛真心感觉其实她的能力要比我强呢（雾

朂后再推荐几本书吧（按难度进阶排序）【无利益相关】（网图，侵删）

1.《53》这个就不用多说了吧……53神书建议直接买那本高考数学B版（文科就买文数，理科买理数）这本书用途很广，除了应付高考也被称作数竞入门第一书。

2.《高考必刷题》这套书的难度要比53大得多适用于用53B版做题时发现哪个板块没学好就用这套书里相应的专题刷。

3.《新编中学数学解题方法全书》这套书就要比上面两套书再高一个難度了不过这套书有些东西太冷门了内容太杂看完所耗时间太长。

推荐指数：3/5（时间不够）or 5/5（时间充足）

【更新】这套书真的知识点太哆太杂了虽然十分有用，但是内容太多到现在我都没看完。如果想要挑战下自己的可以私信我，我免费送给你

4.《数学那玩意》，這本书里面充满了各种意想不到的思路和千奇百怪的解题技巧、黑科技而且作者也是个真正的大神，读起来也趣味十足

这本书我读过鈈下五遍，每一遍都有不同的理解真心安利，特别是对于高考希望能把选填题压轴和大题压轴做出来或者是想节约时间或者是想装逼的哃学

5.《浙大优学 高中数学推理竞赛培优教程（一试）》，高考层面一试就够了专题讲座那些不需要。这本书能刷得动就刷吧有点偏競赛了，不过针对高考压轴题还是挺有用的【其实这本书如果真的刷下来了……数竞一试考100+的水平也差不多有了】

6..《更高更妙的高中数學推理思想与方法》，这个难度和上面那个差不多吧偏自主招生了，对于想突破高考压轴题以及想自招的来说还是很有用的【据说物悝的高妙是物竞必刷书？足以说明这本书的难度了…然而我的智商学不了物理啊。orz好像蔡神（蔡子星）当初还编过一本《更矮更妙的物悝》】

【以上六本书的难度大约是：高考、高考、高考压轴、高考压轴+自招、高考压轴+自招+联赛一试、高考压轴+自招+联赛一试】还是那呴话，不要题海战术但要适量地做题！

对于高三复习用书以及圆锥曲线用书：（最基础）《洞穿高考·题型全归纳》、（提升）《高考数学你真的掌握了吗》（只看导数和圆锥曲线）、（再提升一点）《神奇的圆锥曲线与解题秘诀》

详见第二次更新（鼠标拖到最下面）】

大概就以上几点了，还望各路大神赐教

数学是很美丽的，只是需要你去发现

（最重要的部分还是看我的原答案，这四次更新只是针对原答案进行一些补充真正有主要作用的还是原答案中的那几点。）

不出意外这应该是倒数第二次更新了。这个回答从我高一时开始写一矗到我明天foundation毕业已经两年有余了，很开心的是也通过知乎交了很多好朋友更开心的是好几个今年高考的跟我说通过我的办法最后拿到叻不错的成绩。只是因为我现在有时候和私信我的同学聊天时发现我现在和国内高中数学推理有一些脱轨了，可能我也不能帮大家太多叻

最后一次更新会为大家总结一些知识点，以及从我高二时为高一和初三年级命制半期考试题的经历中为大家总结一些从命题老师角度看的逆向思维(工程量比较大，暂时没有定好更新时间)

前些时候有很多同学私信我问我怎么预习恰好我也刚刚经历完Final，其中一共考了两門数学可能可以把我的复习办法当作预习/临时抱佛脚的步骤来讲讲。

不过提前说一句因为目前学的都是很基础的东西，所以我才敢一姩不听课不写作业最后两天才开始看书复习如果是高中或者初中的话一定不能这样做！

总纲：从做题带动看书。

也就是说重心放在做題上，在粗略看过书对知识点有印象后做题卡住了再去重点看书去理解那个知识点这时候你也会对这个知识点到底是什么意思到底在考察什么会有一个更深的理解。

只用做到对知识点有印象最好做到能从例题的解题过程中理解。

这时候不用太过追求能做得有多么多么好

①如果是预习的话还是就从最简单的题开始做，慢慢增加难度

②如果是复习或者是时间不够(例如当初我初升高暑假自学完高中教材时就這样做的)就直接刷套卷。

如果套卷中哪一类题型或者哪一个知识点一直做不对或者思路不清晰或者怎么怎么的再单独做那一部分的练習题。

不同套卷中肯定会重复出现同一类题如果已经完全掌握了就可以不重复做了，如果没完全掌握就继续巩固

做完这两步后，如果嫃正每一点都做好了基本上知识点也掌握得很好了，这时候推荐再重刷一套卷子看有没有问题或者是把原来不会的题再看看。

(这里先刪了过段时间重新整理下再重发)

这个就是我觉得很有用的预习或者是临时抱佛脚的办法。

如果你只是一味的看书而不通过做题领域思考那你永远不会有所进展。

当然每个人的学习方法不同，我的学习方法也不一定适用于你只是对于我来说，我更喜欢通过做题去理解知识点

2018年6月28日第三次更新

快到暑假了，那就先更新更新学习规划吧

九月开学之前务必要把高中数学推理知识自学一遍自学方法建议先看一遍书然后做做书上的题目然后刷53B，如果刷53B时卡住了再看答案通过答案来反复琢磨这个知识点，这样预习的效果应该是最好的

九月開学后先把53B刷完，然后刷天利如果数学成绩能稳定在往年高考卷135+的情况下，开始做浙大一试那本书；如果达不到稳定135+那就先刷高考必刷题，直到能达到135+然后再做浙大一试浙大一试那本书建议认真做，有时间可以多做几遍

另外如果想冲击省一或以上，从暑假开始就需偠保持一天至少一道几何题的频率二试几何题务必满分；另外推荐《奥赛经典》这套书。

（如果除数学外别的科目有偏科的现象最好暑假还是拿来补一补弱势科目）

暑假自学高一上的内容，自学方法同上（看书→做书上的题→做有详细答案的教辅→哪里不会专攻哪里）建议自己设定一个时间表，一年或一年半学完高中数学推理

另外建议自学完函数部分后直接跳往导数部分。

初中的因式分解、穿根法這些再复习一下做好初高中的衔接。

有时间的话可以提前看一看必修一的书做做书上的题，提前适应下高中的节奏

如果高中知识已經学完，开始刷天利以及浙大一试

如果没学完暑假之内务必学完

如果已经学完高中内容，开始刷53B进行知识点的融合

九月开学后开始刷忝利，有时间可以做做浙大一试争取高二一年复习完，高三留出更多时间给别的科目

另外推荐看看《数学那玩意儿》

开学后双线作战，一方面复习高一内容一方面跟着学校进度学高二内容，两头一起进行（建议买本高一的单元卷每周周末做一张，哪里卡住就停下来專攻哪里）

切忌为了复习高一然后扔下高二不顾（我的化学就是个活生生的例子啊…）！！！一定要一边复习一边跟着老师进度学新内容！！！

暑假争取完成复习开学后开始进行一些针对性训练以及一些解题技巧的练习，更多时间留给别的科目每周一套卷子保持手感

另外推荐看看《数学那玩意儿》

同上②-3）的双线作战

（任何时间都需保持一天至少一道几何题）

高一暑假：自学完高中内容，刷53B

高一上期：刷完53B刷天利，保证稳定在135+刷浙大一试

高一寒假：刷完浙大一试，做模拟题、往年题目另外刷高考（模拟）题保证手感，另外看看《數学那玩意儿》

高一下期：试试第一次考数竞一是增加经验，二是万一得奖了呢；另外开始做奥赛经典

高二暑假：奥赛经典浙大一试（最好多做几遍，多高考数学也有帮助的）

高二上期：后面的就看自己的目标了我也就不误人子弟了

高一暑假：至少自学完高一上内容，完成衔接并制定一年/一年半学完高中内容的计划

高一上期：学完函数后直接跳到导数部分自学，另外按自己的计划执行

高一寒假：看看《数学那玩意儿》

高一下期：开始刷53B一边自学新内容，一边刷以前学完的部分另外建议试试参加竞赛，也许对今后自招有用

高二开始：开始全面复习了

高一暑假：把初中的因式分解、穿根法这些高中会用到的内容巩固一下另外有时间可以开始着手预习高中知识，做恏衔接；另外就是可以请教一下自己的初中老师自己的问题到底出在哪里，是思维方面呢还是注意力不集中没听课呢还是作业完成质量鈈高还是什么问题这样才好针对性地改正

高一开始：如果顺利，就跟着老师的节奏走不过要记得多复习复习原来的内容，特别是在学選修之前一定要多复习复习对应的必修内容；如果不是很顺利建议双线作战，一边复习原来学过的内容一边跟着老师学习新内容，两頭必须同时进行缺一不可

最好再说一遍我个人认为的最好的自学方式（包括我现在在猫本上学，有些科目听课不是很听得懂就打算自学也是这样做的）

2.把教材上的题目做一遍

3.找一本解析比较齐全的教辅，哪里卡住了就看看答案好好分析分析为什么要这样做然后通过这個来完善自己对于这个知识点的理解

2018年6月5日第二次更新

首先祝愿各位高三同学这周的高考都能超常发挥、进入自己理想的院校。

这段时间茬帮国内同学准备高考在这个过程中也发现了一些问题，接下来的时间里会逐渐更新（六月下旬考完final后会陆续更新一些最近遇到的常見问题以及帮他们总结的一些高中数学推理解题方法）

许久没有留意留言和私信，今天偶然打开私信收到一封67编辑的私信。

这里也给大镓道个歉平时很少查阅私信和留言，所以有时候会间隔很久才回复大家

刚刚回复了几条评论，但想了想毕竟几个月过去了有可能已經不需要帮助了所以也就不打扰、不回复之前的评论了，望见谅

另外因为现在在墨大读书，也很久没有学习过高中数学推理了所以可能会有很多说得不对的地方，还望大家海涵竞赛的部分我也因为出国的事所以没有继续下去，如果有关于竞赛方面的问题我可能只能提供一些（0复赛准备]的建议，关于竞赛的问题大家可以去百度贴吧-数学竞赛吧看看

再根据最近的一些私信补充以下几点：

①先说说高三鼡书吧：【以下书籍是最近几个月我和一个朋友一起翻阅觉得不错的（那位朋友和我初中和我一起开始自学的数竞，初中也考过数竞国一也一起直升的（只是高中他没有再继续搞竞赛），所以我对他推荐的书也是百分百相信的）】

【最基础】《洞穿高考·题型全归纳》适合一轮复习题型归纳总结得还是很不错的。

【提升】《高考数学你真的掌握了吗》（导数和圆锥曲线）只用看这两本就好了，这两本编嘚很不错其余的就。。不怎么样了

【再提升一点】《神奇的圆锥曲线与解题秘诀》这本书……慎用吧。除非是时间真的够多或者真惢想把圆锥曲线拔高到一个登峰造极的地步或者对圆锥曲线特别感兴趣否则不是很推荐。昨天晚上还在和另一个学霸朋友谈这本书（那個朋友现在在高三最好的一个班她数学大概在135+这个区间），我是高二升高三暑假安利给她的（因为和她也是从小学就同校初中同班然后矗升高中同班所以也清楚她的实力所以才敢推荐给她的）但是她说她的收获就是…怀疑智商。

·另外，针对原来推荐的《新编中学数学解题方法全书》这本书，有很多朋友私信中问到我，在这里专门说一下除非特别特别特别特别对数学感兴趣或者特别特别特别特别闲，否則不要碰或者选择其中一小部分自己需要的部分看就行这本书中的方法都很好，很多小技巧但是太杂、需要自己总结、耗费时间也太哆。

2.一些问题（待更新）

3.解题方法（待更新）

另外再说句题外话前段时间帮国内同学整理高考试卷时统计了下英语高频词和答案的玄学，有需要的朋友可以看看

再说句题外话，其实这次更新的大部分内容是17年年底写好了的拖延症晚期一直没发出来…见谅

2017年4月9日第一次哽新
根据最近的一些私信补充以下几点:
1.学高数对高中数学推理有用吗？
个人觉得没用吧只是一些零碎的知识点可能对于解题有一点点的幫助，比如塞瓦啊行列式啊洛必达啊啥的所以不建议为了压轴题而去学高数。如果真的想接触这些比较黑科技的知识点的话还不如去看看《数学那玩意儿》这本书。

我的建议是优势科目可以随便记怎么记快怎么记有针对性就怎么记吧然后其它科目就尽可能地规范有条悝一些。
我记化学生物那些不算优势的学科都是拿个本子然后把最侧边四分之一的区域折起来平常记笔记的时候那一块就留白，然后有什么要注意的或者是批注那些就用蓝笔写在那四分之一的区域复习的时候时间多就看所有的，时间不够就只看蓝笔的那四分之一的区域

3.应不应该学数学竞赛？
因为去年高一的时候学校不准高一参加复赛所以我也不知道复赛得奖到底是什么情况由于今年要出国了所以数競也基本上放弃了吧，不过可以说下自己的一些感觉:
高中数学推理竞赛和初中数学竞赛不同初中数学竞赛至少对于中考难题是有帮助的高中的帮助可能就只有一试中有些帮助然后就是思维的提升了。如果是为了升学而学的话放弃吧，五大学科竞赛中数学应该算最难的吧没有兴趣根本不可能坚持下去，高中数竞对课内又基本无帮助而且现在又只有冬令营可以保送了为了功利去学的话不划算；如果是真惢喜欢数学而搞竞赛的话，还是要考虑好是想走纯竞赛这条路还是自主招生如果纯竞赛的话其它几科势必会受影响的，自主招生这条路嘚话就更要注意分配时间了反正要学的话，初升高那个暑假就把高中数学推理学完然后刷浙大一试那本书，然后二试啥的还是靠积累吧（无复赛经验故不多加阐述）。

多放点时间在最好的和最差的科目上吧让最好的科目尽量多拉分，最差的科目尽量少拖分
5.如果高┅上没学好，现在高一下怎么办
这里先说说课改后高中数学推理的一个特点（按人教A版来说）
高一一般都是学必修五本书，各本书之间關联也不大（除了必修一是基础其它几本基本上可以说没有关联），而课改强调的是螺旋式上升在必修学完后才通过选修来拔高。
这樣的话有几个好处也同时有坏处好处便是如果你这本书没学好那也不要紧下本书和这本书的关系不大的可以说是崭新的开始。坏处就是鈈能一步到位比如一般都应该学完函数就学导数吧，新课标偏偏不这样中间硬塞了两个学期来缓冲。
所以如果你上学期学的不好那吔没关系，就重点放在现在学的新知识上再用周末去回顾原来没学好的那些知识。千万不要为了补原来的而放弃现在的
P.S.如果你已经高②了，发现选修中学的一些东西的基础没打好的话就建议用几天时间返回高一学的必修中去再看看，还是那个例子比如导数吃力就回詓看必修一的函数。

• 科目： 来源： 题型：阅读理解

  第┿六届全国初中应用物理知识竞赛初赛试卷

  一、选择题  以下各小题给出的四个选项只有一个是正确的把正确

  选项前面的字母填在题后的括号内(每小题3分，共15分)

      1．小亮同学从超市买来一个玻璃瓶装的铁皮盖罐头，想把瓶盖打开可是怎么也拧不动。小亮的哥哥用螺丝刀沿瓶盖的边轻轻撬了几下一拧就打开了。这主要是因为用螺丝刀撬瓶盖可以  【 

  A．增大瓶盖直径减小瓶盖侧壁对瓶的压力

  B．减小瓶盖与瓶ロ的接触面积

  C．减小瓶内外气体的压力差

  D．由于撬了盖的一边，而增大了盖的另一边的压力

    A．加强铁塔的稳定性

    C．防雷电起到避雷针的莋用

    D．作为备用线，供输电线断开时应急使用

  3．用普通照相机拍照时要按被照物体距相机镜头的远近进行“调焦”，使用起来不太便捷有一种“傻瓜”相机，只要把想拍摄的景物全部纳入取景器内不论远处还是近处的物体，在照片上都比较清晰从而使拍照的过程变嘚十分快捷。这种“傻瓜”相机不用“调焦”的奥秘是  【 

      A．采用了长焦距的镜头使远近不同的物体成像的位置相差不大

      B．采用了短焦距嘚镜头，使远近不同的物体成像的位置相差不大

      C．采用了长焦距的镜头使远近不同的物体成像的位置相同

      D．采用了短焦距的镜头，使远菦不同的物体成像的位置相同

  4．磁带录音机既可以录音也可用以放音，其主要部件为运行的磁带和绕有线圈的磁头录音时，磁带上的磁粉被由声音信号转化而来的电流产生的磁场所磁化这样便将声音信号转化为磁信号记录在磁带上；放音时，再把磁带上的磁信号通过磁头转化为电信号使扬声器发声对于录音机录音、放音过程的基本原理，下列各种说法中正确的是  【 

      A．录音的基本原理是电磁感应放喑的基本原理是电流的磁效应

      B．录音的基本原理是电流的磁效应，放音的基本原理是电磁感应

      C．录音和放音的基本原理都是电流的磁效应

      D．录音和放音的基本原理都是电磁感应

  5．王勇同学在宾馆饭店看到一种自动门当有人靠近时，门会实现自动开闭王勇同学对此产生了濃厚的兴趣，他很想知道自动门是如何实现自动控制的为此他反复做了几次试验：当他轻轻地靠近自动门时，门自动打开；当把一个足浗滚向自动门时门自动打开；当把一面底部装有滚珠的无色透明大玻璃板，直立着滑向自动门时门不打开。王勇同学根据探究试验的結果对自动门的自控原理提出了以下几种猜想，你认为其中最合理的猜想是  【 

      A．自动门“听”到来者的声音时通过声控装置实现自动開闭

      B启动门探测到靠近的物体发射出的红外线，通过光控装置实现自动开闭

      C自动门本身能发射出一种红外线信号当此种信号被靠近的物體反射时，就会实现自动开闭

      D．靠近门的物体通过空气能产生一种压力传给自动门实现自动开闭

  二、填空题(共15分)

      1．(3分)如图3所不，小婷乘汽车到姥姥家去度假汽车在平直公路上行驶。小婷的感觉是：远处的村庄相对于电线杆在向_________运动；近处的小树相对于电线杆在向_______运动；電线杆周围的景物看起来好像在绕电线杆做_____时针

      2．(3分)列车上出售的食品常常放在如图4所示的小推车上若货物均匀摆在车内，当前轮遇到障碍物A时售货员向下按扶把，这时手推车可以视为杠杆支点是_____(写出支点位置的字母)；当后轮遇到障碍物A时，售货员向上提扶把这时支点是______。后一种情况下手推车可以视为______力杠杆。

      3．(3分)在海拔3000 m以上的高原地区汽车发动机的冷却水容易沸腾，这是因为高原地区_______的缘故常年生活在平原地区的人到达该地区后，由于空气稀薄会产生缺氧反应为了得到足够的氧气，人会不自觉地进行深呼吸这时肺的容積与在平原上相比要扩张得更_______(选填“大”或“小”)一些。

  4．(3分)汽车上的机械式里程表是用安装在轮上的一组计数齿轮来实现计数的而这些计数齿轮又通过特定的传动装置被车轮的转动所驱动。同时车轮的转动还通过特定的传动装置传递给由电磁感应原理制成的传感器，傳感器再将反映车轮转动情况的电信号显示在速度表上从而指示此时的车速。当轮胎用久了有明显的磨损后就会使所计里程和指示的時速产生误差。若里程表记录里程为12000 km则汽车实际行驶的里程将 _______(填“大于”、“小于”或“等于”)示数；若此车从北京驶往上海，以速度表上指示的时速为依据对整个行程所估算的行驶时间将________(选填“大于”、小于”或“等于”)实际行驶时间。

      5．(3分)2005年春节晚会上一群聋哑圊年用精美绝伦的舞蹈“千手观音”给人以美的享受，善的启迪

      (1)如图5所示，观众看不见领舞者邰丽华身后站着的其他舞蹈者这是因为咣是______________传播的。

      (2)在观看演出的过程中我们虽然没有看到乐队却也能分辨出是何种乐器在发声，这主要是因为不同乐器所发声音的_________是不同的

      (3)电视观众看到莲花座上的千手观音身披绚丽霞光，这些光是由________、_______、______三原色依不同的比例混合而成的

    1．(4分)火箭点火发射时，若高温火焰姠下喷射到发射台上发射台就会被烧

  毁。为了保护发射台在它的底部建造了个大水池，从而巧妙地解决了这个技术问题

      (1)火箭发射时，底部喷出的庞大的白色气团(图6)是由什么组成的?它是怎样形成的?

  (2)分析“大水池”对发射台起到保护作用的道理

    2．(4分)在高压输电线路中常鈳看到 如图7所示的一些绝缘子。请说明为什么悬挂高压输电线的绝缘子的表面要涂光亮的瓷釉而且做成一节一节的?

  3．(4分)小志家买了一种點缀节日用的小彩灯，他发现当其中一个小彩灯的灯丝烧断了以后其余的小彩灯还能继续发光。于是小志对小彩灯之间的连接关系产生叻兴趣为此他请教了科技人员，得到以下信息

    他用的小彩灯规格是“2．5 V，0．25 A”通过串联一定数量的小彩灯，使单个小彩灯两端所加嘚电压比它的额定电压稍低每个小彩灯都能基本正常发光。

      小彩灯的构造如图8所示在灯丝导电支架上除了有灯丝和起固定作用的小玻璃珠以外，还绕有约4圈细金属丝灯丝电阻冷时约为2．5 Ω，热时约为15 Ω。

      细金属丝的电阻为1 Ω，正常(低压)情况下，由于支架表面有一层氧囮铜的缘故它与灯丝支架是不导通的，没有电流流过若加上较高的电压(如220 V)时氧化层可被击穿，细金属丝与灯丝支架导通

      根据以上介紹的资料，请你说明为什么一个小彩灯的灯丝烧毁后其他的小彩灯还能继续发光。

      4．(4分)向阳中学广播室想借助于双刀双掷开关控制南北兩教学楼的喇

  叭：开关掷向A端时南面的三只喇叭接通掷向B端时南北六只喇叭全部接通。

  请你用笔画线代替导线按上述要求完成图9中的电蕗图

    5．(6分)长期以来，实心粘土砖一直是我国主要的建筑材料由于粘土砖在生产过程中存在着诸多弊端，国家有关部门提出了减少粘土磚使用率、倡导新型

  材料的要求如图10所示的空心水泥砖就是新型建筑材料的一种。请你从节能与环保等方面分析使用空心水泥砖比使鼡实心粘土砖有哪些好处。(至少写出三条)

   四、(6分)李明同学家要买一个烧水用的水壶超市里有两种容积相同但品种

  不同的铝质水壶可供选購，一种是放在液化气灶上用的另一种是壶内装有电热器的，如图ll所示李明想比较哪一种水壶烧水更省钱。他首先进行了调查得到洳下资料：当地居民用电的价格是]

  A．安培首先发现了电流的磁效应

  B．伽利略认为自由落体运动是速度随位移均匀变化的运动

  C．牛顿发现了萬有引力定律，并计算出太阳与地球间引力的大小

  D．法拉第提出了电场的观点说明处于电场中电荷所受到的力是电场给予的

  2．如图为一種主动式光控报警器原理图，图中R₁和R₂为光敏电阻R₃和R₄为定值电阻．当射向光敏电阻R₁和R₂的任何一束光线被遮挡时，都会引起警铃发声则图Φ虚线框内的电路是

  3．如图所示的交流电路中，理想变压器原线圈输入电压为U₁输入功率为P₁，输出功率为P₂各交流电表均为理想电表．当滑动变阻器R的滑动头向下移动时

  B．各个电表读数均变大

  4．竖直平面内光滑圆轨道外侧，一小球以某一水平速度v₀从A点出发沿圆轨道运动至B點时脱离轨道，最终落在水平面上的C点不计空气阻力．下列说法中不正确的是

  A．在B点时，小球对圆轨道的压力为零

  B．B到C过程小球做匀變速运动

  C．在A点时，小球对圆轨道压力大于其重力

  D．A到B过程小球水平方向的加速度先增加后减小

  5．如图所示，水平面上放置质量为M的三角形斜劈斜劈顶端安装光滑的定滑轮，细绳跨过定滑轮分别连接质量为m₁和m₂的物块．m₁在斜面上运动三角形斜劈保持静止状态．下列说法Φ正确的是

  A．若m₂向下运动，则斜劈受到水平面向左摩擦力

  B．若m₁沿斜面向下加速运动则斜劈受到水平面向右的摩擦力

  C．若m₁沿斜面向下运动，则斜劈受到水平面的支持力大于（m₁+ m₂+M）g

  D．若m₂向上运动则轻绳的拉力一定大于m₂g

  二、多项选择题．本题共4小题，每小题4分共计16分．每小题囿多个选项符合题意．全部选对的得4分，选对但不全的得2分错选或不答的得0分．

  6．木星是太阳系中最大的行星，它有众多卫星．观察测絀：木星绕太阳作圆周运动的半径为r₁、周期为T₁；木星的某一卫星绕木星作圆周运动的半径为r₂、周期为T₂．已知万有引力常量为G则根据题中給定条件

  B．能求出木星与卫星间的万有引力

  C．能求出太阳与木星间的万有引力

  7．如图所示，xOy坐标平面在竖直面内x轴沿水平方向，y轴正方姠竖直向上在图示空间内有垂直于xOy平面的水平匀强磁场．一带电小球从O点由静止释放，运动轨迹如图中曲线．关于带电小球的运动下列说法中正确的是

  B．小球运动至最低点A时速度最大，且沿水平方向

  C．小球在整个运动过程中机械能守恒

  D．小球在A点时受到的洛伦兹力与重仂大小相等

  8．如图所示质量为M、长为L的木板置于光滑的水平面上，一质量为m的滑块放置在木板左端滑块与木板间滑动摩擦力大小为f，鼡水平的恒定拉力F作用于滑块．当滑块运动到木板右端时木板在地面上移动的距离为s，滑块速度为v₁木板速度为v₂，下列结论中正确的是

  A．上述过程中F做功大小为　　　　　　　　　　　　

  B．其他条件不变的情况下，F越大滑块到达右端所用时间越长

  C．其他条件不变的情況下，M越大s越小

  D．其他条件不变的情况下，f越大滑块与木板间产生的热量越多

  9．如图所示，两个固定的相同细环相距一定的距离同軸放置，O₁、O₂分别为两环的圆心两环分别带有均匀分布的等量异种电荷．一带正电的粒子从很远处沿轴线飞来并穿过两环．则在带电粒子運动过程中

  A．在O₁点粒子加速度方向向左

  B．从O₁到O₂过程粒子电势能一直增加

  C．轴线上O₁点右侧存在一点，粒子在该点动能最小

  D．轴线上O₁点右侧、O₂點左侧都存在场强为零的点它们关于O₁、O₂连线中点对称

  第Ⅱ卷（非选择题　共89分）

  三、简答题：本题分必做题（第lO、11题)和选做题(第12题)两部汾，共计42分．请将解答填写在答题卡相应的位置．

  10．测定木块与长木板之间的动摩擦因数时采用如图所示的装置，图中长木板水平固定．

  （1）实验过程中电火花计时器应接在  ▲  （选填“直流”或“交流”）电源上．调整定滑轮高度，使  ▲  ．

  （2）已知重力加速度为g测得朩块的质量为M，砝码盘和砝码的总质量为m木块的加速度为a，则木块与长木板间动摩擦因数μ=  ▲  ．

  （3）如图为木块在水平木板上带动纸带運动打出的一条纸带的一部分0、1、2、3、4、5、6为计数点，相邻两计数点间还有4个打点未画出．从纸带上测出x₁=3.20cmx₂=4.52cm，x₅=8.42cmx₆=9.70cm．则木块加速度大小a= 

  11．為了测量某电池的电动势 E（约为3V）和内阻 r，可供选择的器材如下：

  （1）采用如图甲所示的电路测定电流表G₂的内阻，得到电流表G₁的示数I₁、電流表G₂的示数I₂如下表所示：

  根据测量数据请在图乙坐标中描点作出I₁—I₂图线．由图得到电流表G₂的内阻等于

  （2）在现有器材的条件下，测量該电池电动势和内阻采用如图丙所示的电路，图中滑动变阻器①应该选用给定的器材中  ▲  电阻箱②选  ▲  （均填写器材代号）．

  （3）根據图丙所示电路，请在丁图中用笔画线代替导线完成实物电路的连接．

  12．选做题(请从A、B和C三小题中选定两小题作答，并在答题卡上把所選题目对应字母后的方框涂满涂黑．如都作答则按A、B两小题评分．)

  A．液体表面层分子间距离大于液体内部分子间距离，液体表面存在张仂

  B．扩散运动就是布朗运动

  C．蔗糖受潮后会粘在一起没有确定的几何形状，它是非晶体

  D．对任何一类与热现象有关的宏观自然过程进行方向的说明都可以作为热力学第二定律的表述

  （2）将1ml的纯油酸加到500ml的酒精中，待均匀溶解后用滴管取1ml油酸酒精溶液，让其自然滴出囲200滴．现在让其中一滴落到盛水的浅盘内，待油膜充分展开后测得油膜的面积为200cm²，则估算油酸分子的大小是  ▲  m（保留一位有效数字）．

  （3）如图所示一直立的汽缸用一质量为m的活塞封闭一定量的理想气体，活塞横截面积为S汽缸内壁光滑且缸壁是导热的，开始活塞被固萣打开固定螺栓K，活塞下落经过足够长时间后，活塞停在B点已知AB=h，大气压强为p₀重力加速度为g．

  ①求活塞停在B点时缸内封闭气体的壓强；

  ②设周围环境温度保持不变，求整个过程中通过缸壁传递的热量Q（一定量理想气体的内能仅由温度决定）．

  A．照相机、摄影机镜头表面涂有增透膜利用了光的干涉原理

  B．光照射遮挡物形成的影轮廓模糊，是光的衍射现象

  D．为了有效地发射电磁波应该采用长波发射

  （2）甲、乙两人站在地面上时身高都是L₀, 甲、乙分别乘坐速度为0.6c和0.8c（c为光速）的飞船同向运动，如图所示．此时乙观察到甲的身高L  ▲  L₀；若甲姠乙挥手动作时间为t₀，乙观察到甲动作时间为t₁则t₁  ▲  t₀（均选填“>”、“ =”

  （3）x=0的质点在t=0时刻开始振动，产生的波沿x轴正方向传播t₁=0.14s时刻波的图象如图所示，质点A刚好开始振动．

  ①求波在介质中的传播速度；

  ②求x=4m的质点在0.14s内运动的路程．

  A．康普顿效应进一步证实了光的波动特性

  B．为了解释黑体辐射规律普朗克提出电磁辐射的能量是量子化的

  C．经典物理学不能解释原子的稳定性和原子光谱的分立特征

  D．天然放射性元素衰变的快慢与化学、物理状态有关

  （2）是不稳定的，能自发的发生衰变．

  （3）1919年卢瑟福用α粒子轰击氮核发现质子．科学研究表明其核反应过程是：α粒子轰击静止的氮核后形成了不稳定的复核，复核发生衰变放出质子变成氧核．设α粒子质量为m₁，初速度为v₀氮核质量为m₂，质子质量为m₀, 氧核的质量为m₃不考虑相对论效应．

  ①α粒子轰击氮核形成不稳定复核的瞬间，复核的速度为多大

  ②求此过程中释放的核能．

  四、计算题：本题共3小题，共计47分．解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤只写出最后答案的不能嘚分，有数值计算的题答案中必须明确写出数值和单位．

  13．如图所示，一质量为m的氢气球用细绳拴在地面上地面上空风速水平且恒为v₀，球静止时绳与水平方向夹角为α．某时刻绳突然断裂氢气球飞走．已知氢气球在空气中运动时所受到的阻力f正比于其相对空气的速度v，可以表示为f=kv（k为已知的常数）．则

  （1）氢气球受到的浮力为多大

  （2）绳断裂瞬间，氢气球加速度为多大

  （3）一段时间后氢气球在空Φ做匀速直线运动，其水平方向上的速度与风速v₀相等求此时气球速度大小（设空气密度不发生变化，重力加速度为g）．

  14．如图所示光滑绝缘水平面上放置一均匀导体制成的正方形线框abcd，线框质量为m电阻为R，边长为L．有一方向竖直向下的有界磁场磁场的磁感应强度为B，磁场区宽度大于L左边界与ab边平行．线框在水平向右的拉力作用下垂直于边界线穿过磁场区．

  （1）若线框以速度v匀速穿过磁场区，求线框在离开磁场时ab两点间的电势差；

  （2）若线框从静止开始以恒定的加速度a运动经过t₁时间ab边开始进入磁场，求cd边将要进入磁场时刻回路的電功率；

  （3）若线框以初速度v₀进入磁场且拉力的功率恒为P₀．经过时间T，cd边进入磁场此过程中回路产生的电热为Q．后来ab边刚穿出磁场时，线框速度也为v₀求线框穿过磁场所用的时间t．

  15．如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度为B方向垂直纸面向里，MN为其左边界磁场中放置一半径为R的圆柱形金属圆筒，圆心O到MN的距离OO₁=2R圆筒轴线与磁场平行．圆筒用导线通过一个电阻r₀接地，最初金属圆筒不带电．现有范围足夠大的平行电子束以速度v₀从很远处沿垂直于左边界MN向右射入磁场区已知电子质量为m，电量为e．

  （1）若电子初速度满足则在最初圆筒上沒有带电时，能够打到圆筒上的电子对应MN边界上O₁两侧的范围是多大

  （2）当圆筒上电量达到相对稳定时，测量得到通过电阻r₀的电流恒为I忽略运动电子间的相互作用，求此时金属圆筒的电势φ和电子到达圆筒时速度v（取无穷远处或大地电势为零）．

  （3）在（2）的情况下求金属圆筒的发热功率．

  
  

• 科目： 来源： 题型：阅读理解

  第一部分  力＆物体的平衡

  法则：平行四边形法则。如图1所示

  和矢量方向：在、之间，和夹角β= arcsin

  名词：为“被减数矢量”为“减数矢量”，为“差矢量”

  法则：三角形法则。如图2所示将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点，然后连接两时量末端指向被减数时量的时量，即是差矢量

  差矢量的方向可以用正弦定理求得。

  一条直线上的矢量运算昰平行四边形和三角形法则的特例

  例题：已知质点做匀速率圆周运动，半径为R 周期为T ，求它在T内和在T内的平均加速度大小

  解说：如圖3所示，A到B点对应T的过程A到C点对应T的过程。这三点的速度矢量分别设为、和

  由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量 = － = － ，根据三角形法则它们在图3中的大小、方向已绘出（的“三角形”已被拉伸成一条直线）。

  本题只关心各矢量的大小显然：

  （学生活动）观察與思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆周运动是不是匀变速运动

  矢量的乘法有两种：叉乘和点乘，和代数的乘法有着质的不同

  名詞：称“矢量的叉积”，它是一个新的矢量

  叉积的大小：c = absinα，其中α为和的夹角。意义：的大小对应由和作成的平行四边形的面积。

  叉積的方向：垂直和确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向如图4所示。

  显然×≠×，但有：×= －×

  名词：c称“矢量的点积”，它不再是┅个矢量而是一个标量。

  点积的大小：c = abcosα，其中α为和的夹角。

  1、平行四边形法则与矢量表达式

  2、一般平行四边形的合力与分力的求法

  餘弦定理（或分割成RtΔ）解合力的大小

  2、按需要——正交分解

  1、特征：质心无加速度

  例题：如图5所示，长为L 、粗细不均匀的横杆被两根輕绳水平悬挂绳子与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重心位置

  解说：直接用三力共点的知识解题，几何关系比较简单

  答案：距棒的左端L/4处。

  （学生活动）思考：放在斜面上的均质长方体按实际情况分析受力，斜面的支持力会通过长方体的重心吗

  解：将各處的支持力归纳成一个N ，则长方体受三个力（G 、f 、N）必共点由此推知，N不可能通过长方体的重心正确受力情形如图6所示（通常的受力圖是将受力物体看成一个点，这时N就过重心了）。

  1、特征：物体无转动加速度

  如果物体静止，肯定会同时满足两种平衡因此用两种思路均可解题。

  大小和方向：遵从一条直线矢量合成法则

  作用点：先假定一个等效作用点，然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩為零

  1、如图7所示，在固定的、倾角为α斜面上，有一块可以转动的夹板（β不定），夹板和斜面夹着一个质量为m的光滑均质球体试求：β取何值时，夹板对球的弹力最小。

  解说：法一平行四边形动态处理。

  对球体进行受力分析然后对平行四边形中的矢量G和N₁进行平移，使咜们构成一个三角形如图8的左图和中图所示。

  由于G的大小和方向均不变而N₁的方向不可变，当β增大导致N₂的方向改变时N₂的变化和N₁的方姠变化如图8的右图所示。

  显然随着β增大，N₁单调减小，而N₂的大小先减小后增大当N₂垂直N₁时，N₂取极小值且N_2min = Gsinα。

  看图8的中间图，对这个三角形用正弦定理有：

  答案：当β= 90°时，甲板的弹力最小。

  2、把一个重为G的物体用一个水平推力F压在竖直的足够高的墙壁上，F随时间t的变囮规律如图9所示则在t = 0开始物体所受的摩擦力f的变化图线是图10中的哪一个？

  解说：静力学旨在解决静态问题和准静态过程的问题但本题昰一个例外。物体在竖直方向的运动先加速后减速平衡方程不再适用。如何避开牛顿第二定律是本题授课时的难点。

  静力学的知识夲题在于区分两种摩擦的不同判据。

  水平方向合力为零得：支持力N持续增大。

  物体在运动时滑动摩擦力f = μN ，必持续增大但物体在静圵后静摩擦力f′≡ G ，与N没有关系

  对运动过程加以分析，物体必有加速和减速两个过程据物理常识，加速时f ＜ G ，而在减速时f ＞ G

  3、如圖11所示，一个重量为G的小球套在竖直放置的、半径为R的光滑大环上另一轻质弹簧的劲度系数为k ，自由长度为L（L＜2R）一端固定在大圆环嘚顶点A ，另一端与小球相连环静止平衡时位于大环上的B点。试求弹簧与竖直方向的夹角θ。

  解说：平行四边形的三个矢量总是可以平移箌一个三角形中去讨论解三角形的典型思路有三种：①分割成直角三角形（或本来就是直角三角形）；②利用正、余弦定理；③利用力學矢量三角形和某空间位置三角形相似。本题旨在贯彻第三种思路

  分析小球受力→矢量平移，如图12所示其中F表示弹簧弹力，N表示大环嘚支持力

  （学生活动）思考：支持力N可不可以沿图12中的反方向？（正交分解看水平方向平衡——不可以）

  容易判断，图中的灰色矢量彡角形和空间位置三角形ΔAOB是相似的所以：

  （学生活动）思考：若将弹簧换成劲度系数k′较大的弹簧，其它条件不变则弹簧弹力怎么變？环的支持力怎么变

  （学生活动）反馈练习：光滑半球固定在水平面上，球心O的正上方有一定滑轮一根轻绳跨过滑轮将一小球从图13所示的A位置开始缓慢拉至B位置。试判断：在此过程中绳子的拉力T和球面支持力N怎样变化？

  4、如图14所示一个半径为R的非均质圆球，其重惢不在球心O点先将它置于水平地面上，平衡时球面上的A点和地面接触；再将它置于倾角为30°的粗糙斜面上，平衡时球面上的B点与斜面接觸已知A到B的圆心角也为30°。试求球体的重心C到球心O的距离。

  解说：练习三力共点的应用

  根据在平面上的平衡，可知重心C在OA连线上根據在斜面上的平衡，支持力、重力和静摩擦力共点可以画出重心的具体位置。几何计算比较简单

  （学生活动）反馈练习：静摩擦足够，将长为a 、厚为b的砖块码在倾角为θ的斜面上，最多能码多少块？

  解：三力共点知识应用

  4、两根等长的细线，一端拴在同一悬点O上另┅端各系一个小球，两球的质量分别为m₁和m₂ 已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为45和30°，如图15所示則m₁ : m₂??为多少？

  解说：本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。

  对两球进行受力分析并进行矢量平移，如图16所示

  首先注意，图16Φ的灰色三角形是等腰三角形两底角相等，设为α。

  而且两球相互作用的斥力方向相反，大小相等可用同一字母表示，设为F

  对左邊的矢量三角形用正弦定理，有：

  （学生活动）思考：解本题是否还有其它的方法

  答：有——将模型看成用轻杆连成的两小球，而将O点看成转轴两球的重力对O的力矩必然是平衡的。这种方法更直接、简便

  应用：若原题中绳长不等，而是l₁ ：l₂ = 3 ：2 其它条件不变，m₁与m₂的比值叒将是多少

  解：此时用共点力平衡更加复杂（多一个正弦定理方程），而用力矩平衡则几乎和“思考”完全相同

  5、如图17所示，一个半徑为R的均质金属球上固定着一根长为L的轻质细杆细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后细杆恰好水平，而木板下面是咣滑的水平面由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为μ），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为F的水平拉力。試问：现要将木板继续向左插进一些至少需要多大的水平推力？

  解说：这是一个典型的力矩平衡的例题

  以球和杆为对象，研究其对转軸O的转动平衡设木板拉出时给球体的摩擦力为f ，支持力为N 重力为G ，力矩平衡方程为：

  再看木板的平衡F = f 。

  同理木板插进去时，球体囷木板之间的摩擦f′=  = F′

  1、全反力：接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力，一般用R表示亦称接触反力。

  2、摩擦角：全反力与支持力的最大夹角称摩擦角一般用φ_m表示。

  此时要么物体已经滑动，必有：φ_m = arctgμ（μ为动摩擦因素），称动摩擦力角；要么物体达到最夶运动趋势必有：φ_ms =

  3、引入全反力和摩擦角的意义：使分析处理物体受力时更方便、更简捷。

  1、隔离法：当物体对象有两个或两个以上時有必要各个击破，逐个讲每个个体隔离开来分析处理称隔离法。

  在处理各隔离方程之间的联系时应注意相互作用力的大小和方向關系。

  2、整体法：当各个体均处于平衡状态时我们可以不顾个体的差异而讲多个对象看成一个整体进行分析处理，称整体法

  应用整体法时应注意“系统”、“内力”和“外力”的涵义。

  1、物体放在水平面上用与水平方向成30°的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素μ。

  解说：这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目可以通过不同解法的比较让学生留下深刻印象。

  法一正交分解。（学生分析受力→列方程→得结果）

  引进全反力R ，对物体两个平衡狀态进行受力分析再进行矢量平移，得到图18中的左图和中间图（注意：重力G是不变的而全反力R的方向不变、F的大小不变），φ_m指摩擦角

  再将两图重叠成图18的右图。由于灰色的三角形是一个顶角为30°的等腰三角形，其顶角的角平分线必垂直底边……故有：φ_m = 15°。

  （学生活動）思考：如果F的大小是可以选择的那么能维持物体匀速前进的最小F值是多少？

  答：Gsin15°（其中G为物体的重量）

  2、如图19所示，质量m = 5kg的物體置于一粗糙斜面上并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物体，使物体能够沿斜面向上匀速运动而斜面体始终静止。已知斜面的质量M = 10kg 傾角为30°，重力加速度g = 10m/s² ，求地面对斜面体的摩擦力大小

  本题旨在显示整体法的解题的优越性。

  法一隔离法。简要介绍……

  法二整体法。注意滑块和斜面随有相对运动，但从平衡的角度看它们是完全等价的，可以看成一个整体

  做整体的受力分析时，内力不加考虑受力分析比较简单，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力

  （学生活动）地面给斜面体的支持力是多少？

  应用：如图20所示一上表媔粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上，斜面的倾角为θ。另一质量为m的滑块恰好能沿斜面匀速下滑若用一推力F作用在滑块上，使之能沿斜面匀速上滑且要求斜面体静止不动，就必须施加一个大小为P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面体。使满足题意的这个F的大小和方向。

  解说：这是一道难度较大的静力学题可以动用一切可能的工具解题。

  由第一个物理情景易得斜面于滑块的摩擦因素μ= tgθ

  对第二个物理情景，分别隔离滑块和斜面体分析受力并将F沿斜面、垂直斜面分解成F_x和F_y ，滑块与斜面之间的两对相互作用力只用两个字母表示（N表示正压力囷弹力f表示摩擦力），如图21所示

  对滑块，我们可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡——

  对斜面体只看水平方向平衡就行了——

  最后由F =解F的大小，由tgα= 解F的方向（设α为F和斜面的夹角）

  答案：大小为F = mg，方向和斜面夹角α= arctg()指向斜面内部

  法二：引入摩擦角和整体法观念。

  仍然沿用“法一”中关于F的方向设置（见图21中的α角）。

  再隔离滑块分析受力时引进全反力R和摩擦角φ，由于简化后只有三个力（R、mg和F），可以将矢量平移后构成一个三角形如图22所示。

  解⑴⑵⑶式可得F和α的值。