滞后校正与超前误差和滞后误差校正有什么区别？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-07-04 08:52 标签： 超前误差和滞后误差
作者：lenleo链接：https://www.zhihu.com/question/38726841/answer/631239741来源：知乎著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。一、超前/滞后校正概念如果开环系统（Plant）的控制性能不满足要求（requirements），我们需要采用反馈控制结构，并在系统Plant之前额外加一个误差控制器，这个控制器可以有很多选择，超前（lead）、滞后（lag）调节器是较常规的方法。单个超前或者滞后控制器的传递函数表达式为：\frac{s+\omega_{z}}{s+\omega_{p}}依据零极点大小关系不同分为超前调节和滞后调节。超前调节： \omega_z<\omega_p滞后调节： \omega_z>\omega_p设计这个控制器的过程就是这单个零点和单个极点的配置过程。熟悉根轨迹方法的会知道，零极点的配置问题大致过程为：将控制要求（Requirements）转化为s平面主导极点的位置；配置零极点使得根轨迹刚好通过那一点。对于频域方法而言，设计思路与根轨迹方法类似：将控制要求（Requirements）转化为频域要求，如增益裕度（gain margin）、相位裕度（phase margin）、穿越频率（截止频率）、带宽、零频率幅值等等；依据估计公式设计超前滞后调节器的零极点。二、超前调节设计（以一阶系统为例）针对如下一阶系统：G(s)=\frac{1}{0.2s+1} ，这是一个时间常数为5s的惯性环节。若对此系统提出如下要求：Req1——对斜坡信号的稳态误差 e_{ss} 小于0.02;Req2——相位裕度大于48°首先看一下斜坡信号输入下，Plant的控制性能，可见Plant无法满足任一个要求。尝试使用超前调节器。以下是设计过程。1.第一步——改变系统型别，设计开环增益以满足稳态误差要求注意！！如果控制要求中有稳态误差要求，则首先考虑此要求。根据控制原理，系统稳态误差与系统型别有关，即原点处的极点个数。对于斜坡信号输入，0型系统稳态误差无穷大，1型系统稳态误差为有限值，2型系统稳态误差为零。Plant为1型系统，始终存在稳态误差，因此考虑首先增加系统型别，即在Plant之前加一个积分器。（加一个就好，积分器越多，引入延迟越多，系统实施复杂度也更高）根据稳态误差的计算公式：e_{ss}=\lim_{s \rightarrow 0}{sE(s)}=\lim_{s \rightarrow 0}{s\frac{R(s)}{1+G(s)}}其中， R(s)=\frac{1}{s^2} ， G(s)=\frac{1}{0.2s+1}*\frac{K}{s}代入计算可得 K>49 ，选取 K=50 。2.第二步——观察开环系统频域特性使用margin()函数在Matlab中绘制伯德图：开环系统相位裕度为18°，不满足要求。超前调节的思路大致是：将相位曲线在某一个频率段向上提升，而尽量不改变幅值曲线，这样就可以增加系统相位裕度。如下所示：再观察一下典型超前环节的伯德图：（以 \frac{10s+1}{s+1} 为例）可见这个环节确实可以在特定频率段增加相位，但是同时也会增加幅值，也就是指最终相位裕度增加的量不会是该环节最大相位值，会稍微损耗一点。设超前调节器的形式如下：Lead=\frac{a_1\tau s+1}{\tau s+1}（a_1>1）这种形式的好处就是零频率增益为0dB，不影响稳态误差。它的上下截止频率分别为 \omega_1=\frac{1}{a_1\tau} 和 \omega_2=\frac{1}{\tau} ，最大相位为 \phi_{max}=arcsin(\frac{a_1-1}{a_1+1}) ，最大相位处频率 \omega_m=\frac{1}{\tau\sqrt{a_1}} ,最大相位出增益为 \sqrt{a_1} 。3.第三步——设计Lead调节器选择想要增加的相位裕量 \phi_{max} ，由此解算出 a_1 ；选择最大相位处频率 \omega_m ，由此再解算出 \tau ；构建Lead调节器。注意到前文所述，调节器使得相位增加的同时也使得幅值增加，最终会使得穿越频率变大，这样增加的相位裕量也就打了折扣。因此在设计时会采用一些办法进行弥补：有意增大所需相位裕量 \phi_{max} ，例如在计算结果的基础上加个15°；根据查表法确定最好的 \phi_{max} 。设 \phi_{max}=37°，\omega_m=22rad/s 根据上述方法最终设计出来的Lead调节器为：Lead=\frac{0.088 s+1}{0.022 s+1}加上lead调节之后系统伯德图的变化为：相位裕度为49.8°，满足设计要求。需要注意的是，超前调节从理论上来说最多可以增加90°的相位，但是实际上最多只能增加55°相位裕量。因此如果你需要增加超过55°的相位裕量，可以考虑使用两个超前调节器串联，这样从理论上说最多可以增加110°的相位裕量。三、滞后调节滞后调节，其字面含义是相位滞后的一种调节器，却也能提高系统相位裕度，这是如何做到的呢？因为这个调节器主要目的是降低幅值，从而减小穿越频率，提高相位裕度。首先观察一下典型滞后环节的伯德图（ \frac{s+1}{10s+1} ）当频率趋于零时，幅值为0dB，即不会影响稳态误差。当频率趋于无穷时，幅值为-20dB，这样就可以使原系统的幅值曲线在特定频率范围内下移，穿越频率随之减小，这正是我们所希望的。但是我们所不希望的是伴随而来的相位滞后。这就需要选取合适的参数以满足控制要求。继续使用超前调节中的例子和控制要求来设计滞后调节控制器。Lag=\frac{\tau s+1}{a_2\tau s+1},(a_2>1)其设计步骤为：确定截止频率在什么位置时，能够满足相位裕度要求（对于原系统是4.28rad/s）；确定新的截止频率处的增益，用来估算幅值曲线下移的量（对于原系统是18dB）；利用估算公示计算Lag环节的参数。这里同样会遇到计算结果打折扣的情况，因为相位曲线也会随之下移，穿过-180°的频率点也会前移，因此可以有意增大幅值曲线下移的量，例如在原基础上再下移2dB，即18+2=20dB。由此计算得出 a_2=10 。那么如何确定参数 \tau 呢？我们希望伴随幅值下降的相位下降区域离截止频率点越远越好，这样就不会影响最终的相位裕度。大概就是这个意思：这就要求把零极点尽可能的配置到离虚轴更近的点，即 \tau 越大越好。一个工程实际原则是将零点配置到离虚轴距离比主导极点近50倍的点。因此 \tau=50\times0.2=10 。最终设计出的Lag控制器为：Lag=\frac{10 s+1}{100 s+1}最终控制系统长这样：四、超前调节与滞后调节对比针对原系统、带lead控制器的系统和带lag控制器的系统，三者的伯德图对比如下：从图中可以清楚地观察到超前调节和滞后调节对幅相曲线的影响，最终两种调节器都能使得系统相位裕度刚好大于48°。那这两种调节方式有什么不同呢？可以通过时域响应对比观察得到。针对原系统、带lead控制器的系统和带lag控制器的系统，施加同样的单位阶跃指令，系统时域响应的对比如下：可以看出，超前调节和滞后调节都能增大系统阻尼，减小超调，但是明显地，超前调节会使系统响应变得更快，而滞后调节会使系统响应变慢。事实上，系统响应变慢也不是缺点，针对不同实际系统会有不同的需要。如果系统不需要响应很快，或者不会接受频率高的指令，那使用滞后调节更有利，因为响应更快的系统对噪声抑制能力也会变差。或者系统中存在未知的或不确定的高频模态，那么较慢的响应就可以忽略这些高频模态，未尝不是一种优势。五、超前+滞后调节超前校正的主要作用是提供一个超前相角，从而增大相位裕度，工程上主要用于改善系统的快速性和稳定性。滞后校正主要目的是适当衰减幅值增益，工程上主要用于提高系统稳态精度和稳定性，但是降低了系统快速性（有利有弊）。超前校正和滞后校正各有优点，且通过伯德图可以观察出其各自频率作用范围相互影响可以很小，因此可以共同使用，称为“超前-滞后调节”。一般是先设计超前网络，再设计滞后网络，且可以简化其参数至三个参数，如：lead-lag=\frac{(\tau_1 s+1)(\tau_2 s+1)}{(1+\frac{\tau_1}{b}s)(1+b\tau_2 s)} ，这样就简化了设计过程。参考资料：https://www.youtube.com/watch?

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